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부랄리포르티 역설

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목차

1. 개요

부랄리포르티 역설은 1897년 체사레 부랄리포르티가 발견한 역설로, 모든 순서수의 모임이 집합이라고 가정할 때 발생하는 모순을 설명한다. 폰 노이만 순서수를 이용하여 설명되며, 모든 순서수의 모임이 순서수이면서 동시에 그 후속 순서수보다 작다는 모순이 발생한다. 이 역설은 순진 집합론의 문제점을 보여주며, 공리적 집합론에서는 무제한적인 집합 구성 허용을 금지하거나, 새로운 기초(NF)와 같은 다른 해결책을 통해 모순을 피한다.

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부랄리포르티 역설
개요
유형집합론의 역설
관련 분야집합론, 순서수
발견자체사레 부랄리포르티
발견 시기1897년
설명
내용모든 순서수의 집합은 순서수인가?

2. 정의

존 폰 노이만에 따르면, 순서수 \omega는 \omega보다 작은 순서수들의 집합으로 정의된다. 예를 들어, 0=\varnothing, 1=\{0\}, 2=\{0,1\} 등이다.

모든 순서수의 모임 \text{On}이 집합이라고 가정하자. 그러면 \operatorname{On} 자체도 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 \text{On}+1이 존재하고, 이는 \text{On}보다 크다. 그러나 \text{On}은 모든 순서수를 포함하므로 \text{On}+1도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다.

:\text{On}<\text{On}+1<\text{On}

따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.

3. 역사

체사레 부랄리포르티(Cesare Burali-Fortiit)가 1897년에 발견하였다.[1] '''부랄리포르티 역설'''이라는 명칭은 1897년에 이를 발견한 체사레 부랄리포르티에서 유래한다.[1] 하지만 그레고리 차이틴은 실제 발견자는 버트런드 러셀이라고 언급했다.[1]

4. 상세 설명

부랄리포르티 역설은 모든 순서수의 모임이 집합을 이루지 않는다는 것을 보여주는 역설이다.

존 폰 노이만의 정의에 따르면, 각 순서수는 그보다 작은 모든 순서수들의 집합으로 표현된다. 예를 들어, 0은 공집합, 1은 {0}, 2는 {0, 1}과 같이 정의된다. 이러한 정의를 바탕으로, 모든 순서수의 모임이 집합이라고 가정하면 모순이 발생한다.

만약 모든 순서수의 모임이 집합이라면, 이 집합 자체도 순서수의 성질을 만족해야 한다. 따라서 이 집합의 바로 다음 순서수가 존재하고, 이는 원래 집합보다 커야 한다. 그러나 원래 집합은 모든 순서수를 포함하고 있으므로, 이 새로운 순서수도 원래 집합에 포함되어야 한다. 이는 순서수의 크기 관계에 모순을 일으킨다.

이 역설은 각 순서수를 모든 이전 순서수의 집합으로 정의하는 존 폰 노이만의 정의를 전제하기 때문에 발생한다. 이 정의는 부랄리포르티가 역설을 제기했을 당시에는 알려지지 않았다.

각 정렬 순서에 해당 순서형을 연결한다고 가정하면, 순서형 자체는 자연스러운 방식으로 정렬되며, 이 정렬은 \Omega라는 순서형을 갖는다. 순진 집합론에서는 고정된 \alpha보다 작은 모든 서수의 순서형이 \alpha 자체임이 쉽게 증명된다. 따라서 \Omega보다 작은 모든 서수의 순서형은 \Omega 자체이다. 하지만 이는 \Omega가 모든 서수의 순서형보다 작다는 것을 의미하지만, 정의에 의해 모든 서수의 순서형은 \Omega 자체이므로 모순이다.

4. 1. 폰 노이만 순서수를 이용한 설명

존 폰 노이만에 따르면, 순서수 \omega는 \omega보다 작은 순서수들의 집합으로 정의된다. 예를 들어, 0=\varnothing, 1=\{0\}, 2=\{0,1\} 등이다.

모든 순서수의 모임 \text{On}이 집합이라고 가정하면, \operatorname{On} 자체도 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 \text{On}+1이 존재하고, 이는 \text{On}보다 크다. 그러나 \text{On}은 모든 순서수를 포함하므로 \text{On}+1도 그 원소가 되며, 다음과 같은 역설이 발생한다.

:\text{On}<\text{On}+1<\text{On}

따라서 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.

귀류법으로 증명하면 다음과 같다.

1. \Omega를 모든 서수들의 집합으로 정의한다.

2. \Omega의 모든 원소 x(서수이며, 임의의 서수가 될 수 있다)와 x의 모든 원소 y(즉, 폰 노이만 서수의 정의에 따라, 모든 서수 y < x에 대해), y는 \Omega의 원소이다. 왜냐하면 모든 서수는 이 서수 구성의 정의에 따라 서수만을 포함하기 때문이다. 따라서 \Omega는 추이적 집합이다.

