평행선 공준

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1. 개요

평행선 공준은 유클리드 기하학의 기본 공리 중 하나로, 주어진 직선 밖의 한 점을 지나는 평행선은 최대 하나만 존재한다는 것을 의미한다. 이 공준은 삼각형 내각의 합이 180°라는 것, 직사각형의 존재 등과 동치 관계에 있으며, '평행'의 정의에 따라 동치 관계가 달라질 수 있다. 평행선 공준은 2천 년 이상 증명하려는 시도가 있었으나, 19세기에 비유클리드 기하학의 발견으로 독립적인 공리임을 확인했다.

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평행선 공준

2. 동치 명제

평행선 공준은 절대 기하학에서 다음과 같은 명제들과 동치이다.

(플레이페어 공리) 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 평행선은 많아야 하나 존재한다.^[4]
(삼각형 공준) 모든 삼각형의 내각합은 180°이다.^[6]
어떤 삼각형의 내각합은 180°이다.
모든 삼각형의 내각합은 같다.
직사각형이 존재한다.
(등거리 공준 1) 평행한 두 직선의 거리는 어디에서나 일정하다.
(등거리 공준 2) 어떤 같은 평면 위에서, 어떤 주어진 직선과 거리가 같은 세 공선점이 존재한다.
(프로클로스 공준 1) 같은 평면 위에서, 평행선 중 하나와 만나는 직선은 다른 하나와도 만난다.^[9]
(프로클로스 공준 2) 같은 평면 위에서, 같은 직선과 평행하는 두 직선은 서로 평행한다.
(사케리-르장드르 제4정리) 주어진 각의 내부의 점을 지나며, 각의 두 변과 만나는 직선은 항상 존재한다.
(르장드르 공준) 동측내각이 하나는 직각 하나는 예각이라면, 두 직선은 만난다.
(보여이 공준) 모든 삼각형은 외접원을 갖는다. 즉, 공선점이 아닌 세 점에 대하여, 그들을 지나는 원이 항상 존재한다.
(월리스 공준 1) 합동이 아닌 닮음삼각형이 존재한다.
(월리스 공준 2) 모든 원의 둘레와 지름의 비율은 같다. 즉, 원주율을 정의할 수 있다.
(월리스 공준 3) 삼각형의 넓이는 상계를 갖지 않는다. 즉, 삼각형의 넓이는 주어진 임의의 도형의 넓이보다 클 수 있다.^[8]
윗변과 아랫변이 같은 사케리 사변형이 존재한다.
대변의 절반 길이인 중위선을 갖는 삼각형이 존재한다.
(피타고라스의 정리) 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 직각을 이루는 두 변의 길이의 제곱합과 같다.^[6]^[7]

플레이페어 공리는 그 자체로 유클리드의 평행선 공준과 논리적 동치는 아니다. 왜냐하면 하나는 참이고 다른 하나는 거짓인 기하학이 있기 때문이다. 그러나 유클리드 기하학을 제공하는 나머지 공리들이 존재한다면, 하나를 사용하여 다른 하나를 증명할 수 있으므로, 이는 절대 기하학의 맥락에서 동치이다.^[5]

2. 1. '평행'의 정의에 대한 논의

유클리드 기하학에서 '평행'이라는 용어는 일반적으로 다음 네 가지 의미로 정의될 수 있다.

# 일정한 간격을 유지하는 두 직선

# 만나지 않는 두 직선

# 어떤 세 번째 직선과 교차할 때 같은 각도를 이루는 두 직선

# 어떤 세 번째 직선과 교차할 때 같은 각도를 이루는 두 직선

이러한 정의들은 서로 동치 관계로 보이지만, 실제로는 평행선 공준에 의존하기 때문에, 이 정의들 중 어느 것을 '평행'의 정의로 채택하는지에 따라 평행선 공준과의 동치 관계가 달라진다.

예를 들어, 플레이페어 공리에서 "평행"을 "일정한 간격을 유지하는" 또는 "어떤 세 번째 선과 교차할 때 같은 각도"를 의미하는 것으로 해석하면, 이는 더 이상 유클리드의 평행선 공준과 동치가 아니며, 유클리드의 처음 네 공준으로부터 증명할 수 있게 된다. 플레이페어 공리는 '최대 하나의 선이 있다...'라고 말하는데, 이는 그러한 선이 없는 경우와 일치하기 때문이다.

