맨위로가기

존스 행렬

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

존스 행렬은 빛의 편광 상태를 설명하고 변환하는 데 사용되는 수학적 도구이다. 존스 벡터에 작용하여 편광 상태를 변환하는 연산자이며, 렌즈, 빔 분할기, 파장판 등 다양한 광학 소자를 표현하는 데 사용된다. 존스 벡터는 빛의 편광 상태를 나타내는 2차원 복소수 벡터로, x, y 방향 전기장의 진폭과 위상 정보를 담고 있다. 위상 지연기는 빛의 두 수직 편광 성분 사이에 위상차를 발생시켜 편광 상태를 변화시키는 광학 소자이며, 파장판이 대표적이다. 회전된 광학 소자의 존스 행렬은 회전 행렬을 사용하여 계산할 수 있으며, 존스 행렬은 광학 소자의 편광 변환 특성을 분석하고 설계하는 데 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 편광 - 패러데이 효과
    패러데이 효과는 빛이 자기장의 영향을 받아 편광면이 회전하는 현상으로, 1845년 마이클 패러데이가 발견했으며, 광 아이솔레이터, 자기장 측정 등 다양한 분야에 응용된다.
  • 편광 - 복굴절
    복굴절은 이방성 매질에서 빛의 속도가 편광 방향에 따라 달라져 빛이 두 개 이상의 굴절광선으로 나뉘는 현상으로, 결정, 플라스틱 등 다양한 물질에서 나타나며 광학 기기 및 여러 분야에 응용된다.
  • 행렬 - 스핀 (물리학)
    스핀은 양자역학적 각운동량으로, 양자화된 값을 가지며 자기 쌍극자 모멘트를 유발하여 다양한 분야에 응용되고 스핀트로닉스 기술 발전에 기여하지만, 전자의 스핀 기원은 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
  • 행렬 - 파울리 행렬
    파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.
  • 광학 - 광자
    광자는 전자기파의 기본 입자이자 빛의 입자적 성질을 나타내는 양자이며, 전하를 띠지 않고 에너지와 운동량을 가지며 다양한 기술 분야에 응용된다.
  • 광학 - 굴절
    굴절은 빛이 한 매질에서 다른 매질로 진행할 때 속도 변화로 인해 진행 방향이 꺾이는 현상이며, 렌즈, 프리즘, 광섬유 등 다양한 분야에 응용된다.
존스 행렬
개요
존스 계산법 요약
존스 계산법은 편광의 수학적 표현이다.
유형광학
분야광학, 결정 광학
발명가R. C. 존스
발명 연도1941년
설명
목적빛의 편광 상태 변화를 기술하고 계산하는 데 사용됨.
특징빛을 2차원 복소수 벡터로 표현하고, 광학 소자를 2x2 복소수 행렬로 표현하여 계산을 간편하게 함.
활용편광 현미경, 광통신, 액정 디스플레이(LCD) 등 다양한 광학 시스템 설계 및 분석에 활용됨.
제한 사항간섭성 빛에만 적용 가능하며, 편광 해소 효과는 고려하지 않음.
관련 개념
관련 개념편광
스토크스 매개변수
뮐러 계산법
연관 분야광학
결정 광학
존스 벡터
정의편광 상태를 나타내는 2차원 복소수 벡터.
예시수평 편광: (1, 0)
수직 편광: (0, 1)
45도 편광: (1/√2, 1/√2)
원형 편광: (1/√(2), i/√(2))
존스 행렬
정의광학 소자의 편광 변환을 나타내는 2x2 복소수 행렬.
예시수평 편광판: ((1, 0), (0, 0))
수직 편광판: ((0, 0), (0, 1))
45도 편광판: ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))
지연판: ((1, 0), (0, exp(iΔφ))) (Δφ는 위상 지연)
계산 방법
기본 연산존스 벡터에 존스 행렬을 곱하여 편광 상태 변화를 계산함.
복합 시스템여러 광학 소자를 통과하는 경우, 각 소자의 존스 행렬을 순서대로 곱하여 전체 시스템의 존스 행렬을 구함.
장점 및 단점
장점편광 계산을 간단하고 효율적으로 수행할 수 있음.
단점간섭성 빛에만 적용 가능
편광 해소 효과를 고려할 수 없음
참고 문헌

2. 존스 벡터

빛의 편광 상태를 나타내는 한 방법으로, 2차원 복소수 벡터를 사용하는데 이를 '''존스 벡터'''라고 부른다. 존스 벡터는 자유 공간이나 균질하고 등방성이며 감쇠가 없는 매질을 진행하는 빛, 특히 횡파로 간주될 수 있는 빛의 편광을 기술하는 데 유용하다.

