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사케리-르장드르 정리

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목차

1. 개요

사케리-르장드르 정리는 절대 기하학에서 삼각형 내각의 합에 대한 정리로, 사케리-르장드르 제1정리, 제2정리, 제3정리, 제4정리로 구성된다. 제1정리에 따르면 삼각형의 내각의 합은 180도보다 작거나 같으며, 제2정리는 내각의 합이 180도인 삼각형이 존재하면 모든 삼각형의 내각의 합이 180도임을, 제3정리는 내각의 합이 180도보다 작은 삼각형이 존재하면 모든 삼각형의 내각의 합이 180도보다 작음을, 제4정리는 주어진 각과 그 내부의 점에 대해 항상 그 점을 지나 각의 두 변과 만나는 직선을 그을 수 있다면 삼각형의 내각의 합은 180도보다 작을 수 없음을 나타낸다. 이 정리는 지오반니 사케리와 아드리앵마리 르장드르에 의해 제시되고 증명되었다.

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사케리-르장드르 정리
개요
종류기하학 정리
분야절대 기하학
관련 개념각의 합
내용
정리 내용삼각형의 각의 합은 180°를 초과하지 않는다.
역사적 맥락
기원유클리드 기하학
관련 인물조반니 사케리
아드리앵마리 르장드르
중요성비유클리드 기하학의 발전과 관련됨.
관련 정보
참고 문헌Greenberg, Marvin J. (1993). Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. Macmillan. pp. 124–128. Saccheri–Legendre Theorem
Tóth, Imre (November 1969). "Non-Euclidean geometry before Euclid". Scientific American. 221 (5): 87–101.
Wolfe, Harold E. (1945). Introduction to Non-Euclidean Geometry. Holt, Rinehart And Winston. p. 32.
Dehn, Max (1900). "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck". Mathematische Annalen. 53 (3): 404–439.

2. 정리

절대기하학을 가정한다. 즉, 유클리드 기하학의 공리에서 평행선 공준만을 제외한다.

'''사케리-르장드르 제1정리'''에 따르면, 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 작거나 같다.

제1 정리


어떤 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크다고 가정한다.

''CA''의 연장선에, ''CA'' = ''AA''1이면서, ''A''가 ''C''와 ''A''1 사이에 있게 점 ''A''1을 찍는다. 또한, 길이와 (직선 ''CA'' 기준) 방향이 ''CB''와 같은 선분 ''AB''1를 긋는다. 그렇다면, 변각변에 따라, 삼각형 ''ABC''와 ''A''1''B''1''A''는 합동이 된다. 두 삼각형 ''ABC''와 ''ABB''1에서, 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크므로, ∠''CBA'' > ∠''BAB''1이다. 또한, ''AB'' = ''AB'', ''BC'' = ''AB''1이므로, ''CA'' > ''BB''1이다.

이 같은 과정을 반복하면, 다음을 만족하는 점집합 ''A''1, ''A''2, ''A''3, ... 및 ''B''1, ''B''2, ''B''3, ...을 얻는다.

  • 점 ''C'', ''A'', ''A''1, ''A''2, ...은 공선점이다.
  • 삼각형 ''CAB'', ''AA''1''B''1, ''A''1''A''2''B''2, ...는 합동이다.
  • ''a'' = ''BB''1 = ''BB''2 = ''BB''3 = …
  • ''b'' = ''CA'' = ''AA''1 = ''A''1''A''2 = …
  • ''a'' < ''b''


아르키메데스 성질에 따라, 다음을 만족시키는 자연수 ''n''이 존재한다.

:''CB'' + ''BA'' - ''a'' < ''n''(''b'' - ''a'')

즉,

:''CB'' + ''na'' + ''BnAn'' < (''n'' + 1)''b''

따라서, 꺽은선 ''CBB''1''B''2…''BnAn''의 길이는 직선 ''CAA''1''A''2…''An''의 길이보다 짧다. 이는 최단 거리가 직선인 데 모순이다.

'''사케리-르장드르 제2정리'''에 따르면, 내각합이 180도인 삼각형이 존재한다면, 모든 삼각형의 내각합은 180도이다.

어떤 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도라고 가정하자. 그렇다면 모든 삼각형의 내각합이 180도라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

''n''각형의 "내각합 결손"을 180(''n'' - 2)에서 실제 내각합을 뺀 값으로 정의한다.

