극값

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1. 개요
2. 정의
3. 판정법
- 3.1. 일계 도함수 판정법
- 3.2. 이계 도함수 판정법
4. 활용
5. 더 알아보기
- 5.1. 관련 개념
- 5.2. 추가 정보
참조

1. 개요

극값은 함수가 특정 지점에서 갖는 최대 또는 최소의 값을 의미하며, 극대값, 극소값, 최댓값, 최솟값으로 구분된다. 위상 공간의 함수에서 극대점은 근방 내에서 함숫값이 가장 큰 점, 극소점은 근방 내에서 함숫값이 가장 작은 점이며, 최대점은 전체 정의역에서 함숫값이 가장 큰 점, 최소점은 전체 정의역에서 함숫값이 가장 작은 점이다. 극대점과 극소점을 통칭하여 극값점, 극댓값과 극솟값을 통칭하여 극값이라고 한다. 닫힌 구간에서 연속 함수는 최댓값과 최솟값을 가지며, 수학적 최적화, 변분법 등 다양한 분야에서 활용된다. 극값을 찾기 위해 일계 도함수 판정법, 이계 도함수 판정법 등의 판정법이 사용된다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 와 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 $x\in X$ 의 근방 $x\in U\subseteq X$ 가 존재한다면, $x$ 를 $f$ 의 '''극대점'''이라고 하며, $f(x)$ 를 $f$ 의 '''극댓값'''이라고 한다.

임의의 $y\in U$ 에 대하여, $f(y)\le f(x)$

마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는,

x\in X

의 근방

x\in U\subseteq X

가 존재한다면,

x

를

f

의 '''극소점'''이라고 하며,

f(x)

를

f

의 '''극솟값'''이라고 한다.

임의의 $y\in U$ 에 대하여, $f(y)\ge f(x)$

또한,

x\in X

가 다음 조건을 만족시키면,

x

를

f

의 '''최대점'''이라고 하며,

f(x)

를

f

의 '''최댓값'''이라고 한다.

임의의 $y\in X$ 에 대하여, $f(y)\le f(x)$

마찬가지로,

x\in X

가 다음 조건을 만족시키면,

x

를

f

의 '''최소점'''이라고 하며,

f(x)

를

f

의 '''최솟값'''이라고 한다.

임의의 $y\in X$ 에 대하여, $f(y)\ge f(x)$

극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값의 정의에서

y\ne x

인 경우에 한하여 부등호

\le

와

\ge

를

<

와

>

로 바꾸면, '''엄격한 극댓값''', '''엄격한 극솟값''', '''엄격한 최댓값''', '''엄격한 최솟값'''의 정의를 얻는다.

거리 공간에서는 국소 최댓값과 국소 최솟값을 정의할 수 있다. 함수

f:X \to \R

에 대해,

(\exists \varepsilon > 0)

가 존재하여,

(\forall x \in X)\, d_X(x, x_0)<\varepsilon \implies f(x_0)\geq f(x).

가 성립하면

x_0 \in X

는 함수

f

의 국소 최댓값이다. 국소 최솟값도 유사하게 정의할 수 있다.

함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 의 그래프. 최소점은 $A$ , 최대점은 $J$ , 극소점은 $E$ , $G$ , 극대점은 $B$ , $D$ , $F$ , $J$ .

최대 최소 정리에 따라, 유계인 닫힌 구간에서 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다. 콤팩트 공간인 정의역을 가지는 실수값 연속함수의 경우에도 항상 최댓값과 최솟값을 가진다. 중요한 예는 정의역이 실수의 닫힌 유계 구간인 함수이다.

극소점과 극댓값을 통칭하여 '''극값'''(n/extremum}})이라고 하며, 극소점과 극대점을 통칭하여 '''극값점'''이라고 한다.

, ''d'')}}의 열린 집합 에서 정의된 실수 값 함수 의 경우, 극소값과 극댓값은 극값이라고 통칭하며, 엄밀한 극소값과 엄밀한 극댓값도 정의할 수 있으며, 이들을 통칭하여 엄밀한 극값이라고 한다.

2. 1. 극대점과 극댓값

위상 공간

X

와 함수

f\colon X\to\mathbb R

가 주어졌을 때,

x\in X

의 근방

x\in U\subseteq X

가 존재하여 임의의

y\in U

에 대하여

f(y)\le f(x)

를 만족하면

x

를

f

의 '''극대점''',

f(x)

를

f

의 '''극댓값'''이라고 한다.

마찬가지로,

x\in X

의 근방

x\in U\subseteq X

가 존재하여 임의의

y\in U

에 대하여

f(y)\ge f(x)

를 만족하면

x

를

f

의 '''극소점''',

f(x)

를

f

의 '''극솟값'''이라고 한다.

