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체의 확대

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목차

1. 개요

체의 확대는 체 K와 L이 주어졌을 때, K에서 L로 가는 환 준동형으로 정의된다. K를 L의 부분체, L을 K의 확대체라고 하며, L/K로 표기한다. 확대의 차수는 L을 K-벡터 공간으로 볼 때의 차원이며, 유한 확대, 대수적 확대, 초월 확대 등 다양한 종류가 있다. 체 노름과 체 대각합은 유한 확대에서 정의되는 개념이며, 작도 가능성 문제, 갈루아 이론 등 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

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  • 체론 - 분해체
    분해체는 체 K 위의 다항식 p(X)가 일차 인자의 곱으로 완전 인수분해되고 그 근들에 의해 K 위에서 생성되는 체 확대 L을 의미하며, 동형을 제외하고 유일하고 갈루아 군과 관련이 있다.
  • 체론 - 체 (수학)
    체는 사칙연산이 자유롭고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환으로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 기본적인 역할을 하는 대수 구조이다.

2. 정의

체 K와 L이 주어졌을 때, K가 L의 부분 집합이고 K의 덧셈과 곱셈 연산이 L의 연산과 동일하게 작용하면 K를 L의 '''부분체'''(部分體, subfield영어), L을 K의 '''확대체'''(擴大體, extension field영어)라고 한다. L이 K의 확대체라는 것은 L/K로 쓴다.

체의 확대 L/K에서, L은 K-벡터 공간으로 볼 수 있으며, 이 벡터 공간의 차원을 확대의 '''차수'''(次數, degree영어)라고 하며, [L:K]로 표기한다.

3. 성질

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형이라고 한다.) 체의 확대 L/K가 존재한다면, K와 L의 표수는 서로 일치한다.

:\exists L/K\implies \operatorname{char}K=\operatorname{char}L

확대의 합성에 따라 차수는 곱해진다. 즉, 체의 확대 L/K 및 M/L이 주어졌을 때, 합성 확대 M/K의 차수는 다음과 같다.

:[M:K]=[L:K][M:L]

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 크기와 같다.

:\operatorname{trdeg}_KL\ge1\implies[L:K]=|L|=\max\

3. 1. 차수와 초월 차수

체의 확대 L/K가 주어졌을 때, L은 K 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 L/K의 '''차수'''(次數, degree영어)는 L의 K-벡터 공간으로서의 차원이며, [L:K]로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 '''유한 확대'''(有限擴大, finite extension영어)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 '''이차 확대'''(二次擴大, quadratic extension영어), 차수가 3인 확대는 '''삼차 확대'''(三次擴大, cubic extension영어)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.[4]

3. 2. 체 노름과 체 대각합

유한 확대 \(L/K\)에서, \(L\)은 유한 차원 \(K\)-벡터 공간이다. \(L\)의 원소 \(a\)에 대해, \(a\cdot \colon L \to L\)은 \(K\)-벡터 공간의 선형 변환이다. 이 선형 변환의 행렬식을 체 노름(\(N_{L/K}\colon L \to K\))이라 하고, 대각합을 체 대각합(\(T_{L/K}\colon L \to K\))이라고 한다.

체 노름과 체 대각합은 다음과 같이 정의된다.

  • \(N_{L/K}(a) = \det(a\cdot)\)
  • \(T_{L/K}(a) = \operatorname{tr}(a\cdot)\)


\(a\cdot\)의 고유 다항식은 \(K\) 계수의 일계수 다항식이며, 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

  • \(\chi_{L/K}(x;a) = \det(x-a\cdot) \in K[x]\)
  • \(\chi_{L/K}(x;a) = x^{[L:K]} - T_{L/K}(a)x^{[L:K]-1} + \cdots + (-1)^{[L:K]}N_{L/K}(a)\)


체 노름과 체 대각합은 최소 다항식을 사용하여 정의할 수도 있다. \(a \in L\)의 최소 다항식이 \(p_a \in K[x]\)이고, 그 근들의 중복집합이 \(\{\sigma_1(a), \dots, \sigma_n(a)\} \in \bar{K}\)일 때, 다음과 같이 표현된다.