일반적으로 빛이 z축 방향으로 진행할 때, 빛의 전기장은 진행 방향에 수직인 x-y 평면에서 진동한다. 존스 벡터는 바로 이 x축과 y축 방향 전기장 성분의 진폭과 위상 정보를 복소수 형태로 나타낸 것이다. 구체적인 수학적 정의와 표현 방식, 다양한 편광 상태(선형 편광, 원 편광, 타원 편광)에 따른 존스 벡터의 형태 및 위상 규칙 등 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 정의

(수평 편광)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}>H\rangle y 방향 선형 편광
(수직 편광)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}>V\rangle x 축 기준 +45° 선형 편광
(대각 편광, L+45)\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}>D\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \big( |H\rangle + |V\rangle \big) x 축 기준 −45° 선형 편광
(반대각 편광, L−45)\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}>A\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \big( |H\rangle - |V\rangle \big) 우원 편광 (RCP 또는 RHCP)\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}>R\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \big( |H\rangle - i |V\rangle \big) 좌원 편광 (LCP 또는 LHCP)\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ +i \end{pmatrix}>L\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \big( |H\rangle + i |V\rangle \big)



표에서 사용된 켓 표기법 |\psi\rangle는 양자역학 등에서 상태를 나타내는 방식이다. 푸앵카레 구와 관련하여 사용될 때는 특정 편광 상태 쌍(예: 수평 |H\rangle와 수직 |V\rangle, +45° 대각 |D\rangle와 -45° 대각 |A\rangle, 우원 |R\rangle와 좌원 |L\rangle)을 기본 기저 켓으로 설정하여 편광 상태를 구면 위에 표현한다. 위에 나열된 선형 편광이나 원 편광이 아닌 다른 모든 편광 상태는 타원 편광에 해당한다.

2. 2. 표현

''z'' 방향으로 진행하는 빛의 파동의 전계의 복소 진폭의 ''x'' 및 ''y'' 성분, E_x(t) 와 E_y(t)는 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{pmatrix}

E_x (t) \\

E_y (t)

\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}

E_{0x} e^{i(kz-\omega t+\phi_x )} \\

E_{0y} e^{i(kz-\omega t+\phi_y )}

\end{pmatrix}

=e^{i(kz-\omega t)} \begin{pmatrix}

E_{0x} e^{i\phi_x} \\

E_{0y} e^{i\phi_y}

\end{pmatrix}

여기서 우변에 나타나는, 편광을 기술하는 벡터 \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix} 를 '''존스 벡터'''라고 한다(i=\sqrt{-1}는 허수 단위). 존스 벡터는 ''x'' 및 ''y'' 성분의 (상대적) 진폭 E_{0x}, E_{0y}과 (상대적) 위상 \phi_x, \phi_y을 나타낸다.

각 성분의 절댓값의 제곱의 합은 빛의 세기에 비례한다. 계산을 시작할 때 이를 1로 정규화하는 것이 일반적이며, 이를 통해 많은 계산이 단순화된다. 존스 벡터의 첫 번째 성분을 실수로 만드는 것도 일반적이다. 이렇게 하면 다른 광파와의 간섭 계산에 필요한 전체 위상 정보가 손실될 수 있다.

이 문서에서의 존스 벡터 및 존스 행렬은 Hecht에 따라, 광파의 위상을 \phi =kz-\omega t 로 정의하는 규칙을 사용한다. 이 규칙에 따르면, \phi_x 또는 \phi_y의 증가는 위상 지연을 나타내고, 감소는 위상 진행을 나타낸다. 예를 들어, 존스 벡터의 성분이 i (=e^{i\pi/2})일 때는 1 (=e^0)에 비해 위상이 \pi/2(또는 90도)만큼 지연된 것을 의미한다. Collett은 이와 반대 정의(\phi =\omega t-kz)를 사용하므로, 다른 문헌을 참조할 때는 주의가 필요하다.

다음 표는 정규화된 존스 벡터의 6가지 일반적인 예를 보여준다.

