정규 확대

1. 개요

정규 확대는 체 $K$의 대수적 확대 $L/K$에 대한 개념으로, 여러 가지 동치 조건을 만족한다. $K[x]$의 기약 다항식이 $L$에서 적어도 하나의 근을 가지면, 그 다항식은 $L[x]$에서 완전히 인수분해된다는 조건 등이 있다. 정규 확대는 일련의 다항식 집합의 분해체와 동형이며, 모든 매장은 $L$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 정규 확대의 정규 폐포는 정규 확대를 포함하는 최소의 체 확대로, 임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 분해체는 정규 폐포를 이룬다. 예를 들어, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$는 $x^2-2$의 분해체이므로 $\mathbb{Q}$의 정규 확대이지만, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$는 $x^3-2$가 허근을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다. 정규 확대는 체의 확대에서 여러 성질을 가지며, 유한 확대의 경우 정규 폐포 역시 유한 확대이고, 분해 가능 확대의 정규 폐포는 갈루아 확대이다.

2. 정의

체 $K$의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 다음 세 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

* $K[x]$의 기약 다항식 $p(x)$가 $L$에서 적어도 하나의 근을 갖는다면, $p(x)$는 $L[x]$에서 완전히 인수분해된다. 즉, $p(x)=a\backslash prod\_\{i=1\}^n(x-b\_i)$ ($a,b\_i\backslash in\; L$)의 꼴로 나타낼 수 있다.
* $L/K$는 일련의 다항식들의 집합 $P\backslash subset\; K[x]$의 분해체와 ($K$의 확대로서) 동형이다.
* 모든 매장 $L\backslash to\backslash bar\; K$는 $L$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 $\backslash iota\_\{KL\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\; L$로 쓰자. 또한, $L$은 대수적 확대이므로, $K$의 대수적 폐포 $\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$로 가는 매장 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash colon\; L\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$이 존재하며, 또한 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash circ\backslash iota\_\{KL\}=\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}$이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 $\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash colon\; L\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$에 대하여, $\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash circ\backslash iota\_\{KL\}=\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}$라면 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}(L)=\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}(L)\backslash subset\backslash bar\; K$이다.

3. 성질

체 $K$의 확대 $L$에 대해 다음과 같은 성질들이 성립한다.

* $L/K$가 유한 확대라면, $L/K$의 정규 폐포 $N/K$ 역시 유한 확대이다.
* $L/K$가 분해 가능 확대라면, $N/K$은 갈루아 확대이다. 이 경우 $N/L$을 $L/K$의 갈루아 폐포(Galois closure^영어)라고 한다.

체의 확대의 탑 $M/L/K$에 대하여, 만약 $M/K$가 정규 확대라면, $M/L$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 $M\backslash supseteq\; L,L\text{'}\backslash supseteq\; K$에 대하여, 만약 $L/K$가 정규 확대라면, $K(L\backslash cup\; L\text{'})/L\text{'}$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대 $M/K$의 부분 확대 $M\backslash supseteq\; L\_i\backslash supseteq\; K$($i\backslash in\; I$)들에 대하여, 만약 모든 $L\_i/K$가 정규 확대라면, $\backslash textstyle\; K\backslash left(\backslash bigcup\_\{i\backslash in\; I\}L\_i\backslash right)/K$와 $\backslash textstyle\backslash bigcap\_\{i\backslash in\; I\}L\_i/K$ 역시 정규 확대이다.

정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, 대수적 확대 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt[4]2)/\backslash mathbb\; Q$는 두 번의 정규 확대 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt[4]2)/\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt2)/\backslash mathbb\; Q$로 얻어지지만, $x^4-2$의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다.

3.1. 동치 조건

체 $K$의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 다음 세 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

* $K[x]$의 기약 다항식 $p(x)$가 $L$에서 적어도 하나의 근을 갖는다면, $p(x)$는 $L[x]$에서 완전히 인수분해된다. 즉, $p(x)=a\backslash prod\_\{i=1\}^n(x-b\_i)$ ($a,b\_i\backslash in\; L$) 꼴로 나타낼 수 있다.
* $L/K$는 일련의 다항식들의 집합 $P\backslash subset\; K[x]$의 분해체와 ($K$의 확대로서) 동형이다.
* 모든 매장 $L\backslash to\backslash bar\; K$는 $L$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 $\backslash iota\_\{KL\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\; L$로 쓰자. 또한, $L$은 대수적 확대이므로, $K$의 대수적 폐포 $\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}\backslash colon\; K\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$로 가는 매장 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash colon\; L\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$이 존재하며, 또한 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash circ\backslash iota\_\{KL\}=\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}$이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 $\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash colon\; L\backslash hookrightarrow\backslash bar\; K$에 대하여, $\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}\backslash circ\backslash iota\_\{KL\}=\backslash iota\_\{K\backslash bar\; K\}$라면 $\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}(L)=\backslash tilde\backslash iota\_\{L\backslash bar\; K\}(L)\backslash subset\backslash bar\; K$이다.

$L/K$를 대수적 확장이라고 할 때, 다음 조건들은 모두 정규 확대의 정의로 간주될 수 있으며, 서로 동치이다.

* K 위에서 $\backslash overline\{K\}$ 내의 L의 모든 임베딩은 L의 자기 동형 사상을 유도한다.
* L은 $K[X]$의 다항식 집합의 분해체이다.
* L에 근을 갖는 $K[X]$의 모든 기약 다항식은 L에서 선형 인수로 분해된다.

$L/K$를 대수적 확장이라고 할 때, $L$이 다음의 동치 조건 중 하나라도 만족하면 정규 확장이다.

