사촌 소수

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1. 개요

사촌 소수는 4의 차이를 갖는 소수 쌍을 의미한다. (3, 7), (7, 11), (13, 17) 등이 사촌 소수의 예시이다. 사촌 소수에 대한 브룬 상수 B₄는 수렴하는 합으로 표현되며, 2024년 12월 기준 가장 큰 사촌 소수 쌍은 86,138자릿수를 갖는다.

사촌 소수

정의	4의 차이를 가지는 소수
예시	(3, 7)
다른 표현	p와 p + 4가 모두 소수인 경우 소수 쌍 (p, p + 4)

첫 번째 사촌 소수 쌍	(3, 7)
두 번째 사촌 소수 쌍	(7, 11)
세 번째 사촌 소수 쌍	(13, 17)
네 번째 사촌 소수 쌍	(19, 23)
다섯 번째 사촌 소수 쌍	(37, 41)
여섯 번째 사촌 소수 쌍	(43, 47)
일곱 번째 사촌 소수 쌍	(67, 71)
여덟 번째 사촌 소수 쌍	(79, 83)
아홉 번째 사촌 소수 쌍	(97, 101)
열 번째 사촌 소수 쌍	(103, 107)
열한 번째 사촌 소수 쌍	(109, 113)
열두 번째 사촌 소수 쌍	(127, 131)
열세 번째 사촌 소수 쌍	(163, 167)
열네 번째 사촌 소수 쌍	(193, 197)
열다섯 번째 사촌 소수 쌍	(223, 227)
열여섯 번째 사촌 소수 쌍	(229, 233)
열일곱 번째 사촌 소수 쌍	(277, 281)
열여덟 번째 사촌 소수 쌍	(307, 311)
열아홉 번째 사촌 소수 쌍	(313, 317)
스무 번째 사촌 소수 쌍	(349, 353)
스물한 번째 사촌 소수 쌍	(379, 383)
스물두 번째 사촌 소수 쌍	(397, 401)
스물세 번째 사촌 소수 쌍	(439, 443)
스물네 번째 사촌 소수 쌍	(457, 461)
스물다섯 번째 사촌 소수 쌍	(463, 467)
스물여섯 번째 사촌 소수 쌍	(487, 491)
스물일곱 번째 사촌 소수 쌍	(499, 503)
스물여덟 번째 사촌 소수 쌍	(613, 617)
스물아홉 번째 사촌 소수 쌍	(643, 647)
서른 번째 사촌 소수 쌍	(673, 677)
서른한 번째 사촌 소수 쌍	(739, 743)
서른두 번째 사촌 소수 쌍	(757, 761)
서른세 번째 사촌 소수 쌍	(769, 773)
서른네 번째 사촌 소수 쌍	(823, 827)
서른다섯 번째 사촌 소수 쌍	(853, 857)
서른여섯 번째 사촌 소수 쌍	(859, 863)
서른일곱 번째 사촌 소수 쌍	(877, 881)
서른여덟 번째 사촌 소수 쌍	(883, 887)
서른아홉 번째 사촌 소수 쌍	(907, 911)
마흔 번째 사촌 소수 쌍	(937, 941)
마흔한 번째 사촌 소수 쌍	(967, 971)

큰 사촌 소수

발견된 가장 큰 사촌 소수 쌍	(311778476 × 587502 × 9001# × (587502 × 9001# + 1) + 210) × (587502 × 9001# − 1) / 35 + 1
자릿수	11594 자릿수
참고	11594 digit cousin prime pair

기타

브룬 상수 (B₄)	B ≈ 1.1970449
관련 용어	cousin prime (사촌 소수)

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소수 - 소수 (수론)
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1. 개요
2. 사촌 소수의 성질
- 2.1. 사촌 소수 목록
- 2.2. 알려진 가장 큰 사촌 소수
3. 밀도 및 분포
- 3.1. 브룬 상수
  - 3.1.1. 스큐스 수
4. 관련 소수

2. 사촌 소수의 성질

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)는 1000보다 작은 사촌 소수쌍이다.

두 쌍의 사촌 소수에 속하는 유일한 소수는 7이다. n, n + 4, n + 8 중 하나의 수는 항상 3으로 나누어 떨어진다. 세 수가 모두 소수인 경우는 n = 3 뿐이다.

만약 첫 번째 하디-리틀우드 추측이 성립한다면, 사촌 소수는 쌍둥이 소수와 동일한 점근 밀도를 갖는다. 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수의 유사체는 사촌 소수에 대해 정의할 수 있으며, 이를 사촌 소수에 대한 브룬 상수라고 하며, 초기 항 (3, 7)을 제외하고 다음과 같은 수렴하는 합으로 나타낸다:

:B₄ = (1/7 + 1/11) + (1/13 + 1/17) + (1/19 + 1/23) + ⋯.

