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타원기하학

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목차

1. 개요

타원기하학은 유클리드 기하학의 평행선 공준을 부정하여 얻는 비유클리드 기하학의 한 종류이다. 평행선이 존재하지 않는다는 특징을 가지며, 구면기하학이나 사영 평면이 대표적인 모델이다. 타원기하학은 구면 모델과 사영 평면 모델을 통해 이해할 수 있으며, 삼각형 내각의 합이 180도보다 크고 피타고라스 정리가 성립하지 않는 등 유클리드 기하학과 다른 특징을 보인다. 3차원 타원 기하학은 쿼터니언을 사용하여 설명되며, 고차원에서는 초구면 모델과 사영 타원 기하학 등의 모델이 존재한다. 유클리드 기하학이 자기 모순이 없다면 타원 기하학 역시 자기 모순이 없으며, 초등 타원 기하학은 완전성을 갖는다.

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타원기하학

2. 정의 및 기본 성질

평행선 공준 혹은 평행선 공리로도 불리는 유클리드 원론의 제5공준 「임의의 직선상에 없는 한 점을 지나는 그에 평행한 직선은 유일하게 존재한다」 대신에 그것을 부정하는 공리를 넣어, 그 새로운 평행선 공준과 모순되지 않는 체계로서 얻어진 기하학인 비유클리드 기하학의 하나이다.

타원기하학에서는 제5공준 대신에 「어떤 직선 ''L''과 그 직선 밖에 있는 어떤 점 ''p''가 주어졌을 때, 그 점 ''p''를 지나고 직선 ''L''과 평행한 직선은 존재하지 않는다.」라는 평행선 공준이 들어가고, 무모순성을 얻기 위해 제2공리 「임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다.」가 부정된다.

타원 기하학은 구면 기하학에서 구의 대점을 단일 타원점으로 식별하여 파생될 수 있다. 타원선은 대점의 식별에 의해 축소된 대원에 해당한다. 두 개의 대원은 항상 교차하므로 타원 기하학에는 평행선이 존재하지 않는다.

타원 기하학에서 주어진 선에 수직인 두 개의 선은 반드시 교차해야 한다. 실제로 주어진 선에 수직인 모든 선은 해당 선의 ''절대 극''이라고 하는 단일 점에서 교차한다.

모든 점은 해당 점이 절대 극인 ''절대 극선''에 해당한다. 이 극선상의 모든 점은 극과 ''절대 공액 쌍''을 형성한다. 이러한 점의 쌍은 ''직교''하며, 그 사이의 거리는 ''사분원''이다.[1]

두 점 사이의 '''거리'''는 해당 절대 극선 사이의 각도에 비례한다.[1]

H. S. M. Coxeter는 다음과 같이 설명했다.

: "타원형"이라는 이름은 오해의 소지가 있을 수 있다. 이는 타원과 직접적인 관련이 있음을 의미하지 않고, 다소 억지스러운 유추일 뿐이다. 중심 원뿔 곡선은 점근선이 없거나 두 개의 점근선을 가질 때 각각 타원 또는 쌍곡선이라고 한다. 유사하게, 비유클리드 평면은 각 선이 무한대점을 포함하지 않거나 두 개의 무한대점을 포함하는 경우 타원형 또는 쌍곡선형이라고 한다.[2]

타원 기하학은 '''평행선 공준''' 또는 '''평행선 공리'''라고도 불리는 유클리드의 원론에 나오는 제5공준 "임의의 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 평행선은 단 하나 존재한다"[13] 대신, 이를 부정하는 공리를 덧붙여, 그 새로운 평행선 공리와 모순이 없는 체계로서 얻어지는 기하학인 비유클리드 기하학[14][15][16] 중 하나이다.

타원 기하학에서는 제5공준을 대신하여 "어떤 직선 ''L''과 그 직선 밖의 점 ''p''가 주어졌을 때, ''p''를 지나 ''L''에 평행한 직선은 존재하지 않는다"라는 평행선 공리를 요구하며, 더욱 모순이 없도록 하기 위해 제2공준 "유한한 직선을 연속적으로 똑바로 연장하는 것"도 동시에 부정된다.

