무한 공리

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1. 개요
2. Formal statement
3. 해석 및 귀결
- 3.1. 자연수 집합의 추출
- 3.2. 다른 방법
4. 약한 버전
5. 독립성
참조

1. 개요

무한 공리는 체르멜로-프렝켈 공리계의 형식 언어에서 공집합을 원소로 포함하고, 모든 원소 x에 대해 x와 {x}의 합집합도 원소로 포함하는 집합 I가 존재한다는 것을 의미한다. 이 공리는 자연수의 폰 노이만 구성과 관련이 있으며, 무한 집합의 존재를 보장한다. 무한 공리는 ZFC 공리계의 다른 공리들로부터 독립적이며, 폰 노이만 전체를 이용하여 그 부정을 포함하는 모형을 만들 수 있다.

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선택 공리는 공집합을 원소로 갖지 않는 집합족에서 각 집합의 원소를 하나씩 선택하여 새로운 집합을 만들 수 있다는 공리이며, 선택 함수 존재성과 동치이고, ZF와 독립적이면서 다양한 수학적 명제와 동치인 중요한 역할을 한다.
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무한 공리
일반 정보
이름	무한 공리
분야	수학, 집합론
공리계	ZF 공리계
상위 개념	공리
하위 개념	정칙성 공리, 선택 공리
집합론
핵심 개념	순서수, 자연수, 귀납적 집합
내용
설명	무한 집합의 존재성을 보장하는 ZF 공리계의 공리이다. 귀납적 집합의 존재성을 주장한다.
형식적 정의
기호	∃X (∅ ∈ X ∧ ∀y (y ∈ X → y ∪ {y} ∈ X))
설명	공집합을 원소로 가지고, 모든 원소 y에 대해 y ∪ {y}를 원소로 가지는 집합 X가 존재한다.
의미
설명	이 공리는 자연수 전체의 집합이 존재함을 보장한다. 폰 노이만 순서수를 사용하여 자연수를 정의할 수 있게 한다.
중요성
설명	무한 공리가 없으면 자연수, 실수 등의 무한 집합을 구성할 수 없다. 현대 수학의 기초를 이루는 중요한 공리이다.
참고 사항
설명	무한 공리는 러셀의 역설을 피하기 위해 도입되었다. 무한 공리는 선택 공리와 독립적이다.

2. Formal statement

체르멜로-프렝켈 집합론의 형식 언어에서 무한 공리는 다음과 같이 표현된다.^[2]

: $\exists I \, ( \varnothing \in I \, \land \, \forall x \, (x \in I \Rightarrow \, ( x \cup \{x\} ) \in I ) ).$

이는 "공집합을 원소로 포함하고, 모든 원소 $x$ 에 대해 $x$ 와 { $x$ }의 합집합도 원소로 포함하는 집합 I가 존재한다"는 의미이다. 일부 수학자들은 이러한 방식으로 구성된 집합을 귀납적 집합이라고 부르기도 한다.

ZF 공리계의 공식적인 정의는 다음과 같다.

: 공집합을 요소로 하고, 임의의 요소 ''x''에 대해 ''x'' ∪ {''x''}를 요소로 갖는 집합이 존재한다.

:: $\exists A(\varnothing\in A\wedge \forall x\in A(x\cup\{x\}\in A))$

3. 해석 및 귀결

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 다른 공리들이 무모순이면, 무한 공리는 ZFC의 다른 공리들로 이끌어낼 수 없다. 폰 노이만 전체를 이용하면 무한공리의 부정과 ZFC의 나머지 공리들이 성립하는 모형을 만들 수 있다.

이 공리는 집합론에서 자연수의 폰 노이만 구성과 밀접한 관련이 있다. 여기서 ''x''의 다음 수는 ''x'' ∪ {''x''}로 정의된다. 만약 ''x''가 집합이라면, 다른 집합론의 공리에 의해 이 다음 수는 또한 고유하게 정의된 집합이다. 다음 수는 자연수의 일반적인 집합론적 인코딩을 정의하는 데 사용된다. 이 인코딩에서 0은 공집합이다.

