뮬러 행렬

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1. 개요
2. 뮬러 행렬의 정의 및 기본 원리
3. 존스 행렬과의 관계
- 3.1. 존스 행렬에서 뮬러 행렬로의 변환
4. 뮬러 행렬의 적용
5. 한국에서의 뮬러 행렬 연구 및 활용
참조

1. 개요

뮬러 행렬은 빛의 편광 상태 변화를 나타내는 4x4 실수 행렬로, 광학 소자의 편광 특성을 설명하는 데 사용된다. 스토크스 벡터를 사용하여 입사광과 투과광의 관계를 표현하며, 선형 편광자, 위상 지연자, 감쇠 필터 등 다양한 광학 소자의 특성을 나타낼 수 있다. 뮬러 행렬은 존스 행렬과 연관되어 있으며, 비선형 광학 현상 연구에도 활용된다.

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뮬러 행렬
개요
유형	행렬 연산
분야	광학, 분광법
설명	편광의 수학적 표현 및 조작
관련 항목	스토크스 매개변수 존스 계산법
상세 내용
특징	편광 상태의 변화를 기술하는 데 사용됨 편광판, 지연기, 회전기 등 광학 요소의 효과 분석 편광 상태의 변화는 4x4 실수 행렬로 표현됨
장점	완전히 편광되지 않은 빛을 포함한 모든 편광 상태 기술 가능 광학 요소의 시퀀스를 쉽게 모델링 가능 실험 데이터 분석에 적합
단점	간섭 효과를 직접적으로 다루기 어려움 존스 계산법에 비해 수학적으로 복잡함
응용 분야
재료 과학	재료의 광학적 성질 분석 박막의 두께 및 굴절률 측정
의학	생체 조직의 이미징 암 진단
원격 감지	대기 에어로졸 측정 지표면 특성 분석
광학	편광 장치의 설계 및 분석 광통신 시스템의 성능 향상
수식
뮬러 행렬	4x4 실수 행렬
스토크스 벡터	편광 상태를 나타내는 4차원 벡터
연산	뮬러 행렬과 스토크스 벡터의 곱을 통해 편광 상태 변화 계산
참고 자료
관련 서적	Polarization Optics (Edward Collett) Polarized Light (Dennis Goldstein)
관련 논문	"Mueller matrix imaging" (J. Opt. Soc. Am. A) "Polarization properties of light" (Prog. Opt.)

2. 뮬러 행렬의 정의 및 기본 원리

뮬러 행렬은 빛이 편광자나 위상지연자와 같은 광학 소자를 통과할 때 빛의 편광 상태가 어떻게 변하는지를 수학적으로 나타내는 행렬이다. 빛의 편광 상태는 스토크스 벡터로 표현되는데, 뮬러 행렬은 이 스토크스 벡터에 작용하는 선형 변환으로 생각할 수 있다. 즉, 어떤 광학 소자를 통과하기 전의 빛의 스토크스 벡터를 알면, 그 소자에 해당하는 뮬러 행렬을 곱하여 통과한 후의 빛의 편광 상태를 예측할 수 있다.^[1]^[2]

빛이 여러 개의 광학 소자를 순서대로 통과하는 경우, 각 소자에 해당하는 뮬러 행렬들을 순서대로 곱하여 전체 시스템의 편광 특성을 나타내는 하나의 뮬러 행렬을 얻을 수 있다. 이를 통해 복잡한 광학 시스템에서 빛의 편광 변화를 체계적으로 분석하는 것이 가능하다.

2. 1. 스토크스 벡터

결맞음 파동 중첩을 무시하면, 빛의 완전 편광, 부분 편광 또는 비편광 상태는 스토크스 벡터

\vec{S}

로 나타낼 수 있다. 이때 모든 광학 소자는 뮬러 행렬(M)로 표현 가능하다.

광선이 처음에 상태

\vec{S}_i

에 있고, 광학 소자 M을 통과하여 상태

\vec{S}_o

로 나오면 다음과 같이 표현된다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M} \vec{S}_i \ .

광선이 광학 소자 M₁, M₂, M₃를 차례로 통과하면 다음과 같이 표현된다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M}_3 \left(\mathrm{M}_2 \left(\mathrm{M}_1 \vec{S}_i\right) \right)

행렬 곱셈이 결합법칙을 따르므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M}_3 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_1 \vec{S}_i \ .