3. 2차원 타원 기하학

타원기하학은 유클리드 기하학의 제5공준(평행선 공준)을 부정하는 공리를 추가하여 만들어진 비유클리드 기하학 중 하나이다. 유클리드 기하학에서는 "임의의 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 평행선은 단 하나 존재한다"라고 가정하지만,[13] 타원기하학에서는 "어떤 직선과 그 직선 밖에 있는 점이 주어졌을 때, 그 점을 지나고 직선과 평행한 직선은 존재하지 않는다"라는 공리를 사용한다. 또한, 무모순성을 위해 "임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다"는 제2공준도 부정된다.[14][15][16]

타원기하학의 대표적인 모델로는 구면과 사영 평면이 있다. 구면 모델에서는 구면상의 대원을 직선으로 간주하며, 이 경우 평행선은 존재하지 않고 모든 직선은 교차한다. 사영 평면 모델은 평행한 직선군마다 무한원점을 추가하여 만들어지며, 이 역시 모든 직선이 교차하는 기하학을 이룬다.

3. 1. 타원 평면

타원 평면은 실수 사영 평면에 계량을 부여한 것이다.[3] 요하네스 케플러와 제라르 데자르그는 평면 σ와 접하는 구의 점들을 연결하기 위해 노르몽 영사법을 사용했다. 반구의 중심을 ''O''라고 할 때, σ의 점 ''P''는 반구와 교차하는 선분 ''OP''를 결정하고, σ의 선 ''L''은 대원의 절반과 교차하는 평면 ''OL''을 결정한다. 반구는 O를 지나 σ에 평행한 평면에 의해 경계가 정해진다. ''σ''의 일반적인 선은 이 평면에 해당하지 않으며, 대신 무한대 선이 ''σ''에 추가된다. 이 σ의 확장에서 모든 선이 ''O''를 지나는 평면에 해당하고, 이러한 평면의 모든 쌍이 ''O''를 지나는 선에서 교차하기 때문에, 이 확장에서 모든 선의 쌍이 교차한다고 결론을 내릴 수 있다. 교차점은 평면의 교차가 σ 또는 무한대 선과 만나는 지점에 위치한다.[3]

''σ''의 ''P''와 ''Q''가 주어지면, 이들 사이의 '''타원 거리'''는 각도 ''POQ''의 크기로, 일반적으로 라디안으로 측정된다. 아서 케일리는 "거리의 정의에 관하여"라는 글을 쓰면서 타원 기하학 연구를 시작했다.[4] 이러한 기하학의 추상화 시도는 펠릭스 클라인과 베른하르트 리만에 의해 이어져 비유클리드 기하학과 리만 기하학으로 이어졌다.

타원기하학의 모델로는 구면과 사영 평면 두 가지가 대표적이다.

  • '''구면 모델''': 평면에서는 두 평행선이 결코 교차하지 않지만, 구면에서는 적도에 수직으로 그은 두 "직선"은 평행해 보이지만 극에서 교차한다. 여기서 "직선"은 임의의 두 점 사이를 잇는 최단 곡선(측지선)을 의미하며, 구면상의 직선은 대원(구의 중심과 일치하는 원의 둘레)이다. 이러한 직선을 갖는 구면은 '''리만 구면'''[17]이라 불리며, 타원기하학의 한 모델이 된다. 이러한 구면상의 기하학을 구면기하학[18]이라 한다. 각도나 거리와 같은 개념은 측지선 의미의 직선 개념으로 자연스럽게 정의되며, 이 모델 안에서는 삼각법의 유사물로서 구면삼각법이 정의된다.[19][20][21] 평면에서는 두 점을 지나는 직선은 단 하나지만, 리만 구면에서는 북극과 남극처럼 구의 중심에 대해 서로 대칭적인 위치에 있는 두 점을 지나는 직선은 여러 개(무한 개) 존재한다. (실제로는 구면상의 대칭점은 동일시한다.) 리만 구면은 평면에 무한원점을 단 하나만 추가함으로써 실현된다. 이때 평면상에서 서로 평행했던 두 직선은 곡면상으로 옮겨지면 무한원점에서 반드시 교점을 가지게 되므로, 평행선이 존재하지 않게 된다.

