무어 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 거리화 가능성과의 관계
- 3.2. 집합론적인 조건
4. 역사
5. 한국의 연구 동향
참조

1. 개요

무어 공간은 특정 조건을 만족하는 정칙 하우스도르프 공간이다. 모든 거리화 가능 공간은 무어 공간이며, 무어 공간의 부분 공간과 단사 연속 열린 사상에 따른 상 역시 무어 공간이다. 무어 공간은 거리화 가능성과 관련하여 다양한 성질을 가지며, 특히 정규 무어 공간 추측은 모든 정규 무어 공간이 거리화 가능하다는 추측으로, 집합론적 조건에 따라 참 또는 거짓으로 판명된다. 로버트 리 무어가 처음 도입했으며, 정규 무어 공간 추측을 증명하려는 시도가 오랫동안 이루어졌다.

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무어 공간
개요
정의	위상 공간 X가 단 하나의 자명하지 않은 축소 호몰로지 군 $H_n(X) = G$를 가지고, 나머지 호몰로지 군이 자명군이라면, X를 타입 (G, n)의 무어 공간이라고 부른다.
기호	M(G, n)
설명	무어 공간은 주어진 호몰로지 군을 실현하는 가장 간단한 CW 복합체이다.
예시	M(Z, 1)은 원 $S^1$과 호모토피 동치이다.
성질
존재성	모든 아벨 군 G와 자연수 n에 대해 타입 (G, n)의 무어 공간이 존재한다.
유일성	무어 공간은 호모토피 유일성을 만족하지 않는다. 즉, 타입 (G, n)의 두 무어 공간이 항상 호모토피 동치인 것은 아니다.
함수 공간	함수 공간 map(M(G, n), Y)는 Y의 n차 포스트니코프 단계를 결정하는 데 사용될 수 있다.
응용
대수적 위상수학	무어 공간은 대수적 위상수학에서 다양한 구성의 빌딩 블록으로 사용된다.
호모토피 이론	무어 공간은 호모토피 이론에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

무어 공간은 다음 조건을 만족시키는 정칙 하우스도르프 공간이다.

다음 성질을 만족시키는, 가산 개의 X의 열린 덮개 (U_i)_i∈I들이 존재한다.
* 임의의 닫힌집합 C⊆X 및 점 p∈X\C에 대하여, {U∩C∈U_i:p∈U}={∅}인 i∈I가 존재한다.

3. 성질

모든 거리화 가능 공간은 무어 공간이다.^[1] 모든 거리화 가능 공간은 정규 공간이므로 모든 거리 공간은 무어 공간이다.

무어 공간의 모든 부분 공간은 무어 공간이다. 이는 정규 공간과는 다른 점이다.

단사이고 연속적인 열린 사상에 따른 무어 공간의 상은 항상 무어 공간이다.

쇠르겐프레이 선과 쇠르겐프레이 평면은 모두 정규 공간이지만 제2 가산이 아니므로 무어 공간이 아니다.

무어 평면(니에미츠키 공간)은 비거리화 가능한 무어 공간의 예이다.

3. 1. 거리화 가능성과의 관계

모든 거리화 가능 공간은 무어 공간이다. 이 경우, 덮개족은

\{B_{1/n}(x)\colon x\in X\}_{n\in\mathbb Z^+}\}

이다. 여기서

B_r(x)

는 (주어진 거리 함수에 대한) 반지름이

r

인 열린 공이다.

Traylor’s theorem^영어에 따르면, 메타콤팩트 분해 가능 공간

X

가 무어 공간이면 거리화 가능하다.^[1]

Reed–Zenor theorem^영어에 따르면, 국소 콤팩트 국소 연결 정규 공간

X

가 무어 공간이면 거리화 가능하다.^[1]

Jones’ theorem^영어에 따르면, 만약

2^{\aleph_0}<2^{\aleph_1}

이라면, 분해 가능 정규 공간

X

가 무어 공간이면 거리화 가능하다.^[1]

3. 2. 집합론적인 조건

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 정규 무어 공간 추측은 모든 정규 무어 공간이 거리화 가능 공간이라는 추측이다.^[2]

마틴 공리를 가정하면 정규 무어 공간 추측은 거짓이 된다.^[2]

