오각지붕
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1. 개요
오각지붕은 5개의 정삼각형, 5개의 정사각형, 1개의 정오각형, 1개의 정십각형으로 이루어진 볼록 다면체이다. 존슨의 다면체 중 다섯 번째에 해당하며, 꼭대기와 밑면의 중심을 지나는 대칭축을 중심으로 회전 대칭을 갖는다. 모든 면의 모서리 길이가 같을 경우, 외접구의 외접반경, 높이, 표면적, 부피를 특정 공식으로 계산할 수 있다. 오각지붕은 다른 다면체에 부착되거나 제거되어 다양한 다면체를 구성하는 데 사용될 수 있으며, 교차된 별 오각지붕과 같은 변형도 존재한다.
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| 오각지붕 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 종류 | 존슨 |
| 관련 다면체 | J – J – J |
| 면의 수 | 12개 |
| 면의 종류 | 삼각형 5개, 사각형 5개, 오각형 1개, 십각형 1개 |
| 모서리 수 | 25개 |
| 꼭짓점 수 | 15개 |
| 대칭군 | C |
| 회전군 | C |
| 꼭짓점 배열 | 10(3.4.10), 5(3.4.5.4) |
| 쌍대다면체 | - |
| 성질 | 볼록 |
| |
2. 성질
오각지붕은 5개의 정삼각형, 5개의 정사각형, 1개의 정오각형, 1개의 정십각형으로 구성되어 있으며, 볼록 다면체이자 정다각형 면을 가지므로 존슨의 다면체 중 다섯 번째로 분류된다.[1] 평면으로 잘라 두 개 이상의 정다면체를 생성할 수 있는 기본 다면체이다.
꼭대기와 밑면 중심을 통과하는 대칭축을 가지며, 이 축을 중심으로 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 회전 대칭을 이룬다. 또한 육각형 밑면의 이등분선을 통과하는 모든 수직 평면에 대해 거울 대칭을 이룬다. 따라서 피라미드 대칭, 즉 순환군 ''C''5v (차수 10)을 가진다.[4]
2. 1. 구성
오각지붕은 5개의 정삼각형, 5개의 정사각형, 1개의 정오각형, 1개의 정십각형으로 구성된다. 볼록 다면체이면서 정다각형 면을 가지므로 존슨의 다면체 중 다섯 번째로 분류된다.[1]2. 2. 공식
모든 면이 변의 길이가 ''a''인 정다각형일 때, 다음과 같은 부피, 표면적, 외접구의 외접반경 공식을 사용할 수 있다:[8]:V영어 = ''a''3 ≈ 2.32405...''a''3
:A영어 = ''a''2 = ''a''2 ≈ 16.5797...''a''2
:C영어 = )}}''a'' ≈ 2.23295...''a''
모든 면이 모서리 길이 를 갖는 정다각형일 경우, 외접구의 외접반경 , 높이 , 표면적 , 부피 는 다음과 같다.
:h영어 = }} ≈ 0.526''a''
:R영어 = }} ≈ 2.233''a''
:A영어 = {4}a^2}} ≈ 16.580''a''2
:V영어 = }} ≈ 2.324''a''3
2. 3. 대칭성
오각지붕은 꼭대기와 밑면의 중심을 통과하는 대칭축을 가지며, 이 축을 중심으로 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 회전하여 대칭을 이룬다. 또한 육각형 밑면의 이등분선을 통과하는 모든 수직 평면에 대해 거울 대칭을 이룬다. 따라서 피라미드 대칭, 즉 순환군 (차수 10)을 가진다.[4]3. 관련 다면체
오각 지붕은 다면체를 구성하는데 사용될 수 있다. 오각 지붕의 밑면을 다른 다면체에 부착하는 것을 확대라고 하며, 각기둥 또는 꺾인 각기둥에 부착하는 것을 연장 또는 회전 연장이라고 한다. 또한, 하나 이상의 오각 지붕을 제거하여 다면체를 구성하는 것을 감소라고 한다.
