분해 가능 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 분해 가능 공간
- 4.2. 분해 가능하지 않은 공간
5. 구성적 수학
6. 역사
참조

1. 개요

분해 가능 공간은 위상 공간의 일종으로, 가산 조밀 집합을 갖는 공간을 의미한다. 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이며, 거리화 가능 공간에서는 콤팩트 공간, 제2 가산 공간, 린델뢰프 공간과 서로 동치 관계를 갖는다. 분해 가능 공간의 부분 공간, 연속적 상, 열린 집합 등은 분해 가능성을 보존하며, 힐베르트 공간, 유클리드 공간, L² 공간 등이 분해 가능 공간의 예시이다. 반면, 비가산 기수의 이산 공간, 상한 노름을 갖는 유계 실수열의 바나흐 공간 등은 분해 가능하지 않다. 분해 가능성은 수치 해석 및 구성적 수학에서 중요한 개념으로 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다.
위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.

분해 가능 공간
일반 정보
정의	위상 공간이 가산 밀집 부분 집합을 가지는 경우, 그 위상 공간을 가분 공간이라고 한다.
다른 이름	분해 가능 공간
영어 이름	Separable space
성질
거리화 가능 공간	거리화 가능 공간은 기저가 제2 가산이면 가분 공간이다.
유클리드 공간	유클리드 공간은 가분 공간이다.
연속 함수	가분 공간의 연속 함수에 의한 상은 가분 공간이다.
곱공간	가분 공간들의 가산 개의 곱공간은 가분 공간이다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 '''밀도'''(密度, density^영어) $d(X)$ 는 $X$ 속의 조밀 집합의 최소 크기인 기수이다. (기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 $\aleph_0$ 이하인 위상 공간을 '''분해 가능 공간'''이라고 한다.^[3] 즉, 분해 가능 공간은 가산 조밀 집합을 갖는 공간이다. 위상 공간 자체가 유한 또는 가산 무한 집합인 경우, 전체 집합 자체가 가산 조밀 집합이 되므로 모두 분해 가능하다. 비가산적인 분해 가능 공간의 중요한 예로 실수 직선을 들 수 있다(이 경우, 유리수 전체 집합이 가산 조밀 부분 집합을 이룬다). 마찬가지로, '''R'''^''n''의 모든 성분이 유리수인 벡터 (''r''₁, …, ''r''_''n'') 전체 집합은 '''R'''^''n''의 가산 조밀 부분 집합이 되므로, 임의의 ''n''에 대한 ''n''차원 유클리드 공간은 분해 가능하다.

분해 가능하지 않은 공간의 단순한 예는 비가산 농도를 갖는 이산 공간이다.

3. 성질

제2 가산 공간은 가분 공간이다. $\{U_n\}$ 이 가산 기저이면, 비어 있지 않은 $U_n$ 에서 $x_n \in U_n$ 을 선택하면 가산 조밀 부분 집합을 얻을 수 있다. 반대로, 거리화 가능 공간은 가분 공간일 필요충분조건이 제2 가산 공간인 것이고, 이는 린델뢰프 공간일 필요충분조건이다.^[3]

이 두 가지 속성을 더 비교해 보면 다음과 같다.

분해 가능 공간과 제2 가산 공간의 비교
분해 가능 공간	제2 가산 공간
부분 공간은 가분 공간이 아닐 수도 있다. (조르겐프라이 평면과 무어 평면 참조)	임의의 부분 공간은 제2 가산 공간이다.
임의의 연속적인 상은 가분 공간이다.^[3]	몫 위상조차도 제2 가산 공간일 필요는 없다.
최대 연속체( $\mathfrak{c}$ ) 많은 가분 공간의 곱 위상은 가분 공간이다.^[3]	가산 곱은 제2 가산 공간이지만, 비가산 곱은 제1 가산 공간조차 아닐 수 있다.

제2 가산 공간이 아닌 가분 위상 공간의 예를 구성할 수 있다. 임의의 비가산 집합 $X$ 를 고려하고, $x_0 \in X$ 를 선택한 다음, 위상을 $x_0$ 을 포함하는 모든 집합(또는 빈 집합)의 모음으로 정의한다. 그러면, $\{x_0\}$ 의 폐포는 전체 공간( $X$ 는 $x_0$ 을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합)이지만, $\{x_0, x\}$ 형태의 모든 집합은 열려 있다. 따라서, 이 공간은 가분 공간이지만 가산 기저를 가질 수 없다.

가분 공간의 모든 "열린" 부분 공간은 가분 공간이다.^[4] 또한 가분 거리 공간의 모든 부분 공간은 가분 공간이다.

모든 위상 공간은 동일한 기수를 가진 가분 공간의 부분 공간이다. 공간이 하우스도르프 공간인 경우, 삽입되는 공간도 하우스도르프 공간이다.

