겉넓이

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 공식
4. 고차원 도형의 겉넓이
5. 화학에서의 겉넓이
6. 생물학에서의 겉넓이
참조

1. 개요

겉넓이는 표면에 양의 실수를 할당하는 함수로, 가산성, 합동 불변성, 유클리드 운동 군에 대한 불변성 등의 속성을 만족해야 한다. 겉넓이는 분조적으로 매끄러운 표면에 대해 고유하게 정의되며, 여러 도형에 대한 겉넓이 공식이 존재한다. 겉넓이는 화학 반응 속도론에서 반응 속도에 영향을 미치며, 생물학에서는 체온 조절, 소화, 세포 크기 결정 등 다양한 생명 현상에 중요한 역할을 한다.

더 읽어볼만한 페이지

넓이 - 피타고라스 정리
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 정리로, a² + b² = c²으로 표현되며, 한 변의 길이를 계산하는 데 사용되고, 여러 지역에서 알려졌으나 피타고라스 학파에 의해 체계화되었다고 전해진다.
넓이 - 카발리에리의 원리
카발리에리의 원리는 평행한 두 직선 또는 평면 사이에서 일정한 조건을 만족하는 두 평면 도형 또는 입체의 면적이나 부피가 동일하다는 원리이며, 미적분학 발달 이전 시대에 중요한 역할을 했다.
기하학 - 밀러 지수
밀러 지수는 결정학에서 결정 면과 방향을 나타내기 위해 사용되는 지수이며, 역격자 벡터 또는 격자 벡터 절편의 역수를 통해 정의되며, 물질의 물리적, 화학적 성질 및 기술적 응용에 중요한 역할을 한다.
기하학 - 반지름
반지름은 원의 중심에서 원 위의 점까지의 거리로, 원의 지름과 둘레, 넓이 계산에 사용될 뿐 아니라 정다각형 외접원, 그래프 이론, 극좌표계 등 다양한 분야에서 활용되며, 여러 도형의 반지름을 구하는 공식이 존재하고 한국의 교육, 건축, 디자인 분야에서도 널리 쓰인다.

겉넓이
개요
종류	2차원 면의 크기 측정
정의
정의	2차원 표면의 넓이
공식
구의 겉넓이	4πr²
변수가 a인 정육면체 겉넓이	a³
변수가 a인 정사각형의 넓이	a²
직육면체의 겉넓이	2(ab + bc + ca) (변수: a, b, c)

2. 정의

겉넓이는 특정 종류의 표면에 양의 실수를 할당하는 함수로 정의된다. 이 함수는 다음의 속성들을 만족해야 한다.

'''가산성''': 전체의 겉넓이는 부분들의 겉넓이의 합과 같다. 즉, 표면 ''S''가 경계에서 겹치지 않는 유한 개의 부분 ''S''₁, …, ''S''_''r''의 합집합이라면, 다음과 같다.

:

A(S) = A(S_1) + \cdots + A(S_r).

평면 다각형 모양의 표면 겉넓이는 기하학적으로 정의된 면적과 일치해야 한다.
합동 표면의 겉넓이는 같아야 하며, 겉넓이는 공간에서의 위치와 방향이 아니라 표면의 모양에만 의존해야 한다.
겉넓이는 유클리드 운동 군에 대해 불변해야 한다.

이러한 속성은 ''분조적으로 매끄러운''이라는 광범위한 기하학적 표면에 대해 겉넓이를 고유하게 특징짓는다.

슈바르츠 램프. M 축 슬라이스와 N 방사형 꼭짓점. M과 N이 무한대로 갈 때 면적의 극한은 수렴하지 않는다. 특히 원통의 면적에 수렴하지 않는다.

