이계도함수

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1. 개요
2. 표기법
3. 멱의 법칙
4. 예
5. 그래프와의 관계
6. 극한
7. 이차 근사
8. 고차원으로의 일반화
- 8.1. 헤세 행렬
- 8.2. 라플라스 연산자
9. 같이 보기
참조

1. 개요

이계도함수는 함수를 두 번 미분하여 얻는 도함수이며, f''(x) 또는 d²y/dx²로 표기한다. 멱의 법칙과 예시를 통해 이계도함수를 설명하며, 그래프의 오목성, 변곡점, 이계도함수 판정법 등 그래프와의 관계를 보여준다. 또한, 극한, 이차 근사, 고차원 일반화(헤세 행렬, 라플라스 연산자)를 통해 이계도함수의 개념을 확장한다.

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이계도함수
정의
정의	어떤 함수의 도함수를 다시 한번 미분하여 얻는 함수이다.
설명	함수의 변화율의 변화율을 나타낸다.
표기법
라이프니츠 표기법	$\frac{d^2y}{dx^2}$
라그랑주 표기법	f''(x)
뉴턴 표기법	$\ddot{y}$
활용
함수의 오목/볼록 판정	이계도함수의 부호를 통해 함수의 오목/볼록을 판정할 수 있다.
변곡점 찾기	이계도함수가 0이 되는 지점에서 변곡점이 발생할 가능성이 있다.
최댓값/최솟값 판정	임계점에서 이계도함수의 부호를 통해 최댓값/최솟값을 판정할 수 있다.
물리학	가속도를 나타내는 데 사용된다.
경제학	한계 생산력의 변화율을 나타내는 데 사용된다.
예시
함수	f(x) = x^3
일계도함수	f'(x) = 3x^2
이계도함수	f''(x) = 6x

2. 표기법

함수 f(x)의 이계도함수는 일반적으로 f''(x)로 표기한다.^[1]^[2] 이는 f'(x)를 한 번 더 미분한 것이다.

라이프니츠 표기법을 사용하면, 독립 변수 x에 관한 종속 변수 y의 이계도함수는 다음과 같이 나타낸다.

: d²y/dx²

이 표기법은 다음 식에서 유도된다.

: d²y/dx² = d/dx(dy/dx)

3. 멱의 법칙

멱의 법칙을 두 번 적용하면 다음과 같은 이계도함수에 대한 멱의 법칙을 얻을 수 있다.

: $\frac{d^2}{dx^2}[x^n]=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}[x^n]=\frac{d}{dx}[nx^{n-1}]=n\frac{d}{dx}[x^{n-1}]=n(n-1)x^{n-2}.$

4. 예

: $f(x) = x^3$

의 도함수는

: $f'(x) = 3x^2$

이다. f의 이계도함수는 f의 도함수의 도함수이다. 즉,

: $f''(x) = 6x$

5. 그래프와의 관계

이계도함수는 그래프의 오목성과 변곡점을 판별하는 데 사용된다.

5. 1. 오목성

함수 f의 이계도함수는 f 그래프의 오목성을 측정한다. 이계도함수가 양의 값을 가지면 그래프는 위로 오목(볼록함수라고도 한다)하게 되는데, 이는 접선이 함수의 그래프 아래쪽에 위치함을 의미한다. 이계도함수가 음의 값을 가지면 그래프는 아래로 오목(오목함수라고도 한다)하게 되는데, 이는 접선이 함수의 그래프 위쪽에 위치함을 의미한다.^[2] ^[6]

5. 2. 변곡점

이계도함수의 부호가 바뀌면, 함수의 그래프는 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌거나 그 반대가 된다. 이러한 경우가 일어나는 점을 '''변곡점'''이라고 부른다. 이계도함수가 연속이라고 하면, 비록 이계도함수가 0이 되는 모든 점이 변곡점인 것은 아니지만, 변곡점에서 이계도함수의 값은 0이 된다.

5. 3. 이계도함수 판정법

이계도함수를 이용하여 함수의 정류점(

f'(x)=0

이 되는 점)이 극대인지 극소인지 판별할 수 있다. 구체적인 내용은 다음과 같다.

$f^{\prime\prime}(x) < 0$ 이면, $f$ 는 $x$ 에서 극댓값을 갖는다.
$f^{\prime\prime}(x) > 0$ 이면, $f$ 는 $x$ 에서 극솟값을 갖는다.
$f^{\prime\prime}(x) = 0$ 이면, 이계도함수 판정법으로는 점 $x$ 에 대해 아무것도 말해주지 않으며, 변곡점일 가능성이 있다.

이계도함수가 이러한 결과를 나타내는 이유를 이해하기 위해 실생활에서의 비유를 들어보자. 처음에는 최대 속도로 앞으로 나아가지만 음의 가속도를 갖는 자동차를 생각해 보자. 분명히 자동차의 위치는 속도가 0이 되는 지점에서 출발점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 것이다. 이 지점 이후 속도가 음의 값을 가지면 자동차는 후진할 것이다. 최솟값의 경우도 마찬가지인데, 처음에는 가장 큰 음의 속도로 출발하지만 양의 가속도를 갖는 차량을 생각해보면 된다.

