절대기하학
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1. 개요
절대기하학은 유클리드 기하학의 평행선 공준을 제외한 공리들을 기반으로 하는 기하학 체계이다. 유클리드의 『원론』의 처음 28개의 명제와 명제 31은 절대기하학에서 유효하며, 외각의 정리와 사케리-르장드르 정리 역시 증명 가능하다. 절대기하학은 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학에서 모두 성립하지만, 타원 기하학과는 모순된다. 또한 순서 기하학의 확장이며, 특수 상대성 이론의 기하학은 절대기하학의 공리에서 출발한다. 절대기하학은 불완전한 공리 체계로, 평행선에 대한 다양한 공리를 추가하여 유클리드 기하학 또는 쌍곡 기하학을 만들 수 있다.
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2. 성질
절대기하학에서는 같은 선에 수직인 두 선은 서로 만나지 않는다는 것(평행선의 정의에 따라 두 선이 평행함을 의미)을 증명할 수 있다.[7] 또한, 사케리 사각형의 꼭지각이 둔각이 될 수 없으며, 구면 기하학은 절대기하학이 아니라는 사실도 증명할 수 있다.
2. 1. 절대기하학에서 증명 가능한 정리
유클리드의 『원론』에서 처음 28개의 명제와 명제 31은 평행선 공준을 사용하지 않으므로 절대기하학에서 유효하다. 또한, 절대기하학에서는 외각의 정리(삼각형의 외각은 다른 두 내각보다 크다)와 삼각형의 각의 합이 최대 180°라는 사케리-르장드르 정리도 증명할 수 있다.[5]명제 31은 주어진 선 위에 있지 않은 점을 지나 주어진 선에 평행선을 작도하는 것이다.[6] 이 증명은 명제 27 (엇각 정리)의 사용만 요구하므로 절대기하학에서 유효한 작도이다. 보다 정확하게는, 임의의 선 ''l''과 ''l'' 위에 있지 않은 임의의 점 ''P''가 주어질 때, ''P''를 지나고 ''l''에 평행한 선이 ''최소한'' 하나 존재한다. 이것은 익숙한 작도를 사용하여 증명할 수 있다. 주어진 선 ''l''과 ''l'' 위에 있지 않은 점 ''P''가 주어질 때, ''P''에서 ''l''로 수선 ''m''을 내리고, ''P''를 지나 ''m''에 수선 ''n''을 세운다. 엇각 정리에 의해 ''l''은 ''n''에 평행하다. (엇각 정리는 두 선 ''a''와 ''b''가 엇각이 합동인 경우, 선 ''a''와 ''b''가 평행하다는 것을 말한다.) 앞서 언급한 작도와 엇각 정리는 평행선 공준에 의존하지 않으므로 절대기하학에서 유효하다.[7]
절대기하학에서는 또한 '''같은 선에 수직인 두 선은 교차할 수 없다'''는 것을 증명할 수 있으며, 사케리 사각형의 꼭지각이 둔각이 될 수 없으며, 구면 기하학이 절대기하학이 아님을 증명한다.
3. 다른 기하학과의 관계
절대기하학은 쌍곡 기하학(비유클리드 기하학의 한 종류) 및 유클리드 기하학에서 모두 성립하는 정리들을 포함한다.[8]
타원 기하학에서는 평행선이 존재하지 않아 절대기하학과 모순되지만, 수정된 체계를 통해 평행선이 없는 구면 기하학과 타원 기하학을 포함하도록 공리계를 확장할 수 있다.[9]
절대기하학은 순서 기하학의 확장이며, 순서 기하학의 모든 정리는 절대기하학에서도 성립한다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 절대기하학은 유클리드의 처음 4개 공리를 가정하지만, 아핀 기하학은 세 번째와 네 번째 공리("어떤 중심과 거리 반지름을 가지고 원을 그린다.", "모든 직각은 서로 같다.")를 가정하지 않는다. 순서 기하학은 절대 기하학과 아핀 기하학 모두의 공통 기반이다.[10]
에드윈 B. 윌슨과 길버트 N. 루이스는 특수 상대성 이론의 기하학을 절대기하학의 9개 공리와 11개 명제에서 출발하여 개발하였으나, 두 기준틀을 연결하는 변환으로 쌍곡 회전을 도입하면서 절대기하학의 범위를 넘어섰다.[11][12]
3. 1. 쌍곡 기하학
비유클리드 기하학의 한 종류인 쌍곡 기하학은 절대기하학의 정리가 유클리드 기하학과 마찬가지로 모두 성립한다.[8]절대기하학은 타원 기하학과 모순된다. 타원 기하학에서는 평행선이 전혀 없지만, 절대기하학의 정리에는 평행선이 존재한다. 그러나 수정된 체계에 의해 정의된 절대기하학이 평행선이 없는 구면 기하학과 타원 기하학을 포함하도록 공리계를 수정하는 것이 가능하다.[9]
특수 상대성 이론의 기하학은 절대기하학의 9개의 공리와 11개의 명제에서 출발하여 개발되었다.[11][12] 저자인 에드윈 B. 윌슨과 길버트 N. 루이스는 두 기준틀을 연결하는 변환으로서 쌍곡 회전을 도입하면서 절대기하학의 범위를 넘어선다.