행렬 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않으므로 일반적으로 다음과 같다. 즉, 광학 소자를 통과하는 순서가 달라지면 결과도 달라진다.

:

\mathrm{M}_3 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_1 \vec{S}_i \ne \mathrm{M}_1 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_3 \vec{S}_i \ .

2. 2. 뮬러 행렬의 표현

결맞음 파동 중첩을 무시하면, 빛이 완전 편광, 부분 편광 또는 비편광된 상태는 스토크스 벡터

\vec{S}

로 나타낼 수 있다. 모든 광학 소자는 4x4 실수 행렬인 뮬러 행렬(M)로 나타낼 수 있으며, 이는 해당 소자의 편광 특성을 보여준다.

광선이 처음에 상태

\vec{S}_i

에 있고, 광학 소자 M을 통과하여 상태

\vec{S}_o

로 나오면, 그 관계는 다음과 같다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M} \vec{S}_i \ .

만약 광선이 광학 소자 M₁, M₂, M₃를 차례로 통과한다면, 최종 상태는 다음과 같이 계산된다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M}_3 (\mathrm{M}_2 (\mathrm{M}_1 \vec{S}_i))

행렬 곱셈은 결합법칙을 따르므로, 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M}_3 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_1 \vec{S}_i \ .

그러나 행렬 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 광학 소자를 통과하는 순서가 중요하다. 즉, 일반적으로 다음이 성립한다.

:

\mathrm{M}_3 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_1 \vec{S}_i \ne \mathrm{M}_1 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_3 \vec{S}_i \ .

다음은 이상적인 일반 광학 소자들의 뮬러 행렬 예시이다.

뮬러 행렬	광학 소자
${1 \over 2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad$	선형 편광자 (수평투과)
${1 \over 2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad$	선형 편광자 (수직투과)
${1 \over 2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad$	선형 편광자 (+45°투과)
${1 \over 2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad$	선형 편광자 (-45°투과)
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad$	빠른축이 수직인 사분파장 위상지연자
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad$	빠른축이 수평인 사분파장 위상지연자
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad$	빠른축이 수직인 이분파장 위상지연자
${1 \over 4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad$	감쇠 필터 (25% 투과)

2. 3. 행렬 연산

결맞음 파동 중첩을 무시할 수 있는 경우, 빛의 편광 상태(완전 편광, 부분 편광, 비편광 포함)는 스토크스 벡터

\vec{S}

로 나타낼 수 있다. 그리고 모든 광학 소자는 뮬러 행렬 M으로 표현 가능하다.

빛이 처음에

\vec{S}_i

상태에 있고, 광학 소자 M을 통과하여

\vec{S}_o

상태로 나온다면, 이 과정은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M} \vec{S}_i \ .

만약 빛이 여러 광학 소자 M₁, M₂, M₃를 순서대로 통과한다면, 최종 상태

\vec{S}_o

는 각 소자에 해당하는 뮬러 행렬을 순서대로 곱하여 계산할 수 있다.

:

\vec{S}_o = \mathrm{M}_3 \left(\mathrm{M}_2 \left(\mathrm{M}_1 \vec{S}_i\right) \right)

행렬 곱셈은 결합법칙을 따르기 때문에, 위 식은 다음과 같이 전체 뮬러 행렬(M₃M₂M₁)을 먼저 계산한 후 초기 스토크스 벡터에 곱하는 방식으로 표현할 수도 있다.

:

\vec{S}_o = (\mathrm{M}_3 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_1) \vec{S}_i \ .

그러나 행렬 곱셈은 교환 법칙이 일반적으로 성립하지 않으므로, 광학 소자를 통과하는 순서가 결과에 영향을 미친다. 즉, 일반적으로 다음 관계가 성립한다.

:

\mathrm{M}_3 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_1 \vec{S}_i \ne \mathrm{M}_1 \mathrm{M}_2 \mathrm{M}_3 \vec{S}_i \ .