편광존스 벡터일반적인 켓 표기
x 방향으로 선형 편광
일반적으로 "수평"이라고 함		\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}>H\rangle
y 방향으로 선형 편광
일반적으로 "수직"이라고 함		\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}>V\rangle
x 축에서 45°로 선형 편광
일반적으로 "대각선" L+45라고 함		\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}>D\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle + |V\rangle \big)
x 축에서 −45°로 선형 편광
일반적으로 "반대각선" L−45라고 함		\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}>A\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle - |V\rangle \big)
오른쪽 원편광
일반적으로 "RCP" 또는 "RHCP"라고 함		\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}>R\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle - i |V\rangle \big)
왼쪽 원편광
일반적으로 "LCP" 또는 "LHCP"라고 함		\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ +i \end{pmatrix}>L\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle + i |V\rangle \big)



임의의 편광 상태를 나타내는 일반적인 벡터는 켓 |\psi\rangle로 작성된다. 푸앵카레 구(블로흐 구라고도 함)를 사용할 때, 기본 켓(|0\rangle과 |1\rangle)은 위에 나열된 켓의 반대(대척점) 쌍 중 하나에 할당되어야 한다. 예를 들어, |0\rangle = |H\rangle 및 |1\rangle = |V\rangle로 할당할 수 있다. 이러한 할당은 임의적이다. 반대 쌍은 다음과 같다.



|R\rangle 또는 |L\rangle과 같지 않고, |H\rangle, |D\rangle, |V\rangle, |A\rangle를 통과하는 원 위에 있지 않은 모든 지점의 편광은 타원 편광이라고 한다.

2. 3. 편광 상태 표현

빛의 편광 상태를 나타내는 한 방법으로 존스 벡터가 사용된다. 이는 ''z'' 방향으로 진행하는 단색 평면파의 전기장 성분을 이용하여 정의된다. 전기장의 ''x'' 성분과 ''y'' 성분의 복소 진폭은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\begin{pmatrix} E_x(t) \\ E_y(t) \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i(kz- \omega t+\phi_x)} \\ E_{0y} e^{i(kz- \omega t+\phi_y)} \\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \\ 0\end{pmatrix}e^{i(kz- \omega t)}

여기서 E_{0x}와 E_{0y}는 각 성분의 진폭, \phi_x와 \phi_y는 각 성분의 위상을 나타낸다. i는 허수 단위이다.

'''존스 벡터'''는 이 전기장의 ''x'' 및 ''y'' 성분의 복소 진폭을 모아놓은 2차원 벡터이다.

:\mathbf{J} = \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix}

존스 벡터는 빛의 편광 상태, 즉 전기장 벡터의 시간적 변화 양상을 간결하게 나타낸다. 벡터의 각 성분은 해당 방향 전기장의 진폭과 위상 정보를 담고 있다.

존스 벡터의 각 성분 절댓값의 제곱의 합(|E_{0x}|^2 + |E_{0y}|^2)은 빛의 세기에 비례한다. 계산의 편의를 위해 보통 존스 벡터의 크기를 1로 정규화하여 사용한다. 즉, |E_{0x}|^2 + |E_{0y}|^2 = 1이 되도록 벡터 전체에 상수를 곱한다. 또한, 전체 위상 정보는 종종 생략하고 첫 번째 성분(E_{0x} e^{i\phi_x})을 실수로 만드는 경우도 많다.

빛의 위상을 \phi = kz - \omega t로 정의하는 규칙(Hecht 규칙)을 따르면, 존스 벡터 성분의 위상(\phi_x, \phi_y) 증가는 위상 지연을 의미한다. 예를 들어, 한 성분이 i = e^{i\pi/2}이면, 실수 1(=e^0)인 성분보다 위상이 \pi/2만큼 늦다(지연된다). 다른 정의(\phi = \omega t - kz, Collett 규칙)를 사용하는 문헌도 있으므로 주의가 필요하다.

다음 표는 몇 가지 기본적인 편광 상태에 대한 정규화된 존스 벡터의 예시이다.

편광존스 벡터일반적인 켓 표기법
x 방향 선형 편광
(수평 편광)		\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}>H\rangle
y 방향 선형 편광
(수직 편광)		\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}>V\rangle
x 축 기준 +45° 선형 편광
(대각선 편광)		\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}>D\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle + |V\rangle \big)
x 축 기준 -45° 선형 편광
(반대각선 편광)		\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}>A\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle - |V\rangle \big)
우회전 원편광 (RCP 또는 RHCP)\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}>R\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle - i |V\rangle \big)
좌회전 원편광 (LCP 또는 LHCP)\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ +i \end{pmatrix}>L\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \big( |H\rangle + i |V\rangle \big)



위 표에 나타난 선형 편광과 원편광 외의 모든 편광 상태는 타원 편광에 해당한다. 타원 편광의 존스 벡터는 일반적으로 두 성분의 진폭이 다르고 위상차도 임의의 값을 가진다. 예를 들어, \begin{pmatrix} a \\ be^{i\delta} \end{pmatrix} (단, a \neq b 이고 \delta \neq 0, \pm \pi/2, \pm \pi) 형태는 타원 편광을 나타낸다.

2. 4. 위상 규칙

존스 벡터 \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix}에서 \phi_x와 \phi_y는 각각 전기장의 ''x'' 성분과 ''y'' 성분의 위상을 나타낸다. 이 위상을 정의하는 방식은 문헌마다 다를 수 있어 주의가 필요하다.