* $L$의 모든 원소에 대한 $K$ 위의 최소 다항식이 $L$에서 분해된다.
* 각각 $L$ 위에서 분해되는 다항식들의 집합 $S\; \backslash subseteq\; K[x]$가 존재하여, 만약 $K\backslash subseteq\; F\backslash subsetneq\; L$이 체이면, $S$에는 $F$에서 분해되지 않는 다항식이 있다.
* $K$의 모든 원소를 고정하는 모든 준동형사상 $L\; \backslash to\; \backslash bar\{K\}$는 같은 상을 갖는다.
* $K$의 모든 원소를 고정하는 $L$의 자기 동형 사상 군 $\backslash text\{Aut\}(L/K)$은 $K$의 모든 원소를 고정하는 준동형사상 $L\; \backslash to\; \backslash bar\{K\}$의 집합 위에서 추이적으로 작용한다.

L/K의 정규성은 다음 성질 중 어느 것과도 동치이다. K^a를 K의 L을 포함하는 대수적 폐포로 한다.

* K 상 항등 사상인 L의 K^a로의 모든 매입은 σ(L) = L을 만족한다. 다시 말해, σ는 L의 K-동형이다.
* L에 근을 가지는 K[X]의 모든 기약 다항식은 L에 모든 근을 가진다. 즉, L[X]에서 일차식으로 분해된다. (다항식은 L에서 '분해된다'라고 말한다.)

L이 K의 유한차 분리 확대 (예를 들어, 이는 K가 유한체이거나 표수 0이면 자동으로 충족된다)이면, 다음 성질도 또한 동치이다.

* 근이 K의 원소와 함께 L을 생성하는 기약 다항식이 존재한다. (L은 그 다항식의 분해체라고 말한다.)

4. 분류

임의의 정규 확대 $L/K$에 대하여,
:$M=\backslash begin\{cases\}$
K & \operatorname{char}K=0 \\
\{a\in L|\exists n\in\mathbb N\colon a^{p^n}\in K\} & \operatorname{char}K=p>0
\end{cases}

가 $L/K$의 최대 완전 비분해 부분 확대라고 하자. 그렇다면, $L/M$은 갈루아 확대이다. (반대로, 완전 비분해 확대의 갈루아 확대는 항상 정규 확대이다.)

5. 정규 폐포

normal closure^영어)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 $N/L$이다.

* $N/K$는 정규 확대이다.
* 임의의 중간체 $L\backslash subseteq\; M\backslash subseteq\; N$에 대하여, 만약 $M/K$가 정규 확대라면, $M=N$이다.

임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 $a\backslash in\; L$에 대하여 $p\_a$가 $a$의 $L/K$에서의 최소 다항식이라고 하였을 때, $\backslash \{p\_a\backslash colon\; a\backslash in\; L\backslash \}\backslash subseteq\; K[x]$의 분해체는 $L/K$의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포 $\backslash bar\; K/L/K$가 주어졌을 때, $\backslash bar\; K$ 속 $L/K$의 정규 폐포는 다음과 같다.

:$N=K\backslash left(\backslash bigcup\_\{\backslash sigma\backslash in\backslash hom(L,\backslash bar\; K)\}^\{\backslash sigma|\_K=\backslash operatorname\{id\}\_K\}\backslash sigma(L)\backslash right)\backslash subseteq\backslash bar\; K$

여기서

:$K\backslash left(\backslash bigcup\_\{i\backslash in\; I\}K\_i\backslash right)=\backslash left\backslash \{\backslash frac\{a\_1+\backslash cdots+a\_m\}\{b\_1+\backslash cdots+b\_n\}\backslash colon\; a\_1\backslash in\; K\_\{i\_1\},\backslash dots,a\_m\backslash in\; K\_\{i\_m\},\backslash ;b\_1\backslash in\; K\_\{j\_1\},\backslash dots,b\_n\backslash in\; K\_\{j\_n\},\backslash ;i\_1,\backslash dots,i\_m,j\_1,\backslash dots,j\_n\backslash in\; I\backslash right\backslash \}$

는 주어진 체 $L/K\_i/K$들을 포함하는 최소의 체이다.

대수적 확대 $L/K$의 정규 폐포 $N/L$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

* $L/K$가 유한 확대라면, $N/K$ 역시 유한 확대이다.
* $L/K$가 분해 가능 확대라면, $N/K$은 갈루아 확대이다. 이 경우 $N/L$을 $L/K$의 갈루아 폐포(Galois closure^영어)라고 한다.

만약 K가 체이고 L이 K의 대수적 확대라면, M이 K의 정규 확대가 되는 L의 대수적 확대 M이 존재한다. 게다가, 동형 사상까지 그러한 최소의 확대, 즉, L을 포함하고 K의 정규 확대인 M의 유일한 부분체는 M 자신뿐이다. 이 확대를 K의 L의 정규 폐포라고 부른다.

만약 L이 K의 유한 확대라면, 그 정규 폐포 또한 유한 확대이다.

6. 예

* 대수적 확대 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{2\})/\backslash mathbb\{Q\}$는 정규 확대이다. $x^2\; -\; 2$의 분해체이기 때문이다.
* $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt[3]\{2\})/\backslash mathbb\{Q\}$는 정규 확대가 아니다. 기약 다항식 $x^3\; -\; 2$가 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt[3]\{2\})$에서 하나의 근($\backslash sqrt[3]\{2\}$)을 갖지만, 완전히 인수분해되지 않기 때문이다. (2의 비실수 세제곱근을 갖지 않는다.)
* 소수 $p$에 대해, 확대 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt[p]\{2\},\; \backslash zeta\_p)$는 차수 $p(p-1)$의 정규 확대이다. 이것은 $x^p\; -\; 2$의 분해체이며, 여기서 $\backslash zeta\_p$는 임의의 $p$차 원시 단위근을 나타낸다.