가분 공간에서 모든 실수 값 연속 함수 집합은 연속체의 기수 $\mathfrak{c}$ 와 같다. 이는 이러한 함수가 조밀한 부분 집합의 값에 의해 결정되기 때문이다.

만약 ''X''가 비가산 닫힌 이산 부분 공간을 갖는 가분 공간이라면, ''X''는 정규 공간일 수 없다. 이는 조르겐프라이 평면이 정규 공간이 아님을 보여준다.

콤팩트 공간 하우스도르프 공간 ''X''에 대해 다음은 서로 동치이다.^[3]

X는 제2 가산 공간이다.
X 위의 실수 값 연속 함수 공간 ( $\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$ )은 상한 노름에 관해 가분적이다.
X는 거리화 가능하다.

3. 1. 제2 가산성과의 관계

모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.^[3]

제1 가산 공간인 위상군에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[3]

분해 가능 공간이다.
제2 가산 공간이다.

거리화 가능성을 가정한다면, 다음이 성립한다.

:콤팩트 공간

\subsetneq

제2 가산 공간 = 분해 가능 공간 = 린델뢰프 공간^[3]

제2 가산 공간은 가분 공간이다.

\{U_n\}

이 가산 기저이면, 비어 있지 않은

U_n

에서

x_n \in U_n

을 선택하면 가산 조밀 부분 집합을 얻을 수 있다. 반대로, 거리화 가능 공간은 가분 공간일 필요충분조건이 제2 가산 공간인 것이고, 이는 린델뢰프 공간일 필요충분조건이다.

이 두 가지 속성을 더 비교해 보면 다음과 같다.

제2 가산 공간의 임의의 부분 공간은 제2 가산 공간이다. 가분 공간의 부분 공간은 가분 공간이 아닐 수도 있다.
가분 공간의 임의의 연속적인 상은 가분 공간이다. 제2 가산 공간의 몫 위상조차도 제2 가산 공간일 필요는 없다.
최대 연속체 많은 가분 공간의 곱 위상은 가분 공간이다. 제2 가산 공간의 가산 곱은 제2 가산 공간이지만, 제2 가산 공간의 비가산 곱은 제1 가산 공간조차 아닐 수 있다.

제2 가산 공간이 아닌 가분 위상 공간의 예를 구성할 수 있다. 임의의 비가산 집합

X

를 고려하고,

x_0 \in X

를 선택한 다음, 위상을

x_0

을 포함하는 모든 집합(또는 빈 집합)의 모음으로 정의한다. 그러면,

\{x_0\}

의 폐포는 전체 공간(

X

는

x_0

을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합)이지만,

\{x_0, x\}

형태의 모든 집합은 열려 있다. 따라서, 이 공간은 가분 공간이지만 가산 기저를 가질 수 없다.

(반복되는 내용은 삭제)

3. 2. 분해 가능성을 보존하는 연산

두 위상 공간

X

,

Y

사이의 연속 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.^[3]

위상 공간

X

의 열린집합

U\subseteq X

에 대하여, 분해 가능 공간의 열린집합은 분해 가능 공간이다.^[4]

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리에 따르면,

2^{\aleph_0}

개 이하의 분해 가능 공간들의 곱공간은 분해 가능 공간이다.^[3]^[4]

3. 3. 크기 관련 성질

제1 가산 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는

2^{\aleph_0}

이하이다.^[3] 분해 가능 공간 속의 서로소 열린집합들로 구성된 집합족은 항상 가산 집합이다.^[3] 분해 가능 공간

X

가 주어졌을 때,

X

위의 실수 값 연속 함수의 집합의 크기는

2^{\aleph_0}

이하인데, 이는 실수 값 연속 함수는 이를 조밀 집합에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다.

3. 4. 힐베르트 공간

(실수 또는 복소수) 힐베르트 공간

\mathcal H

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\mathcal H$ 의 힐베르트 차원이 $\aleph_0$ 이하이다. (힐베르트 차원은 벡터 공간의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
$\mathcal H$ 는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 유클리드 공간

\mathbb R^n

및 L² 공간

L^2(\mathbb R)

는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우

\mathbb Q^n\subsetneq\mathbb R^n

은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

힐베르트 공간이 가분 공간이기 위한 필요충분조건은 그것이 가산 정규 직교 기저를 갖는 것이다. 따라서 임의의 가분 무한 차원 힐베르트 공간이 ℓ²에 등거리임을 알 수 있다.

