모임 (집합론)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역설
6. 형식 집합론에서의 클래스
참조

1. 개요

모임은 집합론에서 사용되는 개념으로, 특정 조건을 만족하는 대상들의 모임을 의미한다. 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서는 술어를 사용하여 간접적으로 정의되며, 집합으로 간주할 수 없는 모임은 고유 모임이라고 한다. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)과 모스-켈리 집합론(MK)에서는 모임을 기본 대상으로 취급한다. 모임은 집합의 일반화된 개념으로, 모든 집합은 모임이지만, 고유 모임은 집합이 될 수 없다. 고유 모임의 예시로는 모든 집합의 모임, 모든 기수의 모임, 모든 순서수의 모임 등이 있으며, 러셀의 역설과 같은 역설을 해결하는 데 중요한 역할을 한다.

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모임 (집합론)
개요
분야	집합론
정의	주어진 조건에 따라 정의되는 대상들의 모임
포함 관계	모든 집합은 모임이다. 모든 모임이 집합인 것은 아니다.
예시	모든 집합들의 모임 모든 순서수들의 모임 모든 군들의 모임
성질
크기	모임은 집합보다 클 수 있다.
모임 연산	모임에 대한 합집합과 교집합은 정의될 수 있다.
모임의 모임	모임들의 모임은 정의되지 않는다.
모임의 종류
고유 모임	집합이 아닌 모임
전체 모임	모든 집합을 포함하는 모임
형식적 정의
정의 방법	술어 논리를 사용하여 정의
예시 (모든 집합들의 모임)	{x \| x = x}
모순
러셀의 역설	"자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 모임"은 모순을 야기한다.

2. 정의

모임은 집합론에서 집합과 유사하지만, 더 일반적인 개념이다. 주어진 형식의 대수적 대상 전체의 모임은 대부분 진정한 클래스를 이룬다. 예를 들어, 모든 군, 모든 벡터 공간으로 이루어진 클래스 등이 있다. 범주론에서는 대상의 모임이 진정한 클래스를 이루는 것(또는 사상의 모임이 진정한 클래스를 이루는 것)을 큰 범주라고 한다.

집합론에서는 집합의 모임 중 많은 것이 진정한 클래스가 된다. 예를 들어, 모든 집합, 모든 서수, 모든 기수로 이루어진 클래스 등이 있다.

2. 1. 체르멜로-프렝켈 집합론에서의 정의

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서는 모임을 직접 다루지 않고, 1변수 술어를 통해 간접적으로 정의한다. 모임은 {x : φ(x)} 형태로 표현되며, 여기서 φ(x)는 x에 대한 술어이다. 만약 φ(x)를 만족하는 집합 S가 존재하면, 모임 {x : φ(x)}는 집합 S와 동일하게 간주된다.^[3] 집합으로 간주할 수 없는 모임은 고유 모임이라고 한다.

두 술어 φ, χ에 대하여, 만약 φ(x)가 χ(x)를 함의한다면, {x : φ(x)}는 {x : χ(x)}의 부분 모임(subclass)이라고 한다. 마찬가지로, 두 모임의 합모임, 교모임, 차모임 등도 정의할 수 있다.

ZF에서는 클래스의 개념을 형식화할 수 없으므로, 클래스를 포함하는 공식은 클래스가 없는 공식으로 축소되어야 한다.^[3] 예를 들어, 공식 A = {x | x = x}는 ∀x(x ∈ A ↔ x = x)로 축소될 수 있다. 의미론적으로, 메타언어에서 클래스는 동치류의 논리 공식으로 설명될 수 있다.

클래스는 ZF 이론에서 어떠한 형식적인 지위도 가지지 않기 때문에 ZF의 공리는 클래스에 즉시 적용되지 않는다. 그러나, 접근 불가능 기수 κ가 가정되면, 더 작은 랭크의 집합은 ZF의 모델(그로텐디크 우주)을 형성하고, 그 부분 집합은 "클래스"로 간주될 수 있다.

ZF에서, 함수의 개념은 클래스로 일반화될 수도 있다. 클래스 함수는 일반적인 의미에서 함수가 아닌데, 이는 집합이 아니기 때문이다. 이는 임의의 집합 x에 대해 쌍 (x,y)가 Φ를 만족하는 y가 하나 이하인 속성을 가진 공식 Φ(x,y)이다.

