하우스도르프 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
- 2.2. US 공간, KC 공간, 약한 하우스도르프 공간
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 하우스도르프 공간의 예
- 4.2. 하우스도르프 공간이 아닌 예
5. 역사
6. 관련 사항
참조

1. 개요

하우스도르프 공간은 위상 공간의 한 종류로, 서로 다른 두 점이 서로소 열린 근방으로 분리될 수 있는 공간을 의미한다. 이는 위상 공간의 분리 공리 중 하나이며, 하우스도르프 공간에서는 그물 또는 필터의 극한이 유일하다는 특징을 갖는다. 하우스도르프 공간은 부분 공간과 곱에 대해 닫혀 있지만, 몫 공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다. 해석학에서 다루는 대부분의 공간, 특히 실수와 거리 공간은 하우스도르프 공간이며, 위상군과 위상 다양체 역시 하우스도르프 조건을 명시적으로 포함하는 경우가 많다. 반면, 공유한 위상이나 자리스키 위상과 같은 공간은 하우스도르프 공간이 아닌 예시로 제시된다.

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하우스도르프 공간
일반 정보
유형	위상 공간
정의
정의	임의의 두 점 x와 y가 주어졌을 때, 각각을 포함하는 서로소인 열린 집합 U와 V가 존재한다면, 위상 공간 X는 하우스도르프 공간이라고 한다.
성질
유일성	하우스도르프 공간에서, 수렴하는 모든 그물은 유일한 극한을 가진다.
대각선	공간 X가 하우스도르프 공간인 것과 곱공간 X × X에서 대각선 Δ = { (x, x) \| x in X }이 닫힌 집합인 것은 동치이다.
폐포	하우스도르프 공간의 부분집합의 폐포는 그 부분집합의 모든 극한점을 포함한다.
몫공간	하우스도르프 공간의 몫공간은 항상 하우스도르프 공간일 필요는 없다.
콤팩트 부분집합	하우스도르프 공간의 콤팩트 부분집합은 닫힌 집합이다.
관련 공간
T1 공간	하우스도르프 공간은 T1 공간이다.
정칙 공간	모든 하우스도르프 공간은 전정칙 공간이다.
거리화 가능 공간	모든 거리화 가능 공간은 하우스도르프 공간이다.
참고
명명	이름은 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다.

2. 정의

하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점 $x,y$ 를 서로소 열린 근방 $U,V$ 로 구분할 수 있다.

위상 공간

X

에서 서로 다른 두 점

x, y

가 주어졌을 때,

x

를 포함하는 열린 근방

U

와

y

를 포함하는 열린 근방

V

가 서로 만나지 않도록 (

U \cap V = \varnothing

) 할 수 있다면,

X

를 '''하우스도르프 공간'''이라고 한다.

간단히 말해, 평면 위에 임의의 두 점을 찍었을 때, 각 점을 중심으로 서로 겹치지 않는 원을 그릴 수 있는 것과 비슷하다.

하우스도르프 공간은 분리 공리 중 세 번째 조건을 만족하기 때문에 T₂ 공간 또는 분리 공간이라고도 불린다.

이와 관련된 개념으로 전정규 공간이 있는데, 이는 위상적으로 구별되는 두 점을 서로소 근방으로 분리할 수 있는 공간을 말하며, R₁ 공간이라고도 한다. 하우스도르프 공간은 콜모고로프 공간(서로 다른 점들이 위상적으로 구별되는 공간)이면서 전정규 공간인 경우이다.

2. 1. 동치 조건

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 '''하우스도르프 공간'''이라고 한다.

임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, $x\ne y$ 라면 $x\in U$ , $y\in V$ 인 서로소 열린 근방 $U,V\subseteq X$ 가 존재한다.^[12]
그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물 $x_\alpha$ 및 점 $y_1,y_2\in X$ 에 대하여, 만약 $x_\alpha\to y_1$ 이며 $x_\alpha\to y_2$ 라면 $y_1=y_2$ 이다.^[13]
필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터 $\mathcal F$ 및 점 $y_1,y_2\in X$ 에 대하여, 만약 $\mathcal F\ne\mathcal P(X)$ 이며, $\mathcal F\to y_1$ 이며, $\mathcal F\to y_2$ 라면 $y_1=y_2$ 이다.^[13]
임의의 $x\in X$ 에 대하여, $x$ 의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 $\{x\}$ 이다.
곱공간 $X\times X$ 의 대각 부분 집합 $\Delta(X)=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X$ 은 닫힌집합이다.

