맥스웰 변형력 텐서

1. 개요

맥스웰 변형력 텐서는 전자기장의 변형력을 나타내는 텐서이다. SI 단위계에서 텐서는 전기장과 자기장의 함수로 정의되며, 가우스 단위계에서는 자화장을 사용하여 표현된다. 이 텐서는 단위 면적당 운동량의 플럭스를 나타내며, 힘과 압력, 전자기장의 운동량과 관련된다. 또한, 로렌츠 힘 법칙과 맥스웰 방정식을 통해 유도되며, 정자기장 및 정전기장에서의 특수한 형태를 갖는다. 맥스웰 변형력 텐서는 고유값과 고유 벡터를 통해 주응력을 분석할 수 있으며, 전자기장 내의 힘과 운동량 보존을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 정의 및 표현

물리학에서 맥스웰 변형력 텐서는 전자기장의 변형력 텐서이다.

로런츠 힘 밀도 $\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}$는 다음과 같다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}=\backslash rho\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{E\}\}+\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{J\}\}\backslash times\; \backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{B\}\}$
여기서 $\backslash rho$는 전하 밀도이고, $\backslash mathbf\; J$는 전류 밀도이다. 이 식은
:$T\; \_\{ij\}\; =\; \backslash varepsilon\; \_o\; E\_i\; E\_j\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\; \_0\}B\_i\; B\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash delta\; \_\{ij\}\backslash left(\; \{\backslash varepsilon\; \_o\; E^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\; \_0\}B^2\; \}\; \backslash right)$
에 의해
:$F\_i=\backslash sum\; \_j\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\_\{ij\}\}\{\backslash partial\; x\_j\}$
이라고 쓸 수 있다. 이 $T\; \_\{ij\}$를 맥스웰 변형력 텐서라고 한다.

맥스웰 응력 텐서의 요소 $ij$는 단위 면적당 단위 시간당 운동량의 단위를 가지며, $j$축에 수직인 표면을 가로지르는 $i$축에 평행한 운동량의 플럭스를 단위 시간당 (음의 방향으로) 제공한다. 이러한 단위는 단위 면적당 힘(음의 압력)의 단위로도 볼 수 있으며, 텐서의 $ij$ 요소는 단위 면적당 $j$축에 수직인 표면에 작용하는 $i$축에 평행한 힘으로 해석할 수도 있다. 실제로, 대각선 요소는 해당 축에 수직인 미분 면적 요소에 작용하는 장력 (당김)을 제공한다. 이상 기체의 압력으로 인한 힘과 달리, 전자기장 내의 면적 요소는 요소에 수직이 아닌 방향으로도 힘을 느낀다. 이 전단력은 응력 텐서의 비대각선 요소에 의해 주어진다.

최근에 맥스웰 응력 텐서는 반응성 전기역학적 힘을 설명하는 허수 부분을 갖는 보다 일반적인 복소 전자기 응력 텐서의 실수 부분임이 밝혀졌다.

맥스웰 응력의 전장 부분에 관한 발산은 다음과 같다.

여기서 벡터 삼중곱의 공식

을 사용한다. 또한, 나블라의 아래첨자 E는 E에 작용하는 (D에 작용하지 않는) 것을 명시하고 있다.

자기장의 부분도 고려하여, 맥스웰 방정식을 사용하면 다음과 같다.
{\partial t}
-\boldsymbol{B}\times\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
-\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{j} \\
&= \frac{\partial(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})}{\partial t}
+\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B} \\
\end{align}
}}

이것을 부피 V로 적분하면, 발산 정리를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

좌변은 표면으로부터 유입되는 운동량을 의미한다. 우변 제2항은 분포 전하에 작용하는 로렌츠 힘이며, 부피 내의 분포 전하의 운동량의 시간 변화를 의미한다. 따라서, 우변 제1항은 전자기장의 운동량의 시간 변화로 해석되며,

는 전자기장의 운동량 밀도를 나타낸다.

2.1. SI 단위계

SI 단위계에서 맥스웰 변형력 텐서 $\backslash sigma\_\{ij\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash sigma\_\{ij\}\; =$
\epsilon_0 E_i E_j + \frac{1}{\mu_0}B_i B_j - \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right)\delta_{ij}


여기서 $\backslash epsilon\_0$는 진공 유전율이고, $\backslash mu\_0$는 진공 투자율이며, $E\_i$와 $B\_i$는 각각 전기장과 자기장의 i번째 성분이고, $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타이다.

