분해 가능 확대

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1. 개요

분해 가능 확대는 체의 확대 유형으로, 다항식이 서로 다른 근을 가질 조건을 정의하고, 이를 통해 체의 분리 가능성 여부를 판단한다. 기약 다항식이 분해 가능하려면, 해당 다항식이 체의 확대에서 중근을 갖지 않아야 하며, 형식적 미분이 0이 아니어야 한다. 분해 가능 확대는 최소 다항식이 분해 가능한 대수적 확대를 의미하며, 분해 가능 폐포는 주어진 체에 대해 분해 가능한 원소들의 집합으로 구성된다. 또한, 분해 가능성은 초월 확장에서의 분리 초월 기저를 통해 정의되며, 미분을 이용하여 분해 가능성을 판별할 수도 있다.

분해 가능 확대

정의

설명	대수적 field extension의 유형을 나타냄

분리 가능 확대

조건	E ⊃ F인 확대에서 임의의 원소 α ∈ E의 최소 다항식이 분리 다항식이면, E는 F의 분리 가능 확대임
추가 조건	α의 최소 다항식이 중근을 가지지 않으면 α는 분리 가능하다고 함
동치 조건	E ⊃ F인 확대에서 α ∈ E F에 대해, α가 F 위에서 분리 가능할 필요충분조건은 F의 characteristic이 0이거나, α의 최소 다항식의 도함수가 0이 아니라는 것임
참고	분리 확대 참고

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체론 - 분해체
분해체는 체 K 위의 다항식 p(X)가 일차 인자의 곱으로 완전 인수분해되고 그 근들에 의해 K 위에서 생성되는 체 확대 L을 의미하며, 동형을 제외하고 유일하고 갈루아 군과 관련이 있다.
체론 - 체 (수학)
체는 사칙연산이 자유롭고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환으로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 기본적인 역할을 하는 대수 구조이다.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 비대수적 확대의 분리 가능성
6. 미분을 이용한 판정법

2. 정의

체 $K$ 에 대해, 기약 다항식 $p \in K[x]$ 가 분해 가능 다항식이라는 것은 다음 조건들이 서로 동치임을 의미한다.

* 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$ 에 대하여, $L[x]$ 속에서 $(x-a)^2\nmid p(x)$ 이다.
* $|\{a\in L\colon p(a)=0\}|=\deg p$ 인 체의 확대 $L/K$ 가 존재한다.
* 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$ 에 대하여, $p(a)=0=p'(a)$ 임은 불가능하다.
* 형식적 도함수 $p'\in K[x]$ 에 대하여, $dp/dx\ne0$ 이다.

2.1. 분해 가능 다항식의 조건

체 $K$ 가 주어졌을 때, 기약 다항식 $p\in K[x]$ 가 다음 조건들을 만족하면 분해 가능 다항식이라고 한다.

* 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$ 에 대하여, $L[x]$ 속에서 $(x-a)^2\nmid p(x)$ 이다.
* $|\{a\in L\colon p(a)=0\}|=\deg p$ 인 체의 확대 $L/K$ 가 존재한다.
* 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$ 에 대하여, $p(a)=0=p'(a)$ 임은 불가능하다.
* 형식적 도함수 $p'\in K[x]$ 에 대하여, $dp/dx\ne0$ 이다.

기약 다항식 $f$ in $F[X]$ 가 분해 가능인 것은 $F$ 의 임의의 확대에서 서로 다른 근을 가질 때와 동치이다.

$f$ in $F[X]$ 가 기약 다항식이고, $f'$ 가 그의 형식적 미분이라고 하자. 그러면 기약 다항식 $f$ 가 분해 가능하기 위한 다음 조건들은 서로 동치이다.

* $f$ 가 선형 인수의 곱으로 표현되는 $E$ 가 $F$ 의 확대체이면, 이러한 인수들의 제곱은 $E[X]$ 에서 $f$ 를 나누지 않는다.
* $f$ 가 $\deg(f)$ 개의 쌍별로 다른 근을 갖는 $F$ 의 확대 $E$ 가 존재한다.
* 상수 $1$ 은 $f$ 와 $f'$ 의 다항식 최대공약수이다.
* $f$ 의 형식적 미분 $f'$ 은 영 다항식이 아니다.
* $F$ 의 표수가 0이거나, 표수가 $p$ 이고 $f$ 가 $\textstyle\sum_{i=0}^k a_iX^{pi}.$ 의 형식이 아니다.

