확장된 실수

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1. 개요
2. 정의
3. 극한
4. 측도와 적분
5. 대수적 성질
6. 기타 함수
7. 한국 수학 교육과정 과의 연관성
8. 응용
참조

1. 개요

확장된 실수는 실수 집합에 양과 음의 무한대를 추가하여 얻는 집합으로, 위상 공간 및 전순서 집합의 구조를 갖는다. 확장된 실수 체계에서는 함수의 극한을 정의하고, 측도론 및 적분에서 무한대 값을 허용하는 데 유용하게 사용된다. 일부 산술 연산은 정의되지 않지만, 덧셈과 곱셈은 부분적으로 확장될 수 있다. 지수 함수와 로그 함수를 포함한 여러 함수는 극한을 통해 확장된 실수로 연속적으로 확장될 수 있으며, 다양한 수학 및 과학 분야에서 활용된다.

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확장된 실수
개요
종류	실수
포함	유리수, 무리수
특징	실수에 양의 무한대와 음의 무한대를 추가하여 확장함
표기법	} }}
관련 항목	사영 확장 실수, 리만 구
설명
정의	확장된 실수는 실수 집합 에 양의 무한대()와 음의 무한대()를 추가하여 얻어지는 집합임
순서 관계	실수 에 대해 항상 임
연산 규칙	확장된 실수에서 정의되는 연산 규칙은 다음과 같음
덧셈	임의의 실수 에 대해, 와
곱셈	양의 실수 에 대해, (+∞) ⋅ x = +∞와 (−∞) ⋅ x = −∞ 음의 실수 에 대해, (+∞) ⋅ x = −∞와 (−∞) ⋅ x = +∞ (+∞) ⋅ (+∞) = +∞ (−∞) ⋅ (−∞) = +∞ (+∞) ⋅ (−∞) = −∞ (−∞) ⋅ (+∞) = −∞
기타 연산	(단, 는 실수)
정의되지 않는 연산	(+∞) + (−∞) (−∞) + (+∞) (+∞) ⋅ 0 (−∞) ⋅ 0
성질
완비성	확장된 실수는 완비 순서 집합임
콤팩트성	구간 는 콤팩트 공간임

2. 정의

'''확장된 실수'''(Extended real number) 집합 $\bar{\mathbb R}$ 는 실수 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 것이다.

: $\bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{+\infty,-\infty\}$

이는 실직선의 일부로 볼 수 있으며, 다음 함수를 통해 표현 가능하다.

: $\arctan\colon\bar{\mathbb R}\to[-\pi/2,\pi/2]$

: $\arctan(x)=\begin{cases}\pi/2&x=+\infty\\-\pi/2&x=-\infty\\\arctan(x)&x\in\mathbb R\end{cases}$

이를 통해 $\bar{\mathbb R}$ 에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

$\bar{\mathbb R}$ 는 자연스러운 전순서를 가지며, 모든 실수 $a\in\mathbb R$ 에 대해 $-\infty 가 성립한다. 따라서 \bar{\mathbb R} 는 완비 격자 가 되어 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.$

2. 1. 위상적 성질

확장된 실수

\bar{\mathbb R}

는 전순서 집합이며, 모든 부분집합이 상한과 하한을 가지므로 완비 격자를 이룬다.^[2] 모든

a\in\overline{\R}

에 대해

-\infty\leq a\leq+\infty

로 정의한다.

순서 위상을 통해

\overline{\R}

은 콤팩트성을 가지며, 단위 구간

[0,1]

과 위상 동형이다. 따라서 이 위상은 거리화 가능하며, 단위 구간의 일반적인 거리에 해당한다. 그러나

\R

의 일반적인 거리를 확장한 거리는 존재하지 않는다.

이 위상에서 집합

U

가

+\infty

의 근방이 될 필요충분조건은, 어떤 실수

a

에 대해 집합

\{x:x>a\}

를 포함하는 것이다.

-\infty

의 근방도 유사하게 정의할 수 있다. 이러한 확장된 실수 근방의 특징을 사용하여,

x

가

+\infty

또는

-\infty

로 향하는 함수의 극한과

+\infty

및

-\infty

와 "같은" 극한은 일반적인 위상적 극한의 정의로 축소된다.