구성 가능성 공리를 가정하면, 모든 국소 콤팩트 정규 무어 공간은 거리화 가능 공간이다.^[2]

만약 정규 무어 공간 추측이 참이라면, 특정 큰 기수의 존재를 증명할 수 있다.^[2]

오랫동안 위상수학자들은 모든 정상 무어 공간은 거리화 가능 공간이라는 정규 무어 공간 추측을 증명하려고 시도했다. 이는 거리화 가능하지 않은 것으로 알려진 모든 무어 공간이 또한 정상이 아니라는 사실에서 영감을 받았다. 처음에는 몇 가지 훌륭한 부분 결과가 있었으며, Traylor의 정리에서 메타콤팩트성을 제거할 수 있음을 알 수 있다. Fleissner의 정리는 구성 가능성의 공리는 국소 콤팩트하고 정상인 무어 공간이 거리화 가능함을 의미한다.^[2]

반면에, 연속체 가설(CH)과 CH가 아닌 Martin의 공리 하에서는 거리화 가능하지 않은 정상 무어 공간의 몇 가지 예가 있다. Nyikos는 소위 PMEA(Product Measure Extension Axiom) 하에서, 이는 거대한 기수 공리가 필요한데, 모든 정상 무어 공간은 거리화 가능하다고 증명했다. 마지막으로, 이 추측이 성립하는 ZFC의 모든 모형은 거대한 기수를 가진 모형의 존재를 함축한다는 것이 나중에 밝혀졌다. 따라서 거대한 기수는 본질적으로 필요하다.

Jones/Jones^영어는 거리화 가능하지 않은 유사 정규 공간 무어 공간의 예를 제시했으므로, 이 방식으로 추측을 강화할 수는 없다.^[2] 무어는 모음별 정규 공간 무어 공간이 거리화 가능함을 증명했는데, 이는 정규성을 강화하는 것이 문제를 해결하는 또 다른 방법이다.

4. 역사

로버트 리 무어가 무어 공간을 도입하였다.^[3] 무어 공간의 조건은 (정칙 하우스도르프 공간의 조건을 제외하면) 무어의 책의 “공리 1”(Axiom 1^영어)에 해당한다.^[3]^[4]

오랫동안 위상수학자들은 모든 정상 무어 공간은 거리화 가능 공간이라는 소위 정상 무어 공간 추측을 증명하려고 시도했다. 이는 거리화 가능하지 않은 것으로 알려진 모든 무어 공간이 또한 정상이 아니라는 사실에서 영감을 받았다. 초기에는 몇 가지 부분적인 결과가 있었다.

Traylor의 정리에서 메타콤팩트성을 제거할 수 있음을 알 수 있다. Fleissner의 정리로, 구성 가능성의 공리는 국소 콤팩트하고 정상인 무어 공간이 거리화 가능함을 의미한다.

반면에, 연속체 가설(CH)과 CH가 아닌 Martin의 공리 하에서는 거리화 가능하지 않은 정상 무어 공간의 몇 가지 예가 있다. Nyikos는 소위 PMEA(Product Measure Extension Axiom) 하에서, 이는 거대한 기수 공리가 필요한데, 모든 정상 무어 공간은 거리화 가능하다고 증명했다. 이 추측이 성립하는 ZFC의 모든 모형은 거대한 기수를 가진 모형의 존재를 함축한다는 것이 나중에 밝혀졌다. 따라서 거대한 기수는 본질적으로 필요하다.

는 거리화 가능하지 않은 유사 정규 공간 무어 공간의 예를 제시했으므로, 이 방식으로 추측을 강화할 수는 없다. 무어는 모음별 정규 공간 무어 공간이 거리화 가능함을 증명했는데, 이는 정규성을 강화하는 것이 문제를 해결하는 또 다른 방법이다.

5. 한국의 연구 동향

참조

_[1] 논문 Concerning normal and completely normal spaces 1937
_[2] 논문 Normal Moore spaces in the constructible universe 1974
_[3] 논문 Foundations of point set theory https://babel.hathit[...] New York, American mathematical society 1932
_[4] 서적 Handbook of the History of General Topology Kluwer Academic Publishers 2001

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