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Q 인자

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목차

1. 개요

Q 인자는 진동하는 물리 시스템의 공진 특성을 나타내는 무차원 매개변수이다. Q 인자는 공진 주파수를 대역폭으로 나눈 값으로, 공진의 날카로움을 나타내며, 시스템에 저장된 에너지와 손실되는 에너지의 비율을 나타내기도 한다. Q 값이 클수록 에너지 손실이 적고, 진동이 오래 지속된다. Q 인자는 감쇠, RLC 회로, 기계 시스템, 광학 시스템, 음향 시스템, 재료 과학 등 다양한 분야에서 활용되며, 시스템의 성능과 특성을 이해하는 데 중요한 지표로 사용된다.

2. 정의

Q 인자는 조화 진동자의 공진 특성을 나타내는 값으로, 시스템에 저장된 에너지와 손실되는 에너지의 비율로 표현된다. Q 인자가 높을수록 공진기의 진폭은 커지고, 공진 주파수 주변의 좁은 범위에서만 공진이 일어난다. 즉, 높은 Q 값을 가진다는 것은 진동이 오랫동안 지속되며, 특정 주파수에 대한 선택도가 높다는 것을 의미한다.[3][4]

Q 인자는 원래 웨스턴 일렉트릭 컴퍼니의 K. S. 존슨이 코일의 품질을 평가하면서 처음 사용한 개념이다. 당시 다른 알파벳 문자들이 이미 사용 중이었기 때문에 Q를 선택했다고 하며, '품질(Quality)'을 의미하는 것은 아니었지만, 이후 품질 계수라는 용어와 연관되어 사용되게 되었다.[5][6][7]

Q 인자는 여러 분야에서 사용되는데, 다음과 같이 정의될 수 있다.


  • 일반적인 정의: 진동하는 시스템에서, 저장된 에너지와 한 주기 동안 손실되는 에너지의 비율에 2π를 곱한 값이다.
  • 전자 공학: 공진 회로에서 공진 피크의 날카로움을 나타내는 값이다.
  • 1자유도 스프링-질량계: 기계적 저항을 사용하여 Q 값을 표현할 수 있다.
  • 광학: 공동 공진기의 Q 값.
  • 유전체 재료: tanδ의 역수로 정의된다.


Q 인자의 구체적인 수학적 표현 방식은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 주파수 대역폭 정의

인자는 공진기의 주파수 대역폭 비로 정의된다.[5]

:

여기서 은 공진 주파수이고, 는 '''공진 폭''' 또는 반치폭(FWHM)이다. 즉, 진동 전력이 공진 주파수에서의 전력의 절반보다 큰 대역폭을 의미한다. 는 각 공진 주파수이고, 는 각 절반 전력 대역폭이다. 이 정의에 따르면 는 분수 대역폭의 역수이다.

전자 공학 분야에서 는 공진 회로의 공진 피크의 날카로움을 나타내는 값으로 일반적으로 사용된다. 인덕터와 캐패시터를 사용한 직렬 공진 회로의 경우,

:

로 나타낼 수 있다. 이는 인덕턴스 L을 크게 하고 캐패시턴스 C를 작게, 직렬 저항 R을 적게 할수록 Q가 커진다는 것을 나타낸다.

각진동수는,

:

를 사용하여,

:

로 나타낼 수 있다.

병렬 회로의 경우

:

가 된다.[27]

2. 2. 저장된 에너지 정의

Q 인자의 일반적인 정의는 진동 공진기 내에 저장된 에너지와 감쇠 과정으로 인해 주기당 소산되는 에너지의 비율을 2π배 한 값이다.[8][9][5]

:Q \mathrel\stackrel{\text{def}}{=} 2\pi \times \frac{\text{저장된 에너지}}{\text{주기당 소산된 에너지}} = 2\pi f_\mathrm{r} \times \frac{\text{저장된 에너지}}{\text{전력 손실}}.

2π 요인은 대부분의 공진 시스템(전기적 또는 기계적)을 설명하는 2차 미분 방정식의 계수만 포함하여 Q 인자를 더 간단하게 표현할 수 있게 한다. 전기 시스템에서 저장된 에너지는 무손실 인덕터 및 커패시터에 저장된 에너지의 합이며, 손실된 에너지는 주기당 저항에서 소산된 에너지의 합이다. 기계 시스템에서 저장된 에너지는 특정 시점의 위치 및 운동 에너지의 합이며, 손실된 에너지는 진폭을 유지하기 위해 주기당 외부 힘에 의해 수행되는 일이다.