2.2. CGS 단위계

: $\backslash sigma\_\{ij\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash left(E\_i\; E\_j\; +\; H\_i\; H\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(E^2\; +\; H^2\backslash right)\backslash delta\_\{ij\}\backslash right)$

여기서 $\backslash mathbf\{H\}$는 자화장이다.

2.3. 텐서 표기법

텐서 표기법을 사용하면 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.
:$$
\overset{\leftrightarrow}{\boldsymbol{\sigma}} = \frac{1}{4\pi} \left[ \mathbf{E} \otimes \mathbf{E} + \mathbf{H} \otimes \mathbf{H} - \frac{E^2 + H^2}{2}\mathbb{I} \right]

여기서 $\backslash otimes$는 디아딕 곱이고, 마지막 텐서는 단위 디아드이다.
:$\backslash mathbb\{I\}\; \backslash equiv\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} =
\left(\mathbf{\hat x} \otimes \mathbf{\hat x} + \mathbf{\hat y} \otimes \mathbf{\hat y} + \mathbf{\hat z} \otimes \mathbf{\hat z}\right)

3. 유도

로런츠 힘과 맥스웰 방정식을 이용하여 맥스웰 변형력 텐서를 유도할 수 있다. 맥스웰 변형력 텐서($T\; \_\{ij\}$)는 다음과 같이 정의된다.

:$T\; \_\{ij\}\; =\; \backslash varepsilon\; \_o\; E\_i\; E\_j\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\; \_0\}B\_i\; B\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash delta\; \_\{ij\}\backslash left(\; \{\backslash varepsilon\; \_o\; E^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\; \_0\}B^2\; \}\; \backslash right)$

로런츠 힘 밀도($\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}$)는 전하 밀도($\backslash rho$), 전류 밀도($\backslash mathbf\; J$), 전기장($\backslash mathbf\{E\}$), 자기장($\backslash mathbf\{B\}$)을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}=\backslash rho\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{E\}\}+\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{J\}\}\backslash times\; \backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{B\}\}$

이 식은 맥스웰 변형력 텐서를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$F\_i=\backslash sum\; \_j\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\_\{ij\}\}\{\backslash partial\; x\_j\}$

이와 같이 전자기력은 $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$의 관점에서 표현된다. 벡터 미적분학과 맥스웰 방정식을 사용하여, $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$를 포함하는 항에서 대칭성을 찾고, 맥스웰 응력 텐서를 도입하면 결과를 단순화할 수 있다.

--

3.1. 로런츠 힘 밀도

로런츠 힘 법칙에서 시작하여 단위 부피당 힘은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathbf\{f\}\; =\; \backslash rho\backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{J\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}$

여기서 $\backslash rho$는 전하 밀도이고, $\backslash mathbf\; J$는 전류 밀도이다.

가우스 법칙과 앙페르의 주회 법칙을 사용하여, $\backslash rho$와 $\backslash mathbf\{J\}$는 필드 $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$로 대체할 수 있다. 그 결과, 전자기력은 $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$의 관점에서 표현된다. 벡터 미적분학과 맥스웰 방정식을 사용하여, $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$를 포함하는 항에서 대칭성을 찾고, 맥스웰 응력 텐서를 도입하면 결과를 단순화할 수 있다.

최종적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash mathbf\{f\}\; +\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mu\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{S\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash ,$

여기서 포인팅 벡터는 $$\backslash mathbf\{S\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash times\backslash mathbf\{B\}$$이다.

위 식에서 우변의 두 번째 항은 전자기장 운동량 밀도의 시간 미분으로 해석될 수 있고, 첫 번째 항은 질량 입자의 운동량 밀도의 시간 미분이다. 이 방정식은 고전 전자기학에서 운동량 보존 법칙을 나타낸다.

3.2. 맥스웰 방정식을 이용한 변환

로런츠 힘 밀도 $\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}$는 다음과 같다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}=\backslash rho\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{E\}\}+\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{J\}\}\backslash times\; \backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{B\}\}$

여기서 $\backslash rho$는 전하 밀도이고, $\backslash mathbf\; J$는 전류 밀도다. 이 식은 벡터 미적분학과 맥스웰 방정식을 사용하여 전자기장 $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$로 표현할 수 있다.

로런츠 힘 법칙에서 단위 부피당 힘은 다음과 같다.

:$$\backslash mathbf\{f\}\; =\; \backslash rho\backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{J\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}$$

가우스 법칙과 앙페르 회로 법칙을 사용하여 $\backslash rho$와 $\backslash mathbf\{J\}$를 $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$로 나타내면 다음과 같다.