3. 존스 행렬과의 관계

존스 행렬은 완전 편광된 빛의 상태 변화를 기술하는 데 사용되는 반면, 뮬러 행렬은 완전 편광뿐만 아니라 부분 편광, 비편광 상태까지 포함하는 더 일반적인 표현 방식이다.^[1]

빛의 간섭이나 회절과 같이 파동의 위상 정보가 중요한 현상을 분석할 때는 빛의 전기장 정보를 직접 다루는 존스 행렬이 더 적합하다. 예를 들어 레이저와 같은 간섭성 빛의 분석에 주로 사용된다. 반면, 뮬러 행렬은 빛의 세기를 기반으로 하므로 이러한 위상 의존적 효과를 다루기에는 한계가 있다.^[1]

존스 행렬은 특정 변환 과정을 통해 뮬러 행렬로 변환될 수 있으나, 이 과정에서 일부 정보(절대 위상)는 손실될 수 있다.^[2]

3. 1. 존스 행렬에서 뮬러 행렬로의 변환

완전히 편광된 빛은 뮬러 행렬 또는 더 간단한 존스 행렬로 처리할 수 있다. 반면, 편광되지 않거나 부분적으로 편광된 빛은 뮬러 행렬로 다루어야 한다.^[1] 특히 간섭성 빛(예: 레이저)과 관련된 문제는 빛의 전기장을 직접 다루고 파동의 위상 정보를 유지하는 존스 행렬로 처리하는 것이 일반적이다. 뮬러 행렬은 빛의 세기와 그 차이를 다루므로 간섭이나 회절 효과를 설명하기에는 적합하지 않다.^[1]

모든 존스 행렬 J는 다음 관계식을 사용하여 해당하는 뮬러-존스 행렬 M으로 변환될 수 있다:^[2]

:

\mathrm{M = A(J \otimes J^*)A^{-1}}

여기서 *는 켤레 전치를 나타내며, ⊗는 텐서 (크로네커) 곱이다. 행렬 A는 다음과 같다:

:

\mathrm{A} =\begin{pmatrix}1 &  0 & 0 &  1 \\1 &  0 & 0 & -1 \\0 &  1 & 1 &  0 \\0 & i & -i &  0 \\\end{pmatrix}>

존스 행렬은 8개의 독립적인 매개변수(2x2 행렬의 4개 복소수 값 각각에 대한 실수부와 허수부 또는 크기와 위상)를 가진다. 그러나 위의 변환 과정에서 절대 위상 정보가 손실되기 때문에, 존스 행렬로부터 유도된 뮬러 행렬은 7개의 독립적인 행렬 요소만을 가지게 된다.^[2]

4. 뮬러 행렬의 적용

뮬러 행렬은 다양한 광학 소자의 편광 특성을 기술하고 분석하는 데 유용하게 사용된다. 이상적인 광학 소자들의 예시로는 선형 편광자, 위상지연자(예: 파장판), 감쇠 필터 등이 있으며, 각 소자의 편광 변화 특성은 고유한 뮬러 행렬로 표현될 수 있다.

광학 시스템에서 소자의 방향이나 기준 좌표계가 중요한 경우, 참조 프레임 회전을 고려해야 한다. 국소 좌표계에서 실험실 좌표계로 변환하는 일반적인 참조 프레임 회전 뮬러 행렬은 다음과 같다.^[3]

: $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & \cos{(2\theta)} & \sin{(2\theta)} & 0 \\0 & -\sin{(2\theta)} & \cos{(2\theta)} & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad$

여기서 $\theta$ 는 회전 각도를 나타낸다. 반대로 실험실 좌표계에서 국소 좌표계로 회전하는 경우에는 위 행렬에서 사인 항( $\sin(2\theta)$ )의 부호가 반전된다.

각 광학 소자별 구체적인 뮬러 행렬과 그 의미는 아래 하위 섹션들에서 더 자세히 다룬다.

4. 1. 선형 편광자

선형 편광자는 특정 방향으로 편광된 빛만 통과시키는 광학 소자이다. 투과축의 방향에 따라 다음과 같은 뮬러 행렬로 표현된다.

선형 편광자 (수평 투과):

{1 \over 2}\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

선형 편광자 (수직 투과):

{1 \over 2}\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 \\

1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

선형 편광자 (+45° 투과):

{1 \over 2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

선형 편광자 (−45° 투과):

{1 \over 2}\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 &  0 & 0 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

일반적인 선형 편광기 행렬:

{1 \over 2}\begin{pmatrix}1               & \cos{(2\theta)}             & \sin{(2\theta)}            & 0 \\\cos{(2\theta)} & \cos^2(2\theta)             & \cos(2\theta)\sin(2\theta) & 0 \\\sin{(2\theta)} & \cos(2\theta)\sin(2\theta)  & \sin^2(2\theta)            & 0 \\0               &      0                      &         0                  & 0\end{pmatrix}\quad

여기서

\theta

는 편광기의 회전 각도이다. 다른 편광기 회전 각도에 대한 뮬러 행렬은 참조 프레임 회전을 통해 생성될 수 있다.^[3]

4. 2. 위상 지연자

위상 지연자는 서로 수직인 편광 성분 사이에 위상차를 발생시키는 광학 소자이다. 대표적인 예시로는 파장판이 있다.