$F[X]$ 의 다항식 $f$ 가 분리 다항식(separable polynomial)이라는 것은, $F[X]$ 에서의 $f$ 의 모든 기약 인수가 서로 다른 근을 갖는다는 것이다.

$F[X]$ 의 원소 $f$ 를 기약 다항식으로 하고 $f'$ 을 그 형식 미분이라고 하자. 이 때 다음 조건은 $f$ 가 분리적, 즉 서로 다른 근을 가질 동치 조건이다.

* $E \supset F$ 및 $\alpha \in E$ 이면, $(X-\alpha)^2$ 는 $E[X]$ 에서 $f$ 를 나누지 않는다.
* $K \supset F$ 가 존재하여 $f$ 는 $K$ 에서 $\deg(f)$ 개의 근을 갖는다.
* $f$ 와 $f'$ 은 $F$ 의 어떤 확대 체에서도 공통 근을 갖지 않는다.
* $f'$ 은 영 다항식이 아니다.

2.2. 분해 가능 확대

체 K의 대수적 확대 L/K에 대하여, 만약 모든 a ∈ L에 대하여 그 최소 다항식 pₐ(x) ∈ K[x]이 분해 가능 다항식이면 L/K를 분해 가능 확대라고 한다.

체 확대 $E\supseteq F$ 가 분해 가능하다는 것은 E가 F에서 E의 분해 폐포인 경우이다. 이는 E가 분해 가능한 원소에 의해 F 위에서 생성되는 경우에만 해당된다.

만약 $E\supseteq L\supseteq F$ 가 체 확대라면, E가 F 위에서 분해 가능하다는 것은 E가 L 위에서 분해 가능하고 L이 F 위에서 분해 가능한 경우에만 해당된다.

만약 $E\supseteq F$ 가 유한 확대(즉, E가 유한한 차원을 가진 F-벡터 공간)라면, 다음은 동치이다.
# E는 F 위에서 분해 가능하다.
# $E = F(a_1, \ldots, a_r)$ 여기서 $a_1, \ldots, a_r$ 는 E의 분해 가능한 원소이다.
# $E = F(a)$ 여기서 a는 E의 분해 가능한 원소이다.
# 만약 K가 F의 대수적 폐포라면, F를 고정하는 E에서 K로의 체 준동형 사상이 정확히 $[E : F]$ 개 존재한다.
# K를 포함하는 F의 임의의 정규 확대에 대해, F를 고정하는 E에서 K로의 체 준동형 사상이 정확히 $[E : F]$ 개 존재한다.

3.과 1.의 동치는 원시 원소 정리 또는 원시 원소에 대한 아르틴 정리로 알려져 있다.

$E \supseteq F$ 를 표수 p의 체의 대수적 확대라고 하자. E에서 F의 분리 폐포는 $S=\{\alpha\in E \mid \alpha \text{는 } F \text{에 대해 분리 가능합니다.}\}$ 이다. 모든 원소 $x\in E\setminus S$ 에 대해 $x^{p^k}\in S$ 가 되는 양의 정수 k가 존재하며, 따라서 E는 S의 순수 비분리 확대이다. 따라서 S는 F에 대해 분리 가능하고, E가 순수 비분리 가능한 유일한 중간체이다.

$E \supseteq F$ 가 유한 확대인 경우, 그 차수 [E : F]는 차수 [S : F]와 [E : S]의 곱이다. 전자는 종종 [E : F]_sep로 표기되며, E/F의 분리 가능한 부분 또는 분리 차수라고 한다. 후자는 차수의 비분리 가능한 부분 또는 비분리 차수라고 한다. 비분리 차수는 표수가 0일 때는 1이고, 표수 p > 0일 때는 p의 거듭제곱이다.

2.3. 완전 비분해 확대

대수적 확대 $L/K$ 에 대하여, 모든 $a\in L\setminus K$ 에 대해 그 최소 다항식 $p_a(x)\in K[x]$ 이 분해 가능 다항식이 아니라면, $L/K$ 를 완전 비분해 확대(purely inseparable extension^영어)라고 한다.

