체의 확대

3. 성질

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형이라고 한다.) 체의 확대 $L/K$가 존재한다면, $K$와 $L$의 표수는 서로 일치한다.

:$\backslash exists\; L/K\backslash implies\; \backslash operatorname\{char\}K=\backslash operatorname\{char\}L$

확대의 합성에 따라 차수는 곱해진다. 즉, 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$이 주어졌을 때, 합성 확대 $M/K$의 차수는 다음과 같다.

:$[M:K]=[L:K][M:L]$

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 크기와 같다.

:$\backslash operatorname\{trdeg\}\_KL\backslash ge1\backslash implies[L:K]=|L|=\backslash max\backslash$

3. 1. 차수와 초월 차수

3. 2. 체 노름과 체 대각합

• \(N_{L/K}(a) = \det(a\cdot)\)
• \(T_{L/K}(a) = \operatorname{tr}(a\cdot)\)

• \(\chi_{L/K}(x;a) = \det(x-a\cdot) \in K[x]\)
• \(\chi_{L/K}(x;a) = x^{[L:K]} - T_{L/K}(a)x^{[L:K]-1} + \cdots + (-1)^{[L:K]}N_{L/K}(a)\)

• \(N_{L/K}(a) = \left(\prod_{i=1}^n \sigma_i(a)\right)^{[L:K(a)]}\)
• \(T_{L/K}(a) = [L:K(a)]\sum_{i=1}^n \sigma_i(a)\)

• \(N_{L/K}(a) = \prod_{g \in \operatorname{Gal}(L/K)} g(a)\)
• \(T_{L/K}(a) = \sum_{g \in \operatorname{Gal}(L/K)} g(a)\)

• \(N_{L/K}(ab) = N_{L/K}(a)N_{L/K}(b)\)
• \(a \neq 0\) 이라면, \(N_{L/K}(a^{-1}) = N_{L/K}(a)^{-1}\)

• \(\operatorname{N}_{M/K} = \operatorname{N}_{L/K} \circ \operatorname{N}_{M/L}\)

4. 종류

체의 확대는 다음과 같이 여러 종류로 분류할 수 있다.

5. 예

체의 확대에는 다음과 같은 예들이 있다.

• 복소수 체 \(\Complex\)는 실수 체 \(\R\)의 확대체이며, \(\R\)은 다시 유리수 체 \(\Q\)의 확대체이다. 따라서 \(\Complex/\Q\) 역시 체의 확대이다. \(\{1, i\}\)가 기저이므로 \([\Complex:\R] =2\)이고, 따라서 \(\Complex/\R\)는 유한 확대이다. \(\Complex = \R(i)\)이므로 단순 확대이다. \([\R:\Q] =\mathfrak c\) (연속체 가환수)이므로 이 확대는 무한대이다.

• 다음 체는

• 다음 체는

• \(\Q\)의 유한 확대는 대수적 수체라고도 하며 정수론에서 중요하다. 정수론에서 중요하지만 유한 확대는 아닌 또 다른 유리수의 확대체는 소수 ''p''에 대한 p-진수 체 $\backslash Q\_p$이다.

• 주어진 체 ''K''의 확대체를 ''f''(''X'')에 대한 근을 "만들기" 위해 다항식환 ''K''[''X'']의 몫환으로 구성하는 것이 일반적이다. 예를 들어, ''K''가 ''x''² = −1인 원소 ''x''를 포함하지 않는다고 가정하자. 그러면 다항식 $X^2+1$은 ''K''[''X'']에서 기약 다항식이므로, 이 다항식에 의해 생성된 아이디얼은 극대 아이디얼이며, $L\; =\; K[X]/(X^2+1)$은 제곱이 −1인 원소(즉, ''X''의 잉여류)를 ''포함하는'' ''K''의 확대체이다.

