거리화 가능 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 거리화 정리
5. 예시
- 5.1. 거리화 가능 공간의 예
- 5.2. 거리화 불가능 공간의 예
6. 역사
참조

1. 개요

거리화 가능 공간은 주어진 위상 공간이 거리 함수로부터 유도되는 거리 위상과 일치하는 경우를 의미한다. 국소 거리화 가능 공간, 유사 거리화 공간, 완비 거리화 가능 공간 등 다양한 관련 개념이 존재하며, 일반위상수학에서 중요한 연구 대상이다. 거리화 가능 공간은 하우스도르프 공간, 파라콤팩트 공간, 제1 가산 공간 등의 성질을 가지며, 우리손 거리화 정리, 나가타-스미르노프 거리화 정리, 빙 거리화 정리 등 여러 거리화 정리를 통해 그 특성이 규명된다. 이산 공간, 다양체 등이 거리화 가능 공간의 예시이며, 자리스키 위상, 하한 극한 위상을 가진 실수선 등은 거리화 불가능 공간의 예시로 제시된다.

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거리화 가능 공간
정의
설명	거리 공간과 위상 동형인 위상 공간
거리화 정리
설명	어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간인지 판별하는 정리
주요 정리	우리손의 거리화 정리 나가타-스미르노프 거리화 정리 빙의 거리화 정리
성질
모든 거리화 가능 공간	파라콤팩트 공간 린델뢰프 공간 제1 가산 공간 제2 가산 공간 정규 공간 완비 정규 공간

2. 정의

'''거리화 가능 공간'''은 어떤 거리 함수로부터 유도되는 거리 위상과 일치하는 위상 공간이다. 어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간인지를 구하는 문제를 '''거리화 문제'''라고 하며, 이는 일반위상수학의 중요한 문제 중 하나이다.

'''국소 거리화 가능 공간'''은 모든 점에 대하여, 거리화 가능 공간인 열린 근방이 존재하는 위상 공간이다. 모든 거리화 가능 공간은 국소 거리화 가능 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

집합 위의 '''유사 거리 함수'''는 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

$d(x,x)=0$
(대칭성) $d(x,y)=d(y,x)$
(삼각 부등식) $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

(이때,

d(x,y)=0

이

x=y

를 의미하지는 않는다.) 유사 거리 공간에는 거리 공간과 유사하게 위상을 부여할 수 있다.

위상 공간에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

위상을 유도하는 유사 거리 함수가 존재한다.
콜모고로프 몫공간은 거리화 가능 공간이다.

'''완비 거리화 가능 공간'''은 어떤 완비 거리 함수로부터 유도되는 거리 위상과 일치하는 위상 공간이다. '''국소 완비 거리화 가능 공간'''은 모든 점에 대하여, 완비 거리화 가능 공간인 열린 근방이 존재하는 위상 공간이다.

2. 1. 거리화

'''거리화 가능 공간'''은 거리 함수

d

로부터 유도되는 거리 위상과 일치하는 위상 공간

(X,\mathcal T)

이다.

어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간인지를 구하는 문제를 '''거리화 문제'''라고 한다. 이 문제는 일반위상수학의 중요한 문제 중 하나이다.

2. 2. 유사 거리화

집합

X

위의 '''유사 거리 함수'''(pseudometric^영어)

d\colon X^2\to[0,\infty)

는 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

$d(x,x)=0\qquad\forall x\in X$
(대칭성) $d(x,y)=d(y,x)\qquad\forall x,y\in X$
(삼각 부등식) $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)\qquad\forall x,y,z\in X$

그러나

d(x,y)=0\implies x=y

일 필요는 없다. 유사 거리 공간에는 거리 공간과 유사하게 위상을 부여할 수 있다.

위상 공간

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 의 위상을 유도하는 유사 거리 함수가 존재한다.
$X$ 의 콜모고로프 몫공간은 거리화 가능 공간이다.

2. 3. 완비 거리화

'''완비 거리화 가능 공간'''(完備距離化可能空間, completely metrizable space^영어)은 다음 조건을 만족시키는 위상 공간

(X,\mathcal T)

이다.