:$$$$
\mathbf{f} = \varepsilon_0\left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}\right)\mathbf{E} +
\frac{1}{\mu_0}\left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right) \times \mathbf{B} -
\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}


곱 규칙과 패러데이 유도 법칙을 사용하여 시간 미분 항을 포인팅 벡터로 표현하면,

:$$$$
\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) =
\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})


$\backslash mathbf\{f\}$는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$$\backslash mathbf\{f\}\; =$$
\varepsilon_0\left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}\right)\mathbf{E} +
\frac{1}{\mu_0}\left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right) \times \mathbf{B} -
\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right) -
\varepsilon_0\mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})


$\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$가 있는 항을 수집하면,

:$$$$
\mathbf{f} = \varepsilon_0\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\right] +
\frac{1}{\mu_0}\left[-\mathbf{B} \times \left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right)\right] -
\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right).


자기학에 대한 가우스 법칙에 의해 $\backslash left(\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{B\}\backslash right)\backslash mathbf\{B\}$를 삽입하면,

:$$$$
\mathbf{f} = \varepsilon_0\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\right] +
\frac{1}{\mu_0}\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B} \times \left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right)\right] -
\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right).


벡터 미적분학 항등식

:$$$$
\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}) =
\mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}


를 사용하여 식을 정리하면,

:$$$$
\mathbf{f} = \varepsilon_0\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}\right] +
\frac{1}{\mu_0}\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B})\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{B}\right] -
\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}\left(\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2\right) -
\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right).


맥스웰 변형력 텐서 $\backslash sigma\_\{ij\}$를 다음과 같이 정의하면,

:$$$$
\sigma_{ij} \equiv \varepsilon_0\left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij}E^2\right) +
\frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij}B^2\right)


최종적으로 $\backslash mathbf\{f\}$는 맥스웰 변형력 텐서의 발산으로 표현할 수 있다.

:$$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash mathbf\{f\}\; +\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mu\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{S\}\}\{\backslash partial\; t\}$$

여기서 포인팅 벡터 $\backslash mathbf\{S\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash times\backslash mathbf\{B\}$는 전자기장의 운동량 밀도를 나타낸다.

3.3. 운동량 보존 법칙과의 관계

맥스웰 변형력 텐서의 발산은 전자기장의 운동량 밀도의 시간 변화율과 전자기력 밀도의 합과 같다. 이는 전자기장과 전하, 전류 사이의 운동량 보존을 나타낸다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash mathbf\{f\}\; +\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mu\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{S\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash ,$

여기서 $\backslash mathbf\{S\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}$는 포인팅 벡터로, 전자기장의 에너지 흐름 밀도를 나타낸다. 위 식에서 우변의 두 번째 항은 전자기장 운동량 밀도의 시간 미분이고, 첫 번째 항은 질량 입자의 운동량 밀도의 시간 미분이다.

이 관계에서 $\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}$는 운동량 흐름 밀도이며, 포인팅 정리에서 $\backslash mathbf\{S\}$와 유사한 역할을 한다.

전자기장의 운동량 밀도는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash boldsymbol\{g\}\; =\; \backslash boldsymbol\{D\}\backslash times\backslash boldsymbol\{B\}$

4. 정자기장 및 정전기장에서의 맥스웰 변형력 텐서

정자기장 및 정전기장에서 맥스웰 변형력 텐서는 특수한 형태로 나타난다.

정자기장의 경우, 자기장만 존재하며(모터에서 흔히 볼 수 있음) SI 단위계에서 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash sigma\_\{ij\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; B\_i\; B\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash mu\_0\}\; B^2\; \backslash delta\_\{ij\}\; \backslash ,.$

원통형 물체(예: 모터 회전자)의 경우, 식은 더욱 단순화된다.

:$\backslash sigma\_\{rt\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; B\_r\; B\_t\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash mu\_0\}\; B^2\; \backslash delta\_\{rt\}\; \backslash ,.$

여기서 $r$은 반경 방향(원통 바깥쪽)의 전단력, $t$는 접선 방향(원통 둘레)의 전단력이다. 모터를 회전시키는 힘은 접선 방향의 힘이다. $B\_r$은 반경 방향의 자속 밀도, $B\_t$는 접선 방향의 자속 밀도이다.

정전기장의 경우, 정전기학에서 자기장의 효과는 없고, 자기장은 0이다($\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$). 이때 얻어지는 '정전기적 맥스웰 응력 텐서'는 성분 형태로 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_\{ij\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; E\_i\; E\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon\_0\; E^2\backslash delta\_\{ij\}$

기호 형태로는 다음과 같다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\backslash mathbf\{E\}\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{E\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon\_0(\backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\})\backslash mathbf\{I\}$

여기서 $\backslash mathbf\{I\}$는 항등 텐서(보통 $3\backslash times3$)이다.