반면, 평행선을 "결코 교차하지 않는 선" 또는 "어떤 선이 동일한 각도로 교차하는 선"으로 정의하면, 플레이페어 공리는 유클리드의 평행선 공준과 동치이며, 따라서 처음 네 개의 공준과 논리적으로 독립적이다. 하지만 후자의 두 정의는 동치가 아닌데, 쌍곡 기하학에서 두 번째 정의는 초평행 선에 대해서만 성립하기 때문이다.

일반적으로 유클리드 공간에서 평행성의 정의로는 "결코 교차하지 않는다"는 성질을 채택한다. 그 이유는 길이와 각도를 측정하는 조작이 포함된 다른 정의보다 더 단순하기 때문이다. "일정한 간격을 유지한다"와 "제3의 직선과 같은 각도로 교차한다"는 정의는 평행선의 공리로부터의 귀결이 된다.

3. 동치 증명

위 명제들은 유클리드 기하학의 정리이므로, 이들로부터 평행선 공준을 유도하거나, 동치성 증명이 끝난 명제를 유도하는 것으로 증명할 수 있다. 명제 1, 2, 3, 4, 10에 대한 증명은 플레이페어의 공리, 삼각형의 내각합, 사케리-르장드르 정리 문서를 참고하라.

유클리드 기하학의 평행선 공준과 동치인 가장 잘 알려진 명제는 존 플레이페어의 이름을 딴 플레이페어 공리이다. 평행선 공준과 동치인 다른 많은 명제들이 제안되었는데, 그중 일부는 처음에는 평행성과 관련이 없어 보였고, 일부는 너무나 자명하여 사람들이 유클리드의 다른 공준으로부터 평행선 공준을 증명했다고 주장할 때 무의식적으로 가정되었다.

"평행"이라는 단어를 사용하는 대안들은 "평행"의 네 가지 일반적인 정의(일정한 간격, 만나지 않음, ''어떤'' 세 번째 선과 교차할 때 같은 각도, ''어떤'' 세 번째 선과 교차할 때 같은 각도) 중 어느 것을 의미하는지 설명해야 할 때는 그렇게 단순해 보이지 않는다. 왜냐하면 이 네 가지의 동치는 유클리드의 다섯 번째 공준과 동치인 무의식적으로 명백한 가정 중 하나이기 때문이다.

3. 1. 직사각형 조건 ⇔ 삼각형 공준

사케리-르장드르 제1정리에 따라, 직사각형(네 내각이 모두 직각인 사각형)에 대각선을 그어 만든 두 개의 작은 삼각형의 내각합은 각각 180° 이하이다. 또한, 두 삼각형의 내각합을 합하면 직사각형의 내각합인 360°가 된다. 따라서, 두 삼각형의 내각합은 모두 180°이므로, 내각합이 180°인 삼각형이 존재한다.

비슷하게, "내각합이 180(''n'' - 2)°인 ''n''각형이 존재한다"는 명제는 평행선 공준과 동치이다. 이를 "''n''각형 공준"이라고 한다.

3. 2. 등거리 공준 ⇒ 직사각형 조건

평행선 사이의 거리가 어디에서나 일정하다면, 당연히 주어진 직선과 거리가 같은 세 공선점이 존재하며, 점과 선은 어떤 같은 평면 위에 있다.

세 공선점 ''A'', ''B'', ''C''가 직선 ''l''과 거리가 같다고 하자. 즉, ''l''의 수선 ''AA''', ''BB''', ''CC'''가 ''l''과 각자 ''A''', ''B''', ''C'''에서 만난다고 하면, ''AA''' = ''BB''' = ''CC'''이다. 따라서 ''AA'B'B''와 ''BB'C'C''는 사케리 사변형이다. 이들 각자의 윗변과 밑변의 중점 ''M'', ''M''', ''N'', ''N'''을 연결하자. 그렇다면 좌우 대칭이므로, 직선 ''MM'''와 ''NN'''는 각자 직선 ''l''과 ''ABC''의 수선이다. 따라서 직사각형 ''MM'N'N''이 존재한다.

3. 3. 프로클로스 공준 ⇔ 평행선 공준

두 명제는 서로 대우이므로, 자명하게 동치이다.

어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각이 180°보다 작다고 하자. 그렇다면, ∠''BAP''' + ∠''ABQ'' = 180°가 되도록 직선 ''AP'''를 그을 수 있다. 이때 ''AP''' 와 ''BQ''는 서로 평행하다. 또한, ''AP''와 ''AP''' 가 만나므로, ''AP'' 와 ''BQ''도 만난다. 따라서, 평행선 공준이 성립한다.^[1]

3. 4. 르장드르 공준 ⇒ 평행선 공준

어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각이 180°보다 작다고 가정하자.