호의 길이와는 다르게, 겉넓이를 주어진 매끄러운 표면을 근사하는 다면체 모양의 면적의 극한으로 단순하게 정의할 수 없다. 헤르만 슈바르츠는 원통의 경우에도 근사 평면 표면의 다른 선택이 면적의 다른 극한 값을 초래할 수 있음을 보였다. 이 예는 슈바르츠 램프로 알려져 있다.^[2]^[3]

3. 공식

여러 가지 도형의 겉넓이를 구하는 공식은 다음과 같다.

일반적인 입체의 겉넓이
도형	공식	변수
정육면체		a = 변의 길이
직육면체		l = 길이, b = 너비, h = 높이
삼각기둥		b = 삼각형 밑변의 길이, h = 삼각형의 높이, l = 삼각 밑면 사이의 거리, p, q, r = 삼각형의 변
모든 각기둥		B = 한 밑면의 넓이, P = 한 밑면의 둘레, h = 높이
구		r = 구의 반지름, d = 지름
구면 이륜		r = 구의 반지름, θ = 이각
원환체		r = 작은 반지름 (관의 반지름), R = 큰 반지름 (관의 중심에서 원환체의 중심까지의 거리)
원통형 환		R = 외부 반지름, r = 내부 반지름, h = 높이
알약		r = 반구와 원기둥의 반지름, h = 원기둥의 높이
정사각뿔		b = 밑변의 길이, s = 모선, h = 수직 높이
직사각뿔		l = 길이, b = 너비, h = 높이
사면체		a = 변의 길이

정육면체: 한 변의 길이가 $a$ 인 정육면체의 겉넓이는 $6a^2$ 이다.
직육면체: 가로, 세로, 높이가 각각 $l$ , $w$ , $h$ 인 직육면체의 겉넓이는 $2(lw+lh+wh)$ 이다.
구: 반지름이 $r$ 인 구의 겉넓이는 $4\pi r^2$ 이다.
반구: 반지름이 $r$ 인 반구의 겉넓이는 $3\pi r^2$ 이다.
부채꼴: 반지름이 $r$ 이고 중심각이 $x^{\circ}$ 인 부채꼴의 넓이는 $\pi r^2\cdot \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2} rl$ 이다. ( $l$ 은 호의 길이)
원기둥: 밑면의 반지름이 $r$ , 높이가 $h$ 인 원기둥의 겉넓이는 $2\pi r(r+h)$ 이다.
원뿔: 밑면의 반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔의 겉넓이는 $\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})$ 이다.
각기둥: 밑면의 넓이가 $B$ , 밑면의 둘레가 $P$ , 높이가 $h$ 인 각기둥의 겉넓이는 $2B + Ph$ 이다.
회전체: $y = f(x)$ 를 $x$ 축을 중심으로 회전시킨 회전체의 겉넓이 ( $a \le x \le b$ )는 $2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$ 이다.
매개변수 곡면: 매개변수 방정식 $\vec{r}(u,v)$ 으로 표현되는 곡면의 겉넓이는 $\iint_D \left \vert \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right \vert dA$ 이다. ( $\vec{r}_u$ 는 $u$ 에 대한 $\vec{r}$ 의 편도함수, $\vec{r}_v$ 는 $v$ 에 대한 $\vec{r}$ 의 편도함수, $D$ 는 그림자 영역)

많은 단순한 표면의 면적은 고대부터 알려져 왔지만, 면적에 대한 엄밀한 수학적 정의는 매우 신중한 주의를 필요로 한다. 표면 면적은 합동인 표면에 대해서는 같은 값을 가져야 하며, 공간에서의 위치나 방향이 아닌 표면의 모양에만 의존해야 한다. 즉, 표면 면적은 유클리드 운동 군에 대해 불변해야 한다.

헤르만 슈바르츠는 원통의 경우에도 근사 평면 표면의 선택에 따라 면적의 극한 값이 달라질 수 있음을 보였다. 이 예는 슈바르츠 램프로 알려져 있다.^[2]^[3]

3. 1. 정육면체

한 변의 길이가

s

인 정육면체의 겉넓이는

6s^2

이다.