2. 2. US 공간, KC 공간, 약한 하우스도르프 공간

균등 공간, 코시 공간, 수렴 공간과 같은 위상 공간의 변형에도 "하우스도르프", "분리", "준정규"라는 용어를 적용할 수 있다. 이러한 예시들에서 공통적인 특징은 망과 필터의 극한이 (존재한다면) 유일하거나, (준정규 공간의 경우) 위상적으로 구별 불가능할 때까지 유일하다는 것이다.^[1]

균등 공간, 더 일반적으로 코시 공간은 항상 준정규이므로, 이러한 경우 하우스도르프 조건은 T₀ 조건으로 축소된다. 이 공간들에서는 완비성이 의미를 가지며, 하우스도르프성은 완비성의 자연스러운 동반 조건이다. 즉, 모든 코시 망이 '최소한' 하나의 극한을 가지면 공간이 완비되고, 모든 코시 망이 '최대' 하나의 극한을 가지면 공간이 하우스도르프이다. (코시 망만이 극한을 가질 수 있기 때문이다.)^[1]

3. 성질

위상 공간 '' $X$ ''의 서로 다른 두 점이 서로소인 근방으로 분리될 수 있다면, 이 공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간은 T₂ 공간 또는 분리 공간이라고도 불린다.

위상 공간 '' $X$ ''에 대해 다음 성질들은 서로 동치이다.

'' $X$ ''는 하우스도르프 공간이다.
'' $X$ ''에서 넷의 극한은 유일하다.
'' $X$ ''의 필터의 극한은 유일하다.
모든 단일 집합 $\{ x \} \subset X$ 는 '' $x$ ''의 모든 닫힌 근방의 교집합과 같다.^[4]
대각선 '' $\Delta = \{ (x, x) \mid x \in X \}$ ''는 곱 공간 '' $X \times X$ ''의 닫힌 부분 집합이다.

하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱은 하우스도르프 공간이지만, 하우스도르프 공간의 몫 공간은 하우스도르프 공간일 필요는 없다.^[8]

하우스도르프 공간은 T₁이며, 이는 각 단일 집합이 닫힌 집합임을 의미한다. 모든 하우스도르프 공간은 Sober 공간이지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

하우스도르프 공간에서는 각 콤팩트 집합이 닫힌 집합이다. 또한, 분리된 모든 콤팩트 집합의 쌍은 서로소인 근방으로 분리될 수 있다.^[9]

콤팩트 조건은 전정규성과 함께 더 강력한 분리 공리를 의미하는 경우가 많다. 예를 들어, 모든 국소 콤팩트 전정규 공간은 완전 정규이다.^[10] 콤팩트 전정규 공간은 정규이다. 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프이고, 모든 콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 하우스도르프 공간이다.

하우스도르프 공간과 관련된 함수에 대한 몇 가지 기술적 속성은 다음과 같다.

'' $f\colon X \to Y$ ''를 연속 함수, $Y$ 를 하우스도르프 공간이라고 할 때, '' $f$ ''의 그래프는 '' $X \times Y$ ''의 닫힌 부분 집합이다.
'' $f\colon X \to Y$ ''를 함수, $\ker(f)$ 를 '' $X \times X$ ''의 부분 공간으로 간주되는 그 함수의 핵이라고 할 때:
'' $f$ ''가 연속이고 '' $Y$ ''가 하우스도르프 공간이면 '' $\ker(f)$ ''는 닫힌 집합이다.
'' $f$ ''가 열린 전사이고 '' $\ker(f)$ ''가 닫힌 집합이면 '' $Y$ ''는 하우스도르프 공간이다.
'' $f$ ''가 연속적이고 열린 전사 (즉, 열린 몫 사상)이면, '' $Y$ ''는 '' $\ker(f)$ ''가 닫힌 집합일 때 하우스도르프 공간이다.
'' $f, g \colon X \to Y$ ''가 연속 사상이고 '' $Y$ ''가 하우스도르프 공간이면 등화자 $\mbox{eq}(f,g) = \{x \mid f(x) = g(x)\}$ 는 '' $X$ ''의 닫힌 집합이다. 따라서 '' $f$ ''와 '' $g$ ''가 '' $X$ ''의 조밀한 부분 집합에서 일치하면 '' $f = g$ ''가 된다.
'' $f\colon X \to Y$ ''를 '' $f^{-1} (y)$ ''가 모든 '' $y \in Y$ ''에 대해 콤팩트인 닫힌 전사라고 할 때, '' $X$ ''가 하우스도르프 공간이면 '' $Y$ ''도 하우스도르프 공간이다.
'' $X$ ''가 콤팩트 하우스도르프 공간, '' $f\colon X \to Y$ ''를 몫 사상이라고 할 때, 다음은 동등하다.
'' $Y$ ''는 하우스도르프 공간이다.
'' $f$ ''는 닫힌 사상이다.
'' $\ker(f)$ ''는 닫힌 집합이다.