만약 동측내각 중 하나는 직각이고 다른 하나는 예각이라면, ''AP''와 ''BQ''는 만난다.

만약 둘 다 예각이라면, 선분 ''AB'' 위에 임의의 점 ''M''을 찍고, ''BQ''에 수선 ''MN''을 긋는다. ''MN''이 ''BQ''와 ''N''에서, ''AP''와 ''C''에서 만난다고 할 때, 삼각형의 내각은 그와 이웃하지 않는 외각보다 작으므로, ∠''MCP'' < ∠''MAP''이다. 즉 ∠''MCP''는 예각이 되며, 이는 첫 번째 경우로 귀결된다.

만약 하나는 둔각이고 다른 하나는 예각이라면, 두 번째 경우와 같이 점 ''M'', ''N'', ''C''를 만들되, ''M''을 ''AB''의 중점으로 잡는다. 이때 ∠''MCP''는 직각이 될 수 없다. 만약 직각이라면, 각각변 합동에 따라 삼각형 ''MCA''와 ''MNB''는 합동이 되므로, 동측내각의 합이 180°가 되어 모순이다. 따라서 이 경우 역시 첫 번째 경우로 귀결된다.

위 세 가지 경우는 모든 경우를 포함하며, 따라서 두 직선 ''AP'', ''BQ''는 어떤 점 ''O''에서 만난다. 또한 반드시 180°보다 작은 동측내각과 같은 쪽에서 만나야 한다. 그렇지 않으면 삼각형 ''OAB''의 내각의 합이 180°보다 커지므로 모순이다. 따라서 평행선 공준이 성립한다.

3. 5. 보여이 공준 ⇒ 르장드르 공준

어떤 직선 ''l''과 그 직선 위의 점 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''를 생각하자. 이때, 동측내각 ∠''QBA''와 ∠''PAB''는 각각 직각과 예각이다. 선분 ''AB'' 위에 점 ''M''을 잡고, ''AP''에 수선 ''MC''를 내려 ''AP''와 점 ''C''에서 만나게 한다. ''MC''를 연장하여 ''CC''' = ''MC''가 되도록 점 ''C'''를 잡고, ''MB''를 연장하여 ''BB''' = ''MB''가 되도록 점 ''B'''를 잡으면, ''M'', ''C''', ''B'''는 삼각형을 이룬다. 이 삼각형의 외접원이 존재하며, ''AP''와 ''BQ''는 각각 변 ''MC'''와 ''MB'''의 수직이등분선이므로, 외접원의 중심 ''O''는 ''AP''와 ''BQ''의 교점이다. 따라서 르장드르 공준이 성립한다.

3. 6. 월리스 공준 1 ⇒ 사각형 공준

삼각형 ''ABC''와 ''A'B'C'''가 서로 닮음이지만 합동이 아니라고 가정하면, ''AB'' > ''A'B'''라고 할 수 있다. 변 ''AB'' 위에 ''AB'' = ''A'B''' 인 점 ''B'''을 잡고, ∠''AB''C''' = ∠''ABC''인 직선 ''B''C'''을 그리면, 이 직선은 변 ''AC''와 어떤 점 ''C'''에서 만난다. 각변각 합동에 의해 삼각형 ''AB''C'''와 ''AB'C'''는 합동이다. 따라서 ∠''AC''B''' = ∠''AC'B''' = ∠''ACB''이다. 이때 사각형 ''BB''C''C''의 내각의 합은 360°이므로, 내각의 합이 360°인 사각형이 존재한다.^[1]

이와 비슷하게, "합동이 아닌 닮음다각형이 존재한다"는 명제는 평행선 공준과 동치임을 보일 수 있다.^[1]

3. 7. 사케리 사변형 조건 ⇒ 직사각형 조건

두 사케리 사변형 ''ABCD''에서 밑변 ''AB''와 윗변 ''DC''가 같다고 가정하자. 밑변과 윗변의 중점 ''M'', ''N''을 연결하면, 좌우 대칭에 따라 ''MN''은 ''AB''와 ''DC''의 수선이다. ''MB'' = ''NC''이므로, ''MNCB''는 밑변이 ''MN''인 사케리 사변형이다. 사케리 사변형의 윗변의 두 이웃각은 서로 같으므로, ∠''NCB'' = ∠''CBM'' = 90°이다. 따라서 직사각형 ''MNCB''가 존재한다.