$(X,\mathcal T)$ 는 $X$ 위의 어떤 완비 거리 함수 $d$ 로부터 유도되는 거리 위상과 일치한다.

'''국소 완비 거리화 가능 공간'''(局所完備距離化可能空間, locally completely metrizable space^영어)은 다음 조건을 만족시키는 위상 공간

(X,\mathcal T)

이다.

모든 점 $x$ 에 대하여, 완비 거리화 가능 공간인 열린 근방 $U_x\ni x$ 가 존재한다.

3. 성질

거리화 가능 공간은 여러 가지 위상적 성질을 만족시킨다. 이러한 성질들은 필요 조건, 충분 조건, 필요충분 조건으로 나눌 수 있다.

모든 거리화 가능 공간은 하우스도르프 공간, 완전 정규 공간, 제1 가산 공간, 무어 공간, 파라콤팩트 공간의 성질을 만족시킨다. 모든 유사 거리화 가능 공간은 완비 정칙 공간, 완전 정규 공간, 제1 가산 공간, 파라콤팩트 공간이지만, 콜모고로프 공간이 아닐 수 있다.

거리화 가능 공간이 되기 위한 충분 조건으로는 우리손 거리화 정리에 따른 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간, 가산 생성 이진 콤팩트 공간 등이 있다.

어떤 위상 공간이 거리화 가능 공간이기 위한 필요충분조건은 스미르노프 거리화 정리, 빙 거리화 정리, 나가타-스미르노프 거리화 정리에 의해 제시된다. 이들 정리는 각각 공간이 파라콤팩트 공간, 하우스도르프 공간, 국소 거리화 가능 공간이거나, 정칙 공간이고 σ-국소 이산 기저를 갖거나, 정칙 공간이고 σ-국소 유한 기저를 갖는 경우를 다룬다.^[3]

우리손 거리화 정리는 분해 가능 공간에 대해 강화될 수 있으며, 콤팩트 하우스도르프 공간의 경우 거리화 가능성과 제2 가산 공간이 동치 조건이 된다.

공간은 모든 점이 거리화 가능한 근방을 갖는 경우 '''국소 거리화 가능'''하다고 한다. 스미르노프는 국소 거리화 가능 공간이 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간인 경우에만 거리화 가능함을 증명했다. 특히 다양체는 파라콤팩트 공간인 경우에만 거리화 가능하다.

가측화 가능 공간은 거리 공간으로부터 모든 위상적 성질을 상속받는다. 예를 들어, 가측화 가능 공간은 하우스도르프 공간 파라콤팩트 공간(따라서 정규 공간이자 티호노프 공간)이며, 제1 가산 공간이다. 하지만 완비성과 같이 거리의 일부 성질은 상속되지 않는다.

3. 1. 필요 조건

모든 거리화 가능 공간은 다음 성질을 만족시킨다.

하우스도르프 공간이다.
완전 정규 공간이다.
제1 가산 공간이다.
무어 공간이다.
('''스톤의 정리''' Stone’s theorem^영어) 파라콤팩트 공간이다.^[3]

거리화 가능 공간은 거리 공간의 모든 위상적 성질을 물려받는다. 예를 들어, 하우스도르프 파라콤팩트 (따라서 정규이고 티호노프 공간)이며 제1 가산이다.

3. 2. 충분 조건

다음은 항상 거리화 가능 공간이다.

('''우레이손 거리화 정리''') 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간^[3]
가산 생성 이진 콤팩트 공간 (이진 콤팩트 공간 = 곱공간 $\{0,1\}^\kappa$ 의 연속적 상인 위상 공간)^[7]

우레이손 거리화 정리에 따르면, 하우스도르프 제2 가산 정규 공간은 거리화 가능하다. 예를 들어, 모든 제2 가산 다양체는 거리화 가능하다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 이산 거리로 부여된 가산 무한 집합과 같이 제2 가산이 아닌 거리 공간이 존재한다.^[3]

몇몇 다른 거리화 정리는 우레이손 거리화 정리의 따름 정리이다. 예를 들어, 콤팩트 하우스도르프 공간은 제2 가산인 경우에만 거리화 가능하다.