  • \(N_{L/K}(a) = \left(\prod_{i=1}^n \sigma_i(a)\right)^{[L:K(a)]}\)
  • \(T_{L/K}(a) = [L:K(a)]\sum_{i=1}^n \sigma_i(a)\)


만약 \(L/K\)가 분해 가능 확대이면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

\(L/K\)가 갈루아 확대일 경우, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

  • \(N_{L/K}(a) = \prod_{g \in \operatorname{Gal}(L/K)} g(a)\)
  • \(T_{L/K}(a) = \sum_{g \in \operatorname{Gal}(L/K)} g(a)\)

여기서 \(\operatorname{Gal}(L/K)\)는 갈루아 군이다.

노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 \(a, b \in L\)에 대하여

  • \(N_{L/K}(ab) = N_{L/K}(a)N_{L/K}(b)\)
  • \(a \neq 0\) 이라면, \(N_{L/K}(a^{-1}) = N_{L/K}(a)^{-1}\)


체의 확대 \(L/K\) 및 \(M/L\)이 주어졌을 때, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

  • \(\operatorname{N}_{M/K} = \operatorname{N}_{L/K} \circ \operatorname{N}_{M/L}\)

4. 종류

체의 확대는 다음과 같이 여러 종류로 분류할 수 있다.

종류설명
유한 확대차수가 유한한 확대이다. 즉, 확대체 L을 기저 K 위에서 벡터 공간으로 보았을 때 유한 차원을 갖는 경우이다.
대수적 확대확대체 L의 모든 원소가 기저 K 위에서 대수적인 확대이다.
초월 확대확대체 L의 적어도 하나의 원소가 기저 K 위에서 초월적인 확대이다.
단순 확대확대체 L이 기저 K에 한 원소 α를 추가하여 얻어지는 확대이다. 즉, L = K(α)이다.
정규 확대기저 K 위에서 기약 다항식의 모든 근을 포함하는 확대이다.
분해 가능 확대확대체 L의 모든 원소의 최소 다항식이 서로 다른 근을 갖는 확대이다.
갈루아 확대정규 확대이면서 분해 가능 확대인 경우이다.
아벨 확대갈루아 군이 아벨 군(가환군)인 갈루아 확대이다.


5. 예

체의 확대에는 다음과 같은 예들이 있다.


  • 복소수 체 \(\Complex\)는 실수 체 \(\R\)의 확대체이며, \(\R\)은 다시 유리수 체 \(\Q\)의 확대체이다. 따라서 \(\Complex/\Q\) 역시 체의 확대이다. \(\{1, i\}\)가 기저이므로 \([\Complex:\R] =2\)이고, 따라서 \(\Complex/\R\)는 유한 확대이다. \(\Complex = \R(i)\)이므로 단순 확대이다. \([\R:\Q] =\mathfrak c\) (연속체 가환수)이므로 이 확대는 무한대이다.

  • 다음 체는

:\Q(\sqrt{2}) = \left \{ a + b\sqrt{2} \mid a,b \in \Q \right \},

\(\Q\)의 확대체이며, 명백히 단순 확대이다. \(\left\{1, \sqrt{2}\right\}\)가 기저 역할을 할 수 있으므로 차수는 2이다.

  • 다음 체는

:\begin{align}

\Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right) &= \Q \left(\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{3}\right) \\

&= \left\{ a+b\sqrt{3} \mid a,b \in \Q\left(\sqrt{2}\right) \right\} \\

&= \left\{ a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} \mid a,b,c, d \in \Q \right\},

\end{align}

\(\Q(\sqrt{2})\)와 \(\Q\)의 확대체이며, 각각 차수가 2와 4이다. 또한 단순 확대이며, 다음을 보일 수 있다.

:\begin{align}

\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) &= \Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \\

&= \left \{ a + b (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + c (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 + d(\sqrt{2} + \sqrt{3})^3 \mid a,b,c, d \in \Q\right\}.

\end{align}

  • \(\Q\)의 유한 확대는 대수적 수체라고도 하며 정수론에서 중요하다. 정수론에서 중요하지만 유한 확대는 아닌 또 다른 유리수의 확대체는 소수 ''p''에 대한 p-진수 체 \Q_p이다.