3. 8. 중위선 조건 ⇒ 사케리 사변형 조건

삼각형 ''ABC''의 중위선 ''MN''이 대변 ''BC''의 절반 길이라고 가정하자. ''MN''의 수선 ''AA''', ''BB'''를 그어 ''MN''과 ''A''', ''B'''에서 만나게 하면, 변각변 합동에 따라 삼각형 ''MAA''', ''MBB'''는 서로 합동이며, 삼각형 ''NAA''', ''NCC'''는 서로 합동이다.^[1] 따라서 ''BB''' = ''AA''' = ''CC''' 이므로, ''BB'C'C''는 사케리 사변형이다.^[1] 또한,

:''MN'' = ''MA'' + ''NA'' = 1/2''BC''

:''B'M'' = ''MA'''

:''C'N'' = ''NA'''

이므로, ''B'C''' = ''BC''이다.^[1] 따라서 밑변과 윗변이 같은 사케리 사변형이 존재한다.^[1]

3. 9. 피타고라스의 정리 ⇒ 중위선 조건

피타고라스의 정리가 성립하면, 직각삼각형 ''ABC''의 빗변 ''AB''에 대한 중위선 ''MN''을 긋는다. 그러면,

:''AB''² = ''AC''² + ''BC''²

:''MN''² = ''AM''² + ''BN''²

:''AM'' = 1/2''AC''

:''BN'' = 1/2''BC''

이므로, ''MN'' = 1/2''AB''이다. 즉, 중위선이 그 대변의 절반 길이인 삼각형이 존재한다.

4. 역사

평행선 공준은 원론의 다른 공준들에 비해 직관적이지 못하여, 오랫동안 증명 가능성에 대한 논란이 있었다. 2천 년이 넘는 기간 동안 많은 수학자들이 유클리드의 처음 네 개의 공준을 사용하여 평행선 공준을 증명하려 시도했지만, 모두 실패했다.^[10] 그 이유는 평행선 공준은 다른 공준들과는 달리 자명하지 않았기 때문이다.^[11]

이러한 시도들은 실수가 발견되기 전까지 오랫동안 증명으로 받아들여지기도 했다. 예외 없이 실수는 다섯 번째 공준과 동등한 '명백한' 성질(플레이페어 공리)을 가정하는 것이었다. 1795년 존 플레이페어가 유클리드에 대한 해설을 쓰면서 유클리드의 다섯 번째 공준을 자신의 공리로 대체할 것을 제안한 이후 플레이페어 공리로 알려지게 되었다.

지오르다노 비탈레는 그의 저서 《유클리드 복원》에서 사케리 사각형을 사용하여 평행선 공준에 대한 이해를 진전시켰다.^[45]^[46]

4. 1. 고대 및 중세

프로클로스(410–485)는 《원론》에 대한 해설에서 평행선 공준을 다른 공준들로부터 유도하려는 시도에 대해 언급했다. 특히, 프톨레마이오스가 잘못된 증명을 제시했다고 지적하고, 자신도 잘못된 증명을 제시했지만, 평행선 공준과 동치인 명제를 발견했다.^[10]^[11]

이븐 알-하이삼(965–1039)은 귀류법을 사용하여 평행선 공준을 증명하려 했으며,^[12] 그 과정에서 운동과 변환의 개념을 기하학에 도입했다.^[13] 그는 람베르트 사각형을 공식화했는데, 보리스 아브라모비치 로젠펠드는 이를 "이븐 알-하이삼-람베르트 사각형"이라고 명명했으며,^[14] 그의 증명 시도에는 람베르트 사각형과 플레이페어 공리에서 발견되는 요소와 유사한 요소가 포함되어 있다.^[15]

오마르 하이얌(1050–1123)은 "수렴하는 두 직선은 교차하며, 수렴하는 방향으로 수렴하는 두 직선이 발산하는 것은 불가능하다."라는 명제^[16]에서 평행선 공준을 증명하려 했다. 그는 타원 기하학과 쌍곡 기하학에 속하는 일부 초기 결과를 도출했지만, 그의 공준은 후자의 가능성을 배제했다.^[17] 사케리 사각형 또한 11세기 후반 오마르 하이얌이 《유클리드의 공준에 대한 어려움의 설명》 제1권에서 처음으로 고려했다.^[14] 하이얌은 평행선 공준 자체를 증명하려 한 것이 아니라, 자신의 동등한 공준에서 이를 유도하려 했다. 그는 유클리드의 다섯 번째 공준을 생략하면 세 가지 가능성이 발생한다는 것을 인식하고, 자신의 공준을 사용하여 예각과 둔각의 경우가 모순을 초래한다는 것을 보여주었지만, 그의 공준은 현재 다섯 번째 공준과 동등한 것으로 알려져 있다.