빛 파동의 위상 \phi를 기술하는 데 주로 사용되는 두 가지 규칙이 있다.

1. \phi = kz - \omega t: 이 규칙은 Hecht 등이 사용하는 방식이며, 이 문서의 존스 벡터 및 행렬 표기법은 이 규칙을 따른다. 이 정의에 따르면, 위상 인자(\phi_x 또는 \phi_y)의 증가는 위상이 지연(lag)됨을 의미하고, 감소는 위상이 전진(advance)됨을 의미한다. 예를 들어, 존스 벡터의 어떤 성분이 i (=e^{i\pi/2}) 값을 가질 때, 이는 성분 1 (=e^0)에 비해 위상이 \pi/2 (또는 90도) 만큼 지연되었음을 나타낸다.

2. \phi = \omega t - kz: 이 규칙은 Collett 등이 사용하는 방식으로, Hecht의 방식과는 부호가 반대이다. 따라서 이 규칙에서는 위상 인자의 증가가 위상 전진을, 감소가 위상 지연을 의미하게 된다.

사용하는 규칙에 따라 위상차의 부호가 달라지므로, 존스 벡터나 존스 행렬을 다루는 문헌을 참고할 때는 저자가 어떤 위상 정의 규칙을 따르고 있는지 반드시 확인해야 한다.

또한, 원형 편광의 좌우 회전 방향(handedness) 정의 역시 저자마다 다를 수 있다. 예를 들어, Jones의 정의는 "수신자의 관점"에서 정의하는 방식이고, Collett의 정의는 "광원의 관점"에서 정의하는 방식이어서 서로 반대가 될 수 있다. 따라서 관련 자료를 참조할 때는 위상 규칙과 더불어 편광의 정의 방식도 함께 확인하는 것이 중요하다.

3. 존스 행렬

존스 행렬은 빛의 편광 상태를 나타내는 존스 벡터에 작용하여, 광학 소자를 통과한 후의 편광 상태 변화를 기술하는 2x2 복소수 행렬이다. 이는 다양한 광학 소자가 빛의 편광에 미치는 영향을 수학적으로 표현하는 데 사용된다.

3. 1. 정의

존스 행렬은 존스 벡터에 작용하는 연산자이다. 존스 행렬은 렌즈, 빔 분할기, 거울 등 다양한 광학 소자에 의해 구현된다. 각 행렬은 존스 벡터의 1차원 복소 부분 공간으로의 투영을 나타낸다.

다음 표는 편광자에 대한 존스 행렬의 예시를 보여준다.

광학 소자존스 행렬
투과축이 수평(x축)인 선형 편광자[2]
투과축이 수직(y축)인 선형 편광자[2]
투과축이 수평선과 +45°를 이루는 선형 편광자[2]
투과축이 수평선과 -45°를 이루는 선형 편광자[2]
투과축이 수평선에서 \theta 각도를 이루는 선형 편광자[2]
오른쪽 원형 편광자[2]
왼쪽 원형 편광자[2]


3. 2. 표현

존스 행렬은 존스 벡터에 작용하는 연산자이다.[2] 이러한 행렬은 렌즈, 빔 분할기, 거울 등 다양한 광학 소자를 나타내는 데 사용된다.[2] 각 행렬은 존스 벡터를 특정 1차원 복소 부분 공간으로 투영하는 것을 의미한다.[2]

다음 표는 여러 종류의 편광자에 대한 존스 행렬의 예시를 보여준다.

광학 소자존스 행렬
투과축이 수평인 선형 편광자[2]
투과축이 수직인 선형 편광자[2]
투과축이 수평선과 ±45°를 이루는 선형 편광자[2]
투과축이 수평선에서 \theta 각도를 이루는 선형 편광자[2]
오른쪽 원형 편광자[2]
왼쪽 원형 편광자[2]


3. 3. 광학 소자 표현

존스 행렬은 존스 벡터에 작용하는 연산자로, 렌즈, 빔 분할기, 거울 등 다양한 광학 소자의 편광 변환 특성을 나타낸다.[2] 각 행렬은 존스 벡터를 1차원 복소 부분 공간으로 투영하는 것을 나타낸다. 다음 표는 다양한 편광자에 대한 존스 행렬의 예시이다.