극대점과 극소점은 존재하지 않을 수 있으며, 극대점과 극소점이 최대점, 최소점과 다를 수 있다. 실수값 함수의 경우, 정의역이 콤팩트 공간이면 최대 최소 정리에 따라 항상 최댓값과 최솟값을 가진다. 예를 들어 정의역이 실수의 닫힌 유계 구간인 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다.(위의 그래프 참조)

x\in X

가 임의의

y\in X

에 대하여

f(y)\le f(x)

를 만족시키면,

x

를

f

의 '''최대점''',

f(x)

를

f

의 '''최댓값'''이라고 한다. 마찬가지로,

x\in X

가 임의의

y\in X

에 대하여

f(y)\ge f(x)

를 만족시키면,

x

를

f

의 '''최소점''',

f(x)

를

f

의 '''최솟값'''이라고 한다.

극댓값, 극솟값, 최댓값, 최솟값의 정의에서

y\ne x

인 경우에 한하여 부등호

\le

와

\ge

를

<

와

>

로 대신하면, '''엄격한 극댓값''', '''엄격한 극솟값''', '''엄격한 최댓값''', '''엄격한 최솟값'''의 정의를 얻는다.

거리 공간에서는 국소 최댓값과 국소 최솟값을 정의할 수 있다. 함수

f:X \to \R

에 대해,

(\exists \varepsilon > 0)

가 존재하여

(\forall x \in X)\, d_X(x, x_0)<\varepsilon \implies f(x_0)\geq f(x).

가 성립하면

x_0 \in X

는 함수

f

의 국소 최댓값이다. 국소 최솟값도 유사하게 정의할 수 있다.

차원 유클리드 공간 , ''d'')}}의 열린 집합 에서 정의된 실수 값 함수 의 경우, 극소값과 극댓값은 극값이라고 통칭하며, 극소점과 극대점을 통칭하여 극값점이라고 한다. 엄밀한 극소값과 엄밀한 극댓값도 정의할 수 있으며, 이들을 통칭하여 엄밀한 극값이라고 한다.

2. 2. 극소점과 극솟값

위상 공간

X

에서 정의된 함수

f\colon X\to\mathbb R

가 주어졌을 때,

x\in X

의 근방

x\in U\subseteq X

가 존재하여 임의의

y\in U

에 대하여

f(y)\ge f(x)

를 만족하면

x

를

f

의 '''극소점''',

f(x)

를

f

의 '''극솟값'''이라고 정의한다.

극소점과 극댓값을 통칭하여 '''극값'''(extremum^영어)이라고 하며, 극소점과 극대점을 통칭하여 '''극값점'''이라고 한다.^[7]

실수 값 함수의 경우, 정의역이 거리 공간이면,

x

^∗에서 거리

ε

이내의 모든 ''X'' 내의 ''x''에 대해

f

(''x''^∗) ≤

f

(''x'')가 성립하는

ε

> 0이 존재하면, 함수가

x

^∗에서 '''국소 최솟값'''을 갖는다고 정의할수 있다.

n

차원 유클리드 공간에서 정의된 실수 값 함수에 대해, 어떤 점의 근방으로 함수를 제한했을 때 그 점에서의 함숫값이 최솟값이면, 그 함숫값을 '''극솟값''', 그 점을 '''극소점'''이라고 정의한다.

엄밀한 극솟값/극댓값은 위의 정의에서

y\ne x

인 경우에 한하여 부등호

\ge

와

\le

를

>

와

<

로 대체하여 정의한다.

2. 3. 최댓값과 최솟값

위상 공간 ''X''와 함수

f\colon X\to\mathbb R

가 주어졌을 때, 임의의

y\in X

에 대하여

f(y)\le f(x)

를 만족하는 점 x∈X가 존재하면 x를 함수 f의 최대점이라고 하고, f(x)를 f의 최댓값이라고 정의한다. 마찬가지로, 임의의

y\in X

에 대하여

f(y)\ge f(x)

를 만족하는 점 x∈X가 존재하면 x를 f의 최소점, f(x)를 f의 최솟값이라고 정의한다.

정의역 ''X''가 거리 공간이면, ''f''는 ''x''^∗에서 '''국소''' (또는 '''상대''') '''최댓값'''을 갖는다고 하며, 이 경우 ''x''^∗에서 거리 ''ε'' 이내의 모든 ''X'' 내의 ''x''에 대해 가 성립하는 ''ε'' > 0이 존재한다. 마찬가지로, 함수가 ''x''^∗에서 '''국소 최솟값'''을 가지면 ''x''^∗에서 거리 ''ε'' 이내의 모든 ''X'' 내의 ''x''에 대해 ''f''(''x''^∗) ≤ ''f''(''x'')가 성립한다.