3. 1. 쌍대다면체
오각지붕의 쌍대다면체는 삼각형 면 10개와 연꼴 면 5개를 가지고 있다.| 오각지붕의 쌍대다면체 | 쌍대다면체의 전개도 |
|---|---|
 |  |
3. 2. 확장 및 축소
오각지붕은 밑면을 다른 다면체에 부착하는 확대를 하거나, 각기둥 또는 꺾인 각기둥에 부착하는 연장 또는 회전 연장을 할 수 있다. 이러한 구조를 가진 존슨의 다면체는 다음과 같다.[1]| 이름 | 설명 | 그림 |
|---|---|---|
| 연장 오각 지붕 | 오각지붕의 밑면에 정십각기둥을 붙여 만들었다. |  |
| 회전 연장 오각 지붕 | 오각지붕의 밑면에 정십각 꺾인 기둥을 붙여 만들었다. |  |
| 오각 직이중지붕 | 두 개의 오각지붕을 밑면끼리 동상이 되도록 붙여 만들었다. |  |
| 오각 회전 이중 지붕 | 두 개의 오각지붕을 밑면끼리 36° 어긋나게 붙여 만들었다. |  |
| 오각 직지붕 회전체 | 오각 둥근 지붕을 오각지붕의 밑면에 정오각형이 동상이 되도록 붙여 만들었다. |  |
| 오각 회전 지붕 회전체 | 오각 둥근 지붕을 오각지붕의 밑면에 정오각형이 36° 어긋나도록 붙여 만들었다. |  |
| 연장 오각 직이중지붕 | ||
| 연장 오각 회전 이중지붕 | ||
| 연장 오각 직지붕 회전체 | ||
| 회전 연장 오각 이중 지붕 | ||
| 회전 연장 오각 지붕 회전체 | ||
| 확대 절단 십이면체 |  | |
| 부분 확대 절단 십이면체 | ||
| 메타 확대 절단 십이면체 | ||
| 삼중 확대 절단 십이면체 | ||
| 회전 능면체 20면체 |  | |
| 부분 이중 회전 능면체 20면체 | ||
| 메타 이중 회전 능면체 20면체 | ||
| 삼중 회전 능면체 20면체 |
관련하여, 하나 이상의 오각 지붕을 제거하여 다면체를 구성하는 것을 감소라고 한다. 감소를 통해 만들어지는 다면체는 감소 능면체 20면체, 부분 회전 감소 능면체 20면체, 메타 회전 감소 능면체 20면체, 이중 회전 감소 능면체 20면체, 부분 이중 감소 능면체 20면체, 메타 이중 감소 능면체 20면체, 회전 이중 감소 능면체 20면체, 삼중 감소 능면체 20면체가 있다.[2]
3. 3. 다른 볼록 지붕
| 그림 | 이름 | 설명 |
|---|---|---|
| 늘린 오각 지붕 | Elongated pentagonal cupola영어 (밑면에 정십각기둥을 추가) | |
| 꼬인 늘린 오각 지붕 | Gyroelongated pentagonal cupola영어 (밑면에 정반십각기둥을 추가) | |
| 동상 쌍오각 지붕 | Pentagonal orthobicupola영어 (밑면끼리 동상이 되도록 붙임) | |
| 이상 쌍오각 지붕 | Pentagonal gyrobicupola영어 (밑면끼리 36° 어긋나게 붙임) | |
| 동상 오각 지붕 둥근 지붕 | Pentagonal orthocupolarotunda영어 (정오각 둥근 지붕을 정오각형이 동상이 되도록 밑면에 추가) | |
| 이상 오각 지붕 둥근 지붕 | Pentagonal gyrocupolarotunda영어 (정오각 둥근 지붕을 정오각형이 36° 어긋나도록 밑면에 추가) | |
| -- | 정사각 지붕 | Square cupola영어 (지붕의 각의 수를 줄임) |
| 옆 지붕 잘린 십이이십면체 | Augmented truncated dodecahedron영어 (밑면에 잘린 십이이십면체를 추가) | |
| 능십이이십면체 | Rhombicosidodecahedron영어 (정오각 지붕이 3개까지 분리 가능) |
3. 4. 교차된 별 오각지붕
기하학에서 '''교차된 별 오각지붕'''은 볼록 오각지붕과 위상적으로 동일한 비볼록 존슨의 다면체 동형체이다. 이 다면체는 비볼록 큰 마름모십이이십면체 또는 준 마름모십이이십면체를 자른 것으로 얻을 수 있는데, 이는 오각지붕을 마름모십이이십면체를 자른 것에서 얻은 것과 유사하다. 다른 모든 지붕과 같이, 다각형 밑면은 윗면의 변과 꼭짓점의 두 배를 가지고 있다. 이 경우에 밑면은 십각성이다.이 다면체는 뒤집힌 오각성 밑면을 가져서 사각형과 삼각형이 밑면을 통과해서 별 오각지붕의 반대로 붙어있어서 서로 더 깊게 교차하는 지붕으로 볼 수 있다.
참조
[1]
논문
Regular-faced convex polyhedra
[2]
논문
Geometric pattern infill influence on pentagonal cupola mechanical behavior subject to static external loads
https://journals.ind[...]
Thoth Publishing House
[3]
논문
Logical and Geometrical Distance in Polyhedral Aristotelian Diagrams in Knowledge Representation
2017
[4]
논문
Convex polyhedra with regular faces
[5]
논문
Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms
https://www.helderma[...]
[6]
서적
Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry
https://books.google[...]
Springer
[7]
간행물
Convex polyhedra with regular faces
[8]
웹사이트
Pentagonal cupola
http://www.wolframal[...]
2010-07-21
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