  • '''사영 평면 모델''': 리만 구면과는 달리, 평행한 직선군마다 각각 다른 무한원점을 추가한 평면을 생각할 수도 있다. 이러한 평면을 '''사영 평면'''[22][23][24]이라고 하며, 리만 구면처럼 (평행한 경우를 포함하여) 두 직선이 반드시 교차하는 기하학이 성립한다. 그 체계를 사영기하학이라 한다.[25][26][27] 사영기하학에서는 '''길이''' 개념을 사용하지 않는 것이 특징적이다.

3. 2. 유클리드 기하학과의 비교

유클리드의 원론에 나오는 제5공준 "임의의 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 평행선은 단 하나 존재한다" [13] 대신, 이를 부정하는 공리를 덧붙여, 그 새로운 평행선 공리와 모순이 없는 체계로서 얻어지는 기하학인 비유클리드 기하학[14][15][16] 중 하나가 타원기하학이다.

타원 기하학에서는 제5공준을 대신하여 "어떤 직선 ''L''과 그 직선 밖의 점 ''p''가 주어졌을 때, ''p''를 지나 ''L''에 평행한 직선은 존재하지 않는다"라는 평행선 공리를 요구하며, 더욱 모순이 없도록 하기 위해 제2공준 "유한한 직선을 연속적으로 똑바로 연장하는 것"도 동시에 부정된다.

유클리드 기하학에서는 도형을 무한정 확대하거나 축소할 수 있으며, 그 결과 도형은 서로 닮음이다. 즉, 각도와 내부 비율이 같다. 타원 기하학에서는 그렇지 않다. 예를 들어, 구면 모델에서 두 점 사이의 거리는 구 둘레의 절반보다 엄격하게 작아야 한다(대척점은 동일하게 식별되기 때문). 따라서 선분은 무한정 확대될 수 없다.

유클리드 기하학의 많은 부분이 타원 기하학으로 직접 이어진다. 예를 들어, 유클리드의 공준 중 첫 번째와 네 번째, 즉 두 점 사이에 고유한 선이 있고 모든 직각이 같다는 것은 타원 기하학에서도 유효하다. 공준 3, 즉 주어진 중심과 반지름으로 원을 구성할 수 있다는 것은 "임의의 반지름"을 "임의의 실수"로 해석하면 실패하지만, "임의의 주어진 선분의 길이"로 해석하면 유효하다. 따라서 이 세 가지 공준에서 파생된 유클리드 기하학의 모든 결과는 타원 기하학에서도 유효하며, 예를 들어 ''원론'' 1권의 명제 1은 임의의 선분이 주어지면 그 선분을 밑변으로 하는 정삼각형을 구성할 수 있다고 명시한다.

타원 기하학은 공간이 연속적이고, 균질하며, 등방성이며, 경계가 없다는 점에서 유클리드 기하학과 유사하다. 등방성은 모든 직각이 같다는 네 번째 공준에 의해 보장된다. 균질성의 예로, 유클리드의 명제 I.1은 동일한 정삼각형이 어떤 특별한 위치뿐만 아니라 모든 위치에서 구성될 수 있음을 의미한다. 경계의 부재는 선분 확장 가능성을 나타내는 두 번째 공준에서 파생된다.

타원 기하학이 유클리드 기하학과 다른 한 가지 방식은 삼각형의 내각의 합이 180도보다 크다는 것이다. 예를 들어, 구면 모델에서 세 개의 양의 데카르트 좌표축이 구와 교차하는 위치에 꼭짓점이 있는 삼각형을 구성할 수 있으며, 세 개의 내부 각도는 모두 90도이며, 합은 270도이다. 충분히 작은 삼각형의 경우 180도 초과분을 임의로 작게 만들 수 있다.

