극값

1. 개요

극값은 함수가 특정 지점에서 갖는 최대 또는 최소의 값을 의미하며, 극대값, 극소값, 최댓값, 최솟값으로 구분된다. 위상 공간의 함수에서 극대점은 근방 내에서 함숫값이 가장 큰 점, 극소점은 근방 내에서 함숫값이 가장 작은 점이며, 최대점은 전체 정의역에서 함숫값이 가장 큰 점, 최소점은 전체 정의역에서 함숫값이 가장 작은 점이다. 극대점과 극소점을 통칭하여 극값점, 극댓값과 극솟값을 통칭하여 극값이라고 한다. 닫힌 구간에서 연속 함수는 최댓값과 최솟값을 가지며, 수학적 최적화, 변분법 등 다양한 분야에서 활용된다. 극값을 찾기 위해 일계 도함수 판정법, 이계 도함수 판정법 등의 판정법이 사용된다.

2. 정의

위상 공간 $X$와 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 $x\backslash in\; X$의 근방 $x\backslash in\; U\backslash subseteq\; X$가 존재한다면, $x$를 $f$의 극대점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 극댓값이라고 한다.
* 임의의 $y\backslash in\; U$에 대하여, $f(y)\backslash le\; f(x)$
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, $x\backslash in\; X$의 근방 $x\backslash in\; U\backslash subseteq\; X$가 존재한다면, $x$를 $f$의 극소점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 극솟값이라고 한다.
* 임의의 $y\backslash in\; U$에 대하여, $f(y)\backslash ge\; f(x)$
또한, $x\backslash in\; X$가 다음 조건을 만족시키면, $x$를 $f$의 최대점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 최댓값이라고 한다.
* 임의의 $y\backslash in\; X$에 대하여, $f(y)\backslash le\; f(x)$
마찬가지로, $x\backslash in\; X$가 다음 조건을 만족시키면, $x$를 $f$의 최소점이라고 하며, $f(x)$를 $f$의 최솟값이라고 한다.
* 임의의 $y\backslash in\; X$에 대하여, $f(y)\backslash ge\; f(x)$

극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값의 정의에서 $y\backslash ne\; x$인 경우에 한하여 부등호 $\backslash le$와 $\backslash ge$를 와 $>$로 바꾸면, 엄격한 극댓값, 엄격한 극솟값, 엄격한 최댓값, 엄격한 최솟값의 정의를 얻는다.

거리 공간에서는 국소 최댓값과 국소 최솟값을 정의할 수 있다. 함수 $f:X\; \backslash to\; \backslash R$에 대해, $(\backslash exists\; \backslash varepsilon\; >\; 0)$가 존재하여, 가 성립하면 $x\_0\; \backslash in\; X$는 함수 $f$의 국소 최댓값이다. 국소 최솟값도 유사하게 정의할 수 있다.

최대 최소 정리에 따라, 유계인 닫힌 구간에서 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다. 콤팩트 공간인 정의역을 가지는 실수값 연속함수의 경우에도 항상 최댓값과 최솟값을 가진다. 중요한 예는 정의역이 실수의 닫힌 유계 구간인 함수이다.

극소점과 극댓값을 통칭하여 극값(extremum^영어)이라고 하며, 극소점과 극대점을 통칭하여 극값점이라고 한다.

차원 유클리드 공간 의 열린 집합 에서 정의된 실수 값 함수 의 경우, 극소값과 극댓값은 극값이라고 통칭하며, 엄밀한 극소값과 엄밀한 극댓값도 정의할 수 있으며, 이들을 통칭하여 엄밀한 극값이라고 한다.

2.1. 극대점과 극댓값

위상 공간 $X$와 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, $x\backslash in\; X$의 근방 $x\backslash in\; U\backslash subseteq\; X$가 존재하여 임의의 $y\backslash in\; U$에 대하여 $f(y)\backslash le\; f(x)$를 만족하면 $x$를 $f$의 극대점, $f(x)$를 $f$의 극댓값이라고 한다.

마찬가지로, $x\backslash in\; X$의 근방 $x\backslash in\; U\backslash subseteq\; X$가 존재하여 임의의 $y\backslash in\; U$에 대하여 $f(y)\backslash ge\; f(x)$를 만족하면 $x$를 $f$의 극소점, $f(x)$를 $f$의 극솟값이라고 한다.