: 0 = {}.

1은 0의 다음 수이다.

: 1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = .

마찬가지로, 2는 1의 다음 수이다.

: 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, },

이와 같이 진행된다.

: 3 = {0, 1, 2} = { {}, , } };

: 4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, , { {}, }, { {}, , } } }.

이 정의에 따르면, 모든 자연수는 그보다 작은 모든 자연수의 집합과 같다. 각 집합의 최상위 수준의 요소 개수는 표현된 자연수와 같고, 가장 깊이 중첩된 공집합 {}의 중첩 깊이는, 그것이 속한 숫자를 나타내는 집합 내의 중첩을 포함하여, 집합이 나타내는 자연수와 같다.

이 구성은 자연수를 형성한다. 그러나 다른 공리들은 ''모든'' 자연수 집합, $\mathbb{N}_0$ 의 존재를 증명하기에 불충분하다. 따라서, 그 존재는 공리, 즉 무한 공리로 받아들여진다. 이 공리는 0을 포함하고 다음 수를 취하는 연산에 대해 닫혀 있는 집합 '''I'''가 존재한다고 주장한다. 즉, '''I'''의 각 요소에 대해 그 요소의 다음 수도 '''I'''에 있다.

따라서 공리의 본질은 다음과 같다.

: 모든 자연수를 포함하는 집합 '''I'''가 있다.

무한 공리는 폰 노이만-베르나이스-괴델 공리 중 하나이다.

위 정의에서는 "무한"이라는 단어를 사용하지는 않았지만, 이 공리에 의해 (적어도 하나의) 무한 집합의 존재가 보장된다.

정의에 따른 집합 $A$ 는 다음 성질을 만족한다.

$\varnothing\in A$ (공집합 $\varnothing$ 는 $A$ 의 원소이다)
$\varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\} \in A$ ("공집합 $\varnothing$ 를 원소로 갖는 집합"은 $A$ 의 원소이다)
$\{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in A$ ("공집합"과 "공집합을 원소로 갖는 집합"의 두 원소를 갖는 집합은 $A$ 의 원소이다)
(이하 마찬가지로 반복)

각 절차로 얻어진 집합을 원소로 갖는 집합을

B:=\{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \cdots\}

라고 하면,

B

는

A

의 부분 집합이다. 이 절차는 몇 번이고 반복할 수 있지만, 만약 유한 번으로 마쳤을 경우,

B

는 유한 집합이며,

A \neq B

이다. 왜냐하면 정의에 의해

B \cup \{B\} \in A

이지만,

B \cup \{B\} \notin B

이기 때문이다. 한편

A

가 유한 집합이라면, 이 절차를 반복함으로써

B

가

A

보다 많은 원소를 가질 수 있게 된다.

따라서

A

는 유한 집합이 아니므로(즉, 무한 집합이므로), 무한 공리를 채택하면 즉시 무한 집합의 존재를 인정하게 된다.

위의 절차는 페아노 공리에서의 자연수 구성 방법과 유사하다. ZFC 공리계에서 자연수 전체의 집합은 무한 집합 중에서 가장 작은 것이다.(가산 집합)

3. 1. 자연수 집합의 추출

무한 집합 '''I'''는 자연수의 상위 집합이다. 분리 공리꼴을 적용하여 자연수 집합 '''N'''을 정의할 수 있다. 자연수의 정의는 다음과 같다(형식 언어).

:

\forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([n = \empty \,\,\lor\,\, \exists k ( n = k \cup \{k\} )] \,\,\land\,\, \forall m \in n[m = \empty \,\,\lor\,\, \exists k \in n ( m = k \cup \{k\} )])).

더 형식적으로는 다음과 같다.

