아르키메데스 성질

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 전순서군
- 2.2. 아르키메데스 노름 체
3. 역사
4. 순서체에서의 동치인 정의
5. 예시
참조

1. 개요

아르키메데스 성질은 전순서를 가진 군에서, 임의의 작은 원소를 유한 번 더하여 어떤 크기의 원소보다 크게 만들 수 있는 성질을 의미한다. 이 성질을 만족하지 않는 경우 비아르키메데스 성질을 갖는다고 한다. 아르키메데스 성질은 대수적 구조, 순서체, 노름 공간 등 다양한 수학적 구조에서 정의되며, 체의 절댓값 함수나 노름 공간의 노름을 통해 아르키메데스 성질을 정의할 수 있다. 이 개념은 아르키메데스를 기려 명명되었으며, 유클리드의 '원론'에도 나타난다. 유리수체와 실수체는 아르키메데스 성질을 만족하는 예시이며, 초실수체나 p진수 체는 비아르키메데스 성질을 갖는다.

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아르키메데스 성질

2. 정의

선형 순서군 ''G''에서 양의 원소 $x$ , $y$ 에 대해, 모든 자연수 $n$ 에 대해 $nx < y$ 이면 $x$ 는 $y$ 에 대해 '무한소'이다(또는 $y$ 는 $x$ 에 대해 '무한대'이다).

: $\underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}} < y. \,$

''G''에 이러한 무한소 쌍 $(x, y)$ 가 없으면 '''아르키메데스적'''이다.

단위 원소(1)를 가진 대수적 구조(예: 환) $K$ 에서도 유사한 정의가 적용된다. $x$ 가 1에 대해 무한소이면 '''무한소 원소''', $y$ 가 1에 대해 무한대이면 '''무한대 원소'''이다. $K$ 에 무한대 원소나 무한소 원소가 없으면 아르키메데스적이다.

랭크 1 값매김체 및 그 위의 노름 공간에서도 "아르키메데스적"이라는 표현이 사용된다. 절댓값 함수를 갖춘 체 $K$ 에서, 0이 아닌 모든 $x \in K$ 에 대해 다음을 만족하는 자연수 $n$ 이 존재하면 아르키메데스적이다.

: $|\underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}}| > 1.$

2. 1. 전순서군

전순서를 가지는 군 G의 양의 원소 ''x'', ''y''가 있을 때, 모든 자연수 ''n''에 대하여 ''nx''가 ''y''보다 작을 경우, ''x''는 ''y''에 대하여 무한소라고 한다. 즉, 모든 자연수 ''n''에 대해 다음 부등식이 항상 만족하는 경우이다.

:

\underbrace{x + \cdots + x}_{n\text{ terms}} < y.

이러한 조건을 만족하는 양의 원소 ''x'', ''y''가 존재하지 않을 때, 군 G는 '''아르키메데스 성질'''을 가진다고 한다. 다시 말해서, 아무리 작은 원소라 하더라도 그것을 유한 번 더해서 어떤 크기의 원소보다도 커질 수 있다면 아르키메데스 성질을 가지고 있다고 볼 수 있다.

2. 2. 아르키메데스 노름 체

값매김환과 노름 공간의 이론을 통해 정의할 수도 있다. ''F''가 절댓값 함수를 가진다고 할 때, 이 절댓값 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

F의 원소 0에 대하여 실수 0에 대응한다.
F의 0이 아닌 원소 x에 대하여 양의 실수 $|x|$ 에 대응한다.
$|xy|=|x| |y|$ .
$|x+y| \le |x|+|y|$ .

이러한 체 ''F''에서 0이 아닌 모든 원소 x에 대하여 다음을 만족하는 자연수 ''n''이 존재하면 ''F''는 '''아르키메데스 성질'''을 가진다고 할 수 있다.

:

|\underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}}| > 1. \,

이와 유사하게, 노름 공간에서 0이 아닌 모든 벡터 x에 대하여, 충분히 큰 ''n''에 대해 ''n''번 더해서 1보다 더 큰 노름을 가지게 만들 수 있다면 아르키메데스 성질을 가진다고 할 수 있다. 절댓값을 가지는 체 또는 노름 공간은 아르키메데스 성질을 가지거나, 초거리 부등식

:

|x+y| \le \max(|x|,|y|)

이 성립한다.

초거리 부등식을 만족시키는 체 또는 노름 공간은 '''비아르키메데스 성질'''을 가진다고 한다.^[12]

3. 역사

이 개념은 1880년대에 오토 슈톨츠가 고대 그리스의 기하학자이자 물리학자인 아르키메데스를 기려 이름 지었다. 아르키메데스는 시라쿠사 출신이다. 아르키메데스 성질은 유클리드의 ''원론'' 제5권 정의 4에 나타난다.