극대점과 극소점은 존재하지 않을 수 있으며, 극대점과 극소점이 최대점, 최소점과 다를 수 있다. 실수값 함수의 경우, 정의역이 콤팩트 공간이면 최대 최소 정리에 따라 항상 최댓값과 최솟값을 가진다. 예를 들어 정의역이 실수의 닫힌 유계 구간인 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다.(위의 그래프 참조)

$x\backslash in\; X$가 임의의 $y\backslash in\; X$에 대하여 $f(y)\backslash le\; f(x)$를 만족시키면, $x$를 $f$의 최대점, $f(x)$를 $f$의 최댓값이라고 한다. 마찬가지로, $x\backslash in\; X$가 임의의 $y\backslash in\; X$에 대하여 $f(y)\backslash ge\; f(x)$를 만족시키면, $x$를 $f$의 최소점, $f(x)$를 $f$의 최솟값이라고 한다.

극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값의 정의에서 $y\backslash ne\; x$인 경우에 한하여 부등호 $\backslash le$와 $\backslash ge$를 와 $>$로 대신하면, 엄격한 극댓값, 엄격한 극솟값, 엄격한 최댓값, 엄격한 최솟값의 정의를 얻는다.

거리 공간에서는 국소 최댓값과 국소 최솟값을 정의할 수 있다. 함수 $f:X\; \backslash to\; \backslash R$에 대해, $(\backslash exists\; \backslash varepsilon\; >\; 0)$가 존재하여 가 성립하면 $x\_0\; \backslash in\; X$는 함수 $f$의 국소 최댓값이다. 국소 최솟값도 유사하게 정의할 수 있다.

차원 유클리드 공간 의 열린 집합 에서 정의된 실수 값 함수 의 경우, 극소값과 극댓값은 극값이라고 통칭하며, 극소점과 극대점을 통칭하여 극값점이라고 한다. 엄밀한 극소값과 엄밀한 극댓값도 정의할 수 있으며, 이들을 통칭하여 엄밀한 극값이라고 한다.

2.2. 극소점과 극솟값

위상 공간 $X$에서 정의된 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, $x\backslash in\; X$의 근방 $x\backslash in\; U\backslash subseteq\; X$가 존재하여 임의의 $y\backslash in\; U$에 대하여 $f(y)\backslash ge\; f(x)$를 만족하면 $x$를 $f$의 극소점, $f(x)$를 $f$의 극솟값이라고 정의한다.

극소점과 극댓값을 통칭하여 극값(extremum^영어)이라고 하며, 극소점과 극대점을 통칭하여 극값점이라고 한다.

실수 값 함수의 경우, 정의역이 거리 공간이면, $x$^∗에서 거리 $\epsilon$ 이내의 모든 X 내의 x에 대해 $f$(x^∗) ≤ $f$(x)가 성립하는 $\epsilon$ > 0이 존재하면, 함수가 $x$^∗에서 국소 최솟값을 갖는다고 정의할수 있다.

$n$차원 유클리드 공간에서 정의된 실수 값 함수에 대해, 어떤 점의 근방으로 함수를 제한했을 때 그 점에서의 함숫값이 최솟값이면, 그 함숫값을 극솟값, 그 점을 극소점이라고 정의한다.

엄밀한 극솟값/극댓값은 위의 정의에서 $y\backslash ne\; x$인 경우에 한하여 부등호 $\backslash ge$와 $\backslash le$를 $>$와 로 대체하여 정의한다.

2.3. 최댓값과 최솟값

위상 공간 X와 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, 임의의 $y\backslash in\; X$에 대하여 $f(y)\backslash le\; f(x)$를 만족하는 점 x∈X가 존재하면 x를 함수 f의 최대점이라고 하고, f(x)를 f의 최댓값이라고 정의한다. 마찬가지로, 임의의 $y\backslash in\; X$에 대하여 $f(y)\backslash ge\; f(x)$를 만족하는 점 x∈X가 존재하면 x를 f의 최소점, f(x)를 f의 최솟값이라고 정의한다.