더 일반적이고 반응성 부품 사양(특히 인덕터)의 맥락에서 Q 인자의 주파수 의존적 정의가 사용된다:[8][10][9]

:Q(\omega) = \omega \times \frac{\text{최대 저장 에너지}}{\text{전력 손실}},

여기서 ω는 저장된 에너지와 전력 손실이 측정되는 각 주파수이다. 이 정의는 단일 반응성 소자(커패시터 또는 인덕터)가 있는 회로를 설명하는 데 사용되는 것과 일치하며, 이 경우 무효 전력 대 유효 전력의 비율과 같다는 것을 알 수 있다.

물리적으로 Q 인자는 저장된 에너지와 한 라디안의 진동 동안 소산된 에너지의 비율과 대략 같으며, 충분히 높은 Q 값에서는 총 저장된 에너지와 한 주기에 손실된 에너지의 2π 배의 비율과 거의 같다.[14]

3. 감쇠와의 관계

Q 인자는 감쇠비(ζ), 감쇠율(α), 지수 시간 상수(τ) 등과 관련되어 시스템의 감쇠 정도를 나타낸다. 이들의 관계는 다음과 같다.

:Q = \frac{1}{2 \zeta} = \frac{ \omega_\mathrm{N} }{2 \alpha } = \frac{ \tau \omega_\mathrm{N} }{ 2 }[17]

여기서 \omega_\mathrm{N}은 고유 주파수이다. Q 인자의 값에 따라 시스템의 감쇠 특성은 다음과 같이 나뉜다.


  • '''Q < \frac{1}{2} (과감쇠, Overdamped):''' 시스템은 진동 없이 평형 상태로 복귀한다.
  • '''Q > \frac{1}{2} (부족감쇠, Underdamped):''' 시스템은 진동하면서 평형 상태로 수렴한다.
  • '''Q = \frac{1}{2} (임계감쇠, Critically damped):''' 시스템은 가장 빠르게 평형 상태로 복귀한다.

4. 여러 분야에서의 Q 인자

Q 인자는 여러 분야에서 시스템의 특성을 나타내는 중요한 값으로 사용된다.


  • 기계 시스템: 1자유도 스프링-질량계에서 Q 인자는 기계적 저항을 사용하여 표현할 수 있으며, 감쇠 상수나 손실률로도 나타낼 수 있다. 주기적인 외력이 작용하는 강제 진동의 경우, 공진 주파수에서 진동 진폭은 정적 하중 시의 Q배로 증폭된다.
  • 광학 시스템: 공진 공동의 Q 값은 공진 주파수, 캐비티에 축적되는 에너지, 소산율을 이용하여 구할 수 있다. 광학적 Q 값은 공진 주파수를 해당 공진기의 반치폭으로 나눈 값과 같으며, 캐비티 내 광자의 수명은 Q 값에 비례한다. 레이저 기술 중 Q 스위치는 캐비티의 Q 값을 조절하여 고출력을 얻는 방법이다. 뫼스바우어 효과에 의한 공명 현상의 Q 값은 매우 높다.
  • 음향 시스템: 악기의 음색은 Q 인자와 관련이 있다. 공명기의 Q 인자가 높으면 특정 주파수가 강조되어 악기 특유의 음색을 낸다. 금관 악기나 목관 악기는 높은 Q 값을 가지도록 설계되는 반면, 부부젤라는 낮은 Q 인자를 가진다. 헬름홀츠 공명기는 매우 높은 Q 값을 갖는다. 한국의 전통 악기인 가야금, 거문고 등은 Q 인자 조절 기술이 활용되어 섬세한 소리를 낸다.
  • 재료 과학: 유전체 재료에서 Q 인자는 tanδ(손실 탄젠트)의 역수로 정의된다. 일반적으로 유전율이 높은 재료일수록 Q 값이 낮고, 주파수가 상승함에 따라 감소한다. 따라서 fQ 적 값을 사용하여 재료의 특성을 평가하기도 한다.

4. 1. 전기 시스템

RLC 회로, 수정 발진기 등에서 Q 인자는 공진 특성을 결정하는 중요한 요소이다.

이상적인 직렬 RLC 회로의 Q 인자는 다음과 같다.[20]

:Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac {1} {\omega_0 R C}

여기서 R은 저항, L은 인덕턴스, C는 정전 용량, ω0는 공진 각주파수이다. 직렬 저항이 클수록 회로 Q 값은 낮아진다.

병렬 RLC 회로의 경우, Q 인자는 직렬의 역수이다.[21][20]

:Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 R C[22]

R, L, C가 모두 병렬로 연결된 회로에서, 병렬 저항이 낮을수록 회로를 댐핑하는 데 더 큰 영향을 미치므로 Q가 낮아진다. 이는 필터 설계에 유용하다.

주요 손실이 인덕턴스 L과 직렬로 연결된 인덕터의 저항, R인 병렬 LC 회로에서 Q는 직렬 회로와 같다.