  • 주어진 체 ''K''의 확대체를 ''f''(''X'')에 대한 근을 "만들기" 위해 다항식환 ''K''[''X'']의 몫환으로 구성하는 것이 일반적이다. 예를 들어, ''K''가 ''x''2 = −1인 원소 ''x''를 포함하지 않는다고 가정하자. 그러면 다항식 X^2+1은 ''K''[''X'']에서 기약 다항식이므로, 이 다항식에 의해 생성된 아이디얼은 극대 아이디얼이며, L = K[X]/(X^2+1)은 제곱이 −1인 원소(즉, ''X''의 잉여류)를 ''포함하는'' ''K''의 확대체이다.

  • 위 구성을 반복하여 ''K''[''X'']에서 임의의 다항식의 분해체를 구성할 수 있다. 이는 주어진 다항식이 일차식의 곱으로 분해되는 ''K''의 확대체 ''L''이다.

  • ''p''가 임의의 소수이고 ''n''이 양의 정수이면, ''pn''개의 원소를 가진 유일한(동형까지) 유한체 GF(p^n) = \mathbb{F}_{p^n}이 있다. 이것은 ''p''개의 원소를 갖는 소수체 \operatorname{GF}(p) = \mathbb{F}_p = \Z/p\Z의 확대체이다.

  • 체 ''K''가 주어지면, ''K''를 계수로 하고 변수 ''X''를 갖는 모든 유리 함수의 체인 ''K''(''X'')를 고려할 수 있다. ''K''(''X'')의 원소는 ''K''에 대한 두 개의 다항식의 분수이며, 실제로 ''K''(''X'')는 다항식환 ''K''[''X'']의 분수체이다. 이 유리 함수의 체는 ''K''의 확대체이다. 이 확대는 무한대이다.

  • 리만 곡면 ''M''이 주어지면, ''M''에 정의된 모든 메로모픽 함수의 집합은 체이며, \Complex(M).으로 표시된다. 모든 복소수를 ''M''에 정의된 해당 상수 함수로 식별하면 \Complex의 초월 확대체이다.

  • 일반적으로, 임의의 체 ''K''에 대한 대수적 다양체 ''V''가 주어지면, ''V''에 정의된 유리 함수로 구성된 함수체 ''K''(''V'')는 ''K''의 확대체이다.

5. 1. 대수적 폐포

임의의 체 K에 대하여 대수적 폐포를 정의할 수 있다. K의 표수에 따라 다음과 같이 정의한다.

:K_0=\begin{cases}

\mathbb F_p&p=\operatorname{char}K>0\\

\mathbb Q&\operatorname{char}K=0

\end{cases}

여기서 \mathbb F_p는 크기 p의 유한체이다.

모든 체 ''K''는 대수적 폐포를 가지며, 이는 동형 사상까지, ''K''에 대해 대수적인 ''K''의 가장 큰 확대체이자, ''K''의 계수를 갖는 모든 다항식이 그 안에 근을 갖는 가장 작은 확대체이다. 예를 들어, '''C'''는 '''R'''의 대수적 폐포이지만, '''Q'''의 대수적 폐포는 아니다. 왜냐하면 '''Q'''|쿠오la에 대해 대수적이지 않기 때문이다 (예를 들어 π|파이영어는 '''Q'''|쿠오la에 대해 대수적이지 않다).

5. 2. 유리 함수 · 형식적 로랑 급수

임의의 체 \(K\)에 대하여, 유리 함수체 \(K(x) = \operatorname{Frac} K[x]\) 및 형식적 로랑 급수체 \(K((x)) = \operatorname{Frac} Kx\)를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.[1]

: \(K \subsetneq K(x) \subsetneq K((x))\)

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.[1]

: \([K(x):K] = \aleph_0\)

: \(\operatorname{trdeg}_K K(x) = 1\)

: \([K((x)):K] = 2^{\aleph_0}\)

5. 3. 유리수 · 실수 · 복소수

유리수체 \mathbb Q, 실수체 \mathbb R, 복소수체 \mathbb C는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

:\mathbb Q\subsetneq\mathbb R\subsetneq\mathbb C

이때 차수는 다음과 같다.

:[\mathbb C:\mathbb R]=2

체의 확대 \mathbb C/\mathbb R에서의 체 노름은 다음과 같다.