피타고라스 정리는 타원 기하학에서 성립하지 않는다. 위에 설명된 90°–90°–90° 삼각형에서 세 변의 길이는 모두 같으므로 a^2+b^2=c^2을 만족하지 않는다. 피타고라스의 결과는 작은 삼각형의 극한에서 복구된다.

원의 둘레와 면적의 비율은 유클리드 기하학보다 작다. 일반적으로 면적과 부피는 선형 치수의 제곱 및 세제곱으로 확장되지 않는다.

4. 3차원 타원 기하학 (타원 공간)

타원 공간은 동치류를 사용하여 3차원 벡터 공간을 구성하는 것과 유사한 방식으로 구성할 수 있다. 구의 대원 위에 있는 유향 호(방향이 있는 호)를 사용하는데, 이 유향 호들은 길이가 같고, 방향과 대원이 같으면 등면이 된다. 이러한 등면 관계는 각각 3D 벡터 공간과 타원 공간을 생성한다.[5]

타원 공간 구조는 윌리엄 로완 해밀턴의 벡터 대수를 통해 접근할 수 있다. 해밀턴은 구를 -1의 제곱근의 영역으로 생각했다. 오일러 공식 \exp(\theta r) = \cos \theta + r \sin \theta (여기서 ''r''은 구에 있음)는 1과 ''r''을 포함하는 평면에서 대원을 나타낸다. 반대 지점 ''r''과 –''r''은 반대 방향으로 향하는 원에 해당한다. 타원 공간에서 호의 길이는 π보다 작으므로, 호는 [0, π) 또는 (–π/2, π/2]에서 θ로 매개변수화될 수 있다.[5]

z = \exp(\theta r), \ z^* = \exp(-\theta r) \implies z z^* = 1 . ''z''의 노름(해밀턴은 이를 z의 텐서라고 불렀다)은 1이다. 그러나 ''r''이 3차원 공간의 구에 걸쳐 있기 때문에 exp(θ r)은 4차원 공간의 구, 즉 3-구에 걸쳐 있으며, 그 표면은 3차원을 가진다. 해밀턴은 그의 대수를 쿼터니언이라고 불렀고, 이것은 빠르게 유용하고 유명한 수학 도구가 되었다. 4차원의 이 공간은 극좌표 t \exp(\theta r),에서 진화하며, ''t''는 양의 실수이다.

지구 또는 천구에서 삼각법을 수행할 때, 삼각형의 변은 대원 호이다. 쿼터니언의 첫 번째 성공은 구면 삼각법을 대수로 표현한 것이었다.[6] 해밀턴은 노름이 1인 쿼터니언을 베르소르라고 불렀으며, 이것이 타원 공간의 점이다.

''r''이 고정되면, 베르소르

:e^{ar}, \quad 0 \le a < \pi

는 "타원선"을 형성한다. e^{ar}에서 1까지의 거리는 ''a''이다. 임의의 베르소르 ''u''의 경우, 거리는 \cos \theta = (u + u^*)/2인 θ가 될 것이며, 이는 임의의 쿼터니언의 스칼라 부분에 대한 공식이기 때문이다.

"타원 운동"은 쿼터니언 매핑으로 설명된다.

:q \mapsto u q v, 여기서 ''u''와 ''v''는 고정된 베르소르이다.

점 사이의 거리는 타원 운동의 이미지 점 사이의 거리와 같다. ''u''와 ''v''가 서로의 쿼터니언 켤레인 경우, 이 운동은 공간 회전이며, 그 벡터 부분은 회전의 축이다. ''u'' = 1인 경우 타원 운동은 오른쪽 ''클리포드 변환'', 또는 ''파라택시''라고 한다. ''v'' = 1인 경우는 왼쪽 클리포드 변환에 해당한다.

베르소르 ''u''를 지나는 "타원선"은 다음과 같은 형태일 수 있다.

:\lbrace u e^{ar} : 0 \le a < \pi \rbrace 또는 \lbrace e^{ar}u : 0 \le a < \pi \rbrace (단, ''r''은 고정).