4.1. 정자기장 (Magnetostatics)

자기장만 존재하는 경우(예를 들어 모터에서 대부분 그러하다)에는 일부 항이 사라지고, SI 단위계에서 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_\{ij\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; B\_i\; B\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash mu\_0\}\; B^2\; \backslash delta\_\{ij\}\; \backslash ,.$

원통형 물체(예: 모터의 회전자)의 경우, 이는 더욱 단순화되어 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_\{rt\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; B\_r\; B\_t\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash mu\_0\}\; B^2\; \backslash delta\_\{rt\}\; \backslash ,.$

여기서 $r$은 반경 방향(원통 밖으로)의 전단력이며, $t$는 접선 방향(원통 주위)의 전단력이다. 모터를 회전시키는 것은 접선 방향의 힘이다. $B\_r$은 반경 방향의 자속 밀도이고, $B\_t$는 접선 방향의 자속 밀도이다.

4.2. 정전기장 (Electrostatics)

정전기학에서 자기장의 효과는 나타나지 않는다. 이 경우 자기장은 사라지며, 즉 $\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$이고, 정전기적 맥스웰 응력 텐서를 얻는다. 이는 성분 형태로 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash sigma\_\{ij\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; E\_i\; E\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon\_0\; E^2\backslash delta\_\{ij\}$

그리고 기호 형태로 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\backslash mathbf\{E\}\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{E\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon\_0(\backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\})\backslash mathbf\{I\}$

여기서 $\backslash mathbf\{I\}$는 적절한 항등 텐서 $\backslash big($보통 $3\backslash times3\backslash big)$이다.

5. 물리적 의미 및 응용

로런츠 힘 밀도 $\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}$는 전하 밀도 $\backslash rho$와 전류 밀도 $\backslash mathbf\; J$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}=\backslash rho\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{E\}\}+\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{J\}\}\backslash times\; \backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{B\}\}$

이 식은 맥스웰 변형력 텐서 $T\; \_\{ij\}$를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$F\_i=\backslash sum\; \_j\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\_\{ij\}\}\{\backslash partial\; x\_j\}$

여기서 $T\; \_\{ij\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$T\; \_\{ij\}\; =\; \backslash varepsilon\; \_o\; E\_i\; E\_j\; +\; \backslash frac\{1\}B\_i\; B\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash delta\; \_\{ij\}\backslash left(\; \{\backslash varepsilon\; \_o\; E^2\; +\; \backslash frac\{1\}B^2\; \}\; \backslash right)$

맥스웰 변형력 텐서는 전자기장의 운동량과 관련된 물리량을 나타내는 데 사용된다. 텐서의 발산을 통해 전자기장의 운동량 밀도를 유도할 수 있으며, 텐서의 고유값과 고유벡터는 주응력과 그 방향을 나타낸다.

5.1. 힘과 압력

맥스웰 변형력 텐서의 요소 $ij$는 단위 면적당 단위 시간당 운동량의 단위를 가지며, $j$축에 수직인 표면을 가로지르는 $i$축에 평행한 운동량의 플럭스(단위 시간당, 음의 방향)를 나타낸다.

이러한 단위는 단위 면적당 힘(음의 압력)의 단위로도 볼 수 있으며, 텐서의 $ij$ 요소는 단위 면적당 $j$축에 수직인 표면에 작용하는 $i$축에 평행한 힘으로 해석할 수도 있다. 실제로, 대각선 요소는 해당 축에 수직인 미분 면적 요소에 작용하는 장력(당기는 힘)을 나타낸다. 이상 기체의 압력으로 인한 힘과 달리, 전자기장 내의 면적 요소는 요소에 수직이 아닌 방향으로도 힘을 느낀다. 이 전단력은 응력 텐서의 비대각선 요소에 의해 주어진다.

5.2. 전자기장의 운동량

로런츠 힘 밀도 $\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}$는 다음과 같다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}=\backslash rho\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{E\}\}+\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{J\}\}\backslash times\; \backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{B\}\}$

여기서 $\backslash rho$는 전하 밀도이고, $\backslash mathbf\; J$는 전류 밀도다. 이 식은

:$T\; \_\{ij\}\; =\; \backslash varepsilon\; \_o\; E\_i\; E\_j\; +\; \backslash frac\{1\}B\_i\; B\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash delta\; \_\{ij\}\backslash left(\; \{\backslash varepsilon\; \_o\; E^2\; +\; \backslash frac\{1\}B^2\; \}\; \backslash right)$

에 의해

:$F\_i=\backslash sum\; \_j\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\_\{ij\}\}\{\backslash partial\; x\_j\}$

이라고 쓸 수 있다. 이 $T\; \_\{ij\}$를 맥스웰 변형력 텐서라고 한다.