최대 최소 정리에 따라, 유계인 닫힌 구간에서 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다. 콤팩트 공간인 정의역을 가지는 실수값 연속함수의 경우에도 항상 최댓값과 최솟값을 가진다. 중요한 예는 정의역이 실수의 닫힌 유계 구간인 함수이다.

전역 최댓값과 최솟값을 찾는 것은 수학적 최적화의 목표이다. 만약 함수가 닫힌 구간에서 연속이라면, 최대 최소 정리에 의해 전역 최댓값과 최솟값이 존재한다.

3. 판정법

수학적 최적화의 목표는 전역 최댓값과 최솟값을 찾는 것이다. 함수가 닫힌 구간에서 연속이면, 최대 최소 정리에 의해 전역 최댓값과 최솟값이 존재한다. 전역 최댓값(또는 최솟값)은 정의역의 내부에서 국소 최댓값(또는 국소 최솟값)이거나 정의역의 경계에 위치해야 한다. 따라서 전역 최댓값(또는 최솟값)을 찾는 방법은 내부의 모든 국소 최댓값(또는 국소 최솟값)을 살펴보고, 경계점의 최댓값(또는 최솟값)도 살펴본 다음 가장 큰 값(또는 가장 작은 값)을 선택하는 것이다.

미분가능 함수의 경우, 페르마의 정리에 따르면 정의역 내부의 국소 극값은 임계점 (또는 도함수가 0이 되는 점)에서 발생해야 한다.^[4] 그러나 모든 임계점이 극값인 것은 아니다. 충분한 미분 가능성이 주어지면 일계도함수 판정법, 이계도함수 판정법, 또는 고계도함수 판정법을 사용하여 임계점이 국소 최댓값인지, 국소 최솟값인지, 또는 둘 다 아닌지를 종종 구별할 수 있다.^[5]

구간별 정의 함수의 경우, 각 조각의 최댓값(또는 최솟값)을 개별적으로 찾은 다음, 어떤 값이 가장 크거나 작은지 확인함으로써 최댓값(또는 최솟값)을 찾는다.

3. 1. 일계 도함수 판정법

공역이 실수집합

\mathbb{R}

인 함수

f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

(

U

는 열린집합)가 미분가능하고

\mathbf{x}_0

에서 극값을 가지면

\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{0}

이다. 즉,

\mathbf{x}_0

는 함수

f

의 임계점이다.^[4] 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 '''일계 도함수 판정법'''이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는

1

부터

n

까지의 모든

i

에 대해

\frac{\partial f}{\partial x_i}=0

임을 알 수 있다.

미분가능 함수의 경우, 페르마의 정리에 따르면 정의역 내부의 국소 극값은 임계점 (또는 도함수가 0이 되는 점)에서 발생해야 한다.^[4]

'''모든 n에 대해:''' 임의의 벡터 $\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 함수 $g:U'\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 을 $g\left( t\right) =f\left(\mathbf{x}_0+t\mathbf{h}\right)$ 로 정의하면, $g$ 는 $t=0$ 에서 극값을 가져야 한다. 연쇄법칙에 의하여 $\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}=0$ 이다. 임의의 $\mathbf{h}$ 에 대해 $0$ 이므로 $\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0$ 이다.

다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어

함수

x^3

의 그래프에서 원점은 정류점이지만 극값은 아니다. 충분한 미분 가능성이 주어지면 일계도함수 판정법, 이계도함수 판정법, 또는 고계도함수 판정법을 사용하여 임계점이 국소 최댓값인지, 국소 최솟값인지, 또는 둘 다 아닌지를 종종 구별할 수 있다.^[5]

3. 2. 이계 도함수 판정법

함수

f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

이

C^3

함수이고

\mathbf{x}_0\in U

가 함수

f

의 임계점일 때,

\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}

가 양의 정부호이면

\mathbf{x}_0

에서 극소이고, 음의 정부호이면

\mathbf{x}_0

에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 '''이계 도함수 판정법'''이라고 한다.

n=1

인 경우,

\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}=\frac{1}{2}f''\left( x_0\right) h^2

이므로

f''\left( x_0\right) >0

일 때 양의 정부호이고

f''\left( x_0\right) <0

일 때 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은

f''\left( x_0\right)

의 부호를 확인하는 것이다.

헤세 행렬에서 들의 행렬식들이 모두 양수이면

\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}

가 양의 정부호이고, 음과 양이 번갈아 나타나면 음의 정부호이다. 따라서 부분 행렬들의 행렬식이 모두 양수이면

\mathbf{x}_0

에서 극소이고, 음과 양이 반복되면

\mathbf{x}_0

에서 극대이다. 두 경우 모두 아니라면 임계점

\mathbf{x}_0

는 안장점이다.