일반적인 선형 지연기의 뮬러 행렬은 다음과 같다.

\begin{pmatrix}1 &  0                                                       &0                                                          & 0 \\0 &  \cos^2(2\theta) + \sin^2(2\theta)\cos(\delta)           &\cos(2\theta)\sin(2\theta)\left(1 - \cos(\delta)\right)    &  \sin(2\theta)\sin(\delta) \\0 &  \cos(2\theta)\sin(2\theta)\left(1 - \cos(\delta)\right) &\cos^2(2\theta)\cos(\delta) + \sin^2(2\theta)              & -\cos(2\theta)\sin(\delta) \\0 & -\sin(2\theta)\sin(\delta)                               &\cos(2\theta)\sin(\delta)                                  &  \cos(\delta)\end{pmatrix}\quad

여기서

\delta

는 빠른 축과 느린 축 사이의 위상차를 나타내고,

\theta

는 느린 축의 각도를 의미한다.

주요 파장판의 뮬러 행렬은 다음과 같다.

광학 소자	뮬러 행렬
빠른축이 수직인 4분의 1 파장판 (위상지연자)	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad$
빠른축이 수평인 4분의 1 파장판 (위상지연자)	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad$
빠른축이 수직 또는 수평인 반파장판 (위상지연자, 이상적인 거울)	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad$

4. 3. 감쇠 필터

감쇠 필터는 입사하는 빛의 세기를 감소시키는 광학 소자이다. 빛의 투과율(T)에 따라 뮬러 행렬이 결정되며, 이상적인 감쇠 필터의 뮬러 행렬은 단위 행렬에 투과율을 곱한 형태가 된다.

예를 들어, 빛의 세기를 25%만 투과시키는 감쇠 필터(T = 0.25)의 뮬러 행렬은 다음과 같다.

M = {1 \over 4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

여기서 행렬 앞의 계수

1/4

는 25%의 투과율을 나타낸다. 이 행렬은 입사하는 빛의 편광 상태는 변화시키지 않고 전체 세기만 감소시키는 역할을 한다.

4. 4. 뮬러 텐서 (비선형 광학)

뮬러/스토크스 구조는 다광자 여기 형광 및 제2 고조파 발생과 같은 비선형 광학적 과정을 설명하는 데에도 사용될 수 있다. 뮬러 텐서는 뮬러 행렬과 존스 행렬로부터 직접 유추할 수 있으며, 실험실 좌표계의 존스 텐서와 연결된다.

:

\mathrm{M}^{(2)} = \mathrm{A}\left(\chi^{(2)*} \otimes \chi^{(2)}\right): \mathrm{A}^{-1}\mathrm{A}^{-1}

여기서

M^{(2)}

는 한 쌍의 입사 스토크스 벡터에 의해 생성된 스토크스 벡터를 설명하는 3차 뮬러 텐서이고,

\chi^{(2)}

는 2×2×2 실험실 좌표계 존스 텐서이다.

5. 한국에서의 뮬러 행렬 연구 및 활용

한국의 광학 산업은 디스플레이, 광통신 등 다양한 분야에서 세계적인 경쟁력을 갖추고 있으며, 뮬러 행렬은 이러한 기술 발전에 중요한 역할을 한다. 한국의 대학 및 연구 기관에서는 뮬러 행렬을 이용한 다양한 연구가 활발하게 진행되고 있다. 예를 들어, 새로운 광학 소자 개발, 비선형 광학 현상 연구, 바이오 이미징 기술 개발 등에 뮬러 행렬이 활용되고 있다.

참조

_[1] 서적 Light Scattering Reviews 4
_[2] 논문 Optical Algebra 1949
_[3] 서적 Handbook of Optics McGraw Hill Education 2009-10-06
_[4] 웹사이트 屈折面における光線空間の幾何光学的・波動光学的変化を用いた透明物体の３次元形状復元 https://shohei.nobuh[...] 2016

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