:\operatorname N_{\mathbb C/\mathbb R}\colon x+iy\mapsto x^2+y^2=|x+iy|^2

복소수체 \Complex는 실수체 \R의 확대체이며, \R은 다시 유리수체 \Q의 확대체이다. \{1, i\}가 기저이므로 [\Complex:\R] =2이고, 따라서 \Complex/\R는 유한 확대이다.

5. 4. 유리수체의 확대

유리수체의 유한 확대는 '''수체'''라고 불리며, 정수론에서 중요한 연구 대상이다. 예를 들어, \mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q나 \mathbb Q(\sqrt{-1})/\mathbb Q와 같은 확대가 있다. 이들은 대수적 확대이므로 초월 차수는 0이며, 두 예시 모두 차수는 2이다.

원주율(π) 및 자연로그의 밑(e)는 초월수이므로, \mathbb Q[\pi]/\mathbb Q와 \mathbb Q(e)/\mathbb Q는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 {π, e}가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, \mathbb Q(\pi,e)/\mathbb Q는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.[4]

:[\mathbb Q(\pi):\mathbb Q)]=[\mathbb Q(e):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\pi,e):\mathbb Q]=\aleph_0

:\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi)=\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(e)=1

:\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi,e)\in\{1,2\}

유리수의 유한 확대는 대수적 수체라고도 하며 정수론에서 중요하다.

5. 5. ''p''진수체

소수 ''p''가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 \mathbb Q_p를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

:\mathbb Q\subsetneq\mathbb Q_p\subsetneq\bar{\mathbb Q}_p\subsetneq\mathbb C_p

여기서 \mathbb Q_p는 p진수체이며, \bar{\mathbb Q}_p는 그 대수적 폐포이며, \mathbb C_p는 그 완비화이다. \mathbb C_p는 복소수체 \mathbb C와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

:[\mathbb Q_p:\mathbb Q]=2^{\aleph_0}

정수론에서 중요하지만 유한 확대는 아닌 또 다른 유리수의 확대체는 소수 ''p''에 대한 p진수 체 \Q_p이다.[1]

5. 6. 유한체

소수 p와 양의 정수 n에 대하여, p^n개의 원소를 가진 유한체 GF(p^n) = \mathbb{F}_{p^n}이 유일하게(동형까지) 존재한다. 이것은 p개의 원소를 갖는 소수체 \operatorname{GF}(p) = \mathbb{F}_p = \Z/p\Z의 확대체이다.

5. 7. 대수다양체의 유리 함수체

대수적으로 닫힌 체 K 위의 대수다양체 X의 유리 함수체 L=\Gamma(X,\mathcal K_X)는 K의 확대이다. 이 경우, X의 쌍유리 동치류는 확대 L/K로부터 완전히 결정된다. X의 크룰 차원은 L/K의 초월 차수와 같다.

:\dim X=\operatorname{trdeg}_KL

이를 사용하여 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

n차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 K(x_1,\dots,x_n)이다. 다른 예로, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각할 수 있다.

:y^2=p(x)

여기서 p(x)\in K[x]는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 x 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, x 위의 올은 \pm\sqrt{p(x)}이다. 체론적으로, 이는 초월 확대

:K(x,\sqrt{p(x)})/K

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 K(x,\sqrt{p(x)})/K(x)에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

:\mathbb C(\rho,\sqrt{4\wp^3+g_2\wp+g_3}\rho')

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 \wp'^2=4\wp^3+g_2\wp+g_3를 만족시키기 때문이다.

일반적으로 임의의 체 ''K''에 대한 대수적 다양체 ''V''가 주어지면, ''V''에 정의된 유리 함수로 구성된 함수체 ''K''(''V'')는 ''K''의 확대체이다.

6. 응용

체의 확대는 여러 수학 분야에 응용된다.

=== 작도 가능성 ===

고전 기하학의 작도는 직선과 원만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들 가운데 하나에 속해야 한다. 이러한 수를 작도 가능한 수라고 한다.

이를 통해, 입방 배적 문제는 \sqrt[3]2가 작도 가능한지 여부인데, [\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3이므로, \sqrt[3]2는 작도할 수 없다. 원적 문제는 \sqrt\pi가 작도 가능한지 여부를 묻는다. 원주율은 초월수이므로, \sqrt\pi 역시 초월수이다. 따라서 원적 문제는 풀 수 없다. 각의 3등분 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다.