우레이손 거리화 정리는 위상 공간이 분리 가능이자 거리화 가능할 필요충분조건은 정규, 하우스도르프이며 제2 가산인 것이라고 다시 말할 수 있다. 나가타-스미르노프 거리화 정리는 이를 비분리 가능한 경우로 확장한다.

분리 가능 거리화 가능 공간은 힐베르트 큐브

\lbrack 0, 1 \rbrack ^\N,

의 부분 공간과 위상 동형인 공간으로 특징지을 수 있다.

3. 3. 필요 충분 조건

어떤 위상 공간

X

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$X$ 는 거리화 가능 공간이다.
('''스미르노프 거리화 정리''' Smirnoff metrization theorem^영어) $X$ 는 파라콤팩트 공간이며, 하우스도르프 공간이며, 국소 거리화 가능 공간이다.
('''빙 거리화 정리''' Bing metrization theorem^영어) $X$ 는 정칙 공간이며, σ-국소 이산 기저를 갖는다.
('''나가타-스미르노프 거리화 정리''' Nagata–Smirnoff metrization theorem^영어) $X$ 는 정칙 공간이며, σ-국소 유한 기저를 갖는다.^[3]

우리손 거리화 정리는 다음과 같이 강화될 수 있다. 임의의 분해 가능 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$X$ 는 거리화 가능 공간이다.
$X$ 는 제2 가산 공간이며 정칙 공간이다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 제2 가산 공간인 정칙 공간은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형이다. 힐베르트 공간은 거리 공간이며 제2 가산 공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 부분공간은 제2 가산 공간이므로, 분해 가능 공간이다. 거리 공간은 정규 공간이며, 정규 공간은 정칙 공간이고, 거리화 가능 공간 위에서 분해 가능성과 제2 가산성은 동치이므로 결론을 얻는다.

콤팩트 하우스도르프 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$X$ 는 거리화 가능 공간이다.
$X$ 는 제2 가산 공간이다.

4. 거리화 정리

거리화 가능성을 판별하는 여러 정리들을 거리화 정리(距離化定理, metrization theorem^영어)라고 한다.

어떤 위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$X$ 는 거리화 가능 공간이다.
('''스미르노프 거리화 정리''' Smirnoff metrization theorem^영어) $X$ 는 파라콤팩트 공간이며, 하우스도르프 공간이며, 국소 거리화 가능 공간이다.
('''빙 거리화 정리''' Bing metrization theorem^영어) $X$ 는 정칙 공간이며, σ-국소 이산 기저를 갖는다.
('''나가타-스미르노프 거리화 정리''' Nagata–Smirnoff metrization theorem^영어) $X$ 는 정칙 공간이며, σ-국소 유한 기저를 갖는다.

분해 가능 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 거리화 가능 공간이다.
$X$ 는 제2 가산 공간이며 정칙 공간이다.

콤팩트 하우스도르프 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 거리화 가능 공간이다.
$X$ 는 제2 가산 공간이다.

우레이손 거리화 정리는 다음과 같이 강화시킬 수 있다. 제2 가산 공간인 정칙 공간은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형인데, 힐베르트 공간은 거리 공간이며 제2 가산 공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 어떤 부분공간도 제2 가산 공간이므로, 분해 가능 공간이다. 마지막으로 거리 공간은 정규 공간이며, 정규 공간은 정칙 공간이고, 거리화 가능 공간 위에서 분해 가능성과 제2 가산성은 동치이므로 결론을 얻는다.

4. 1. 우리손 거리화 정리

'''우레이손 거리화 정리'''는 가장 먼저 널리 알려진 거리화 정리 중 하나이다. 이 정리는 모든 하우스도르프 제2 가산 정규 공간은 거리화 가능하다고 설명한다.^[3] 따라서 모든 제2 가산 다양체는 거리화 가능하다.