4. 예시

유한 또는 가산 무한 집합인 위상 공간은 가산 조밀 집합을 가지므로 분해 가능 공간이다.
이산 공간의 조밀 집합은 전체 집합뿐이므로, 이산 공간 $X$ 의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.
비이산 공간에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이므로, 모든 비이산 공간은 분해 가능 공간이다.
제2 가산 공간은 가분 공간이다. $\{U_n\}$ 이 가산 기저이면, 비어 있지 않은 $U_n$ 에서 $x_n \in U_n$ 을 선택하면 가산 조밀 부분 집합을 얻을 수 있다. 거리화 가능 공간에서 가분 공간, 제2 가산 공간, 린델뢰프 공간은 모두 동치이다.
제2 가산 공간이 아닌 가분 위상 공간의 예: 비가산 집합 $X$ 에서 $x_0 \in X$ 를 선택하고, 위상을 $x_0$ 을 포함하는 모든 집합(또는 빈 집합)으로 정의한다. $\{x_0\}$ 의 폐포는 전체 공간이지만, $\{x_0, x\}$ 형태의 모든 집합은 열려 있다. 따라서 이 공간은 가분 공간이지만 가산 기저를 가질 수 없다.
가산 개의 분리 가능 부분 공간의 합집합은 분리 가능하다.
콤팩트 부분 집합 $K\subseteq\mathbb{R}$ 에서 실수선 $\mathbb{R}$ 으로 가는 모든 연속 함수 공간 $C(K)$ 는 분리 가능하다.
분리 가능한 σ-대수는 주어진 유한 측도 $\mu$ 에 대해 $A,B \in \mathcal{F}$ 에 대해 거리 $\rho(A,B) = \mu(A \triangle B)$ 로 고려될 때 분리 가능한 공간인 σ-대수 $\mathcal{F}$ 이다 (여기서 $\triangle$ 는 대칭 차이 연산자이다).^[2]
가분 공간 위의 실수 값 연속 함수 전체 집합의 농도는 연속체 농도 ''c'' 이하이다. 이는 그러한 연속 함수가 조밀한 부분 집합의 값으로 결정되기 때문이다.

4. 1. 분해 가능 공간

유한 또는 가산 무한 집합인 위상 공간은 분해 가능 공간이다. 전체 집합이 그 자체로 가산 조밀 집합이 되기 때문이다.

비가산 분해 가능 공간의 예시는 다음과 같다.

실수선 : 유리수 집합이 가산 조밀 부분 집합이다.
$n$ 차원 유클리드 공간 : 유리수 좌표를 갖는 점들의 집합이 가산 조밀 부분 집합이다.
콤팩트 거리 공간.
시그마 대수가 가산적으로 생성되고 측도가 시그마 유한인 측도 공간에 대한 르베그 공간 $L^{p}\left(X,\mu\right)$ ( $1\leq p<\infty$ ).^[1]
균등 수렴의 거리를 가진 단위 구간에 대한 연속 함수의 공간 $C([0,1])$ (슈토네-바이어슈트라스 정리).
가산 정규 직교 기저를 갖는 힐베르트 공간.
소겐프레이 선.

4. 2. 분해 가능하지 않은 공간

비가산 기수의 이산 공간은 분해 가능하지 않다.
가산 불가능 순서수 $\omega_1$ 에 순서 위상을 부여한 공간은 분해 가능하지 않다.
상한 노름을 갖는 모든 유계 실수열의 바나흐 공간 $\ell^\infty$ 는 분해 가능하지 않다.
유계 변동 함수의 바나흐 공간은 분해 가능하지 않다.

5. 구성적 수학

분해 가능성은 특히 수치 해석 및 구성적 수학에서 중요한데, 분해 불가능 공간에 대해 증명될 수 있는 많은 정리가 분해 가능 공간에 대해서만 구성적 증명을 갖기 때문이다. 이러한 구성적 증명은 수치 해석에 사용하기 위한 알고리즘으로 바뀔 수 있으며, 구성적 해석에서 허용되는 유일한 종류의 증명이다. 이러한 종류의 정리의 유명한 예시는 한-바나흐 정리이다.^[1]

6. 역사

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리는 랠프 필립 보애스 주니어(Ralph Philip Boas Jr.^영어|1912~1992)^[7], 에드윈 휴잇(Edwin Hewitt^영어|1920~1999)^[8], 에드바르트 마르체프스키(Edward Marczewski^pl|1907~1976, $\kappa=\aleph_0$ )^[9]가 독자적으로 증명하였다. E. S. 폰디체리는 보애스가 이 논문에서 사용한 필명이며, 인도의 지명 퐁디셰리에서 유래한다.

참조

_[1] 서적 Measure Theory https://link.springe[...] Springer Science+Business Media 2013
_[2] 논문 Properties of the class of measure separable compact spaces https://archive.uea.[...]
_[3] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[4] 서적 General Topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1970
_[5] 서적 General topology Heldermann Verlag 1989
_[6] 서적 General topology University of Toronto Press 1952
_[7] 저널 Power problems in abstract spaces 1944
_[8] 저널 A remark on density characters 1946
_[9] 저널 Separabilité et multiplication cartesienne des espaces topologiques 1947

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com