정의역 X가 거리 공간이면, f는 x^∗에서 국소 (또는 상대) 최댓값을 갖는다고 하며, 이 경우 x^∗에서 거리 ε 이내의 모든 X 내의 x에 대해 가 성립하는 ε > 0이 존재한다. 마찬가지로, 함수가 x^∗에서 국소 최솟값을 가지면 x^∗에서 거리 ε 이내의 모든 X 내의 x에 대해 f(x^∗) ≤ f(x)가 성립한다.

최대 최소 정리에 따라, 유계인 닫힌 구간에서 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다. 콤팩트 공간인 정의역을 가지는 실수값 연속함수의 경우에도 항상 최댓값과 최솟값을 가진다. 중요한 예는 정의역이 실수의 닫힌 유계 구간인 함수이다.

전역 최댓값과 최솟값을 찾는 것은 수학적 최적화의 목표이다. 만약 함수가 닫힌 구간에서 연속이라면, 최대 최소 정리에 의해 전역 최댓값과 최솟값이 존재한다.

3. 판정법

수학적 최적화의 목표는 전역 최댓값과 최솟값을 찾는 것이다. 함수가 닫힌 구간에서 연속이면, 최대 최소 정리에 의해 전역 최댓값과 최솟값이 존재한다. 전역 최댓값(또는 최솟값)은 정의역의 내부에서 국소 최댓값(또는 국소 최솟값)이거나 정의역의 경계에 위치해야 한다. 따라서 전역 최댓값(또는 최솟값)을 찾는 방법은 내부의 모든 국소 최댓값(또는 국소 최솟값)을 살펴보고, 경계점의 최댓값(또는 최솟값)도 살펴본 다음 가장 큰 값(또는 가장 작은 값)을 선택하는 것이다.

미분가능 함수의 경우, 페르마의 정리에 따르면 정의역 내부의 국소 극값은 임계점 (또는 도함수가 0이 되는 점)에서 발생해야 한다. 그러나 모든 임계점이 극값인 것은 아니다. 충분한 미분 가능성이 주어지면 일계도함수 판정법, 이계도함수 판정법, 또는 고계도함수 판정법을 사용하여 임계점이 국소 최댓값인지, 국소 최솟값인지, 또는 둘 다 아닌지를 종종 구별할 수 있다.

구간별 정의 함수의 경우, 각 조각의 최댓값(또는 최솟값)을 개별적으로 찾은 다음, 어떤 값이 가장 크거나 작은지 확인함으로써 최댓값(또는 최솟값)을 찾는다.

3.1. 일계 도함수 판정법

공역이 실수집합 $\backslash mathbb\{R\}$인 함수 $f:U\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^n\backslash to\backslash mathbb\{R\}$ ($U$는 열린집합)가 미분가능하고 $\backslash mathbf\{x\}\_0$에서 극값을 가지면 $\backslash mathbf\{D\}f\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_0\backslash right)\; =\backslash mathbf\{0\}$이다. 즉, $\backslash mathbf\{x\}\_0$는 함수 $f$의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 $1$부터 $n$까지의 모든 $i$에 대해 $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\_i\}=0$임을 알 수 있다.

미분가능 함수의 경우, 페르마의 정리에 따르면 정의역 내부의 국소 극값은 임계점 (또는 도함수가 0이 되는 점)에서 발생해야 한다.

*모든 n에 대해: 임의의 벡터 $\backslash mathbf\{h\}\backslash in\backslash mathbb\{R\}^n$에 대해 함수 $g:U\text{'}\backslash sub\backslash mathbb\{R\}\backslash to\backslash mathbb\{R\}$을 $g\backslash left(\; t\backslash right)\; =f\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_0+t\backslash mathbf\{h\}\backslash right)$로 정의하면, $g$는 $t=0$에서 극값을 가져야 한다. 연쇄법칙에 의하여 $\backslash mathbf\{D\}f\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_0\backslash right)\backslash mathbf\{h\}=0$이다. 임의의 $\backslash mathbf\{h\}$에 대해 $0$이므로 $\backslash mathbf\{D\}f\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_0\backslash right)\; =0$이다.

다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어

함수$x^3$의 그래프에서 원점은 정류점이지만 극값은 아니다. 충분한 미분 가능성이 주어지면 일계도함수 판정법, 이계도함수 판정법, 또는 고계도함수 판정법을 사용하여 임계점이 국소 최댓값인지, 국소 최솟값인지, 또는 둘 다 아닌지를 종종 구별할 수 있다.