2. 2. 산술 연산

확장된 실수에서, 일부 산술 연산은 다음과 같이 부분적으로 정의된다. 모든

a^+\in\mathbb R^+

(양의 실수),

a^-\in\mathbb R^-

(음의 실수)에 대하여:

덧셈: $a^+\pm\infty=a^-\pm\infty=0\pm\infty=\pm\infty\pm\infty=\pm\infty$
덧셈의 역원: $-(\pm\infty)=\mp\infty$
곱셈: $a^+\cdot(\pm\infty)=a^-\cdot(\mp\infty)$

=\pm\infty\cdot\infty=\mp\infty\cdot(-\infty)=\pm\infty

곱셈의 역원: $(\pm\infty)^{-1}=0$

하지만, 다음과 같은 연산들은 정의되지 않는다.

$0\cdot\infty=?$
$\infty-\infty=?$
$0^{-1}=?$

측도론에서는 보통

0\cdot\infty=0

으로 정의하여 사용한다.^[3]

\bar{\mathbb R}

는 군이나 환, 모노이드의 구조를 가지지 않지만, 다음이 성립한다.

$\bar{\mathbb R}\setminus\{0\}$ 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
만약 $0\cdot\infty=0$ 으로 정의한다면, $\bar{\mathbb R}$ 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
$\bar{\mathbb R}\setminus\{-\infty\}$ 와 $\bar{\mathbb R}\setminus\{+\infty\}$ 는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
만약 $0\cdot\infty=0$ 으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 $\bar{\mathbb R}_{\ge0}=[0,\infty]$ 는 가환 반환을 이룬다.

실수

\R

의 산술 연산은 확장된 실수

\overline\R

로 부분적으로 확장될 수 있다.^[3]

:

\begin{align}a\pm\infty=\pm\infty+a&=\pm\infty,&a&\neq\mp\infty\\a\cdot(\pm\infty)=\pm\infty\cdot a&=\pm\infty,&a&\in(0,+\infty]\\a\cdot(\pm\infty)=\pm\infty\cdot a&=\mp\infty,&a&\in[-\infty,0)\\\frac{a}{\pm\infty}&=0,&a&\in\mathbb{R}\\\frac{\pm\infty}{a}&=\pm\infty,&a&\in(0,+\infty)\\\frac{\pm\infty}{a}&=\mp\infty,&a&\in(-\infty,0)\end{align}

\infty-\infty

,

0\times(\pm\infty)

,

\pm\infty/\pm\infty

(부정형)는 일반적으로 정의되지 않음으로 남겨두지만, 확률 또는 측도론의 맥락에서,

0\times\pm\infty

는 종종 0으로 정의된다.^[4]

1/0

는 일반적으로 정의되지 않는다. 0으로 수렴하는 모든 실수 비영 수열

f

에 대해, 역수 수열

1/f

가

\{\infty,-\infty\}

의 모든 근방에 포함되지만,

1/f

자체가

-\infty

또는

\infty

로 수렴하는 것은 아니기 때문이다.

하지만, 음수 값이 고려되지 않는 맥락에서는

1/0=+\infty

로 정의하는 것이 편리하다. 예를 들어, 멱급수를 다룰 때, 계수

a_n

을 갖는 멱급수의 수렴 반경은 수열

\left(|a_n|^{1/n}\right)

의 상극한의 역수로 정의되기 때문에,

1/0

이

+\infty

값을 가지도록 하면 상극한이 0인지 여부에 관계없이 공식을 사용할 수 있다.

2. 3. 지수 함수와 로그 함수

다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

:

\exp \colon \bar{\mathbb R} \to [0, \infty]

:

\exp(-\infty) = 0

:

\exp(+\infty) = +\infty

이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

:

\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) \qquad \left(a,b \in \bar{\mathbb R}, \; (a,b) \not\in \left\{(-\infty,+\infty),(+\infty,-\infty)\right\}\right)

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수

:

\log \colon [0,\infty] \to \bar{\mathbb R}

를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

:

\log(ab) = \log(a) + \log(b) \qquad \left(a,b \in [0,\infty], \; (a,b) \not\in \left\{(0,\infty),(\infty,0)\right\}\right)

실함수 중에는 극한을 취함으로써 확장된 실수까지 연속적으로 확장할 수 있는 것도 있다. 예를 들어 지수 함수나 자연 로그는 exp(−∞) = 0, exp(+∞) = +∞ 나 ln(0) = −∞, ln(+∞) = +∞로 연속적으로 확장할 수 있다.