그들은 1을 지나는 타원선을 따라 ''u''의 오른쪽 및 왼쪽 클리포드 변환이다.

"타원 공간"은 3-구에서 대척점을 식별하여 형성된다.[7]

타원 공간에는 클리포드 평행과 클리포드 표면이라는 특수 구조가 있다.

타원 공간의 베르소르 점은 공간의 대체 표현을 위해 케일리 변환에 의해 \mathbb{R}^3로 매핑된다.

5. 고차원 타원 기하학

고차원 타원 기하학은 일반적인 타원 기하학을 더 높은 차원으로 확장한 것이다. 고차원 타원 기하학에는 다음과 같은 모델들이 있다.


  • 초구면 모델: 구면 모델을 고차원으로 일반화한 것이다. ''n''차원 타원 공간의 점은 '''R'''''n''+1에서 단위 벡터 (''x'', -''x'')영어의 쌍, 즉 (''n''+1)차원 공간의 단위 구 표면(''n''차원 과대구)에 있는 대척점 쌍으로 나타낸다. 이 모델에서 선은 대원, 즉 원점을 통과하는 ''n''차원 평면 초표면과 과대구의 교차점이다.

  • 사영 타원 기하학: ''n''차원 실수 투영 공간의 점들을 사용하는 모델로, 투영 기하학으로도 알려져 있다. ''n''차원 투영 공간의 점들은 (''n''+1)차원 공간에서 원점을 지나는 직선과 동일시될 수 있으며, '''R'''''n''+1의 영이 아닌 벡터로 나타낼 수 있다. 이때 임의의 영이 아닌 스칼라 λ에 대해 u와 λu는 같은 점을 나타낸다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같이 정의된다.


:d(u, v) = \arccos \left(\frac

{\|u\|\ \|v\|}\right);

:즉, 두 점 사이의 거리는 '''R'''''n''+1에서 해당 직선 사이의 각도이다. 이 거리 공식은 각 변수에서 균질하며, λ와 μ가 영이 아닌 스칼라인 경우 d(λu, μv) = d(u, v)이므로, 투영 공간의 점에 대한 거리를 정의한다. 투영 타원 기하학은 차원이 짝수일 경우 가향성이 없다. 즉, 시계 방향과 시계 반대 방향의 회전을 구별하지 않는다.

  • 입체 투영 모델: 입체 투영법을 이용해 초구 모형과 동일한 공간을 나타내는 모형을 얻을 수 있다. E''n''을 무한대 점을 하나 추가한 차원 실수 공간이라고 하자. E''n'' 위에 '현 거리'를 다음과 같이 정의한다.


:\delta(u, v)=\frac{2 \|u-v\|}{\sqrt{(1+\|u\|^2)(1+\|v\|^2)}}

:여기서 와 는 '''R'''''n''의 임의의 두 벡터이고 \|\cdot\|는 일반적인 유클리드 노름이다. 또한 다음을 정의한다.

:\delta(u, \infty)=\delta(\infty, u) = \frac{2}{\sqrt{1+\|u\|^2}}.

:이를 통해 '''E'''''n'' 위에 거리 공간이 형성되는데, 이는 입체 투영에 의해 쌍대 일대일 대응으로 매핑되는 초구 모형의 해당 점들 사이의 현을 따라 측정한 거리를 나타낸다. 다음의 거리로 정의하면 구면 기하학 모형을 얻는다.

:d(u, v) = 2 \arcsin\left(\frac{\delta(u,v)}{2}\right).

:대척점 와 를 동일시하고, 에서 이 쌍까지의 거리를 이 두 점 각각에 대한 거리 중 최솟값으로 취함으로써 타원 기하학을 얻을 수 있다.

5. 1. 초구면 모델

과대구면 모델은 구면 모델을 고차원으로 일반화한 것이다. ''n''차원 타원 공간의 점은 '''R'''''n''+1에서 단위 벡터 (''x'', -''x'')영어의 쌍으로, 즉 (''n''+1)차원 공간의 단위 구 표면(즉, ''n''차원 과대구)에 있는 대척점 쌍이다. 이 모델에서 선은 대원, 즉 원점을 통과하는 ''n''차원 평면 초표면과 과대구의 교차점이다.