개별 반응성 부품(인덕터, 커패시터)의 Q 인자는 주파수에 따라 달라지며, 일반적으로 사용되는 회로의 공진 주파수에서 평가된다. 직렬 손실 저항이 있는 인덕터의 Q 인자는 해당 인덕터(직렬 손실 포함)와 완벽한 커패시터를 사용하는 공진 회로의 Q 인자와 같다.[23]

:Q_L = \frac{X_L}{R_L}=\frac{\omega_0 L}{R_L}

여기서:

  • ω0는 초당 라디안 단위의 공진 주파수이다.
  • L은 인덕턴스이다.
  • XL는 유도 리액턴스이다.
  • RL은 인덕터의 직렬 저항이다.


직렬 손실 저항이 있는 커패시터의 Q 인자는 해당 커패시터와 완벽한 인덕터를 사용하는 공진 회로의 Q 인자와 같다.[23]

:Q_C = \frac{-X_C}{R_C}=\frac{1}{\omega_0 C R_C}

여기서:

  • ω0는 초당 라디안 단위의 공진 주파수이다.
  • C는 커패시턴스이다.
  • XC는 용량성 리액턴스이다.
  • RC는 커패시터의 직렬 저항이다.

4. 2. 기계 시스템

단일 감쇠 질량-스프링 시스템에서 Q 인자는 점성 감쇠 또는 항력의 효과를 나타내는데, 여기서 감쇠력 또는 항력은 속도에 비례한다. Q 인자에 대한 공식은 다음과 같다.[24]

:Q = \frac{\sqrt{M k}}{D}, \,

여기서 M은 질량, k는 스프링 상수, D는 감쇠 계수이며, 방정식 F_{감쇠} = -Dv 로 정의된다. 여기서 v는 속도이다.[24]

1자유도 스프링-질량계에서 Q값은 기계적 저항을 사용하여 표현할 수 있다.

:

Q = \frac{\sqrt{M K}}{R}



여기서 M은 질량, K는 탄성률이며, R은 기계적 저항이다. 스프링-질량계의 각진동수를 사용하면,

:

\omega = \sqrt{\frac{K}{M}}



이므로, 다음 표현이 유도 가능하다.

:

Q = \frac{\omega{}M}{R}



Q는 감쇠 상수 \zeta , 손실률 \eta 를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

Q = \frac{1}{2\zeta}= \frac{1}{\eta}



주기적으로 외력이 작용하는 강제 진동을 생각하면,

:{d^2x \over dt^2}+2 \zeta\omega_n {dx \over dt}+\omega_n x= -{F_0 \over k}\omega_n^2\cos\omega t

이 방정식의 해는,

:

x = A \cos \omega t + B \sin \omega t



가 되므로, sin 성분과 cos 성분의 각각의 계수를 비교하여 연립 방정식을 세워 풀면,

:

x = {F_0 \over k} { 1 \over {\left\\right)^2}} \left[ \left\ \sin \omega t



따라서,

:

x(\omega_n) = {F_0 \over k} Q \sin \omega t



또한, 정적 하중 시의 변위 x0는,

:

x_0 = {F_0 \over k}



가 되므로, 공진 주파수에서의 진폭과의 비는,

:

{x(\omega_n) \over x_0 }= Q



따라서, 공진 주파수에서 진동 진폭은 정적 하중 시의 Q배로 증대한다.

4. 3. 광학 시스템

광학에서 공진 공동의 Q 인자는 다음과 같이 주어진다.[25]

:

여기서 는 공진 주파수, 는 공동 내에 저장된 에너지, 는 소산되는 전력이다. 광학 Q 인자는 공진 주파수와 공동 공진의 대역폭의 비율과 같다. 공동 내 공진 광자의 평균 수명은 공동의 Q 인자에 비례한다. 레이저의 공동 Q 인자가 낮은 값에서 높은 값으로 갑자기 변경되면, 레이저는 레이저의 정상적인 연속 출력보다 훨씬 더 강렬한 광 펄스를 방출한다. 이 기술을 -스위칭이라고 한다. Q 인자는 플라즈모닉스에서 특히 중요한데, 여기서 손실은 표면 플라즈몬 공명의 감쇠와 관련이 있다.[25] 손실은 일반적으로 플라즈모닉 장치의 개발에 방해 요소로 간주되지만, 이 속성을 활용하여 새로운 향상된 기능을 제시할 수 있다.[26]

광학적으로, 공동 공진기의 Q 값은 다음 식으로 구할 수 있다.

:

여기서 는 공진 주파수, 는 캐비티에 축적되는 에너지, 는 소산율이다. 광학적 Q 값은 공진 주파수를 해당 공진기의 반치폭으로 나눈 값과 같다. 캐비티 내 광자의 수명은 이 Q 값에 비례한다. 레이저 기술 중 하나로, 캐비티의 Q 값을 전환하여 고출력을 얻을 수 있다. 이 기술은 Q 스위치라고 한다.