3. 1. 포함 관계

우리손 공간(T_2½) ⊊ 하우스도르프 공간(T₂) ⊊^[14] US 공간 ⊊^[14] KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T₁ 공간

:하우스도르프 공간(T₂) ⊊ T₁ 공간 ∩ 차분한 공간

제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[14]

US 공간이다.
KC 공간이다.
하우스도르프 공간이다.

3. 2. 연산에 대한 닫힘

하우스도르프 공간의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.^[8] 모든 위상 공간은 어떤 하우스도르프 공간의 몫으로 실현될 수 있다.

3. 3. 약한 하우스도르프 공간의 추가 성질

약한 하우스도르프 공간

X

와 콤팩트 하우스도르프 공간

K

에 대해, 임의의 연속 함수

f\colon K\to X

의 상

f(K)\subseteq X

는 콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[8] 따라서, 부분 공간

A\subseteq X

가 k-닫힌집합일 필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분 공간

C\subseteq X

에 대하여

A\cap C

가 닫힌집합인 것이다.

3. 4. 전사 사상

하우스도르프 공간 사이의 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다.^[15]

3. 5. 정칙 단사 사상

하우스도르프 공간의 범주에서, 정칙 단사 사상은 닫힌 매장이다.^[8]

하우스도르프 공간 사이의 정칙 단사 사상

f\colon X\to Y

이 주어졌고,

f

가

g,h\colon Y\to Z

의 동등자라고 가정하자. 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

X=\{y\in Y\colon g(y)=h(y)\}

이 경우,

f

는 매장이며, 하우스도르프 조건에 따라

X

는

Y

의 닫힌집합이다. 즉,

f

는 닫힌 매장이다.^[8]

반대로, 하우스도르프 공간 사이의 닫힌 매장

f\colon X\to Y

이 주어졌다고 가정하고,

f

가 닫힌집합

X\subseteq Y

의 포함 함수라고 하자.

f=\operatorname{eq}\{g,h\}

인 하우스도르프 공간

Z

및 두 연속 함수

g,h\colon Y\to Z

를 찾으면 충분하다.

Z

가 다음과 같은 붙임 공간이라고 하자.

:

Z=Y\cup_fY

이 경우,

Z

가 하우스도르프 공간임을 보일 수 있다. 자연스러운 두 연속 함수

:

g,h\colon Y\to Z

를 정의하였을 때,

:

X=\{y\in Y\colon g(x)=h(x)\}

이다. 즉,

f

는

g,h

의 동등자이다.^[8]

4. 예시

해석학에서 마주치는 거의 모든 공간은 하우스도르프 공간이며, 특히 실수 (실수에 대한 표준 거리 위상)는 하우스도르프 공간이다. 더 일반적으로, 모든 거리 공간은 하우스도르프 공간이다. 실제로, 위상군과 위상 다양체와 같이 해석학에서 사용되는 많은 공간은 정의에서 하우스도르프 조건을 명시적으로 언급하고 있다.

유사 거리 공간은 일반적으로 하우스도르프 공간이 아니지만, 전정규 공간이며, 해석학에서 사용되는 경우는 주로 하우스도르프 게이지 공간을 구성할 때이다. 실제로, 분석가가 비 하우스도르프 공간을 접하는 경우, 적어도 전정규 공간인 경우가 많으며, 이때 단순히 콜모고로프 몫 공간으로 대체하며, 이 공간은 하우스도르프 공간이다.^[5]

반대로, 비 전정규 공간은 추상 대수학과 대수 기하학에서 대수적 다양체 또는 환의 스펙트럼에 대한 자리스키 위상과 같이 더 자주 접하게 된다. 또한 직관 논리의 모형 이론에서도 발생한다. 모든 완비 헤이팅 대수는 어떤 위상 공간의 열린 집합의 대수이지만, 이 공간은 전정규 공간일 필요가 없으며, 하우스도르프 공간일 필요는 더욱 없으며, 실제로 대개 둘 다 아니다. 스코트 영역과 관련된 개념 또한 비 전정규 공간으로 구성된다.