5. 2. 사영 타원 기하학

''n''차원 실수 투영 공간의 점들이 모델의 점으로 사용된다. 이는 투영 기하학으로도 알려진 추상적인 타원 기하학을 모델링한다.

''n''차원 투영 공간의 점들은 (''n''+1)차원 공간의 원점을 지나는 직선과 동일시될 수 있으며, 임의의 영이 아닌 스칼라 λ에 대해 u와 λu가 동일한 점을 나타낸다는 것을 이해하고, '''R'''''n''+1의 영이 아닌 벡터로 비고유적으로 표현될 수 있다. 거리는 다음과 같은 메트릭을 사용하여 정의된다.

:d(u, v) = \arccos \left(\frac

{\|u\|\ \|v\|}\right);

즉, 두 점 사이의 거리는 '''R'''''n''+1에서 해당 직선 사이의 각도이다. 거리 공식은 각 변수에서 균질하며, λ와 μ가 영이 아닌 스칼라인 경우 d(λu, μv) = d(u, v)이므로, 투영 공간의 점에 대한 거리를 실제로 정의한다.

투영 타원 기하학의 주목할 만한 특징은 평면과 같이 차원이 짝수일 경우, 기하학이 가향성이 없다는 것이다. 시계 방향과 시계 반대 방향의 회전을 동일시하여 구별을 지운다.

타원 기하학의 모델로 대표적인 것은 구면과 사영 평면의 두 가지이다.

사영 평면은 리만 구면과는 달리, (유클리드 기하학의 의미로) 평행한 직선군마다 각각 다른 하나씩의 무한원점을 추가한 평면을 의미한다. 리만 구면과 마찬가지로 (서로 평행한 경우를 포함하여) 두 직선이 반드시 교차하는 기하학이 성립하는데, 그 체계를 사영기하학이라고 한다.[25][26][27] 사영기하학에서는 '''길이'''의 개념을 사용하지 않는 것이 특징적이다.[22][23][24]

5. 3. 입체 투영 모델

입체 투영법을 통해 초구 모형과 동일한 공간을 나타내는 모형을 얻을 수 있다. E''n''을 즉, 무한대 점을 하나 추가한 차원 실수 공간으로 나타낼 수 있다. E''n'' 위에 '현 거리'를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\delta(u, v)=\frac{2 \|u-v\|}{\sqrt{(1+\|u\|^2)(1+\|v\|^2)}}

여기서 와 는 '''R'''''n''의 임의의 두 벡터이고 \|\cdot\|는 일반적인 유클리드 노름이다. 또한 다음을 정의한다.

:\delta(u, \infty)=\delta(\infty, u) = \frac{2}{\sqrt{1+\|u\|^2}}.

그 결과 '''E'''''n'' 위에 거리 공간이 형성되는데, 이는 입체 투영에 의해 쌍대 일대일 대응으로 매핑되는 초구 모형의 해당 점들 사이의 현을 따라 측정한 거리를 나타낸다. 다음의 거리로 정의하면 구면 기하학 모형을 얻는다.

:d(u, v) = 2 \arcsin\left(\frac{\delta(u,v)}{2}\right).

대척점 와 를 동일시하고, 에서 이 쌍까지의 거리를 이 두 점 각각에 대한 거리 중 최솟값으로 취함으로써 타원 기하학을 얻을 수 있다.

과 , , 템플릿은 허용되지 않는 템플릿이므로 제거했다.

6. 자기 모순 없음 (Self-consistency)

유클리드 기하학이 자기 모순이 없다면 구면 타원 기하학도 자기 모순이 없다. 구면 타원 기하학은 유클리드 공간의 구면 부분 공간으로 모델링될 수 있기 때문이다. 따라서 유클리드 기하학의 다른 네 가지 공준을 바탕으로 평행선 공준을 증명하는 것은 불가능하다.