=== 갈루아 이론 ===

갈루아 확대는 정규 확대이면서 분리 가능 확대인 체 확대이다. 원시 원소 정리에 따르면, 모든 유한 분리 가능 확대는 원시 원소를 갖는 단순 확대이다. 임의의 체 확대 L/K에 대해, K의 모든 원소 x에 대해 ''α''(''x'') = ''x''를 만족하는 모든 체 자기 동형 사상 ''α'': ''L'' → ''L''을 모아놓은 '''자기 동형 사상 군''' \text{Aut}(L/K)을 생각할 수 있다. 확장이 갈루아 확대이면 이 자기 동형 사상 군을 확대의 갈루아 군이라고 한다. 갈루아 군이 아벨 군인 확대를 아벨 확대라고 한다. 갈루아 이론의 기본 정리를 통해 중간 체를 완벽하게 설명할 수 있다. 즉, 중간 체와 갈루아 군의 부분군 사이에는 전단사가 존재한다.

6. 1. 작도 가능성

고전 기하학의 작도는 직선과 원만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들 가운데 하나에 속해야 한다.

:\mathbb Q=K_0\subset K_1\subset K_2\subset\cdots\subset K_n

:[K_{i+1}/K_i]=2

이러한 수를 작도 가능한 수라고 한다.

이를 사용하여, 여러 고전적 작도 문제의 (불)가능성을 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, 입방 배적 문제는 \sqrt[3]2가 작도 가능한지 여부인데,

:[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3

이므로, \sqrt[3]2는 작도할 수 없다.

마찬가지로, 원적 문제는 \sqrt\pi가 작도 가능한지 여부를 묻는다. 원주율은 초월수이므로, \sqrt\pi 역시 초월수이다. (이는 두 대수적 수의 곱은 대수적 수이기 때문이다.) 따라서 원적 문제는 풀 수 없다.

각의 3등분 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다. 구체적으로, 60도 각은 작도 가능하지만, 그 3등분인 20도 각은 작도 가능하지 않다. 이는 \cos20^\circ가 작도 가능한 수가 아니라고 말하는 것과 같다. 구체적으로, 삼각 함수의 세배각 공식

:\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

을 생각하자. 여기에 \theta=60^\circ를 대입하면

:1/2=4\cos^320^\circ-3\cos20^\circ

을 얻는다. 즉, \cos20^\circ는 3차 방정식 4x^3-3x-1/2=0의 해이다. 이는 기약 3차 방정식이다. 실제로, x=(y+1)/2와 같이 치환하면 이는 y^3+3y^2-3=0이 되는데, 아이젠슈타인 판정법에 의하여 좌변은 기약 다항식이다. 즉,

:[\mathbb Q(\cos20^\circ):\mathbb Q]=3

이다.

6. 2. 갈루아 이론

갈루아 확대는 정규 확대이면서 분리 가능 확대인 체 확대이다. 원시 원소 정리에 따르면, 모든 유한 분리 가능 확대는 원시 원소를 갖는 단순 확대이다.

임의의 체 확대 L/K에 대해, K의 모든 원소 x에 대해 ''α''(''x'') = ''x''를 만족하는 모든 체 자기 동형 사상 ''α'': ''L'' → ''L''을 모아놓은 '''자기 동형 사상 군''' \text{Aut}(L/K)을 생각할 수 있다. 확장이 갈루아 확대이면 이 자기 동형 사상 군을 확대의 갈루아 군이라고 한다. 갈루아 군이 아벨 군인 확대를 아벨 확대라고 한다.

주어진 체 확대 L/K에 대해, 중간 체 ''F'' (''K''를 포함하는 ''L''의 부분체)에 관심이 있을 수 있다. 갈루아 확대와 갈루아 군의 중요성은 갈루아 이론의 기본 정리를 통해 중간 체를 완벽하게 설명할 수 있다는 점이다. 즉, 중간 체와 갈루아 군의 부분군 사이에는 전단사가 존재한다.

참조

[1] 서적
[2] 서적
[3] 서적
[4] 서적
[5] 서적
[6] 서적
[7] 서적
[8] 서적
[9] 서적 Abstract algebra Wiley 2004


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