3. \Omega의 모든 원소들이 이 관계에 의해 잘 정렬되어 있으므로, 집합 관계에 의해 정렬 집합이다.

4. 따라서, 단계 2와 3에 의해, \Omega는 서수 클래스이며, 또한 단계 1에 의해 서수이기도 하다. 왜냐하면 집합인 모든 서수 클래스는 서수이기도 하기 때문이다.

5. 이는 \Omega가 \Omega의 원소임을 의미한다.

6. 폰 노이만 서수의 정의에 따르면, \Omega < \Omega는 \Omega가 \Omega의 원소인 것과 같다. 이 마지막 명제는 단계 5에서 증명되었다.

7. 하지만 단계 4 (\Omega는 서수 클래스이다) 때문에, \Omega를 포함하여 어떤 서수 클래스도 자기 자신보다 작지 않다. 즉, \Omega \nless \Omega이다.

\Omega의 집합성으로부터 두 개의 모순된 명제(\Omega < \Omega와 \Omega \nless \Omega)를 유도했으므로, \Omega가 집합이라는 것을 부정했다.

모순의 원인은 모든 순서수의 집합 \Omega가 순서수로서의 성질을 모두 만족하기 때문에, 그 자체가 또한 순서수로 간주되어야 한다는 데에 있다. 따라서 그 후속 순서수 \Omega + 1을 구성할 수 있으며, 이는 \Omega보다 엄밀히 크다. 그런데 정의에 의해 이 순서수도 또한 \Omega의 원소여야 한다. 그러므로

\Omega < \Omega + 1 \leq \Omega

정렬 집합의 순서형(이러한 순서형을 순서수라고 한다)을 생각한다. 이때 순서수끼리 자연스러운 정렬 순서가 존재한다. 이로 인해 순서수 전체도 정렬 집합이 되고, 그 순서형 \Omega도 이 안에 포함되어야 한다. 소박 집합론(및 ZFC, 단 새 기초 집합론(NF)는 제외)에서는 어떤 순서수 \alpha보다 작은 모든 순서수 전체의 순서형은 \alpha 자신임이 쉽게 증명된다. 따라서 \Omega보다 작은 순서수 전체의 순서형은 \Omega 자신이다. 일반적으로 정렬 집합의 진정한 절편(proper initial segment영어)의 순서형은 전체의 순서형보다 작음이 쉽게 증명된다. 이로부터 \Omega보다 작은 순서수 전체의 순서형은 순서수 전체의 순서형보다 작아야 하지만, 이는 \Omega가 \Omega보다 작다는 것을 나타내며, 모순이다.

순서수를 모든 선행하는 순서수의 집합이라고 하는 폰 노이만의 정의를 사용한다면, 어떤 순서수 \alpha보다 작은 모든 순서수의 순서형은 \alpha 자신이 된다는 주장은 참이어야 한다. 따라서 폰 노이만 순서수의 "모임"은 러셀의 역설에서 나오는 "모임"과 마찬가지로, 고전 논리에 의한 집합론에서의 "집합"으로 간주될 수 없다. 그러나 NF에서는 순서형의 모임(정렬 집합의 순서 동형에 관한 동치류 전체)은 실제로 집합이며, \Omega보다 작은 순서수의 순서형은 사실 \Omega와는 다르다는 방식으로 역설이 회피된다.

4. 2. 보다 일반적인 설명

존 폰 노이만에 따르면, 순서수 α보다 작은 모든 순서수의 순서형은 α 자체가 된다. 러셀의 역설에서처럼, 폰 노이만 순서수의 모임은 고전 논리를 사용하는 어떤 집합론에서도 집합이 될 수 없다.

각 정렬 순서에 해당 순서형을 연결한다고 가정하면, 순서형 자체는 자연스러운 방식으로 정렬되며, 이 정렬은 Ω라는 순서형을 갖는다. 순진 집합론과 ZFC에서는 고정된 α보다 작은 모든 서수의 순서형이 α 자체임이 증명된다. 따라서 Ω보다 작은 모든 서수의 순서형은 Ω 자체이다. 그러나 이는 Ω가 모든 서수의 순서형보다 작다는 것을 의미하지만, 후자는 정의에 의해 Ω 자체이므로 모순이다.

모든 순서수의 집합 Ω가 순서수로서의 성질을 만족하여 그 자체도 순서수로 간주되어야 하기 때문에 모순이 발생한다. 따라서 그 후속 순서수 Ω + 1을 구성할 수 있으며, 이는 Ω보다 크다. 그런데 정의에 의해 이 순서수도 Ω의 원소여야 하므로, 다음과 같은 역설이 발생한다.