폰 노이만–괴델–베르나이스 공리(NBG)에서는 클래스를 기본 객체로 다루며, 집합은 다른 클래스의 원소인 클래스로 정의된다. NBG의 클래스 존재 공리는 모든 클래스가 아닌 집합에 대해서만 양화하도록 제한되는데, 이는 NBG가 ZFC의 보존적 확장이 되도록 한다.

모스-켈리 집합론은 NBG처럼 고유 클래스를 기본 객체로 허용하지만, 클래스 존재 공리에서 모든 고유 클래스에 대한 양화를 허용한다. 이로 인해 MK는 NBG와 ZFC보다 엄격하게 강력하다.

새로운 기초 또는 반집합 이론과 같은 다른 집합론에서, "고유 클래스"의 개념은 여전히 의미가 있지만 집합의 기준은 부분 집합에 대해 닫히지 않는다.

2. 2. 모임 이론에서의 정의

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 이론 등에서는 다루는 대상이 기본적으로 집합이 아니라 모임이다. 이 경우, 이론에서 다루는 모든 대상은 모임이며, 모임

X

가운데 이를 원소로 포함하는 다른 모임이 있을 경우 '''집합'''이라고 한다.

:

\operatorname{Set}(X)\iff\exists Y\colon X\in Y

집합이 아닌 모임, 즉 다른 모임의 원소가 될 수 없는 모임은 '''고유 모임'''이라고 한다.

2. 3. 기타 집합론에서의 정의

새 기초(New Foundations)와 같은 이론에서도 집합이 아닌 모임이 존재하나, 이 경우 집합은 고유 모임인 부분 모임을 가질 수 있다.

3. 성질

체르멜로-프렝켈 집합론, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론, 모스-켈리 이론 등에서는 다음이 성립한다. (이들 가운데 일부는 새 기초 등에서 성립하지 않는다.) 모임 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.

$X$ 는 집합이다.
$X$ 의 모든 부분 모임은 집합이다.
$X$ 를 원소로 하는 모임이 존재한다.
$X$ 를 원소로 하는 집합이 존재한다.
$X$ 를 원소로 하는 고유 모임이 존재한다.

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론, 모스-켈리 이론 등, 대역적 선택 공리(axiom of global choice^영어)를 포함하는 이론에서는 다음 조건들이 위 조건들과 추가로 동치이다.

$X$ 는 모든 순서수의 모임 $\operatorname{Ord}$ 와 일대일 대응을 갖지 않는다.
$X$ 와 일대일 대응을 갖지 않는 고유 모임이 존재한다.
임의의 고유 모임 $Y$ 에 대하여, $X$ 는 $Y$ 와 일대일 대응을 갖지 않는다.

4. 예

모든 집합은 모임이다. 고유 모임의 예로는 다음을 들 수 있다. 이들 가운데 여럿의 경우, 이들이 집합이 아니라는 정리는 역설로 불린다. 이는 집합론 초기에는 집합과 고유 모임의 차이가 명확하지 않았기 때문에 이들이 모순적으로 여겨졌기 때문이다.

모든 집합의 모임 $V=\{x\colon x=x\}$ (폰 노이만 전체)
모든 기수의 모임 $\operatorname{Card}$ . 이는 칸토어 역설에 따라 고유 모임이다.
모든 순서수의 모임 $\operatorname{Ord}$ . 이는 부랄리포르티 역설에 따라 고유 모임이다.
스스로를 원소로 갖지 않는 집합의 모임 $\{x\colon x\notin x\}$ . 이는 러셀의 역설에 따라 고유 모임이다. 사실, 정칙성 공리에 따라 이는 전체 모임 $V$ 와 같다.
모든 군들의 모임, 모든 환들의 모임, 모든 위상 공간들의 모임 따위 역시 고유 모임이다. 이러한 고유 모임들은 범주론에서 자주 다루게 된다.
모든 주어진 유형의 대수 구조의 모임은 일반적으로 진정한 클래스가 된다. 예시로는 모든 군의 클래스, 모든 벡터 공간의 클래스 등이 있다.
범주론에서, 대상의 모임이 진정한 클래스를 형성하거나, 사상의 모임이 진정한 클래스를 형성하는 범주를 큰 범주라고 한다.
초현실수는 체의 성질을 갖는 진정한 클래스의 대상이다.
집합론 내에서 많은 집합의 모임은 진정한 클래스가 된다. 예시로는 모든 집합의 클래스(보편 클래스), 모든 서수, 모든 기수의 클래스가 있다.