2.4. 분해 가능 폐포

체 K가 주어졌을 때, 그 대수적 폐포 ˉK 속에서, K에 대하여 최소 다항식이 분해 가능한 원소들의 집합 K^sep은 ˉK의 부분체를 이루며, 이를 K의 분해 가능 폐포라고 한다. K의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. K의 분해 가능 확대는 K의 최대 갈루아 확대이다.

체 확대 E⊇F에 대하여, α∈E가 F 위에서 대수적이고, 그 최소 다항식이 분해 가능하다면, α는 F 위에서 분해 가능하다고 한다. α와 β가 F 위에서 분해 가능하다면, α+β, αβ 및 1/α (α≠0)도 F 위에서 분해 가능하다. 따라서 E에서 F 위에서 분해 가능한 모든 원소의 집합은 E의 부분체를 형성하며, 이를 E에서 F의 분해 가능 폐포라고 부른다.

F의 대수적 폐포에서 F의 분해 폐포는 단순히 F의 분해 폐포라고 한다. 이는 대수적 폐포와 마찬가지로 동형사상까지 유일하지만, 이 동형사상은 일반적으로 유일하지 않다.

3. 성질

임의의 체 K에 대하여, K^sep/K는 분해 가능 확대이며, ˉK/K^sep은 완전 비분해 확대이다. 임의의 대수적 확대 L/K에 대하여, (L ∩ K^sep)/K는 분해 가능 확대이며, L/(L ∩ K^sep)은 완전 비분해 확대이다. 임의의 정규 확대 L/K에 대하여, K^Aut(L/K)/K는 완전 비분해 확대이며, L/K^Aut(L/K)는 갈루아 확대이다. 또한 L은 (L ∩ K^sep)와 K^Aut(L/K)/K의 합성체이며, K는 둘의 교집합이다. 여기서,
:K^Aut(L/K) = {a ∈ L : ∀σ ∈ Aut(L/K) : σ(a) = a}
는 L/K의 모든 자기 동형 사상에 대한 고정점의 집합이다.

유한 확대 L/K에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.
* 분해 가능 확대이다.
* 체 대각합 T_L/K: L → K는 전사 함수이다.
* T_L/K ≠ 0

4. 예

완전체의 대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대
: $\mathbb F_p(t)/\mathbb F_p(t^p)$
는 정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다. $t\in\mathbb F_p(t)$ 의 최소 다항식은
: $x^p-t^p\in\mathbb F_p(t^p)[x]$
인데, $\mathbb F_p(t)[x]$ 에서 이는
: $x^p-t^p=(x-t)^p\in\mathbb F_p(t)[x]$
와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

5. 비대수적 확대의 분리 가능성

초월 확대를 다룰 때 분리 가능성 문제가 발생할 수 있다. 이는 전형적으로 소수 표수의 체 위의 대수 기하학에서 발생하며, 여기서 대수적 다양체의 함수체는 기본 체에 대한 초월 차수가 다양체의 차원과 같다.

초월 확장의 분리 가능성을 정의하기 위해 모든 체 확장이 순수 초월 확장의 대수적 확장이라는 사실을 사용하는 것이 자연스럽다.

체의 표수 지수가 $p$ 인 체 확장 $E\supseteq F$ (즉, 표수가 0이면 $p=1$ 이고, 그렇지 않으면 $p$ 는 표수)라고 가정하면, 다음 속성은 동일하다.
* $E$ 는 $F$ 의 분리 가능한 확장이다.
* $E^p$ 와 $F$ 는 $F^p$ 위에서 선형적으로 분리되어 있습니다.
* $F^{1/p} \otimes_F E$ 는 환이다.
* 모든 체 확장 $L$ 에 대해 $L \otimes_F E$ 는 환이다.

여기서 $\otimes_F$ 는 체의 텐서 곱을 나타내고, $F^p$ 는 $F$ 의 원소의 $p$ 제곱의 체이며 (어떤 체 $F$ 에 대해서든), $F^{1/p}$ 는 $F$ 에 모든 원소의 $p$ 제곱근을 인접하여 얻은 체이다.

분리 확대 이론은 대수체 확대의 문맥에서 많은 중요한 응용이 있지만, (대수적이라고 할 수 없는) 분리체 확대를 수학에서 연구하는 것이 유익한 중요한 예가 있다.