일반적인 입체의 겉넓이
도형	공식/방정식	변수
정육면체	$6a^2$	a = 변의 길이

3. 2. 직육면체

가로, 세로, 높이가 각각

l

,

w

,

h

인 직육면체의 겉넓이는

2(lw+lh+wh)

이다.

3. 3. 구

구의 겉넓이 공식은

4\pi r^2

이며, 여기서

r

은 구의 반지름이다.^[4]

아르키메데스는 같은 반지름과 높이를 가진 구와 원기둥의 겉넓이 비가 2:3임을 발견하였다.

구의 겉넓이: $4 \pi r^2 = (2 \pi r^2) \times 2$
원기둥의 겉넓이: $2 \pi r (h + r) = 2 \pi r (2r + r) = (2 \pi r^2) \times 3$

3. 4. 반구

반지름이

r

인 반구의 겉넓이는

3\pi r^2

이다.

일반적인 입체의 겉넓이
도형	공식/방정식	변수
반구	$3\pi r^2$	r = 반구의 반지름
반구 껍질	$\pi \left(3R^2+r^2\right)$	R = 반구의 외부 반지름, r = 반구의 내부 반지름

3. 5. 부채꼴

반지름이

r

이고 중심각이

x^{\circ}

인 부채꼴의 넓이는

\pi r^2\cdot \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2} rl

이다. (

l

은 호의 길이)

3. 6. 원기둥

cylinder^영어의 겉넓이 공식은 다음과 같다.

:

2\pi r(r+h)\,

$r$ 은 밑면의 반지름이다.
$h$ 는 원기둥의 높이이다.

같은 반지름과 높이를 가진 구와 원기둥의 겉넓이의 비는 '''2 : 3'''이며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[4]

반지름을 ''r''로, 높이를 ''h'' (구의 경우 2''r'')로 하면,

:

\begin{array}{rlll}\text{구의 겉넓이}   & = 4 \pi r^2      &                    & = (2 \pi r^2) \times 2 \\\text{원기둥의 겉넓이} & = 2 \pi r (h + r) & = 2 \pi r (2r + r) & = (2 \pi r^2) \times 3\end{array}

이 비율의 발견은 아르키메데스의 공으로 여겨진다.^[4]

3. 7. 원뿔

밑면의 반지름이

r

이고 높이가

h

인 원뿔의 겉넓이는

\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})

이다. 원뿔의 겉넓이는 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 더하여 구한다.

밑면의 넓이: 밑면은 반지름이 $r$ 인 원이므로, 넓이는 $\pi r^2$ 이다.
옆면의 넓이: 옆면은 부채꼴 모양이며, 부채꼴의 반지름은 원뿔의 모선의 길이와 같다. 모선의 길이를 $s$ 라고 하면, $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ 이다. 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같으므로 $2\pi r$ 이다. 따라서 옆면의 넓이는 $\pi rs = \pi r\sqrt{r^2+h^2}$ 이다.

따라서 원뿔의 겉넓이는

\pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2+h^2} = \pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})

이다.

3. 8. 각기둥

밑면의 넓이가

B

, 밑면의 둘레가

P

, 높이가

h

인 각기둥의 겉넓이는

2B + Ph

이다.

3. 9. 회전체

y = f(x)

를

x

축을 중심으로 회전시킨 회전체의 겉넓이 (

a \le x \le b

)는 다음과 같다.

:

2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2} dx

3. 10. 매개변수 곡면

매개변수 방정식

\vec{r}(u,v)

으로 표현되는 곡면의 겉넓이는 다음과 같이 계산된다.

:

\iint_D \left \vert \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right \vert dA

여기서,

$\vec{r}$ 은 곡면의 매개 벡터 방정식이다.
$\vec{r}_u$ 는 $u$ 에 대한 $\vec{r}$ 의 편도함수이다.
$\vec{r}_v$ 는 $v$ 에 대한 $\vec{r}$ 의 편도함수이다.
$D$ 는 그림자 영역이다.

