삼방사면체

1. 개요

삼방사면체는 데카르트 좌표로 표현되는 8개의 꼭짓점을 가진 다면체이다. 이 도형은 테타르토이드의 변형을 통해 얻을 수 있으며, 직교 투영 시 다양한 형태를 보인다. 삼각 뿔꼴 정사면체는 5-세포체의 전개도를 나타내며, 직각 이등변삼각형으로 구성될 경우 정육면체를 형성한다. 삼방사면체는 밀러의 규칙에 의해 허용되는 13개의 별붙이 중 하나이며, 관련 다면체 및 타일링과의 연관성을 갖는다. 또한, 삼각사면체를 구성하는 이등변삼각형의 각도와 변의 비율에 대한 정보를 제공한다.

2. 데카르트 좌표

원점을 중심으로 하는 삼방사면체의 8개 꼭짓점에 대한 데카르트 좌표는 다음과 같다.

* 마이너스 부호가 짝수인 점 (±5/3, ±5/3, ±5/3)
* 마이너스 부호가 홀수인 점 (±1, ±1, ±1)

더 자세하게 나타내면 다음과 같다.

* (5/3, 5/3, 5/3), (5/3, −5/3, −5/3), (−5/3, 5/3, −5/3), (−5/3, −5/3, 5/3)
* (−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1), (−1, −1, −1)

이 삼방사면체의 짧은 모서리의 길이는 2√2이다.

3. 테타르토이드 대칭

삼각사면체는 테타르토이드의 퇴화된 극한으로 만들 수 있다.

4. 직교 투영

삼각사면체를 여러 방향에서 직교 투영하면 다음과 같은 형태를 얻을 수 있다.

5. 변형

삼각 뿔꼴 정사면체는 정다포체인 5-세포체의 전개도를 나타낸다.

만약 삼각형이 직각 이등변 삼각형이라면, 면은 공면적이 되어 정육면체를 형성한다. 이것은 사면체의 6개 모서리를 정육면체 내부에 추가하여 볼 수 있다.

모듈러 종이접기에서 이것은 6개의 소노베 모듈을 연결하여 삼각 뿔꼴 사면체를 만드는 결과이다.

6. 별모양화

이 손대칭 도형은 밀러의 규칙에 의해 허용되는 13개의 별모양화 중 하나이다.

7. 관련 다면체

삼각사면체는 정사면체를 기본 형태로 하여 각 면에 각뿔을 추가하여 만들 수 있다. 정육면체의 각 면에 각뿔을 추가하여 조금 더 높이 들어 올린 형태로도 만들 수 있다. 절단된 사면체와 삼각사면체로 복합 다면체를 만들 수도 있다.

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7.1. 관련 타일링

삼각사면체는 면-추이 도형으로 (*n32) 반사 대칭을 가지며, 쌍곡 평면으로 확장되는 다면체와 타일링 시퀀스의 일부이다.

8. 성질

삼각사면체를 구성하는 이등변삼각형의 꼭지각은 약 112.89°, 밑각은 약 33.56°이다. 짧은 변과 긴 변의 비율은 3:5이다.

구체적으로, 둔각은 arccos(-7/18) ≈ 112.88538047616°, 예각은 arccos(5/6) ≈ 33.55730976192°이다.