광학 소자존스 행렬
투과축이 수평인 선형 편광자[2]
투과축이 수직인 선형 편광자[2]
투과축이 수평선과 ±45°를 이루는 선형 편광자[2]
투과축이 수평선에서 \theta 각도를 이루는 선형 편광자[2]
오른쪽 원형 편광자[2]
왼쪽 원형 편광자[2]


4. 위상 지연기 (파장판)

위상 지연기(Phase retarder)는 입사하는 단색 편광된 빛의 서로 직교하는 두 편광 성분 사이에 위상차를 발생시켜 빛의 편광 상태를 변화시키는 광학 소자이다.[3][14] 대표적인 위상 지연기로는 파장판(Waveplate)이 있다.[14] 파장판은 주로 복굴절 결정으로 만들어지며, 빛이 통과할 때 서로 수직인 편광 성분 간의 광학 경로 차이를 이용하여 위상차를 만든다. 위상 지연기의 구체적인 작동 원리, 수학적 표현인 존스 행렬, 그리고 다양한 종류(예: 4분의 1 파장판, 반파장판)에 대해서는 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

4. 1. 작동 원리

위상 지연기(Phase retarder)는 단색 편광된 빛의 두 직교 편광 성분 사이에 위상차를 생성하는 광학 소자이다.[3] 수학적으로 존스 벡터를 ket |P\rangle로 나타낼 때, 위상 지연기는 이 벡터를 다음과 같이 변환한다.

:|P\rangle = c_1 |1\rangle + c_2|2\rangle \quad \rightarrow \quad |P'\rangle = c_1 {\rm e}^{i\eta/2}|1\rangle + c_2 {\rm e}^{-i\eta/2}|2\rangle

여기서 |1\rangle, |2\rangle는 위상 지연기의 물리적 특성에 의해 결정되는 직교 편광 성분(즉, \langle 1|2 \rangle =0)이며, \eta는 두 성분 사이의 상대적인 위상 지연이다. 일반적으로 |1\rangle, |2\rangle는 임의의 두 기저 벡터가 될 수 있지만, 실제로는 선형 편광을 기저로 하는 선형 위상 지연기가 더 흔하게 사용된다.

선형 위상 지연기는 주로 복굴절 단축 결정으로 만들어지며, 흔히 사용되는 재료로는 방해석, MgF2, 석영 등이 있다. 이러한 재료로 만든 판을 파장판(Waveplate)이라고 부른다. 단축 결정은 하나의 광축을 가지며, 이 축의 굴절률은 다른 두 축과 다르다. 빛이 결정 내에서 진행할 때, 굴절률이 작은 축 방향으로는 위상 속도가 빠르고, 이 축을 빠름축(fast axis)이라고 한다. 반대로 굴절률이 큰 축 방향으로는 위상 속도가 느리며, 이 축을 느림축(slow axis)이라고 한다. 광축이 빠름축인지 느림축인지는 결정의 종류에 따라 다르다. 예를 들어, "음(-) 단축 결정"(방해석, 사파이어 등)은 광축 방향의 굴절률이 더 작아 광축이 빠름축이 되고, "양(+) 단축 결정"(석영, 불화 마그네슘 등)은 광축 방향의 굴절률이 더 커서 광축이 느림축이 된다.

빠름축이 x축 또는 y축과 정렬된 선형 위상 지연기의 존스 행렬은 비대각 성분이 0이며, 다음과 같이 표현된다.

:\begin{pmatrix}

{\rm e}^{i\phi_x} & 0 \\

0 & {\rm e}^{i\phi_y}

\end{pmatrix}

여기서 \phi_x와 \phi_y는 각각 x 및 y 방향 전기장 성분의 위상 변화량을 나타낸다. 두 파동 간의 상대적인 위상차를 \epsilon = \phi_y - \phi_x로 정의하면, \epsilon > 0 (즉, \phi_y > \phi_x)은 E_x 성분이 E_y 성분보다 위상적으로 앞선다는 것을 의미한다. 반대로 \epsilon < 0이면 E_y가 E_x보다 앞선다.

예를 들어, 4분의 1 파장판의 빠름축이 수평(x축) 방향이라면, 수평 방향의 위상 속도가 수직(y축) 방향보다 빠르므로 E_x가 E_y보다 앞선다. 따라서 \phi_x < \phi_y이며, 구체적으로 4분의 1 파장판의 경우 \phi_y = \phi_x + \pi/2의 관계를 만족한다.

다음 표는 몇 가지 일반적인 위상 지연기와 해당하는 존스 행렬을 보여준다.