타르스키는 초등 유클리드 기하학이 완전하다는 것을 증명했다. 즉, 모든 명제에 대해 참 또는 거짓임을 보여줄 수 있는 알고리즘이 존재한다.[8] 이는 괴델의 정리를 위반하지 않는데, 유클리드 기하학은 괴델의 정리가 적용될 수 있을 만큼 충분한 산술을 설명할 수 없기 때문이다.[9] 따라서 초등 타원 기하학 또한 자기 모순이 없고 완전하다.

7. 모델

타원기하학의 대표적인 모델로는 구면과 사영 평면 두 가지가 있다.



평면에서는 두 평행선이 만나지 않지만, 구면에서는 적도에 수직으로 그은 두 "직선"은 평행해 보이지만 극에서 만난다. 여기서 "직선"은 두 점 사이를 잇는 최단 곡선인 측지선을 의미하며, 구면상의 직선은 구의 중심과 일치하는 원인 대원이다.

이러한 직선을 갖는 구면은 '''리만 구면'''[17]이라 불리며, 타원기하학의 '''구면 모델'''이 된다. 구면에서의 기하학을 구면기하학[18]이라고 한다. 각도나 거리와 같은 개념은 측지선으로 정의되며, 구면삼각법이 정의되지만, 사인 법칙만 봐도 우리가 아는 삼각법과는 다르다.[19][20][21]

평면에서는 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이지만, 리만 구면에서는 북극과 남극처럼 구의 중심에 대해 대칭적인 두 점을 지나는 직선은 여러 개(무한 개) 존재한다. (구면상의 대칭점은 동일시하여 두 "직선"은 한 "점"에서 교차한다.)

리만 구면은 평면에 무한원점을 하나만 추가하여 실현된다. 평행했던 두 직선은 곡면에서 무한원점에서 교점을 가지므로 평행선이 존재하지 않는다.

리만 구면과 달리, 평행한 직선마다 다른 무한원점을 추가한 평면을 '''사영 평면'''[22][23][24]이라 한다. 리만 구면처럼 두 직선이 반드시 교차하는 기하학이 성립하며, 이를 사영기하학이라고 한다.[25][26][27] 사영기하학에서는 '''길이''' 개념을 사용하지 않는다.

참조

[1] 서적 The Elements of Non-Euclidean Geometry George Bell & Sons
[2] 문서 Coxeter 1969 94
[3] 서적 Introduction to Geometry
[4] 간행물 A sixth memoir upon quantics https://zenodo.org/r[...]
[5] 서적 Linear Geometry Addison-Wesley
[6] 간행물 On quaternions or a new system of imaginaries in algebra http://www.maths.tcd[...] Trinity College, Dublin
[7] 간행물 Quaternions et espace elliptique
[8] 문서 Tarski (1951)
[9] 문서 Franzén 2005, pp. 25–26.
[10] 논문 An introduction to elliptic geometry
[11] 서적 Riemannian geometry New York: Springer
[12] 서적 Riemannian geometry Berlin: Springer-Verlag
[13] 논문 ユークリッド原論の平行線の定義
[14] 서적 Non-euclidean geometry Cambridge University Press
[15] 서적 Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development Courier Corporation
[16] 서적 Introduction to non-Euclidean geometry Courier Corporation
[17] 웹사이트 Riemann sphere http://encyclopediao[...]
[18] MathWorld Spherical Geometry SphericalGeometry
[19] 서적 Heavenly mathematics: The forgotten art of spherical trigonometry Princeton University Press
[20] MathWorld Spherical Trigonometry SphericalTrigonometr[...]
[21] 웹사이트 Spherical trigonometry http://encyclopediao[...]
[22] MathWorld Projective Plane ProjectivePlane
[23] 서적 射影平面の幾何学 遊星社
[24] 高校数学の美しい物語 射影平面の3通りの定義
[25] 서적 Projective geometry Springer Science & Business Media
[26] 서적 Projective geometry: from foundations to applications Cambridge University Press
[27] 서적 射影幾何学の考え方 共立出版


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