3. 극한

확장된 실수는 함수의 극한을 설명하는 데 유용하다. $x$ 가 무한히 증가할 때, $x$ 가 접근하는 실수는 없지만, 일반적인 함수의 극한 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 와 유사하게 정의할 수 있다. $+\infty$ 와 $-\infty$ 요소를 $\R$ 에 추가하면 "무한대에서의 극한"에 대한 정의가 가능해지며, 이는 $|x-x_0|<\varepsilon$ 는 $x>N$ (for $+\infty$ ) 또는 $x<-N$ (for $-\infty$ )로 대체하는것과 같이, 일반적인 극한의 정의와 매우 유사하다.^[2]

예를 들어 함수 $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 를 생각해보면, 이 함수의 그래프는 $y=0$ 에서 수평 점근선을 갖는다. 기하학적으로, $x$ 축을 따라 점점 더 오른쪽으로 이동하면 ${1}/{x^2}$ 의 값은 0에 근접한다. 이를 통해 다음을 증명하고 쓸 수 있다.

: $\begin{align}\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^2}&=0,\\\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^2}&=0,\\\lim_{x\to0}\frac1{x^2}&=+\infty.\end{align}$

확장된 실수 체계에서, 집합 $U$ 가 $+\infty$ 의 근방이 되려면, 어떤 실수 $a$ 에 대해 집합 $\{x:x>a\}$ 를 포함해야 한다. $-\infty$ 의 근방 개념도 유사하게 정의할 수 있다. 확장된 실수 근방의 이러한 특징을 사용하여, $x$ 가 $+\infty$ 또는 $-\infty$ 로 향하는 함수의 극한, 그리고 $+\infty$ 와 $-\infty$ 와 "같은" 극한은 실수 체계에서 특별한 정의를 갖는 대신, 일반적인 위상적 극한의 정의로 축소된다.

4. 측도와 적분

측도론에서는 무한 측도를 갖는 집합과 값이 무한대일 수 있는 적분을 허용하는 것이 종종 유용하다.

이러한 측도는 미분적분학에서 자연스럽게 발생한다. 예를 들어, 구간의 일반적인 길이와 일치하는 측도를 ℝ에 할당할 때, 이 측도는 임의의 유한 실수를 초과해야 한다. 또한, 다음의 이상 적분을 고려할 때,

: $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$

"무한대"라는 값이 발생한다. 마지막으로, 다음과 같은 함수열의 극한을 고려하는 것이 종종 유용하다.

: $f_n(x)=\begin{cases}2n(1-nx),&\mbox{if }0\leq x\leq\frac{1}{n}\\0,&\mbox{if }\frac{1}{n} .$

함수가 무한대 값을 갖는 것을 허용하지 않으면, 단조 수렴 정리 및 지배 수렴 정리와 같은 필수적인 결과는 의미가 없을 것이다.

5. 대수적 성질

확장된 실수 집합( $\bar{\mathbb R}$ )은 덧셈과 곱셈에 대해 일반적으로 정의되지 않아 군, 환, 모노이드 구조를 갖지 않는다. 하지만, 일부 산술 법칙은 여전히 유효하다.

$\bar{\mathbb R}\setminus\{0\}$ 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
$0\cdot\infty=0$ 으로 정의하면, $\bar{\mathbb R}$ 는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
$\bar{\mathbb R}\setminus\{-\infty\}$ 와 $\bar{\mathbb R}\setminus\{+\infty\}$ 는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
$0\cdot\infty=0$ 으로 정의하면, 음이 아닌 확장된 실수 $\bar{\mathbb R}_{\ge0}=[0,\infty]$ 는 가환 반환을 이룬다.

다음은 확장된 실수에서 성립하는 주요 성질들이다. 아래에서 각 식들은 한쪽이 정의되면 양쪽이 모두 정의되고, 정의될 경우 그 값이 서로 같다.