위상 지연기해당 존스 행렬
빠름축이 수직인 4분의 1 파장판[4] {\rm e}^{\frac{i\pi}{4}} \begin{pmatrix}
빠름축이 수평인 4분의 1 파장판[4] {\rm e}^{-\frac{i\pi}{4}} \begin{pmatrix}
수평축에 대해 \theta 각도로 기울어진 빠름축을 가진 4분의 1 파장판{\rm e}^{-\frac{i\pi}{4}}
수평축에 대해 \theta 각도로 기울어진 빠름축을 가진 반파장판[6]{\rm e}^{-\frac{i\pi}{2}} \begin{pmatrix}
일반 파장판(선형 위상 지연기)[3] (빠름축이 \theta 각도, 상대 위상 지연 \eta){\rm e}^{-\frac{i\eta}{2}} \begin{pmatrix}
임의의 복굴절 재료(타원 위상 지연기)[3][7] (빠름축 \theta, 상대 위상 지연 \eta, 원형도 \phi){\rm e}^{-\frac{i\eta}{2}} \begin{pmatrix}



임의의 복굴절 재료에 대한 존스 행렬은 가장 일반적인 형태이며, 모든 편광 변환(위상 인자 제외)을 나타낼 수 있다.[7] 이 일반 표현식에서 각 매개변수는 다음과 같은 물리적 의미를 갖는다.

4. 2. 존스 행렬 표현

위상 지연기(Phase retarder)는 입사하는 빛의 서로 직교하는 편광 성분 사이에 특정한 위상차를 발생시키는 광학 소자이다.[3] 위상 지연기의 빠름축이 x축 또는 y축으로 정렬된 경우, 즉 선형 편광을 고유 벡터로 가지는 경우, 그 존스 행렬은 비대각 성분이 0이 되어 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

:\begin{pmatrix}

{\rm e}^{i\phi_x} & 0 \\

0 & {\rm e}^{i\phi_y}

\end{pmatrix}

여기서 \phi_x와 \phi_y는 각각 x 및 y 방향 전기장 성분의 위상 변화량을 나타낸다. 두 파동 간의 상대 위상을 \epsilon = \phi_y - \phi_x로 정의하면, 양의 \epsilon(즉, \phi_y > \phi_x)는 E_x 성분이 E_y 성분보다 위상이 앞선다는 것을 의미한다. 반대로 \epsilon < 0이면 E_y가 E_x보다 위상이 앞선다. 예를 들어, 4분의 1 파장판의 빠름축이 x축(수평) 방향이라면, x축 방향의 위상 속도가 y축(수직) 방향보다 빠르므로 \phi_x < \phi_y가 되고, 구체적으로 \phi_y = \phi_x + \pi/2가 된다.

다음은 몇 가지 일반적인 위상 지연기의 존스 행렬 예시이다.

위상 지연기해당 존스 행렬
빠름축이 수직인 4분의 1 파장판[4] {\rm e}^{\frac{i\pi}{4}} \begin{pmatrix}
빠름축이 수평인 4분의 1 파장판[4] {\rm e}^{-\frac{i\pi}{4}} \begin{pmatrix}
수평축에 대해 \theta 각도로 기울어진 빠름축을 가진 4분의 1 파장판{\rm e}^{-\frac{i\pi}{4}}
\theta만큼 회전된 반파장판[5]\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}
수평축에 대해 \theta 각도로 기울어진 빠름축을 가진 반파장판[6]{\rm e}^{-\frac{i\pi}{2}} \begin{pmatrix}
일반적인 파장판 (선형 위상 지연기)[3]{\rm e}^{-\frac{i\eta}{2}} \begin{pmatrix}



더 일반적인 경우로, 임의의 복굴절 재료(타원 위상 지연기)의 존스 행렬은 다음과 같이 표현된다. 이는 존스 계산법에서 가장 일반적인 형태의 편광 변환을 나타낸다.[3][7]

:{\rm e}^{-\frac{i\eta}{2}} \begin{pmatrix}

\cos^2\theta + {\rm e}^{i\eta} \sin^2\theta &

\left(1 - {\rm e}^{i\eta}\right) {\rm e}^{-i\phi} \cos\theta \sin\theta \\

\left(1 - {\rm e}^{i\eta}\right) {\rm e}^{i\phi} \cos\theta \sin\theta &

\sin^2\theta + {\rm e}^{i\eta} \cos^2\theta

\end{pmatrix}

이 일반적인 표현식에서 각 매개변수는 다음과 같은 의미를 가진다.[7]



위의 표에 있는 특정 위상 지연기들의 존스 행렬은 이 일반적인 형태에서 \eta, \theta, \phi에 특정 값을 대입하여 얻을 수 있다. 예를 들어, 선형 위상 지연기는 \phi=0인 경우에 해당한다.

4. 3. 종류

위상 지연기(Phase retarder)는 빛의 두 직교 편광 성분 사이에 특정 위상차를 만들어 편광 상태를 바꾸는 광학 소자이다.[3] 가장 일반적인 위상 지연기는 파장판(Waveplate)이며, 주로 복굴절 특성을 가진 단축 결정(uniaxial crystal)으로 만들어진다. 대표적인 재료로는 방해석, 불화 마그네슘(MgF2), 석영 등이 있다.