역사적으로, 이 정리의 형태는 1926년 티호노프에 의해 증명되었다.^[3] 우리손이 1925년 사후에 출판된 논문에서 보인 것은 모든 제2 가산 ''정규 공간'' 하우스도르프 공간이 거리화 가능하다는 것이었다.^[3] 역은 성립하지 않는데, 예를 들어 이산 거리로 부여된 가산 무한 집합과 같이 제2 가산이 아닌 거리 공간이 존재한다.^[3]

4. 2. 나가타-스미르노프 거리화 정리

나가타-스미르노프 거리화 정리는 위상 공간이 거리화 가능하기 위한 필요충분조건을 제시하는 정리이다. 이 정리에 따르면, 위상 공간이 거리화 가능하려면 다음 조건을 만족해야 한다.

정칙이고 하우스도르프이어야 한다.
기저가 σ-국소 유한이어야 한다. 즉, 기저가 열린 집합의 국소 유한족들의 가산 합집합이어야 한다.^[3]

이 정리는 우레이손 거리화 정리를 비분리 가능 공간으로 확장한 것이다. 우레이손 거리화 정리는 위상 공간이 분리 가능하고 거리화 가능할 필요충분조건이 정규, 하우스도르프, 제2 가산 공간임을 명시한다. 나가타-스미르노프 거리화 정리는 분리 가능성 조건을 제거하여, 더 일반적인 경우에도 적용될 수 있도록 하였다.^[3]

빙 거리화 정리는 나가타-스미르노프 거리화 정리와 밀접하게 관련된 또 다른 거리화 정리이다.

4. 3. 빙 거리화 정리

빙 거리화 정리는 위상 공간이 거리화 가능하기 위한 필요충분조건을 제시하는 정리이다. 이 정리에 따르면, 어떤 위상 공간이 거리화 가능하려면 정칙 공간이면서 σ-국소 이산 기저를 가져야 한다. 여기서 σ-국소 이산 기저는 열린 집합의 국소 유한 집합의 가산 합집합인 기저를 의미한다. 이 정리는 밀접하게 관련된 나가타-스미르노프 거리화 정리와 함께, 거리화 가능성에 대한 중요한 정보를 제공한다.^[3]

4. 4. 기타 거리화 정리

콤팩트 하우스도르프 공간은 제2 가산인 경우에만 거리화 가능하다.

우레이손 거리화 정리는 위상 공간이 정규, 하우스도르프이며 제2 가산인 경우에만 분리 가능이자 거리화 가능하다고 다시 말할 수 있다. 나가타-스미르노프 거리화 정리는 이를 비분리 가능한 경우로 확장한다. 이 정리는 위상 공간이 정규, 하우스도르프이고 σ-국소 유한 기저를 갖는 경우에만 거리화 가능하다고 말한다. σ-국소 유한 기저는 열린 집합의 국소 유한의 가산 합집합인 기저이다. 밀접하게 관련된 정리에 대해서는 빙 거리화 정리를 참조하라.

분리 가능 거리화 가능 공간은 또한 단위 구간의 가산 무한 곱인 힐베르트 큐브

\lbrack 0, 1 \rbrack ^\N,

의 부분 공간(실수로부터 자연적인 부분 공간 위상을 갖는)과 곱 위상이 부여된 공간에 위상 동형인 공간으로 특징지을 수 있다.

공간은 모든 점이 거리화 가능한 근방을 갖는 경우 '''국소 거리화 가능'''하다고 한다. 스미르노프는 국소 거리화 가능 공간이 하우스도르프이고 파라콤팩트 공간인 경우에만 거리화 가능함을 증명했다. 특히 다양체는 파라콤팩트인 경우에만 거리화 가능하다.

5. 예시

이산 공간은 이산 거리 함수에 의해, 모든 다양체는 거리화 가능 공간이 된다. 강작용소 위상을 갖는 가분 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 위의 유니타리 작용소 군 $\mathbb{U}(\mathcal{H})$ 도 거리화 가능 공간이다.^[6]

크기 2 이상의 비이산 공간은 거리화 가능 공간이 아니지만, 다음과 같은 유사 거리 함수에 의하여 유사 거리화 가능 공간이다.