덧셈의 결합 법칙: $a+(b+c)$ 와 $(a+b)+c$
덧셈의 교환 법칙: $a+b$ 와 $b+a$
곱셈의 결합 법칙: $a\cdot(b\cdot c)$ 와 $(a\cdot b)\cdot c$
곱셈의 교환 법칙: $a\cdot b$ 와 $b\cdot a$
분배 법칙: $a\cdot(b+c)$ 와 $(a\cdot b)+(a\cdot c)$ (단, 두 식이 모두 정의될 때)
덧셈의 순서 보존: $a\leq b$ 이고 $a+c$ 와 $b+c$ 가 모두 정의되면 $a+c\leq b+c$
곱셈의 순서 보존: $a\leq b$ 이고 $c>0$ 이며 $a\cdot c$ 와 $b\cdot c$ 가 모두 정의되면 $a\cdot c\leq b\cdot c$

일반적으로, 모든 연산이 정의되어 있다면 확장된 실수에서도 실수의 사칙연산 법칙이 대부분 성립한다.^[1]

6. 기타 함수

어떤 실함수 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ 가 $\lim_{x\to\infty}f(x)=a$ 를 만족하면, $f(\infty)=a$ 로 정의할 수 있다. 이렇게 하면 실함수의 극한을 이용하여 확장된 실수로 연속적으로 확장할 수 있는 경우가 생긴다.

예를 들어, 함수 $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 는 $x$ 가 무한히 커질 때 0에 근접한다. 이를 확장된 실수 개념을 이용하여 표현하면 다음과 같다.^[4]

$\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^2}=0$
$\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^2}=0$
$\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty$

이처럼 극한을 취함으로써 확장된 실수

\overline\R

로 연속적으로 확장될 수 있는 함수들이 있다. 예를 들면 다음과 같다.

$\exp(-\infty)=0$
$\ln(0)=-\infty$
$\tanh(\pm\infty)=\pm1$
$\arctan(\pm\infty)= \pm\frac{\pi}{2}$

일부 특이점은 확장된 실수를 통해 제거될 수 있다. 예를 들어

1/x^2

는

x=0

에서

+\infty

로,

x=\pm\infty

에서 0으로 정의함으로써 연속적으로 확장 가능하다. 반면,

1/x

는

x

가 0으로 접근할 때, 아래에서 접근하면

-\infty

, 위에서 접근하면

+\infty

가 되므로 연속적으로 확장할 수 없다.^[4]

사영적으로 확장된 실수선에서는

+\infty

와

-\infty

를 구별하지 않아, 확장된 실수 체계에서와 다른 극한을 가질 수 있다. 예를 들어

1/x

는 사영적으로 확장된 실수선에서

x=0

일 때 극한

\infty

를 갖지만, 확장된 실수 체계에서는 절댓값만이 극한을 갖는다. 또한,

e^x

와

\arctan(x)

는 사영적으로 확장된 실수선에서

x=\infty

에서 연속이 될 수 없다.^[4]

7. 한국 수학 교육과정 과의 연관성

대한민국의 고등학교 수학 교육과정에서 함수의 극한과 연속성, 미분과 적분을 배울 때 확장된 실수의 개념이 간접적으로 나타난다.^[1] 이상 적분은 정규 교육과정이 아니지만, 심화 학습 또는 대학 과정에서 확장된 실수를 이용하여 다루어진다.^[1] 무한 극한, 무한대와 관련된 개념은 학생들의 직관적인 이해를 돕기 위해 사용되지만, 고등학교 교육과정에서는 엄밀한 정의를 다루지 않는다.^[1] 수리 논술, 대학별 고사 등에서 확장된 실수와 관련된 개념(주로 이상적분)이 출제될 수 있다.^[1]

8. 응용

해석학, 수치해석, 확률론, 물리학 등 다양한 분야에서 확장된 실수가 활용된다. 예를 들어, 함수에서 인수나 함수값이 "매우 커질" 때의 거동을 기술하거나, 측도론에서 측도가 무한대인 집합이나 값이 무한대가 되는 적분을 허용하는 경우에 유용하다.

참조

_[1] 웹사이트 Section 6: The Extended Real Number System https://www.maths.tc[...] 2019-12-03
_[2] 서적 Applied Functional Analysis https://www.crcpress[...] Chapman and Hall/CRC 2019-12-08
_[3] 웹사이트 Affinely Extended Real Numbers http://mathworld.wol[...] 2019-12-03
_[4] 웹사이트 Projectively Extended Real Numbers http://mathworld.wol[...] 2019-12-03
_[5] 서적 ブルバキ
_[6] 서적 伊藤『ルベーグ積分入門』

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