  • 보조 정리 1: 큰 도형의 내각합 결손은 이를 구성하는 작은 도형의 내각합 결손의 합이다. 예를 들어, 삼각형 ''ABC''와 변 ''BC'' 위의 점 ''D''에 대하여, ''ABC''의 내각합은 ''ADB''와 ''ADC''의 내각합의 합에서 180도를 뺀 값이다.
  • 보조 정리 2: 큰 삼각형의 내각합이 180도인 것과 이를 구성하는 두 작은 삼각형의 내각합이 모두 180도인 것은 동치이다. 두 작은 삼각형의 내각합이 모두 180도라면 큰 삼각형의 내각합도 180도라는 것은 보조 정리 1에 의해 자명하다. 큰 삼각형의 내각합이 180도라고 가정하면, 제1정리에 의해 두 작은 삼각형의 내각합은 모두 180도보다 작거나 같다. 또한 보조 정리 1에 따라 두 내각합의 합은 360도이므로, 두 내각합은 각각 정확히 180도이다.
  • 보조 정리 3: 내각합이 180도인 직각 삼각형이 존재한다. 만약 ''ABC''가 직각 삼각형이 아니라면, 최대 내각의 꼭짓점 ''A''에서 ''BC''에 수선을 그어 선분 ''BC''와의 교점을 ''D''라고 하면, 보조 정리 2에 따라 ''ADB''는 내각합이 180도인 직각 삼각형이다.
  • 보조 정리 4: 두 직각변이 ''ADB'' 직각변의 임의 정수 배수인 직각 삼각형은 내각합이 180도이다. ''ADB''가 내각합이 180도인 직각 삼각형이므로, 이와 합동인 삼각형들을 이어 붙이면 두 직각변이 각각 ''AD''와 ''DB''의 임의 정수 배수인 직각 삼각형을 얻을 수 있으며, 보조 정리 1에 따라 내각합은 180도이다.
  • 보조 정리 5: 모든 직각 삼각형의 내각합은 180도이다. 직각 삼각형 ''EFG''가 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 따라, ''FE''' = ''nAD'' > ''FE''와 ''FG''' = ''nBD'' > ''FG''를 동시에 만족하는, ''FE''의 연장선 위의 점 ''E''' 및 ''FG''의 연장선 위의 점 ''G''' 및 자연수 ''n''이 존재한다. 보조 정리 4에 따라, 직각 삼각형 ''EF'G'''의 내각합은 180도이다. ''E''와 ''G'''를 이으면, 보조 정리 2에 따라 직각 삼각형 ''EFG'''의 내각합은 180도이며, 다시 보조 정리 2에 따라 직각 삼각형 ''EFG''의 내각합은 180도이다.
  • 보조 정리 6: 모든 삼각형의 내각합은 180도이다. 임의의 삼각형에 대하여, 그 최대 내각 꼭짓점에서 대변에 수선을 그어 두 개의 작은 직각 삼각형을 만들 수 있다. 보조 정리 5와 보조 정리 2에 따라, 원래 삼각형의 내각합은 180도이다.


'''사케리-르장드르 제3정리'''에 따르면, 내각합이 180도보다 작은 삼각형이 존재한다면, 모든 삼각형의 내각합은 180도보다 작다.

대우이므로, 사케리-르장드르 제3정리는 당연히 성립한다.

'''사케리-르장드르 제4정리'''에 따르면, 만약 주어진 각과 그 내부의 점에 대하여, 항상 그 점을 지나며, 각의 두변과 만나는 직선을 그을 수 있다면, 삼각형의 내각합은 180도보다 작을 수 없다.

2. 1. 사케리-르장드르 제1정리



어떤 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크다고 가정하자.

''CA''의 연장선에, ''CA'' = ''AA''1이면서, ''A''가 ''C''와 ''A''1 사이에 있게 점 ''A''1을 찍자. 또한, 길이와 (직선 ''CA'' 기준) 방향이 ''CB''와 같은 선분 ''AB''1를 긋자. 그렇다면, 변각변에 따라, 삼각형 ''ABC''와 ''A''1''B''1''A''는 합동이 된다. 두 삼각형 ''ABC''와 ''ABB''1에서, 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크므로, ∠''CBA'' > ∠''BAB''1이다. 또한, ''AB'' = ''AB'', ''BC'' = ''AB''1이므로, ''CA'' > ''BB''1이다.

이 같은 과정을 반복하면, 다음을 만족하는 점집합 ''A''1, ''A''2, ''A''3, ... 및 ''B''1, ''B''2, ''B''3, ...을 얻는다.

  • 점 ''C'', ''A'', ''A''1, ''A''2, ...은 공선점이다.
  • 삼각형 ''CAB'', ''AA''1''B''1, ''A''1''A''2''B''2, ...는 합동이다.
  • ''a'' = ''BB''1 = ''BB''2 = ''BB''3 = …
  • ''b'' = ''CA'' = ''AA''1 = ''A''1''A''2 = …
  • ''a'' < ''b''


아르키메데스 성질에 따라, 다음을 만족시키는 자연수 ''n''이 존재한다.