나시르 알-딘 알-투시(1201–1274)는 그의 저서 《알-리살라 알-샤피야'안 알-샤크 피'알-후투트 알-무타와지야》(《평행선에 대한 의문을 제거하는 토론》)(1250)에서 평행선 공준에 대한 상세한 비판과 귀류법 증명을 유도하려 했다.^[19] 그는 또한 현재 타원 기하학과 쌍곡 기하학으로 알려진 경우를 고려했지만, 둘 다 배제했다.^[17]

나시르 알딘의 아들 사드르 알딘(때로는 "가짜-투시"로 알려짐)은 1298년에 아버지의 후기 생각을 바탕으로 이 주제에 대한 책을 썼는데, 이는 평행선 공준과 동등한 비유클리드 가설에 대한 가장 초기의 주장 중 하나를 제시했다. 그는 본질적으로 유클리드 공리 및 공준 체계와 《원론》의 많은 명제의 증명을 모두 수정했다.^[19]^[18] 그의 저서는 1594년 로마에서 출판되었으며 유럽의 기하학자들이 연구했다. 이 작품은 사케리가 이 주제에 대한 연구를 시작하는 시점이 되었으며,^[19] 사드르 알딘의 작품과 월리스의 작품에 대한 비판으로 시작되었다.^[20]

4. 2. 근대

지롤라모 사케리와 요한 하인리히 람베르트 등은 평행선 공준을 부정하여 모순을 유도하려는 시도를 했으나 실패했다.^[21]^[47] 람베르트는 세 개의 직각을 가진 람베르트 사각형(세 개의 직각을 가진 사각형)을 연구했는데, 이는 사케리 사각형(두 개의 직각을 가진 사각형)의 절반에 해당한다. 그는 사케리와 마찬가지로 네 번째 각이 둔각일 가능성을 빠르게 배제했지만, 예각을 가정했을 때는 모순에 도달하지 못했다.^[21] 그는 삼각형의 면적이 감소함에 따라 삼각형의 각의 합이 증가한다는 비유클리드 기하학의 결과를 증명하고, 허수 반지름을 가진 구면에서 예각의 경우에 대한 모델의 가능성을 추측하기도 했지만, 이 아이디어를 더 발전시키지는 않았다.^[21]

4. 3. 19세기: 비유클리드 기하학의 발견

1829년 니콜라이 로바쳅스키는 러시아 저널에 평행선 공준을 부정하는 기하학(쌍곡 기하학)에 대한 결과를 발표했다.(이후 1840년에 독일어로 다시 출판되었다.)^[22] 1831년 보여이 야노시는 로바쳅스키와는 독자적으로 이와 같은 발견을 그의 아버지의 논문에 실었다.^[22] 카를 프리드리히 가우스도 이 문제를 연구했지만, 결과를 출간하지는 않았다.^[22]

이후 이 새로운 기하학은 니콜라이 로바쳅스키, 베른하르트 리만, 앙리 푸앵카레에 의해 쌍곡 기하학(예각의 경우)과 타원 기하학(둔각의 경우)으로 발전되었다.^[22] 평행선 공준이 유클리드의 다른 공리들로부터 독립적이라는 것은 1868년 에우제니오 벨트라미에 의해 최종적으로 증명되었다.^[22]

5. 평행선 공준의 역

유클리드는 자신의 다섯 번째 공준의 역을 공준하지 않았는데, 이는 유클리드 기하학을 타원 기하학과 구별하는 한 가지 방법이다. 《원론》에는 "두 직선에 한 직선이 만나서 엇각이 서로 같으면, 두 직선은 서로 평행하다."라는 명제(1권, 명제 27)가 증명되어 있다. 오거스터스 드 모르간은^[23] 이 명제가 (1권, 명제 16)과 논리적으로 동등하다고 지적했다. 이러한 결과는 다섯 번째 공준에 의존하지 않지만, 타원 기하학에서 위배되는 두 번째 공준^[24]은 필요로 한다.

6. 비판

아르투어 쇼펜하우어는 저서 ''의지와 표상으로서의 세계''에서 평행선 공준을 논리적으로 증명하려는 시도를 비판했다.^[25] 쇼펜하우어는 평행선 공준이 다른 공리로부터 도출된 논리적 결과가 아니라, 지각을 통해 명백하게 드러난다고 주장했다.^[26]

참조

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_[24] 문서 Coxeter, H.S.M., ''Non-Euclidean Geometry'', 6th Ed., MAA 1998, p. 3
_[25] 문서 Schopenhauer is referring to Euclid's Common Notion 4: Figures coinciding with one another are equal to one another.
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