맥스웰 변형력 텐서의 발산을 구하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\nabla\cdot\mathrm{T}
&= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}
-\boldsymbol{D}\times(\nabla\times\boldsymbol{E})
+(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{H}
-\boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{H}) \\
&= \rho\boldsymbol{E}
+\boldsymbol{D}\times\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
-\boldsymbol{B}\times\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
-\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{j} \\
&= \frac{\partial(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})}{\partial t}
+\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B} \\
\end{align}

이것을 부피 V로 적분하면, 발산 정리를 사용하여

:$\backslash oint\_\{\backslash partial\; V\}d\backslash boldsymbol\{S\}\backslash cdot\backslash mathrm\{T\}$
=\frac{\partial}{\partial t}\int_V (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})dV
+\int_V (\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B})dV

이 된다. 좌변은 표면으로부터 유입되는 운동량을 의미한다. 우변 제2항은 분포 전하에 작용하는 로런츠 힘이며, 부피 내의 분포 전하의 운동량의 시간 변화를 의미한다.

따라서 우변 제1항은 전자기장의 운동량의 시간 변화로 해석되며,

:$\backslash boldsymbol\{g\}\; =\; \backslash boldsymbol\{D\}\backslash times\backslash boldsymbol\{B\}$

는 전자기장의 운동량 밀도를 나타낸다.

5.3. 고유값과 고유벡터

맥스웰 응력 텐서의 고유값은 주응력을 나타내고, 고유 벡터는 주응력의 방향을 나타낸다.

진공에서의 맥스웰 응력 텐서 T의 고유값 λ는 다음과 같다.

:$\backslash \{\; \backslash lambda\; \backslash \}\; =\; \backslash left\backslash \{\; -\; \backslash frac\{\; \backslash epsilon\_0\; E^2\; +\; B^2\; /\; \backslash mu\_0\; \}\{2\}\; ,~\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; \backslash epsilon\_0\; E^2\; -\; B^2\; /\; \backslash mu\_0\; \}\{2\}\; \backslash right)^2\; +\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash epsilon\_0\}\{\backslash mu\_0\}\; \backslash boldsymbol\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{B\}\; \backslash right)^2\}\; \backslash right\backslash \}$

이러한 고유값은 행렬식 보조정리를 셔먼-모리슨 공식과 함께 반복적으로 적용하여 얻는다.

전장 E(또는 자장 B)만 있는 경우, 고유값 λ와 고유 벡터 v는 다음과 같다.

:$\backslash \{\; \backslash lambda\; \backslash \}\; =\; \backslash left\backslash \{\; -\; \backslash frac\{\; \backslash epsilon\_0\; E^2\; \}\{2\}\; ,~\; -\backslash frac\{\; \backslash epsilon\_0\; E^2\; \}\{2\}\; ,~\; +\backslash frac\{\; \backslash epsilon\_0\; E^2\; \}\{2\}\; \backslash right\backslash \}$

:$\backslash \{\; \backslash boldsymbol\{v\}\; \backslash \}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash boldsymbol\{E\}\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{E\}\_y\; ,~\; -\backslash boldsymbol\{E\}\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{E\}\_z\; ,~\; \backslash boldsymbol\{E\}\; E\_x\; \backslash right\backslash \}$

5.4. 응용 분야

맥스웰 변형력 텐서는 로런츠 힘 밀도를 나타내는 식으로 정의된다. 로런츠 힘 밀도 $\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}$는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{F\}\}=\backslash rho\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{E\}\}+\backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{J\}\}\backslash times\; \backslash boldsymbol\{\backslash mathit\{B\}\}$

여기서 $\backslash rho$는 전하 밀도이고, $\backslash mathbf\; J$는 전류 밀도이다. 이 식은 맥스웰 변형력 텐서 $T\; \_\{ij\}$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$F\_i=\backslash sum\; \_j\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\_\{ij\}\}\{\backslash partial\; x\_j\}$

이때, 맥스웰 변형력 텐서 $T\; \_\{ij\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$T\; \_\{ij\}\; =\; \backslash varepsilon\; \_o\; E\_i\; E\_j\; +\; \backslash frac\{1\}B\_i\; B\_j\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash delta\; \_\{ij\}\backslash left(\; \{\backslash varepsilon\; \_o\; E^2\; +\; \backslash frac\{1\}B^2\; \}\; \backslash right)$