• 위 구성을 반복하여 ''K''[''X'']에서 임의의 다항식의 분해체를 구성할 수 있다. 이는 주어진 다항식이 일차식의 곱으로 분해되는 ''K''의 확대체 ''L''이다.

• ''p''가 임의의 소수이고 ''n''이 양의 정수이면, ''pⁿ''개의 원소를 가진 유일한(동형까지) 유한체 $GF(p^n)\; =\; \backslash mathbb\{F\}\_\{p^n\}$이 있다. 이것은 ''p''개의 원소를 갖는 소수체 $\backslash operatorname\{GF\}(p)\; =\; \backslash mathbb\{F\}\_p\; =\; \backslash Z/p\backslash Z$의 확대체이다.

• 체 ''K''가 주어지면, ''K''를 계수로 하고 변수 ''X''를 갖는 모든 유리 함수의 체인 ''K''(''X'')를 고려할 수 있다. ''K''(''X'')의 원소는 ''K''에 대한 두 개의 다항식의 분수이며, 실제로 ''K''(''X'')는 다항식환 ''K''[''X'']의 분수체이다. 이 유리 함수의 체는 ''K''의 확대체이다. 이 확대는 무한대이다.

• 리만 곡면 ''M''이 주어지면, ''M''에 정의된 모든 메로모픽 함수의 집합은 체이며, $\backslash Complex(M).$으로 표시된다. 모든 복소수를 ''M''에 정의된 해당 상수 함수로 식별하면 $\backslash Complex$의 초월 확대체이다.

• 일반적으로, 임의의 체 ''K''에 대한 대수적 다양체 ''V''가 주어지면, ''V''에 정의된 유리 함수로 구성된 함수체 ''K''(''V'')는 ''K''의 확대체이다.

5. 1. 대수적 폐포

5. 2. 유리 함수 · 형식적 로랑 급수

5. 3. 유리수 · 실수 · 복소수

5. 4. 유리수체의 확대

5. 5. ''p''진수체

5. 6. 유한체

5. 7. 대수다양체의 유리 함수체

6. 응용

체의 확대는 여러 수학 분야에 응용된다.

=== 작도 가능성 ===

고전 기하학의 작도는 직선과 원만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들 가운데 하나에 속해야 한다. 이러한 수를 작도 가능한 수라고 한다.

이를 통해, 입방 배적 문제는 $\backslash sqrt[3]2$가 작도 가능한지 여부인데, $[\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt[3]2):\backslash mathbb\; Q]=3$이므로, $\backslash sqrt[3]2$는 작도할 수 없다. 원적 문제는 $\backslash sqrt\backslash pi$가 작도 가능한지 여부를 묻는다. 원주율은 초월수이므로, $\backslash sqrt\backslash pi$ 역시 초월수이다. 따라서 원적 문제는 풀 수 없다. 각의 3등분 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다.

=== 갈루아 이론 ===

갈루아 확대는 정규 확대이면서 분리 가능 확대인 체 확대이다. 원시 원소 정리에 따르면, 모든 유한 분리 가능 확대는 원시 원소를 갖는 단순 확대이다. 임의의 체 확대 $L/K$에 대해, $K$의 모든 원소 $x$에 대해 ''α''(''x'') = ''x''를 만족하는 모든 체 자기 동형 사상 ''α'': ''L'' → ''L''을 모아놓은 '''자기 동형 사상 군''' $\backslash text\{Aut\}(L/K)$을 생각할 수 있다. 확장이 갈루아 확대이면 이 자기 동형 사상 군을 확대의 갈루아 군이라고 한다. 갈루아 군이 아벨 군인 확대를 아벨 확대라고 한다. 갈루아 이론의 기본 정리를 통해 중간 체를 완벽하게 설명할 수 있다. 즉, 중간 체와 갈루아 군의 부분군 사이에는 전단사가 존재한다.

6. 1. 작도 가능성

6. 2. 갈루아 이론

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적 Abstract algebra Wiley 2004