:\Omega < \Omega + 1 \leq \Omega

5. 역설의 해결

존 폰 노이만의 순서수 정의에 따르면, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다. 이는 러셀의 역설과 유사하게, 고전 논리를 따르는 집합론에서 모순을 일으킨다. 공리적 집합론에서는 이러한 모순을 피하기 위해 "속성 P를 만족하는 모든 것의 집합"과 같은 무제한적인 집합 구성을 허용하지 않는다.

새로운 기초 (NF)는 다른 해결책을 제시한다. NF에서는 정렬 집합의 순서 동형에 관한 동치류 전체인 순서형의 모임이 실제로 집합이 될 수 있다. 부랄리포르티 역설은 \Omega보다 작은 순서수의 순서형이 \Omega와 다르다는 것을 보임으로써 회피된다.

5. 1. 공리적 집합론

존 폰 노이만을 따라, 순서수 \omega를 \omega보다 작은 순서수들의 집합으로 정의한다.

모든 순서수의 모임 \text{On}이 집합이라고 가정하면, \operatorname{On} 자체도 또한 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 \text{On}+1이 존재하고, 이는 \text{On}보다 크다. 그러나, \text{On}은 모든 순서수를 포함하므로 \text{On}+1도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다.

:\text{On}<\text{On}+1<\text{On}

따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.

현대 형식적 집합론의 공리인 ZF와 ZFC는 "속성 P를 가진 모든 집합"과 같은 용어를 사용하여 집합을 구성하는 것을 허용하지 않음으로써 이러한 모순을 피한다. 이는 직관적 집합론에서 가능하며, "산술의 기본 법칙"에서 고틀로프 프레게의 공리에서도 가능하다. 콰인의 새로운 기초 (NF) 시스템은 다른 해결책을 사용한다.

위에 제시된 설명은 폰 노이만에서 유래한 순서수의 정의를 가정하고 있기에 일종의 시대착오를 포함하고 있다.

다음은 가정을 줄인 설명을 적는다.

정렬 집합의 순서형(이러한 순서형을 순서수라고 한다)을 생각한다. 이 때, 순서수끼리 자연스러운 정렬 순서가 존재한다. 이로 인해 순서수 전체도 정렬 집합이 되고, 그 순서형 \Omega도 이 안에 포함되어야 한다. 소박 집합론(및 ZFC, 단 새 기초 집합론(NF)는 제외)에서는 어떤 순서수 \alpha보다 작은 모든 순서수 전체의 순서형은 \alpha 자신임이 쉽게 증명된다. 따라서 \Omega보다 작은 순서수 전체의 순서형은 \Omega 자신이다. 일반적으로 정렬 집합의 진정한 절편(proper initial segment영어)의 순서형은 전체의 순서형보다 작음이 쉽게 증명된다. 이로부터 \Omega보다 작은 순서수 전체의 순서형은 순서수 전체의 순서형보다 작아야 하지만, 이는 \Omega가 \Omega보다 작다는 것을 나타내며, 모순이다.

순서수를 모든 선행하는 순서수의 집합이라고 하는 폰 노이만의 정의를 사용한다면, 어떤 순서수 \alpha보다 작은 모든 순서수의 순서형은 \alpha 자신이 된다는 주장은 참이어야 한다. 따라서 폰 노이만 순서수의 "모임"은 러셀의 역설에서 나오는 "모임"과 마찬가지로, 고전 논리에 의한 집합론에서의 "집합"으로 간주될 수 없다. 그러나 NF에서는 순서형의 모임(정렬 집합의 순서 동형에 관한 동치류 전체)은 실제로 집합이며, \Omega보다 작은 순서수의 순서형은 사실 \Omega와는 다르다는 방식으로 역설이 회피된다.

현대적인 공리적 집합론에서는 무제한적인 포괄 원리, 즉 "성질 P를 만족하는 모든 것의 집합"과 같은 집합의 구성을 단순하게 금지함으로써 이 모순을 회피하고 있다.

5. 2. 새로운 기초 (NF)

존 폰 노이만의 순서수 정의에 따르면, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다. 이는 러셀의 역설과 유사하게, 고전 논리를 따르는 집합론에서 모순을 일으킨다. 공리적 집합론에서는 이러한 모순을 피하기 위해 "속성 P를 만족하는 모든 것의 집합"과 같은 무제한적인 집합 구성을 허용하지 않는다. 예를 들어, 고틀로프 프레게의 공리계에서는 이러한 구성이 허용되지 않았다.

새로운 기초 (NF)는 이와 다른 해결책을 제시한다. NF에서는 정렬 집합의 순서 동형에 관한 동치류 전체인 순서형의 모임이 실제로 집합이 될 수 있다. 부랄리포르티 역설은 \Omega보다 작은 순서수의 순서형이 \Omega와 다르다는 것을 보임으로써 회피된다.


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