:

\forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k (\lnot k \in n) \lor \exists k \forall j (j \in n \iff (j \in k \lor j = k))] \; \land

::

\forall m (m \in n \Rightarrow [\forall k (\lnot k \in m) \lor \exists k (k \in n \land \forall j (j \in m \iff (j \in k \lor j = k)))]))).

다른 방법으로,

\Phi(x)

를 "x는 귀납적이다"라고 정의한다. 즉,

\Phi(x) = (\emptyset \in x \wedge \forall y(y \in x \to (y \cup \{y\} \in x)))

이다. 비공식적으로, 모든 귀납적 집합의 교집합을 취한다. 더 공식적으로, 다음을 만족하는 유일한 집합

W

의 존재를 증명한다.

:

\forall x(x \in W \leftrightarrow \forall I(\Phi(I) \to x \in I)).

(*)

존재성을 위해, 무한 공리와 분리 공리형식을 결합하여 사용한다.

I

를 무한 공리에 의해 보장되는 귀납적 집합이라고 하면, 분리 공리형식을 사용하여 집합

W = \{x \in I:\forall J(\Phi(J) \to x \in J)\}

를 정의한다. 즉,

W

는

I

의 모든 원소의 집합이며, 다른 모든 귀납적 집합의 원소이기도 하다. 이것은 만약

x \in W

라면

x

가 모든 귀납적 집합에 속하고,

x

가 모든 귀납적 집합에 속한다면, 특히

I

에 속하므로

W

에도 속해야 하므로 (*)의 가설을 명확히 만족한다.

유일성을 위해, 먼저 (*)을 만족하는 모든 집합은 0이 모든 귀납적 집합에 속하고, 원소

x

가 모든 귀납적 집합에 속한다면, 귀납적 속성에 의해 그 후속자도 그렇기 때문에, 그 자체가 귀납적임을 주목한다. 따라서 (*)을 만족하는 다른 집합

W'

가 있다면,

W

가 귀납적이므로

W' \subseteq W

이고,

W'

가 귀납적이므로

W \subseteq W'

일 것이다. 따라서

W = W'

이다. 이 유일한 원소를

\omega

로 표시한다.

이 정의는 귀납법의 원리가 즉시 따르기 때문에 편리하다. 만약

I \subseteq \omega

가 귀납적이라면,

\omega \subseteq I

이므로

I = \omega

이다.

이 두 방법 모두 2계 산술의 공리를 만족하는 시스템을 생성한다. 이는 멱집합 공리가 2계 논리에서와 같이

\omega

의 멱집합에 대해 양화할 수 있도록 해주기 때문이다. 따라서 두 방법 모두 동형 시스템을 완전히 결정하며, 항등 맵 아래에서 동형이므로 실제로 동등해야 한다.

3. 2. 다른 방법

\Phi(x)

를 "x는 귀납적이다"라고 정의한다. 즉,

\Phi(x) = (\emptyset \in x \wedge \forall y(y \in x \to (y \cup \{y\} \in x)))

이다. 모든 귀납적 집합의 교집합을 구하여, 다음을 만족하는 유일한 집합

W

의 존재를 증명할 수 있다.

:

\forall x(x \in W \leftrightarrow \forall I(\Phi(I) \to x \in I)).

(*)
존재성 증명: 무한 공리와 분리 공리형식을 결합하여 사용한다. 무한 공리에 의해 귀납적 집합

I

가 존재한다. 분리 공리형식을 사용하여 집합

W = \{x \in I:\forall J(\Phi(J) \to x \in J)\}

를 정의한다.

W

는

I

의 모든 원소의 집합이며, 다른 모든 귀납적 집합의 원소이기도 하다.

x \in W

라면

x

가 모든 귀납적 집합에 속하고,

x

가 모든 귀납적 집합에 속한다면, 특히

I

에 속하므로

W

에도 속해야 하므로 (*)의 가설을 만족한다.
유일성 증명: (*)을 만족하는 모든 집합은, 0이 모든 귀납적 집합에 속하고, 원소

x

가 모든 귀납적 집합에 속한다면 귀납적 속성에 의해 그 후속자도 그러므로, 그 자체가 귀납적이다. 따라서 (*)을 만족하는 다른 집합

W'

가 있다면,

W

가 귀납적이므로

W' \subseteq W

이고,

W'

가 귀납적이므로

W \subseteq W'

이다. 따라서

W = W'

이다. 이 유일한 원소를

\omega

로 표시한다.