6. 극한

이계도함수는 극한을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.$

이 극한은 이계대칭도함수라 불린다.^[11]^[12] 이 이계대칭도함수는 (통상적인) 이계도함수가 존재하지 않을 때도 존재할 수 있다는 것에 주목해야 한다.

오른쪽의 표현은 평균변화율의 평균변화율로 나타낼 수 있다.

: $\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.$

이 극한은 수열에 대한 이계 차분의 연속 버전으로 간주할 수 있다.

위의 극한이 존재한다는 것이 $f$ 의 이계도함수를 계산할 수 있는 가능성을 줄 뿐이지 정의를 주는 것은 아니다. 반례로 다음과 같이 정의된 부호 함수 $\sgn(x)$ 가 있다.

: $\sgn(x) = \begin{cases}$

1 & \text{if } x < 0, \\

0 & \text{if } x = 0, \\1 & \text{if } x > 0. \end{cases}

이 부호함수는 0에서 연속이 아니므로

x=0

에서 이계도함수가 존재하지 않지만,

x=0

에서 다음 극한은 존재한다.

:

\begin{align}\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{1 - 2\cdot 0 + (-1)}{h^2} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} \\&= 0 \end{align}

7. 이차 근사

일계도함수가 선형 근사와 관련있는 것처럼, 이계도함수는 함수 f에 대한 최적화된 이차 근사와 관련있다. 이는 곧 주어진 점에서 f의 일계도함수와 이계도함수의 값과 같은 이차함수이다. x=a 주변에서 f의 최적화된 이차 근사식은 다음과 같다.

: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.$

이 이차 근사는 함수의 x=a에서의 이차 테일러 다항식이다.

8. 고차원으로의 일반화

다변수 함수의 경우, 이계 편도함수들을 모아 놓은 헤세 행렬을 이용하여 함수의 극값 및 안장점을 판별할 수 있다. 이계 편도함수의 개념은 고차원으로 일반화될 수 있다. 예를 들어, 함수 ''f'': '''R'''³ → '''R'''는 세 변수의 이계 편도함수와 이들이 섞인 편도함수를 가진다. 함수의 상과 정의역이 모두 고차원이 되면, 이는 헤세 행렬이라는 대칭행렬과 관련이 있다. 이 행렬의 고윳값은 다변수의 이계도함수 판정법과 유사한 결과를 나타낸다.

'''라플라스 연산자'''( $\nabla^2$ 또는 $\Delta$ )는 이계도함수를 일반화한 것이다. 이는 미분 연산자로 정의된다. 어떤 함수에 라플라스 연산자를 적용한 값은 그 함수의 그래디언트의 발산과 같고, 헤세 행렬의 대각합과도 같다.

8. 1. 헤세 행렬

다변수 함수의 경우, 이계 편도함수들을 모아 놓은 헤세 행렬을 이용하여 함수의 극값 및 안장점을 판별할 수 있다. 이계 편도함수의 개념을 통해 고차원으로 일반화될 수 있다. 예를 들어, 함수 ''f'': '''R'''³ → '''R'''는 세 변수의 이계 편도함수

:

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

와 이들이 섞인 편도함수

:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \text{ and } \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}

를 가진다. 만약 함수의 상과 정의역 둘 다 고차원이 된다면, 이는 헤세 행렬이라 알려진 대칭행렬과 들어맞는다. 이 행렬의 고윳값은 다변수의 이계도함수 판정법을 유사하게 함의한다. (이계 편도함수 판정법을 보라.)

8. 2. 라플라스 연산자

'''라플라스 연산자'''(

\nabla^2

또는

\Delta

)는 이계도함수를 일반화한 것이다. 이는 다음과 같이 정의되는 미분 연산자이다.

:

\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

어떤 함수에 라플라스 연산자를 적용한 값은 그 함수의 그래디언트의 발산과 같고, 헤세 행렬의 대각합과도 같다.

9. 같이 보기

미분 적분학 쉽게 배우기

참조

_[1] 웹사이트 Content - The second derivative https://amsi.org.au/[...] 2020-09-16
_[2] 웹사이트 Second Derivatives http://192.168.1.121[...] 2020-09-16
_[3] 서적 Trigonometric Series Cambridge University Press
_[4] 서적 Symmetric Properties of Real Functions Marcel Dekker
_[5] 웹사이트 Content - The second derivative https://amsi.org.au/[...] 2020-09-16
_[6] 웹사이트 Second Derivatives http://192.168.1.121[...] 2020-09-16
_[7] 간행물 Extending the Algebraic Manipulability of Differentials 2019
_[8] 간행물 Reviews https://maa.tandfonl[...] 2019-12-20
_[9] 서적 Trigonometric Series Cambridge University Press
_[10] 서적 Symmetric Properties of Real Functions Marcel Dekker
_[11] 서적 Trigonometric Series Cambridge University Press
_[12] 서적 Symmetric Properties of Real Functions https://archive.org/[...] Marcel Dekker

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