2⁴²까지의 사촌 소수를 사용하여, B₄의 값은 1996년에 Marek Wolf에 의해 다음과 같이 추정되었다.

:B₄ ≈ 1.1970449

이 상수는 소수 4중항에 대한 브룬 상수와 혼동해서는 안 된다.

사촌 소수에 대한 스큐스 수는 5206837이다.

2005년 11월 기준으로, 밝혀진 가장 큰 사촌 소수는 다음과 같다.
:p=[9771919142 · {(53238 · 7879#)² - 1} + 2310] · 53238 · 7879#/385 + 1
여기에서 7879#는 1부터 7879까지의 소수를 모두 곱한 수를 의미한다.

2024년 12월 기준으로, 가장 큰 사촌 소수 쌍은 S. Batalov에 의해 발견되었으며, 86,138 자릿수를 가지고 있다. 소수는 다음과 같다:

:p = (29571282950 × (2¹⁹⁰⁷³⁸ - 1) + 4) × 2⁹⁵³⁶⁹ - 1
:p+4 = (29571282950 × (2¹⁹⁰⁷³⁸ - 1) + 4) × 2⁹⁵³⁶⁹ + 3

큰 증명된 사촌 소수 쌍의 예는 다음과 같다: (p, p + 4)
:p = 4111286921397 × 2⁶⁶⁴²⁰ + 1
이 수는 20008자리 숫자이다. 사실, p가 쌍둥이 소수이기도 하므로(p – 2도 증명된 소수이기 때문에) 이는 소수 삼중항의 일부이다.

2.1. 사촌 소수 목록

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)는 1000보다 작은 사촌 소수쌍이다.

2005년 11월 기준으로, 밝혀진 가장 큰 사촌 소수는 다음과 같다.
:p=[9771919142 · {(53238 · 7879#)² - 1} + 2310] · 53238 · 7879#/385 + 1
여기에서 7879#는 1부터 7879까지의 소수를 모두 곱한 수를 의미한다.

2024년 12월 기준으로, 가장 큰 사촌 소수 쌍은 S. Batalov에 의해 발견되었으며, 86,138 자릿수를 가지고 있다. 소수는 다음과 같다:
: $p = (29571282950 \times (2^{190738} - 1) + 4) \times 2^{95369} - 1$
: $p+4 = (29571282950 \times (2^{190738} - 1) + 4) \times 2^{95369} + 3$

큰 증명된 사촌 소수 쌍의 예는 다음과 같다:
: $p = 4111286921397 \times 2^{66420} + 1$
이 수는 20008자리 숫자이다.

두 쌍의 사촌 소수에 속하는 유일한 소수는 7이다. 중 하나의 수는 항상 3으로 나누어 떨어진다.

만약 첫 번째 하디-리틀우드 추측이 성립한다면, 사촌 소수는 쌍둥이 소수와 동일한 점근 밀도를 갖는다. 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수의 유사체는 사촌 소수에 대해 정의할 수 있으며, 이를 사촌 소수에 대한 브룬 상수라고 하며, 초기 항 (3, 7)을 제외하고 다음과 같은 수렴하는 합으로 나타낸다:

: $B_4 = \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{13} + \frac{1}{17}\right) + \left(\frac{1}{19} + \frac{1}{23}\right) + \cdots.$

2⁴²까지의 사촌 소수를 사용하여, 의 값은 1996년에 Marek Wolf에 의해 다음과 같이 추정되었다.

: $B_4 \approx 1.1970449$

사촌 소수에 대한 스큐스 수는 5206837이다.

2.2. 알려진 가장 큰 사촌 소수

2005년 11월 기준으로 알려진 가장 큰 사촌 소수는 p=[9771919142 · {(53238 · 7879#)² - 1} + 2310] · 53238 · 7879#/385 + 1이다. 여기서 7879#는 1부터 7879까지의 소수를 모두 곱한 수를 의미한다.

2024년 12월 현재, 가장 큰 사촌 소수 쌍은 S. Batalov에 의해 발견되었으며, 86,138 자릿수를 가지고 있다. 소수는 다음과 같다:

: $p = (29571282950 \times (2^{190738} - 1) + 4) \times 2^{95369} - 1$
: $p+4 = (29571282950 \times (2^{190738} - 1) + 4) \times 2^{95369} + 3$

큰 증명된 사촌 소수 쌍의 예는 다음과 같다:
: $p = 4111286921397 \times 2^{66420} + 1$
이 수는 20008자리 숫자이다.

3. 밀도 및 분포

3.1. 브룬 상수

3.1.1. 스큐스 수

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4. 관련 소수

* 쌍둥이 소수는 두 소수의 차가 2인 경우를 가리킨다.
* 섹시 소수는 두 소수의 차가 6인 경우를 가리킨다.