뫼스바우어 효과에 의한 공명 현상의 Q 값은 수 기가에 달한다.

4. 4. 음향 시스템

악기의 음색은 Q 인자와 관련이 있다. 공명기의 Q 인자가 높으면 특정 주파수가 강조되어 악기 특유의 음색을 낸다. 현악기는 다양한 주파수를 균등하게 생성하기 위해 복잡한 모양의 몸체를 가진다.

금관 악기나 목관 악기는 입술이나 리드의 진동에서 특정 주파수를 선택하기 위해 높은 Q 값을 갖도록 설계된다. 반면 부부젤라는 유연한 플라스틱으로 만들어져 Q 인자가 낮아 탁하고 거친 음색을 낸다.

헬름홀츠 공명기는 매우 좁은 범위의 주파수를 선택하도록 설계되어 매우 높은 Q 값을 갖는다.

한국의 전통 악기, 특히 가야금, 거문고 등은 섬세한 소리 조절을 위해 Q 인자 조절 기술이 활용되어 왔다.

4. 5. 재료 과학

유전체 재료에서 Q 인자는 tanδ(손실 탄젠트)의 역수로 정의된다.[1] 일반적으로 유전율이 높은 재료일수록 Q 값이 낮고, 주파수가 상승함에 따라 감소하는 경향이 있다.[1] 따라서 Q 값 대신 주파수와 Q 값의 곱인 fQ 적 값을 사용하여 재료의 특성을 평가하기도 한다.[1]

참조

[1] 서적 Analog Electronics: Analog Circuitry Explained https://books.google[...] Newnes 2013
[2] 서적 Electronic circuits: fundamentals and applications https://books.google[...] Newnes
[3] 웹사이트 Encyclopedia of Laser Physics and Technology: Q factor http://www.rp-photon[...]
[4] 웹사이트 Time and Frequency from A to Z: Q to Ra http://tf.nist.gov/g[...]
[5] 간행물 The Story of Q http://www.collinsau[...] 2012-11-21
[6] 문서 B. Jeffreys, Q.Jl R. astr. Soc. (1985) 26, 51–52
[7] 서적 Encyclopedia of Laser Physics and Technology, Vol. 1: A-M https://books.google[...] Wiley-VCH
[8] 웹사이트 ANTENNA THEORY AND TECHNIQUES http://slyusar.kiev.[...] 2017-09-02
[9] 서적 Network Analysis https://books.google[...] Technical Publications 2006
[10] 서적 Electric Circuits
[11] 서적 Circuit Analysis with PSpice: A Simplified Approach https://books.google[...] CRC Press 2017
[12] 웹사이트 Near THz Gyrotron: Theory, Design, and Applications https://ireap.umd.ed[...] University of Maryland 2021-01-05
[13] 서적 Christensen's Physics of Diagnostic Radiology https://books.google[...] Lippincott Williams & Wilkins 2023-01-22
[14] 서적 Novel Sensors and Sensing https://books.google[...] Institute of Physics Pub
[15] 웹사이트 Light and Matter http://www.lightandm[...]
[16] 서적 Foundations of analog & digital electronic circuits Elsevier 2005
[17] 서적 Circuits, Signals, and Systems MIT Press
[18] 웹사이트 Analog Dialogue Technical Journal - Analog Devices http://www.analog.co[...]
[19] 웹사이트 Bandwidth in Octaves Versus Q in Bandpass Filters http://www.rane.com/[...] 2019-11-20
[20] 서적 Electric Circuits https://books.google[...] Technical Publications 2008
[21] 웹사이트 Complete Response I - Constant Input http://fourier.eng.h[...]
[22] 웹사이트 Frequency Response: Resonance, Bandwidth, Q Factor http://ocw.mit.edu/c[...] 2014-12-06
[23] 서적 Networks and Devices Using Planar Transmission Lines https://books.google[...] CRC Press
[24] 웹사이트 Methods of Experimental Physics – Lecture 5: Fourier Transforms and Differential Equations http://units.physics[...] 2012-03-19
[25] 간행물 Rayleigh-Wood anomaly approximation with FDTD simulation of plasmonic gold nanohole array for determination of optimum extraordinary optical transmission characteristics 2019-04-28
[26] 간행물 Losses in plasmonics: from mitigating energy dissipation to embracing loss-enabled functionalities 2017-12-31
[27] 문서 第一級陸上特殊無線技士無線工学試験　JZ10A
[28] 서적 Electric power transformer engineering http://books.google.[...] CRC Press
[29] 서적 Electronic circuits: fundamentals and applications http://books.google.[...] Newnes


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