3.2. 이계 도함수 판정법

함수 $f:U\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^n\backslash to\backslash mathbb\{R\}$이 $C^3$ 함수이고 $\backslash mathbf\{x\}\_0\backslash in\; U$가 함수 $f$의 임계점일 때, $\backslash mathbf\{h\}^TH\backslash left(\; f\backslash right)\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_0\backslash right)\backslash mathbf\{h\}$가 양의 정부호이면 $\backslash mathbf\{x\}\_0$에서 극소이고, 음의 정부호이면 $\backslash mathbf\{x\}\_0$에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다.

$n=1$인 경우, $\backslash mathbf\{h\}^TH\backslash left(\; f\backslash right)\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_0\backslash right)\backslash mathbf\{h\}=\backslash frac\{1\}\{2\}f$\left( x_0\right) h^2이므로 $f$\left( x_0\right) >0일 때 양의 정부호이고 $f$\left( x_0\right) <0일 때 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 $f$\left( x_0\right)의 부호를 확인하는 것이다.

헤세 행렬에서

들의 행렬식들이 모두 양수이면 $\backslash mathbf\{h\}^TH\backslash left(\; f\backslash right)\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_0\backslash right)\backslash mathbf\{h\}$가 양의 정부호이고, 음과 양이 번갈아 나타나면 음의 정부호이다. 따라서 부분 행렬들의 행렬식이 모두 양수이면 $\backslash mathbf\{x\}\_0$에서 극소이고, 음과 양이 반복되면 $\backslash mathbf\{x\}\_0$에서 극대이다. 두 경우 모두 아니라면 임계점 $\backslash mathbf\{x\}\_0$는 안장점이다.

예를 들어 이변수 함수 $f\backslash left(\; x,y\backslash right)\; :U\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^2\backslash to\backslash mathbb\{R\}$가 $C^3$함수일 때 $\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)$에서 극소값을 가지려면 다음 조건들을 만족해야 한다.
# $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)\; =\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)\; =0$
# $\backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)\; >0$
# $\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)$에서 $D=\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; y^2\}\backslash right)\; -\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; x\backslash partial\; y\}\backslash right)^2>0$ ($D$는 $f$의 헤세 행렬의 행렬식)

$\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)$에서 극대값을 가지려면 다음 조건들을 만족해야 한다.
# $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)\; =\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)\; =0$
#
# $\backslash left(\; x\_0,y\_0\backslash right)$에서 $D>0$

만약 $D=0$이면 이계 도함수 판정법으로 극대와 극소를 판별할 수 없으며, 이때 $D=0$인 임계점을 퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 한다. 반대로 $D\backslash ne\; 0$인 임계점을 정상적인 임계점 또는 비퇴화 임계점이라고 한다.

차원 유클리드 공간 의 열린 집합 에서 정의된 실수 값 함수 가 2번 연속 미분 가능하다고 할 때, 함수 의 정류점 에서의 헤세 행렬이 양의 정부호()이면, 함수 는 점 에서 좁은 의미의 극소값을 가진다.

4. 활용

4.1. 수학적 최적화

4.2. 변분법

함수의 극값을 구해야 하는 영역이 함수 자체로 구성된 경우(즉, 함수의 극값을 구해야 하는 경우), 극값은 변분법을 사용하여 구한다.

4.3. 실생활 예시

200피트의 울타리로 만들 수 있는 직사각형 면적을 최대화하는 문제를 생각해보자. 길이를 x, 너비를 y라고 하면, 둘레는 2x + 2y = 200 이고, 면적은 xy이다. 이 식을 y에 대해 정리하면 y = 100 - x 이고, 면적은 x(100 - x)로 표현할 수 있다. 이 식을 x에 대해 미분하면 100 - 2x 이고, 이 값이 0이 되는 x = 50에서 면적이 최대가 된다. x는 0보다 크고 100보다 작아야 하므로, 경곗값 0과 100, 그리고 임계점 50을 면적 식에 대입하면, x=50일 때 면적이 2500으로 최대가 됨을 알 수 있다.

5. 더 알아보기

5.1. 관련 개념

5.2. 추가 정보