:''CB'' + ''BA'' - ''a'' < ''n''(''b'' - ''a'')

즉,

:''CB'' + ''na'' + ''BnAn'' < (''n'' + 1)''b''

따라서, 꺽은선 ''CBB''1''B''2…''BnAn''의 길이는 직선 ''CAA''1''A''2…''An''의 길이보다 짧다. 이는 최단 거리가 직선인 데 모순이다.

2. 2. 사케리-르장드르 제2정리

어떤 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도라고 가정하자. 그렇다면 모든 삼각형의 내각합이 180도라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

''n''각형의 "내각합 결손"을 180(''n'' - 2)에서 실제 내각합을 뺀 값으로 정의한다.

  • 보조 정리 1: 큰 도형의 내각합 결손은 이를 구성하는 작은 도형의 내각합 결손의 합이다. 예를 들어, 삼각형 ''ABC''와 변 ''BC'' 위의 점 ''D''에 대하여, ''ABC''의 내각합은 ''ADB''와 ''ADC''의 내각합의 합에서 180도를 뺀 값이다.
  • 보조 정리 2: 큰 삼각형의 내각합이 180도인 것과 이를 구성하는 두 작은 삼각형의 내각합이 모두 180도인 것은 동치이다. 두 작은 삼각형의 내각합이 모두 180도라면 큰 삼각형의 내각합도 180도라는 것은 보조 정리 1에 의해 자명하다. 큰 삼각형의 내각합이 180도라고 가정하면, 제1정리에 의해 두 작은 삼각형의 내각합은 모두 180도보다 작거나 같다. 또한 보조 정리 1에 따라 두 내각합의 합은 360도이므로, 두 내각합은 각각 정확히 180도이다.
  • 보조 정리 3: 내각합이 180도인 직각 삼각형이 존재한다. 만약 ''ABC''가 직각 삼각형이 아니라면, 최대 내각의 꼭짓점 ''A''에서 ''BC''에 수선을 그어 선분 ''BC''와의 교점을 ''D''라고 하면, 보조 정리 2에 따라 ''ADB''는 내각합이 180도인 직각 삼각형이다.
  • 보조 정리 4: 두 직각변이 ''ADB'' 직각변의 임의 정수 배수인 직각 삼각형은 내각합이 180도이다. ''ADB''가 내각합이 180도인 직각 삼각형이므로, 이와 합동인 삼각형들을 이어 붙이면 두 직각변이 각각 ''AD''와 ''DB''의 임의 정수 배수인 직각 삼각형을 얻을 수 있으며, 보조 정리 1에 따라 내각합은 180도이다.
  • 보조 정리 5: 모든 직각 삼각형의 내각합은 180도이다. 직각 삼각형 ''EFG''가 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 따라, ''FE''' = ''nAD'' > ''FE''와 ''FG''' = ''nBD'' > ''FG''를 동시에 만족하는, ''FE''의 연장선 위의 점 ''E''' 및 ''FG''의 연장선 위의 점 ''G''' 및 자연수 ''n''이 존재한다. 보조 정리 4에 따라, 직각 삼각형 ''EF'G'''의 내각합은 180도이다. ''E''와 ''G'''를 이으면, 보조 정리 2에 따라 직각 삼각형 ''EFG'''의 내각합은 180도이며, 다시 보조 정리 2에 따라 직각 삼각형 ''EFG''의 내각합은 180도이다.
  • 보조 정리 6: 모든 삼각형의 내각합은 180도이다. 임의의 삼각형에 대하여, 그 최대 내각 꼭짓점에서 대변에 수선을 그어 두 개의 작은 직각 삼각형을 만들 수 있다. 보조 정리 5와 보조 정리 2에 따라, 원래 삼각형의 내각합은 180도이다.

2. 3. 사케리-르장드르 제3정리

대우이므로, 사케리-르장드르 제3정리는 당연히 성립한다.

2. 4. 사케리-르장드르 제4정리

3. 증명

3. 1. 사케리-르장드르 제1정리

어떤 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크다고 가정하자.

''CA''의 연장선에, ''CA'' = ''AA''1이면서, ''A''가 ''C''와 ''A''1 사이에 있게 점 ''A''1을 찍자. 또한, 길이와 (직선 ''CA'' 기준) 방향이 ''CB''와 같은 선분 ''AB''1를 긋자. 그렇다면, 변각변에 따라, 삼각형 ''ABC''와 ''A''1''B''1''A''는 합동이 된다. 두 삼각형 ''ABC''와 ''ABB''1에서, 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크므로, ∠''CBA'' > ∠''BAB''1이다. 또한, ''AB'' = ''AB'', ''BC'' = ''AB''1이므로, ''CA'' > ''BB''1이다.

이 같은 과정을 반복하면, 다음을 만족하는 점집합 ''A''1, ''A''2, ''A''3, ... 및 ''B''1, ''B''2, ''B''3, ...을 얻는다.

