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반치전폭

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1. 개요

반치전폭(FWHM, Full Width at Half Maximum)은 함수가 최대값의 절반이 되는 두 지점 사이의 폭을 의미한다. 함수 f(x)가 최댓값 fmax를 가질 때, f(x1) = f(x2) = fmax/2를 만족하는 x1과 x2의 차이 |x1 - x2|로 정의된다. 정규분포의 경우, 반치전폭은 표준편차의 약 2.3548200배이며, 쌍곡선 시컨트 함수의 반치전폭은 약 2.634X이다. 품질 계수 Q와의 관계는 FWHM = ω0/Q로 나타낼 수 있다.

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반치전폭

2. 정의

어떤 함수가 x_{\rm max}에서 최댓값 f_{\rm max}를 가질 때, x_1, x_2에서 함수의 값이 최댓값의 절반으로 감소한다면,

:f(x_1) = f(x_2) = \frac{1}{2}f(x_\mathrm{max})\,

반치전폭은 두 값의 차이인 |x_1-x_2|로 정의된다.

함수 ''f''(''x'')가 어떤 지점 전후에서 산 모양의 국소적인 응답을 보인다고 가정한다. 단, ''f''(''x'')가 불연속인 경우는 고려하지 않으며, 불연속인 경우에는 근사적인 연속 함수를 생각한다.

''f''(''x'')를 베이스라인 함수 ''b''(''x'')와 국소적 응답 함수 ''g''(''x'')의 합

: ''f''(''x'') = ''b''(''x'') + ''g''(''x'')

으로 나타낸다. 산 모양의 넓이 성분은 ''g''(''x'')에 포함되며, 충분히 큰 ''x''와 충분히 작은 ''x'' (또는 ±∞로의 극한)에 대해 ''g''(''x'') = 0이 된다.

충분히 큰 ''x''와 충분히 작은 ''x''에 대해 ''f''(''x'') = 0이라면, ''b''(''x'') = 0으로 간주하고,

: ''f''(''x'') = ''g''(''x'')

로 할 수 있다. 실용상 ''f''(''x'')가 위의 조건을 만족하지 않더라도 이렇게 하는 경우가 있다.

''g''(''x'')의 최댓값을 ''g''max = ''g''(''x''max)라고 하면, ''g''(''x'') = ''g''max/2를 만족하는 ''x''가 2개 이상 존재한다(''g''(''x'')가 단봉성이라면 ''x''max의 좌우에 각각 1개씩 존재한다). ''g''(''x'') = ''g''max/2를 만족하는 최소의 ''x''를 ''x''1, 최대의 ''x''를 ''x''2라고 하면, ''x''2 - ''x''1이 반치전폭이다.

3. 특정 분포

광학이나 솔리톤과 관련하여 많이 쓰이는 분포함수로 쌍곡선 시컨트가 있으며, 이 함수의 반치전폭은 다음과 같이 구할 수 있다.[3]

:\mathrm{FWHM} = 2 \operatorname{arcsech} \left( \frac{1}{2} \right) X = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \; X \approx 2.634 \; X

여기서 arcsech는 역쌍곡선 시컨트를 의미한다.

폭 ''a'' 의 구형 함수의 경우, 반치폭은 FWHM = ''a'', HWHM = ''a''/2 이다. 이 경우, "반" 값이 아니더라도 항상 이 폭이 되므로, 단순히 "전폭", "반폭"이라고도 한다.

품질 계수 Q와의 관계는, \omega_0을 공진 피크에서의 공진 주파수라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:{\rm FWHM} = \frac{\omega_0}{Q}

3. 1. 정규 분포

만약 고려하고 있는 함수가 정규분포를 따른다면, 함수는 다음과 같이 주어진다.

:f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} } \exp \left[ -\frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2} \right]

여기서 \sigma는 표준편차, x_0는 함수의 평균값을 의미한다. 그러면 이 함수의 반치전폭과 표준편차의 관계는 다음과 같이 주어진다.[3]

: \mathrm{FWHM} = 2\sqrt{2 \ln 2 } \; \sigma \approx 2.3548200 \; \sigma.

반치전폭은 기댓값 ''x''0에 의존하지 않으며, 평행 이동에 대해 불변이다. 이 반치전폭 내의 면적은 함수 아래 전체 면적의 약 76%이다. 표준 편차 σ 의 정규 분포의 반치폭은 다음과 같다.

:{\rm FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\; \sigma \approx 2.354820 \; \sigma

:{\rm HWHM} = \sqrt{2 \ln 2}\; \sigma \approx 1.177410 \; \sigma

3. 2. 쌍곡선 시컨트 분포

광학이나 솔리톤과 관련하여 많이 쓰이는 분포함수로 쌍곡선 시컨트가 있다.[3]

:f(x)=\operatorname{sech} \left( \frac{x}{X} \right).

이 함수의 반치전폭은 다음과 같이 구할 수 있다.

:\mathrm{FWHM} = 2 \; \operatorname{arcsech} \left( \frac{1}{2} \right) X = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \; X \approx 2.634 \; X

여기서 arcsech는 역쌍곡선 시컨트를 의미한다.

광학에서 솔리톤과 관련된 또 다른 중요한 분포 함수는 쌍곡선 시컨트이다.

:f(x) = \operatorname{sech} \left( \frac{x}{X} \right).

FWHM에 영향을 미치지 않으므로 임의의 변환 요소는 생략되었다. 이 펄스에 대해 다음을 얻을 수 있다.

:\mathrm{FWHM} = 2 \operatorname{arcsch} \left(\tfrac{1}{2}\right) X = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \; X \approx 2.634 \; X

여기서 arcsech는 역쌍곡선 시컨트이다.

쌍곡선 시컨트 함수 sech ''x'' 의 반치폭은,

:{\rm FWHM} = 2 \; \operatorname{Sech}^{-1} \frac{1}{2} = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \approx 2.633916

:{\rm HWHM} = \operatorname{Sech}^{-1} \frac{1}{2} = \ln (2 + \sqrt{3}) \approx 1.316958

이다.

3. 3. 코시 분포 (로렌츠 분포)

분광법에서 반치폭(HWHM, 기호 ''γ'')이 일반적으로 사용된다. 예를 들어, 높이가 인 코시 분포(로렌츠 분포)는 다음과 같이 정의된다.[3]

:f(x) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \quad \text{ and } \quad \mathrm{FWHM} = 2 \gamma.

4. 그 외

표준 편차 σ의 정규 분포에서,

:FWHM영어 = 2√(2 ln 2) σ ≈ 2.354820 σ

:HWHM영어 = √(2 ln 2) σ ≈ 1.177410 σ

이다.

쌍곡선 시컨트 함수 sech ''x''에서,

:FWHM영어 = 2 sech-1 (1/2) = 2 ln (2 + √3) ≈ 2.633916

:HWHM영어 = sech-1 (1/2) = ln (2 + √3) ≈ 1.316958

이다.

폭 ''a''인 구형 함수에서,

:FWHM = ''a''

:HWHM = ''a''/2

이다. 이 경우 "반" 값이 아니더라도 항상 이 폭이 되므로, 단순히 "전폭", "반폭"이라고도 한다.

품질 계수 Q와의 관계는, ω0을 공진 피크에서의 공진 주파수라고 하면

:FWHM영어 = ω0/Q

로 나타낸다.

참조

[1] 웹사이트 Gaussian Function – from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...]
[2] 서적 천문학용어집 한국천문학회
[3] 웹사이트 Gaussian Function - from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...]



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