4. 고차원 도형의 겉넓이

일반적인 차원 도형에 대해서, 도형 표면의 차원 르베그 측도를 겉넓이라고 부른다. 면적(2차원 르베그 측도)이 아닌 것을 강조하고 싶을 때는, '''초겉넓이'''라고도 한다.

유클리드 공간에서 도형을 배로 확대하면, 부피(도형의 차원 르베그 측도)는 배, 겉넓이는 배가 된다.

5. 화학에서의 겉넓이

표면적은 화학 반응 속도론에서 중요하다. 일반적으로 물질의 표면적을 증가시키면 반응 속도가 증가한다. 예를 들어, 미세한 가루 형태의 철은 연소하지만,^[5] 고체 블록 형태에서는 구조물에 사용할 수 있을 만큼 안정적이다. 다양한 응용 분야에서 최소 또는 최대 표면적이 필요할 수 있다.

6. 생물학에서의 겉넓이

생물의 겉넓이는 체온 조절 및 소화와 같은 여러 측면에서 중요하다.^[7] 동물은 이빨을 사용하여 음식을 작은 입자로 갈아 소화에 사용할 수 있는 겉넓이를 늘린다.^[8] 소화관을 덮고 있는 상피 조직에는 미세 융모가 있어 흡수할 수 있는 겉넓이를 크게 늘린다.^[9] 코끼리는 큰 귀를 가지고 있어 체온을 조절할 수 있다.^[10] 다른 경우에는 동물이 겉넓이를 최소화해야 한다.^[11] 예를 들어, 사람들은 추울 때 열 손실을 최소화하기 위해 팔을 가슴에 엇갈려 놓는다.

세포의 표면적 대 부피 비율(SA:V)은 세포 크기에 상한선을 부과한다. 부피가 겉넓이보다 훨씬 빠르게 증가하여 물질이 내부에서 세포막을 가로질러 간질 공간 또는 다른 세포로 확산되는 속도를 제한하기 때문이다.^[12] 세포를 반경 $r$인 구로 나타내면, 부피는 $(4/3)πr^3$, 겉넓이는 $4πr^2$이다. 따라서 겉넓이 대 부피 비율은 $3/r$이 된다. 예를 들어 세포 반경이 1 μm이면 SA:V 비율은 3이지만, 세포 반경이 10 μm이면 SA:V 비율은 0.3, 세포 반경이 100 μm이면 SA:V 비율은 0.03으로 감소한다. 즉, 겉넓이는 부피가 증가함에 따라 급격히 감소한다.

참조

_[1] MathWorld Surface Area
_[2] 웹사이트 Schwarz's Paradox http://fredrickey.in[...] 2017-03-21
_[3] 웹사이트 Archived copy http://mathdl.maa.or[...] 2012-07-24
_[4] 웹사이트 Tomb of Archimedes: Sources http://www.math.nyu.[...] Courant Institute of Mathematical Sciences 2007-01-02
_[5] 간행물 Kinetics of Iron Ore Reduction by Methane for Chemical Looping Combustion https://pubs.acs.org[...] 2014-02-20
_[6] 간행물 The ATP synthase is involved in generating mitochondrial cristae morphology http://emboj.embopre[...] 2002-02-01
_[7] 간행물 Why do elephants have big ear flaps? https://doi.org/10.1[...] 2008-07-01
_[8] Citation Mouth and Esophagus https://doi.org/10.1[...] Elsevier 2012
_[9] 웹사이트 Microvillus {{!}} Description, Anatomy, & Function {{!}} Britannica https://www.britanni[...] 2024-03-30
_[10] 간행물 Why do elephants flap their ears? https://www.ajol.inf[...] 1984
_[11] 간행물 Human Physiological Responses to Cold Exposure https://www.ingentac[...] 2004-05-01
_[12] 간행물 Modeling Limits to Cell Size https://online.ucpre[...] 1978-11-01

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com