  • 점 ''C'', ''A'', ''A''1, ''A''2, ...은 공선점이다.
  • 삼각형 ''CAB'', ''AA''1''B''1, ''A''1''A''2''B''2, ...는 합동이다.
  • ''a'' = ''BB''1 = ''BB''2 = ''BB''3 = …
  • ''b'' = ''CA'' = ''AA''1 = ''A''1''A''2 = …
  • ''a'' < ''b''


아르키메데스 성질에 따라, 다음을 만족시키는 자연수 ''n''이 존재한다.

:''CB'' + ''BA'' - ''a'' < ''n''(''b'' - ''a'')

즉,

:''CB'' + ''na'' + ''BnAn'' < (''n'' + 1)''b''

따라서, 꺽은선 ''CBB''1''B''2…''BnAn''의 길이는 직선 ''CAA''1''A''2…''An''의 길이보다 짧다. 이는 최단 거리가 직선인 데 모순이다.

3. 2. 사케리-르장드르 제2정리

내각합이 180도인 삼각형 ''ABC''가 존재한다고 가정하고, 모든 삼각형의 내각합이 180도임을 증명하는 과정은 다음과 같다. ''n''각형의 "내각합 결손"을 180(''n'' - 2) 빼기 실제 내각합으로 정의한다.

  • 보조 정리 1: 큰 도형의 내각합 결손은 이를 구성하는 작은 도형의 내각합 결손의 합이다. 예를 들어, 삼각형 ''ABC''와 변 ''BC'' 위 점 ''D''에 대하여, ''ABC''의 내각합은 ''ADB''와 ''ADC''의 내각합의 합에서 180도를 뺀 값이다.
  • 보조 정리 2: 큰 삼각형의 내각합이 180도인 것은, 이를 구성하는 두 작은 삼각형의 내각합이 모두 180도인 것과 동치이다.
  • 보조 정리 3: 내각합이 180도인 직각 삼각형이 존재한다. ''ABC''가 직각 삼각형이 아니라면, 최대 내각의 꼭짓점 ''A''에서 ''BC''에 수선을 그어 선분 ''BC''와의 교점 ''D''를 찾는다. 보조 정리 2에 따라, ''ADB''는 내각합이 180도인 직각 삼각형이다.
  • 보조 정리 4: 두 직각변이 ''ADB'' 직각변의 임의 정수 배수인 직각 삼각형은 내각합이 180도이다. ''ADB''가 내각합이 180도인 직각 삼각형이므로, 합동인 삼각형들을 이어 붙여 두 직각변이 각각 ''AD''와 ''DB''의 임의 정수 배수인 직각 삼각형을 만들 수 있으며, 보조 정리 1에 따라 내각합은 180도이다.
  • 보조 정리 5: 모든 직각 삼각형의 내각합은 180도이다. 직각 삼각형 ''EFG''가 주어졌을 때, 아르키메데스 성질에 따라 ''FE''' = ''nAD'' > ''FE''와 ''FG''' = ''nBD'' > ''FG''를 동시에 만족하는 자연수 ''n''과 ''FE''의 연장선 위 점 ''E''', ''FG''의 연장선 위 점 ''G'''가 존재한다. 보조 정리 4에 따라, 직각 삼각형 ''EF'G'''의 내각합은 180도이다. ''E''와 ''G'''를 이으면 보조 정리 2에 따라 직각 삼각형 ''EFG'''의 내각합은 180도이고, 다시 보조 정리 2에 의해 직각 삼각형 ''EFG''의 내각합도 180도이다.
  • 보조 정리 6: 모든 삼각형의 내각합은 180도이다. 임의의 삼각형에 대하여 최대 내각 꼭짓점에서 대변에 수선을 그어 두 개의 작은 직각 삼각형을 만들 수 있다. 보조 정리 5와 보조 정리 2에 따라, 원래 삼각형의 내각합은 180도이다.

3. 2. 1. 보조 정리

3. 3. 사케리-르장드르 제3정리

제2정리의 대우이므로, 당연히 성립한다.

3. 4. 사케리-르장드르 제4정리

4. 역사

지오반니 사케리와 아드리앵마리 르장드르가 사케리-르장드르 정리를 제시 및 증명하였다. 르장드르는 이후 삼각형 공준을 평행선 공준을 사용하지 않고 증명하는 데 성공한 듯했으나, 증명되지 않은 가정을 사용했음을 발견하였다.

참조

[1] 서적 Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History https://books.google[...] Macmillan
[2] 간행물 Non-Euclidean geometry before Euclid 1969-11
[3] 서적 Introduction to Non-Euclidean Geometry Holt, Rinehart And Winston
[4] 간행물 Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck https://zenodo.org/r[...]


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