최소 다항식

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1. 개요

최소 다항식은 체 K에 대한 멱결합 대수 A의 원소 a에 대해, a를 근으로 갖는 일계수 다항식 중 가장 낮은 차수를 갖는 다항식을 말한다. 최소 다항식은 항상 유일하며, 대수적 원소는 최소 다항식을 갖는다. 체의 확대에서 최소 다항식은 기약 다항식이며, 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대해 불변이다. 케일리-해밀턴 정리에 따라, 행렬의 최소 다항식은 특성 다항식을 나누며, 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 일치한다.

최소 다항식

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체론 - 체 (수학)
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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 체의 확대
- 3.2. 행렬
4. 예

2. 정의

체 $K$ 에 대한 멱결합 대수 $A$ 의 원소 $a\in A$ 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의한다.
: $\mathfrak J_a=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}$
(만약 $A$ 가 1을 갖지 않는다면, $\mathfrak J_a\subseteq(x)K[x]$ 이다.) 그렇다면 $\mathfrak J_a$ 는 $K[x]$ 의 아이디얼이다. $K[x]$ 는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.
* $\mathfrak J_a=(0)$ 이다. 이 경우, $a$ 는 초월원이며, $A$ 는 초월 대수이다.
* $\mathfrak J_a=(p_a(x))$ 가 되는 일계수 다항식 $p_a(x)\in K[x]$ 가 존재한다. 이 경우, $p_a(x)$ 를 $a$ 의 최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, $\mathfrak J_a$ 에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 $p_a$ 보다 차수가 더 크다.)

3. 성질

멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

3.1. 체의 확대

체의 확대 $L/K$ 에 대하여, $L$ 은 가환 $K$ -단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, $L/K$ 에서 $a\in L$ 의 최소 다항식 $p_a\in K[x]$ 가 인수 분해가 가능하다면 ( $p_a=qr$ ), $K$ 는 정역이므로 $q(a)=0$ 이거나 $r(a)=0$ 이며, $\deg q,\deg r<\deg p$ 이다. 그러나 $p_a$ 는 $\mathfrak J_a$ 의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대 $L/K$ 에서, $K$ 가 완전체라면 임의의 $a\in L$ 에 대하여 $p_a(x)\in K[x]\subset\bar K[x]$ 의 (대수적 폐포 $\bar K$ 에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 $K$ 가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 $L/K$ 가 분해 가능 확대가 아니라고 한다.

3.2. 행렬

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬의 유한 차원 $K$ -단위 결합 대수 $\operatorname{Mat}(n;K)$ 에서, 임의의 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 $G\in\operatorname{GL}(n;K)$ 에 대하여, $M$ 과 $G^{-1}MG$ 의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 $L$ 이 $K$ 를 포함하는 더 큰 체일 경우, $M$ 의 $\operatorname{Mat}(n;K)$ 에서의 최소 다항식과 $\operatorname{Mat}(n;L)$ 에서의 최소 다항식은 일치한다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $M$ 의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
* $M$ 은 삼각화 가능 행렬이다.
또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $M$ 의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
* $M$ 은 대각화 가능 행렬이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라, $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 의 최소 다항식의 소인수 분해가
: $p_M(x)=\prod_pp^{n_p}(x)$
라면,
: $\deg p\mid\dim\ker p^{n_p}(M)$
: $n_p\le\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p$
: $\det(x-M)=\prod_{p}p^{\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p}$
이다.

4. 예

체의 확대 $L/K$ 에서, $a\in K$ 인 경우 $a$ 의 최소 다항식은 $p_a(x)=x-a\in K[x]$ 이다.

실수 행렬
: $M=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\0 & 2 & 0 \\-2 & -2 & -1\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)$
의 특성 다항식은
: $\det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)$
이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, $M$ 의 최소 다항식 역시
: $p_M(x)=(x+1)(x-1)(x-2)$
이다.

4.1. 복소수체

실수체의 확대인 복소수체 $\mathbb C/\mathbb R$ 에서, $z\in\mathbb C$ 의 최소 다항식은 다음과 같다.

: $p_z(x)=\begin{cases}x-z&z\in\mathbb R\\(x-z)(x-\bar z)=x^2-2(z+\bar z)x+z\bar z&z\in\mathbb C\setminus\mathbb R\end{cases}$

4.2. 대수적 수체

이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q$ 에서, $d$ 가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 $\sqrt d$ 의 최소 다항식은 $x^2-d\in\mathbb Q[x]$ 이다.

$\sqrt2+\sqrt3$ 의 $\mathbb Q$ 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.
: $p_{\sqrt2+\sqrt3}(x)= x^4-10x^2 + 1 = (x-\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2-\sqrt3)(x-\sqrt2+\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3)$

원분체 $\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q$ 에서, $\zeta_n$ 의 최소 다항식은 원분 다항식 $\Phi_n$ 이라고 하며, 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$n$	$\Phi_n(x)$
1	$x - 1$
2	$x + 1$
3	$x^2 + x + 1$
4	$x^2 + 1$
5	$x^4 + x^3 + x^2 + x +1$
6	$x^2 - x + 1$
7	$x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
8	$x^4 + 1$
9	$x^6 + x^3 + 1$
10	$x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$

특히,

n

이 소수일 경우
:

\Phi_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}

이다.

4.3. 분해 가능 확대가 아닌 확대

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 $(\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x))/\mathbb F_p(x)$ 에서, $y\in\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x)$ 의 최소 다항식은 $p_y(X)=X^p-x\in \mathbb F_p(x)[X]$ 이다. 이 경우, $\overline{\mathbb F_p(x)}$ 위에서 $p_y(X)=(X^p-(\sqrt[p]x)^p)=(X-\sqrt[p]x)^p$ 이다. 즉, $p_y$ 는 분해 가능 다항식이 아니다.