단축 결정에는 빛의 진행 속도가 다른 두 개의 주축이 존재하는데, 속도가 빠른 축을 빠름축(fast axis), 느린 축을 느림축(slow axis)이라고 한다. 빛이 파장판을 통과할 때 빠름축 방향의 편광 성분과 느림축 방향의 편광 성분 사이에 위상차가 발생한다.

선형 위상 지연기의 빠름축이 x축 또는 y축에 정렬된 경우, 그 효과는 다음과 같은 존스 행렬로 표현될 수 있다.

:\begin{pmatrix} {\rm e}^{i\phi_x} & 0 \\ 0 & {\rm e}^{i\phi_y} \end{pmatrix}

여기서 \phi_x와 \phi_y는 각각 x축과 y축 방향 편광 성분의 위상 변화량을 나타낸다. 두 성분 간의 상대적인 위상 지연 \epsilon = \phi_y - \phi_x 값에 따라 다양한 종류의 파장판이 정의된다.

주요 파장판의 종류와 해당 존스 행렬은 다음과 같다.

위상 지연기 (파장판)해당 존스 행렬
빠름축이 수직인 4분의 1 파장판 (\lambda/4 판)[4] {\rm e}^{\frac{i\pi}{4}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}
빠름축이 수평인 4분의 1 파장판 (\lambda/4 판)[4] {\rm e}^{-\frac{i\pi}{4}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}
수평축에 대해 \theta 각도로 기울어진 빠름축을 가진 4분의 1 파장판{\rm e}^{-\frac{i\pi}{4}} \begin{pmatrix} \cos^2\theta + i\sin^2\theta & (1 - i)\sin\theta \cos\theta \\ (1 - i)\sin\theta \cos\theta & \sin^2\theta + i\cos^2\theta \end{pmatrix}
수평축에 대해 \theta 각도로 기울어진 빠름축을 가진 반파장판 (\lambda/2 판)[6][5]{\rm e}^{-\frac{i\pi}{2}} \begin{pmatrix} \cos^2\theta - \sin^2\theta & 2 \cos\theta \sin\theta \\ 2 \cos\theta \sin\theta & \sin^2\theta - \cos^2\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}
일반 파장판 (선형 위상 지연기)[3]{\rm e}^{-\frac{i\eta}{2}} \begin{pmatrix} \cos^2\theta + {\rm e}^{i\eta} \sin^2\theta & \left(1 - {\rm e}^{i\eta}\right) \cos\theta \sin\theta \\ \left(1 - {\rm e}^{i\eta}\right) \cos\theta \sin\theta & \sin^2\theta + {\rm e}^{i\eta} \cos^2\theta \end{pmatrix}
임의의 복굴절 재료 (타원 위상 지연기)[3][7]{\rm e}^{-\frac{i\eta}{2}} \begin{pmatrix} \cos^2\theta + {\rm e}^{i\eta} \sin^2\theta & \left(1 - {\rm e}^{i\eta}\right) {\rm e}^{-i\phi} \cos\theta \sin\theta \\ \left(1 - {\rm e}^{i\eta}\right) {\rm e}^{i\phi} \cos\theta \sin\theta & \sin^2\theta + {\rm e}^{i\eta} \cos^2\theta \end{pmatrix}



위 표에서 \eta는 빠름축과 느림축 사이의 상대 위상 지연(\eta = \phi_y - \phi_x), \theta는 x축에 대한 빠름축의 방향 각도, \phi는 타원율과 관련된 매개변수이다.[7] 선형 위상 지연기의 경우 \phi=0이다.

5. 회전된 광학 소자

광학 소자가 기준 축에 대해 회전하면, 입사하는 빛의 편광 상태에 미치는 영향도 달라진다. 따라서 회전된 광학 소자를 나타내는 존스 행렬은 원래의 존스 행렬에 회전 행렬을 이용한 변환을 적용하여 계산해야 한다.

구체적인 회전 변환 방법과 임의의 3차원 회전에 대한 존스 행렬 계산은 이어지는 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 회전 변환

원래 각도에서 각 \theta만큼 회전한 광학 소자의 존스 행렬 M(\theta )는 회전하지 않았을 때의 존스 행렬 M으로부터 다음과 같은 변환으로 구할 수 있다.

: M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta ),

여기서 R(\theta )는 다음과 같은 회전 행렬이다.