: $d(x,y)=0$

대수기하학에서 사용되는 대수적 다양체 또는 환의 스펙트럼 위의 자리스키 위상, 실수선에서 자신으로 가는 모든 함수로 구성되는 점별 수렴 위상을 갖는 위상 벡터 공간, 하한 극한 위상을 가진 실수선, 두 기원점을 갖는 선(벌레 눈 선), 긴 선 등은 거리화 불가능 공간이다.^[4]

5. 1. 거리화 가능 공간의 예

이산 공간은 다음과 같은 이산 거리 함수에 의하여 거리화 가능 공간이다.

:

d(x,y)=\begin{cases}1&x\ne y\\0&x=y\end{cases}

모든 다양체(=파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)는 거리화 가능 공간이다.

강작용소 위상을 갖는 가분 힐베르트 공간

\mathcal{H}

위의 유니타리 작용소 군

\mathbb{U}(\mathcal{H})

는 거리화 가능 공간이다.^[6]

5. 2. 거리화 불가능 공간의 예

대수기하학에서 사용되는 대수적 다양체 또는 환의 스펙트럼 위의 자리스키 위상^[4]
실수선에서 자신으로 가는 모든 함수로 구성되는, 점별 수렴 위상을 갖는 위상 벡터 공간^[4]
하한 극한 위상을 가진 실수선. 일반적인 거리 함수는 이 공간 위의 메트릭이 되지 않는데, 그것이 정하는 위상은 일반적인 위상이며 하한 위상이 아니기 때문이다. 이 공간은 하우스도르프 공간, 파라콤팩트이며 제1 가산 공간이다.^[4]
두 기원점을 갖는 선(벌레 눈 선)은 하우스도르프 공간이 아닌 다양체이다(따라서 거리화 가능하지 않다). 모든 다양체와 마찬가지로, 유클리드 공간과 국소 동형이며, 따라서 국소 거리화 가능하지만 거리화 가능하지는 않으며, 국소 하우스도르프이지만 하우스도르프는 아니다. 또한 T₁ 국소 정규 공간이지만 반정규 공간은 아니다.^[4]
긴 선은 국소 거리화 가능하지만 거리화 가능하지 않다. 어떤 의미에서 "너무 길기" 때문이다.^[4]

6. 역사

안드레이 티호노프는 우리손의 업적을 기려 우리손 거리화 정리를 증명했다. 우리손은 '어떤 위상 공간이 제2 가산 공간이면서 동시에 정규 공간이면 거리화 가능하다'는 것을 증명했고, 티호노프는 이를 일반화하였다.^[3]

마셜 하비 스톤은 스톤의 정리를 증명하였다.

나가타 준이치와 유리 미하일로비치 스미르노프(Ю́рий Миха́йлович Смирно́в^ru)는 나가타-스미르노프 거리화 정리를 증명하였다. 이들은 우리손 거리화 정리의 역 형식에서 분해 가능성 조건을 빼고 필요 충분 조건을 일반화하였다.

아르에이치 빙은 나가타-스미르노프 거리화 정리와 유사한 시기에 빙 거리화 정리를 발표하였다. 이 두 정리를 통칭하여 빙-나가타-스미르노프 거리화 정리라고도 한다.

초기에 널리 알려진 거리화 정리 중 하나는 우레이손 거리화 정리이다. 이 정리는 모든 하우스도르프 제2 가산 정규 공간은 거리화 가능하다고 명시한다. 예를 들어, 모든 제2 가산 다양체는 거리화 가능하다. 그러나 역은 성립하지 않으며, 제2 가산이 아닌 거리 공간도 존재한다.^[3]

참조

_[1] 웹사이트 Metrization Theorems http://homepage.math[...] 2016-06-16
_[2] 서적 Topology Pearson PLC
_[3] 웹사이트 Math 395 - Honors Analysis I: 10. Some counterexamples in topology http://www.math.lsa.[...] 2010-09-25
_[4] 논문 On a theorem of S. Banach
_[5] URL http://www.math.lsa.[...]
_[6] 논문 On a theorem of S. Banach
_[7] 서적 A Cp-Theory Problem Book: Topological and Function Spaces Springer 2011

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