예를 들어 이변수 함수

f\left( x,y\right) :U\sub\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}

가

C^3

함수일 때

\left( x_0,y_0\right)

에서 극소값을 가지려면 다음 조건들을 만족해야 한다.

#

\frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right) =\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right) =0

#

\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left( x_0,y_0\right) >0

#

\left( x_0,y_0\right)

에서

D=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right) -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2>0

(

D

는

f

의 헤세 행렬의 행렬식)

\left( x_0,y_0\right)

에서 극대값을 가지려면 다음 조건들을 만족해야 한다.

#

\frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right) =\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right) =0

#

\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left( x_0,y_0\right) <0

#

\left( x_0,y_0\right)

에서

D>0

만약

D=0

이면 이계 도함수 판정법으로 극대와 극소를 판별할 수 없으며, 이때

D=0

인 임계점을 '''퇴화 극점''' 또는 '''변질 극점'''이라고 한다. 반대로

D\ne 0

인 임계점을 '''정상적인 임계점''' 또는 '''비퇴화 임계점'''이라고 한다.

원점은 함수 + ''y''}}, }}, − ''y''}}의 모든 정류점이다.

차원 유클리드 공간 }}의 열린 집합 에서 정의된 실수 값 함수 가 2번 연속 미분 가능하다고 할 때, 함수 의 정류점 에서의 헤세 행렬이 양의 정부호( ''f''(''p'') > 0}})이면, 함수 는 점 에서 좁은 의미의 극소값을 가진다.

4. 활용

4. 1. 수학적 최적화

4. 2. 변분법

함수의 극값을 구해야 하는 영역이 함수 자체로 구성된 경우(즉, 함수의 극값을 구해야 하는 경우), 극값은 변분법을 사용하여 구한다.

4. 3. 실생활 예시

200피트의 울타리로 만들 수 있는 직사각형 면적을 최대화하는 문제를 생각해보자. 길이를 x, 너비를 y라고 하면, 둘레는 2x + 2y = 200 이고, 면적은 xy이다. 이 식을 y에 대해 정리하면 y = 100 - x 이고, 면적은 x(100 - x)로 표현할 수 있다. 이 식을 x에 대해 미분하면 100 - 2x 이고, 이 값이 0이 되는 x = 50에서 면적이 최대가 된다. x는 0보다 크고 100보다 작아야 하므로, 경곗값 0과 100, 그리고 임계점 50을 면적 식에 대입하면, x=50일 때 면적이 2500으로 최대가 됨을 알 수 있다.

함수	극대와 극소
x²	x = 0에서 유일한 전역 최솟값.
x³	전역 최솟값 또는 최댓값 없음. 첫 번째 도함수(3x²)가 x = 0에서 0이지만, 이는 변곡점이다.
$\sqrt[x]{x}$	x = e에서 유일한 전역 최댓값.
x^−x	양의 실수에서 x = 1/e에서 유일한 전역 최댓값.
x³/3 − x	−1에서 극대, +1에서 극소. 이 함수는 전역 최댓값 또는 최솟값이 없다.
>x\|	x = 0에서 도함수를 구할 수 없기 때문에 도함수를 구해서 찾을 수 없는 전역 최솟값이다.
cos(x)	0, ±2, ±4, ...에서 무한히 많은 전역 최댓값과 ±, ±3, ±5, ...에서 무한히 많은 전역 최솟값.
2 cos(x) − x	무한히 많은 국소 극대 및 극소값이 있지만, 전역 최댓값 또는 최솟값은 없다.
cos(3x)/x with	x = 0.1 (경계)에서 전역 최댓값, x = 0.3 근처에서 전역 최솟값, x = 0.6 근처에서 국소 최댓값, 그리고 x = 1.0 근처에서 국소 최솟값.
x³ + 3x² − 2x + 1 정의는 닫힌 구간 (선분) [−4,2]에서	x = −1−/3에서 국소 최댓값, x = −1+/3에서 국소 최솟값, x = 2에서 전역 최댓값, 그리고 x = −4에서 전역 최솟값.

5. 더 알아보기

5. 1. 관련 개념

5. 2. 추가 정보

참조

_[1] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://archive.org/[...] Brooks/Cole
_[2] 서적 Calculus Brooks/Cole
_[3] 서적 Thomas' Calculus: Early Transcendentals Addison-Wesley
_[4] 웹사이트 Minimum https://mathworld.wo[...] 2020-08-30
_[5] 웹사이트 Maximum https://mathworld.wo[...] 2020-08-30
_[6] 웹사이트 Minimization and maximization refresher https://mathinsight.[...]
_[7] 간행물 Maximum and minimum points

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