: R(\theta )=

\begin{pmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta \\

\sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}

5. 2. 임의의 회전

임의의 방향으로 회전된 광학 소자의 존스 행렬 J(''α'', ''β'', ''γ'')을 구하기 위해서는 3차원 회전 행렬을 사용해야 한다. 여기서 ''α'', ''β'', ''γ''는 각각 요, 피치, 롤 각도(z축, y축, x축에 대한 회전, x는 빛의 전파 방향)를 의미한다. 3차원 회전 행렬 R3D는 다음과 같이 표현된다.

R_{3D}(\alpha, \beta, \gamma)=\begin{bmatrix} \cos\alpha\cos\beta &

\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma - \sin\alpha\cos\gamma &

\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma \\

\sin\alpha\cos\beta &

\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma + \cos\alpha\cos\gamma &

\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - \cos\alpha\sin\gamma \\

이 3차원 회전 행렬을 이용하여, 임의의 기본 존스 행렬 J에 대해 회전된 상태 J(''α'', ''β'', ''γ'')는 다음 식으로 계산할 수 있다.

J(\alpha,\beta,\gamma) = R_{3D}(-\alpha,-\beta,-\gamma)\cdot J \cdot R_{3D}(\alpha,\beta,\gamma)[5]

예를 들어, 존스 행렬 J가 이상적인 선형 수평 편광기에 해당한다고 가정하면, 회전된 존스 행렬은 다음과 같이 계산된다.

J(\alpha, \beta, \gamma) =

\begin{bmatrix}

c^2_{\alpha} c^2_{\beta} & c_{\alpha} c_{\beta} [c_{\alpha} s_{\beta} s_{\gamma} - s_{\alpha} c_{\gamma}] & c_{\alpha} c_{\beta} [c_{\alpha} s_{\beta} c_{\gamma} + s_{\alpha} s_{\gamma}]\\

s_{\alpha} c_{\alpha} c^2_{\beta} & s_{\alpha} c{\beta} [c_{\alpha} s_{\beta} s_{\gamma} - s_{\alpha} c_{\gamma}] & s_{\alpha} c_{\beta} [c_{\alpha} s_{\beta} c_{\gamma} + s_{\alpha} s_{\gamma}] \\
\end{bmatrix}



여기서 ci는 cos(''i''), si는 sin(''i'')를 나타낸다.

이 분야에 대한 더 자세한 연구는 러셀 A. 칩먼(Russell A. Chipman)과 가람 윤(Garam Yun) 등의 연구를 참조할 수 있다.[9][10][11][12][13]

한편, 광학 소자가 원래 방향에서 각도 \theta만큼 회전했을 때의 존스 행렬 M(\theta )는, 회전하지 않았을 때의 존스 행렬 M과 2차원 회전 행렬 R(\theta )를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

: M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta ),

여기서 2차원 회전 행렬 R(\theta )는 다음과 같다.

: R(\theta )=

\begin{pmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta \\

\sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}

6. 응용

(내용 없음)

7. 한국의 연구 동향

한국의 광학 연구에서도 존스 행렬과 존스 미적분학은 중요한 도구로 활용되고 있다. 특히, 김상열 아주대학교 교수가 저술한 ''타원법''은 존스 미적분학을 포함하여 타원 편광 측정 및 분석 기술을 다루는 대표적인 국내 전문 서적 중 하나로 꼽힌다. 이 책은 해당 분야의 연구자와 학생들에게 기초적인 이론과 응용 지식을 제공하는 데 기여하고 있다.

참조

[1] 웹사이트 Jones Calculus https://spie.org/pub[...] 2022-08-07
[2] 서적 Introduction to Modern Optics https://archive.org/[...] Dover 1989
[3] 서적 Matrix Theory of Photoelasticity https://link.springe[...] Springer Science+Business Media 1979
[4] 서적 Optics https://archive.org/[...] Addison-Wesley 2001
[5] 웹사이트 Jones Calculus https://spie.org/pub[...] 2023-04-29
[6] 서적 Introduction to Matrix Methods in Optics John Wiley & Sons 1975
[7] 간행물 Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix
[8] 간행물 Derivation of reciprocity relations for a beam splitter from energy balance
[9] 서적 Polarized Light and Optical Systems https://books.google[...] CRC Press 2023-01-20
[10] 간행물 Mechanics of polarization ray tracing
[11] 간행물 Three-dimensional polarization ray-tracing calculus I: definition and diattenuation
[12] 간행물 Three-dimensional polarization ray-tracing calculus II: retardance
[13] 논문 Polarization Ray Tracing University of Arizona 2011
[14] 문서 移相子は光学におけるphase retarderあるいはretarderの訳。一般には波長板が知られているが、ここでは補償板を含む一般的な単語として移相子を採用した。遅相子、移相器などと呼ばれることもある。


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com