3. 2. 유클리드 기하학
절대기하학의 정리는 쌍곡 기하학(비유클리드 기하학의 한 종류) 및 유클리드 기하학에서 모두 성립한다.[8] 절대기하학은 유클리드의 처음 4개의 공리(또는 그에 상응하는 것)를 가정한다.3. 3. 타원 기하학
절대기하학은 타원 기하학과 모순되는데, 타원 기하학에서는 평행선이 전혀 없지만 절대기하학의 정리에는 평행선이 존재하기 때문이다.[9] 그러나 수정된 체계를 통해 정의된 절대기하학이 평행선이 없는 구면 기하학과 타원 기하학을 포함하도록 공리계를 수정하는 것이 가능하다.[9]3. 4. 순서 기하학
절대기하학은 순서 기하학의 확장이며, 따라서 순서 기하학의 모든 정리는 절대기하학에서도 성립한다. 역은 성립하지 않는다. 절대기하학은 유클리드의 처음 4개의 공리(또는 그에 상응하는 것)를 가정하며, 이는 유클리드의 세 번째와 네 번째 공리("어떤 중심과 거리 반지름을 가지고 원을 그린다.", "모든 직각은 서로 같다.")를 가정하지 않는 아핀 기하학과 대조된다.[10] 순서 기하학은 절대 기하학과 아핀 기하학 모두의 일반적인 기초이다.[10]3. 5. 아핀 기하학
절대기하학은 아핀 기하학과 대조된다. 아핀 기하학은 유클리드의 처음 4개의 공리 중 3번째와 4번째 공리를 가정하지 않는다. 유클리드의 세 번째 공리는 "어떤 중심과 거리 반지름을 가지고 원을 그린다."이며, 네 번째 공리는 "모든 직각은 서로 같다."이다.[10] 순서 기하학은 절대 기하학과 아핀 기하학 모두의 일반적인 기초이다.[10]3. 6. 특수 상대성 이론
에드윈 B. 윌슨과 길버트 N. 루이스는 특수 상대성 이론의 기하학을 절대기하학의 9개 공리와 11개 명제에서 출발하여 개발하였다.[11][12] 이들은 두 기준틀을 연결하는 변환으로 쌍곡 회전을 도입하면서 절대기하학의 범위를 넘어섰다.4. 힐베르트 평면
힐베르트의 결합, 사이 및 합동 공리를 만족하는 평면을 '''힐베르트 평면'''이라고 한다.[13] 힐베르트 평면은 절대 기하학의 모델이다.[14]
5. 불완전성
절대 기하학은 불완전한 공리 체계이다. 즉, 공리 체계를 모순되게 만들지 않으면서 추가적인 독립적인 공리를 더할 수 있다는 의미이다. 절대 기하학에 평행선에 대한 다양한 공리를 추가하여 서로 양립할 수 없지만 내부적으로는 일관적인 공리 체계를 얻을 수 있으며, 이는 유클리드 기하학 또는 쌍곡 기하학을 발생시킨다. 따라서 절대 기하학의 모든 정리는 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학의 정리이기도 하다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.
참조
[1]
학술인용
[2]
학술인용
[3]
인용
[4]
학술인용
[5]
설명
[6]
학술인용
[7]
학술인용
[8]
설명
[9]
서적
Geometry: An Introduction
Wadsworth
[10]
학술인용
[11]
논문
"The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics"
[12]
웹사이트
a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis.
https://web.archive.[...]
[13]
학술인용
[14]
학술인용
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