4. 1. 하우스도르프 공간의 예

실수, 복소수, 유클리드 공간, 거리 공간, 위상 다양체 등 해석학에서 자주 등장하는 공간들은 하우스도르프 공간이다. 노름 공간이나 그 위에 약위상을 생각한 공간, 이산 위상 공간도 하우스도르프 공간이다.

반면, 대수학에서 자리스키 위상을 생각한 대수 다양체나, 가환환의 스펙트럼 등의 위상 공간은 종종 하우스도르프 공간이 아니다.^[5]

4. 2. 하우스도르프 공간이 아닌 예

양의 정수 집합

\mathbb Z^+

에 다음과 같은 기저를 부여할 수 있다.

:

\left\{(a+\mathbb Zb)\cap\mathbb Z^+\colon\gcd(a,b)=1\right\}

이는 양의 정수의 '''서로소 위상'''(relatively prime topology^영어)이라고 불리며, 우리손 공간은 아니지만 하우스도르프 공간이다.^[16]

하우스도르프 공간에서는 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는다. 그러나 그물/필터를 점렬로 약화시키면, 모든 점렬이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 경우가 존재한다.^[17]

실수선

\mathbb R

에 새로운 점

\bullet

을 추가하고 다음과 같은 위상을 정의할 수 있다.

$\mathbb R$ 의 위상에서 열린집합 $U$ 는 $\mathbb R\sqcup\{\bullet\}$ 에서도 열린집합이다.
$S\subset\mathbb R$ 가 유한 집합이라면, $(\mathbb R\setminus S)\sqcup\{\bullet\}$ 은 열린집합이다.

이 경우

\mathbb R\sqcup\{\bullet\}

은 T₁ 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간은 아니다.

비가산 집합에 모든 가산 집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 부여하면, 이는 KC 공간이지만 (콤팩트 집합은 유한 집합과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 차분한 공간도 아니다.

무한 집합에 정의된 공유한 위상과 비가산 집합에 정의된 가산 공위상은 T₁이지만 하우스도르프 공간이 아닌 위상의 간단한 예시이다.

수렴하는 망과 필터에 대한 극한의 유일성은 공간이 하우스도르프 공간임을 의미하지만, 모든 수렴하는 수열이 유일한 극한을 갖는 비 하우스도르프 T₁ 공간이 존재한다.^[6]

대수학에서 자리스키 위상을 사용하는 대수 다양체나 가환환의 스펙트럼 등의 위상 공간은 종종 하우스도르프 공간이 아니다.

5. 역사

펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 하우스도르프 조건을 포함했다.^[18] 하우스도르프의 정의는 다음과 같다.

'''근방 공리계''':

:🄐 각 점 $x$ 는 적어도 하나 이상의 근방 $U_x$ 를 갖는다. 임의의 근방 $U_x$ 는 점 $x$ 를 포함한다.

:🄑 $U_x$ , $V_x$ 가 같은 점 $x$ 의 근방일 때, 둘의 공통적 부분 집합인 근방 $W_x$ 가 존재한다 ( $W_x\subseteq U_x\cap V_x$ ).

:🄒 $U_x$ 속의 임의의 점 $y$ 에 대하여, $U_x$ 의 부분 집합인 근방 $U_y$ 가 존재한다 ( $U_y\subseteq U_x$ ).

:🄓 서로 다른 두 점 $x$ , $y$ 에 대하여, 점을 공유하지 않는 두 근방 $U_x$ , $U_y$ 가 존재한다 ( $U_x\cap U_y=\varnothing$ ).

Umgebungsaxiome:|🄐 Jedem Punkt $x$ entspricht mindestens eine Umgebung $U_x$ ; jede Umgebung $U_x$ enthält den Punkt $x$ .

:🄑 Sind $U_x$ , $V_x$ zwei Umgebungen desselben Punktes $x$ , so gibt es eine Umgebung $W_x$ , die Teilmenge von beiden ist ( $W_x\subseteqq \mathfrak D(U_x,V_x)$ ).