아르키메데스는 이를 크니도스의 에우독소스의 공으로 돌렸기 때문에 "에우독소스 정리" 또는 ''에우독소스 공리''라고도 한다.^[3]

아르키메데스는 발견적 논증에서 무한소를 사용했지만, 이것이 완성된 수학적 증명이라고는 부인했다.

근현대 수학에서의 아르키메데스 공리의 공식화는 힐베르트에 의한 기하학의 공리계에 포함된 공리 V-I에 해당한다.^[10]

4. 순서체에서의 동치인 정의

모든 선형 순서체 $K$는 순서 부분체로서 유리수를 포함한다. 이를 이용해 아르키메데스 체의 동치인 특성을 다음과 같이 정의할 수 있다.^[7]^[11]

# 자연수는 $K$에서 공종대이다. 즉, $K$의 모든 원소는 어떤 자연수보다 작다. 따라서 아르키메데스 체는 자연수가 경계 없이 증가하는 체이다.

# 0은 집합 $\{1/2, 1/3, 1/4, \dots\}$의 $K$에서의 하한이다. ($K$에 양의 무한소가 포함되어 있다면 이 집합의 하한이 될 것이므로 0이 가장 큰 하한이 아닐 것이다.)

# 양의 유리수와 음의 유리수 사이의 $K$의 원소 집합은 열려 있지 않다. 이는 이 집합이 모든 무한소로 구성되어 있기 때문이며, 무한소가 없는 경우에는 집합 $\{0\}$이고, 그렇지 않으면 열려 있으며 최소 또는 최대의 무한소가 없다.

# $K$의 임의의 $x$에 대해 $x$보다 큰 정수의 집합은 최소 원소를 갖는다.

# $K$의 모든 비어있는 열린 구간은 유리수를 포함한다.

# 유리수는 sup과 inf 모두에 관해 $K$에서 조밀하다. 즉, $K$의 모든 원소는 일부 유리수 집합의 sup이고, 다른 유리수 집합의 inf이다. 따라서 아르키메데스 체는 유리수의 임의의 조밀한 순서 확장, 즉 유리수 원소를 조밀하게 포함하는 임의의 순서 체이다.

5. 예시

정수의 집합 ${\mathbb {Z}}$는 덧셈에 대한 표준적인 아벨 군 구조와 전순서를 가지며, 아르키메데스 성질을 만족시킨다.^[13] 유리수체 ${\mathbb {Q}}$ 역시 전순서 아벨 군으로서 아르키메데스 성질을 만족시키며, 실수체 ${\mathbb {R}}$ 역시 마찬가지이다.

반면, 초실수체 ${}^{*}\mathbb {R}$는 아르키메데스 체가 아니다. 유한체는 전순서를 줄 수 없으므로 아르키메데스 순서체로 만들 수 없다.

실수 계수를 갖는 유리 함수의 체는 비아르키메데스 순서체의 예시이다. 이 체에서 유리 함수 $1/x$는 양수이지만 유리 함수 $1$보다 작다. 임의의 자연수 $n$에 대해 $n(1/x) = n/x$는 양수이지만, $n$이 아무리 커도 여전히 $1$보다 작으므로, $1/x$는 이 체에서 무한소이다.

p진수 체는 노름체로서 비아르키메데스적이다.^[5] 오스트로프스키의 정리에 의해, 유리수 체에서의 모든 비자명한 절댓값은 일반적인 절댓값 또는 일부 $p$-진 절댓값과 동치이다.

참조

_[1] 웹사이트 Math 2050C Lecture https://www.math.cuh[...] 2023-09-03
_[2] 간행물 Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of continua Kluwer Academic 1994
_[3] 서적 Theory and Application of Infinite Series https://archive.org/[...] Blackie & Son, Ltd.
_[4] 논문 Over een lineaire ''P''-adische ruimte 1943
_[5] 서적 p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions Springer-Verlag 1977
_[6] 서적 Topological Fields and Near Valuations Dekker 1990
_[7] 간행물 1997
_[8] 문서 岩波数学事典 4th ed. 182 順序線形空間A
_[9] 서적 Theory and Application of Infinite Series Blackie & Son, Ltd.
_[10] 서적 The Foundations of Geometry Open Court 1980
_[11] 간행물 1997
_[12] 논문 Over een lineare P-adisches ruimte 1943
_[13] 서적 Elementary Number Theory McGraw-Hill 2009

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