클래스가 진정한 클래스임을 증명하는 한 가지 방법은 모든 서수의 클래스와 전단사 함수로 연결하는 것이다.

5. 역설

집합론의 초기 역설들은 "모든 모임은 집합이다"라는 잘못된 가정 때문에 발생했다. 러셀의 역설, 부랄리포르티 역설 등은 특정 모임이 고유 모임임을 증명하는 것으로 해석된다. 모임은 다른 모임을 원소로 가질 수 있지만, '모임의 모임'과 같은 개념은 정의되지 않으므로 역설이 발생하지 않는다.^[2]

다음은 고유 모임의 예시이다. 이들은 집합이 아니라는 정리가 역설로 불렸는데, 이는 집합론 초기에는 집합과 고유 모임의 차이가 명확하지 않아 모순적으로 여겨졌기 때문이다.

모든 집합의 모임 $V=\{x\colon x=x\}$ (폰 노이만 전체)
모든 기수의 모임 $\operatorname{Card}$ (칸토어 역설에 따라 고유 모임)
모든 순서수의 모임 $\operatorname{Ord}$ (부랄리포르티 역설에 따라 고유 모임)
스스로를 원소로 갖지 않는 집합의 모임 $\{x\colon x\notin x\}$ (러셀의 역설에 따라 고유 모임, 정칙성 공리에 따라 전체 모임 $V$ 와 같음)
모든 군들의 모임, 모든 환들의 모임, 모든 위상 공간들의 모임 등 (이러한 고유 모임들은 범주론에서 자주 다룸)

6. 형식 집합론에서의 클래스

ZF 집합론에서는 클래스 개념을 형식화하지 않으므로, 클래스를 포함하는 공식은 클래스가 없는 공식으로 축소되어야 한다.^[3] 예를 들어, $A = \{x\mid x=x \}$ 와 같은 공식은 $\forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)$ 로 바꿀 수 있다. 의미론적으로는, 메타언어에서 클래스를 동치류의 논리 공식으로 설명할 수 있다.

ZF 이론에서 클래스는 형식적인 지위가 없기 때문에 ZF 공리는 클래스에 바로 적용되지 않는다. 하지만, 접근 불가능 기수 $\kappa$ 를 가정하면, 그보다 작은 랭크의 집합들은 ZF의 모델(그로텐디크 우주)을 형성하고, 그 부분 집합들을 "클래스"로 볼 수 있다.

ZF에서는 함수 개념을 클래스로 일반화할 수 있다. 클래스 함수는 집합이 아니므로 일반적인 함수는 아니다. 이는 임의의 집합 $x$ 에 대해 쌍 $(x,y)$ 가 $\Phi$ 를 만족하는 $y$ 가 하나 이하인 속성을 가진 공식 $\Phi(x,y)$ 이다. 예를 들어 각 집합을 그 멱집합에 매핑하는 클래스 함수는 공식 $y = \mathcal P(x)$ 로 나타낼 수 있다.

6. 1. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 (NBG)

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 클래스를 기본 대상으로 다루며, 집합은 다른 클래스의 원소인 클래스로 정의된다. NBG에서 집합 존재 공리는 클래스 전체가 아닌 집합에 대한 양화만으로 제한된다. 이를 통해 NBG는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장이 된다.

6. 2. 모스-켈리 집합론 (MK)

모스-켈리 집합론(MK)은 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)처럼 고유 클래스를 기본 객체로 허용하지만, 클래스 존재 공리에서 모든 고유 클래스에 대한 양화를 허용한다. MK는 NBG와 ZFC보다 엄격하게 강력하다.

6. 3. 기타 집합론

신 기초 집합론(NF)이나 준 집합 이론과 같은 다른 집합론에서도 "고유 모임" 개념은 존재하지만, 집합의 기준이 부분 집합에 대해 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 보편 집합을 갖는 임의의 집합론은 집합의 부분 모임이 되는 고유 모임을 갖는다.

참조

_[1] 서적 The Principles of Mathematics https://archive.org/[...] 1903
_[2] 서적 Category theory http://www.helderman[...] Heldermann Verlag 2007
_[3] 간행물 abeq2 – Metamath Proof Explorer http://us.metamath.o[...] us.metamath.org 1993-08-05
_[4] 논문 Axioms of Set Theory 1977

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