:🄒 Liegt der Punkt $y$ in $U_x$ , so gibt es eine Umgebung $U_y$ , die Teilmenge von $U_x$ ist ( $U_y\subseteqq U_x$ ).

:🄓 Für zwei verschiedene Punkte $x$ , $y$ gibt es zwei Umgebungen $U_x$ , $U_y$ ohne gemeinsamen Punkt ( $\mathfrak D(U_x,U_y)=0$ ).^de

여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

6. 관련 사항

해석학에서 다루는 대부분의 공간은 하우스도르프 공간이며, 특히 실수는 하우스도르프 공간이다. 모든 거리 공간은 하우스도르프 공간이며, 위상군과 위상 다양체와 같이 해석학에서 사용되는 많은 공간은 정의에 하우스도르프 조건을 명시하고 있다.^[5]

T₁이지만 하우스도르프 공간이 아닌 예로는 무한 집합에 정의된 공유한 위상과 비가산 집합에 정의된 가산 공위상이 있다.

유사 거리 공간은 일반적으로 하우스도르프 공간이 아니지만, 전정규 공간이며, 해석학에서는 주로 하우스도르프 게이지 공간을 구성할 때 사용된다. 비 하우스도르프 공간을 접하는 경우, 적어도 전정규 공간인 경우가 많으며, 이때 콜모고로프 몫 공간으로 대체하면 하우스도르프 공간이 된다.^[5]

반대로, 비 전정규 공간은 대수적 다양체 또는 환의 스펙트럼에 대한 자리스키 위상과 같이 추상 대수학과 대수 기하학에서 더 자주 접하게 된다. 또한 직관 논리의 모형 이론에서도 발생하며, 스코트 영역과 관련된 개념 또한 비 전정규 공간으로 구성된다.

수렴하는 망과 필터에 대한 극한의 유일성이 공간이 하우스도르프 공간임을 의미하지만, 모든 수렴하는 수열이 유일한 극한을 갖는 비 하우스도르프 T₁ 공간이 있으며, 이러한 공간은 ''US 공간''이라고 한다.^[6]^[7] 수열 공간의 경우, 이 개념은 약하게 하우스도르프인 것과 동일하다.

모든 정규 공간은 전정규 공간이며, 모든 하우스도르프 공간 또한 전정규 공간이다.

파라콤팩트성 또는 국소 콤팩트 공간과 같은 위상 공간의 다른 조건들이 전정규성을 만족하면 정규성을 함의하는 경우가 많다.

"하우스도르프", "분리", "준정규"라는 용어는 균등 공간, 코시 공간, 수렴 공간과 같은 위상 공간의 변형에도 적용될 수 있다. 이러한 모든 예에서 개념을 통합하는 특징은 망과 필터의 극한(존재하는 경우)이 유일하다는 것이다.

균등 공간, 더 일반적으로 코시 공간은 항상 준정규이므로 이러한 경우 하우스도르프 조건은 T₀ 조건으로 축소된다. 완비성이 의미를 갖는 공간이며, 하우스도르프성은 이러한 경우 완비성의 자연스러운 동반자이다.

참조

_[1] 웹사이트 Hausdorff space Definition & Meaning https://www.dictiona[...] 2022-06-15
_[2] 웹사이트 Separation axioms in nLab https://ncatlab.org/[...]
_[3] 간행물
_[4] 간행물
_[5] 문서 See for instance Lp space#Lp spaces and Lebesgue integrals, Banach–Mazur compactum etc.
_[6] 저널 An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits
_[7] 저널 Between T₁ and T₂
_[8] 저널 Decomposition spaces and separation properties
_[9] 간행물
_[10] 웹사이트 Locally compact preregular spaces are completely regular https://math.stackex[...]
_[11] 서적 Introduction to Topology: Pure and Applied Pearson Prentice Hall 2008
_[12] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[13] 서적 General Topology https://archive.org/[...] Dover Publications
_[14] 저널 Between ''T''₁ and ''T''₂ 1967-03
_[15] 웹인용 What are the epimorphisms in the category of Hausdorff spaces? https://math.stackex[...]
_[16] 서적 Counterexamples in topology Springer 1978
_[17] 저널 An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits https://archive.org/[...]
_[18] 서적 Grundzüge der Mengenlehre mit 53 Figuren im Text https://archive.org/[...] Verlag von Veit & Comp. 1914
_[19] 저널 Classifying spaces and infinite symmetric products

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