이 정의는 귀납법의 원리가 즉시 따르기 때문에 편리하다. 만약

I \subseteq \omega

가 귀납적이라면,

\omega \subseteq I

이므로

I = \omega

이다.

이러한 방법은 2계 산술의 공리를 만족하는 시스템을 생성한다. 멱집합 공리가 2계 논리에서와 같이

\omega

의 멱집합에 대해 양화할 수 있도록 해주기 때문이다. 따라서 동형 시스템을 완전히 결정하며, 항등 맵 아래에서 동형이므로 실제로 동등해야 한다.

4. 약한 버전

일부 오래된 문헌에서는 무한 공리의 약한 버전을 사용하는데, 다음과 같다.

: $\exists x \, ( \exists y \, ( y \in x ) \, \land \, \forall y ( y \in x \, \rightarrow \, \exists z ( z \in x \, \land \, y \subsetneq z ) ) ) \,.$

이는 ''x''가 공집합이 아니며, ''x''의 모든 원소 ''y''에 대해 ''y''가 ''z''의 진부분집합이고 ''y''와 ''z''가 같지 않은 또 다른 ''x''의 원소 ''z''가 존재한다는 것을 의미한다. 이는 ''x''가 그 구조에 대해 크게 언급하지 않으면서 무한 집합임을 암시한다. 그러나, ZF의 다른 공리들의 도움을 받으면, 이것이 ω(자연수 집합)의 존재를 함축한다는 것을 보일 수 있다. 먼저, 어떤 무한 집합 ''x''의 멱집합을 취하면, 그 멱집합은 모든 유한 기수를 갖는 ''x''의 부분집합(다른 ''x''의 부분집합들과 함께)을 포함할 것이다. 이러한 유한 부분집합의 존재를 증명하기 위해서는 분리 공리꼴 또는 짝 공리 및 합집합 공리가 필요할 수 있다. 그런 다음 치환 공리꼴을 적용하여 ''x''의 멱집합의 각 원소를 같은 기수의 초한 서수 (또는 그러한 서수가 없는 경우 0)로 대체할 수 있다. 그 결과는 서수의 무한 집합이 될 것이다. 그런 다음 합집합 공리를 적용하여 ω보다 크거나 같은 서수를 얻을 수 있다.

5. 독립성

무한 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 다른 공리들과 독립적이다. 즉, 다른 공리들로부터 증명될 수도, 반증될 수도 없다.^[1] 폰 노이만 전체를 이용하면 무한 공리의 부정과 ZFC의 나머지 공리들이 성립하는 모형을 만들 수 있다.^[1]

만약 ZFC의 다른 공리들이 무모순이라면, 무한 공리는 ZFC의 다른 공리들로부터 증명될 수 없다. 이는 ZFC가 무한 공리의 부정을 함의하지 않는다는 것을 의미한다.^[1]

실제로, 폰 노이만 우주를 사용하여 ZFC - 무한 공리 + (¬무한 공리)의 모형을 구성할 수 있다. 이 모형은 유한 집합들의 집합인 $V_\omega \!$ 이며, 상속된 원소 관계를 갖는다.^[1]

자연수 집합의 기수인 알레프 널( $\aleph_0$ )은 강한 기수의 많은 속성을 가지고 있다. 따라서 무한 공리는 때때로 첫 번째 '강한 기수 공리'로 간주되기도 한다.^[1]

참조

_[1] 논문 Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre 1907
_[2] 웹사이트 Metamath Proof Explorer https://us.metamath.[...]

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