$F/k$ 를 체 확대라고 하고 p를 $k$ 의 characteristic exponent라고 하자 . k의 임의의 체 확대 L에 대해, $F_L = L \otimes_k F$ 라고 쓴다 (cf. 체의 텐서곱). 이 때 F는 다음의 동치인 조건을 만족할 때 $k$ 위에서 분리적 (separable over $k$ )이라고 한다.
* $F^p$ 와 $k$ 는 $k^p$ 위에서 선형 무관이다.
* $F_{k^{1/p}}$ 는 환이다.
* $F_L$ 는 k의 모든 체 확대 L에 대해 환이다.
(다시 말해, F는 분리 k-대수이면 k 위에서 분리적이다.)

k의 체 확대 L로 $F_L$ 이 정역이 되는 것이 존재한다고 하자. 그러면 $F$ 가 k 위에서 분리적이라는 것과 $F_L$ 의 분수체가 L 위에서 분리적이라는 것은 동치이다.

F의 대수적인 원소는 그 최소 다항식이 분리적일 때 $k$ 위에서 분리적이라고 한다. $F/k$ 가 대수 확대이면 다음은 동치이다.
* F는 k 위에서 분리적이다.
* F는 k 위에서 분리적인 원소로 구성된다.
* F/k의 모든 부분 확대는 분리적이다.
* F/k의 모든 유한 부분 확대는 분리적이다.

$F/k$ 가 유한 확대이면 다음은 동치이다.
*(i) F는 k 위에서 분리적이다.
*(ii) $F = k(a_1, ..., a_r)$ 단, $a_1, ..., a_r$ 는 k 위에서 분리적이다.
*(iii) (ii)에서 $r=1$ 로 취할 수 있다.
*(iv) K가 k의 대수적 폐포이면, k를 고정하는 F의 K로의 매립은 정확히 $[F:k]$ 개 존재한다.
*(v) K가 k의 임의의 정규 확대이고 F의 K로의 매립이 적어도 1개 존재하면, k를 고정하는 F의 K로의 매립은 정확히 $[F:k]$ 개 존재한다.
위에서 (iii)은 원시원 정리로 알려져 있다.

대수적 폐포 $\overline{k}$ 를 고정하고, k 위에서 분리적인 $\overline{k}$ 의 모든 원소로 구성된 집합을 $k_s$ 로 표기한다. 그러면 $k_s$ 는 k 위에서 분리 대수적이고 $\overline{k}$ 의 임의의 분리 대수 확대는 $k_s$ 에 포함된다. 그것은 k의 ( $\overline{k}$ 에서의) 분리 폐포 (separable closure)라고 불린다. 이 때 $\overline{k}$ 는 $k_s$ 위에서 순수 비분리이다. 다른 말로 하면, k가 완전하다는 것과 $\overline{k} = k_s$ 는 동치이다.

5.1. 분리 초월 기저

확장 $E\supseteq F$ 의 분리 초월 기저는 $E$ 의 초월 기저 $T$ 이며, $E$ 가 $F(T)$ 의 분리 가능한 대수적 확장이다.

F/k의 분리 초월 기저는 F의 대수적 독립인 부분 집합 T로, F/k(T)가 유한 분리 확대인 것이다. 확대 E/k가 분리적이라는 것과 E/k의 모든 유한 생성 부분 확대 F/k가 분리 초월 기저를 갖는다는 것은 동치이다.

5.2. 유한 생성 체 확장

유한 생성 체 확장은 분리 초월 기저를 갖는 경우에만 분리 가능하다. 초월 확대를 다룰 때 분리 가능성 문제가 발생할 수 있다. 모든 체 확장이 순수 초월 확장의 대수적 확장이라는 사실을 사용하면, 확장 $E\supseteq F$ 의 분리 초월 기저는 $E$ 의 초월 기저 $T$ 이며, $E$ 가 $F(T)$ 의 분리 가능한 대수적 확장인 것으로 정의할 수 있다.

5.3. 유한 생성되지 않은 확장

유한 생성되지 않은 확장은 모든 유한 생성 부분 확장이 분리 초월 기저를 갖는 경우 분리 가능하다고 한다.

6. 미분을 이용한 판정법

미분을 사용하여 분해 가능성을 연구할 수 있다. 특히, E/F가 대수적 확장인 경우, $\operatorname{Der}_F(E, E) = 0$ 은 E/F가 분해 가능할 때만 성립한다.