마름모삼십면체

1. 개요

마름모삼십면체는 32개의 꼭짓점, 60개의 모서리, 30개의 면을 갖는 다면체로, 각 면이 마름모꼴이며, 면의 둔각은 약 116.57°, 예각은 약 63.43°이다. 겉넓이, 부피, 내접구의 반지름 등은 황금비와 관련된 식으로 표현된다. 이 도형은 20개의 황금 마름모로 분해될 수 있으며, 쌍대다면체는 십이이십면체이다. 정십이면체와 정이십면체를 마름모삼십면체 내부에 내접시킬 수 있으며, 3차원 쌍곡 공간을 채울 수 있다. 램프 디자인, 상자 제작, 주사위 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 기하학적 성질

마름모삼십면체는 30개의 마름모 면, 60개의 모서리, 32개의 꼭짓점을 가지며, 면, 모서리, 꼭짓점의 개수와 관련된 오일러 정리를 만족한다. 각 면은 마름모이며, 둔각은 약 116.57°, 예각은 약 63.43°이다. 마름모의 긴 대각선과 짧은 대각선의 길이 비는 황금비이다.

2.1. 공식

한 모서리의 길이가 $a$인 마름모삼십면체의 겉넓이 $A$와 부피 $V$는 다음과 같다.

:$A\; =\; 12\backslash sqrt\{5\}~a^2\; \backslash approx\; 26.8328\; a^2$
:$V\; =\; 4\backslash sqrt\{5+2\backslash sqrt\{5\}\}~a^3\; \backslash approx\; 12.3107\; a^3$

마름모삼십면체의 모서리 길이가 $a$일 때, 겉넓이, 부피, 내접구의 반지름(마름모삼십면체의 각 면에 접선으로 닿음)과 각 모서리의 중앙에 닿는 중반지름은 다음과 같으며, 여기서 $\backslash varphi$는 황금비이다.

* 내접구의 반지름: $r\_\backslash mathrm\{i\}\; =\; \backslash frac\{\backslash varphi^2\}\{\backslash sqrt\{1\; +\; \backslash varphi^2\}\}\backslash ,a\; =\; \backslash sqrt\{1\; +\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\}\backslash ,a\; \backslash approx\; 1.37638\; a$
* 변의 중점을 지나는 구의 반지름: $r\_\backslash mathrm\{m\}\; =\; \backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash right)\backslash ,a\; \backslash approx\; 1.44721\; a$

2.2. 면의 모양

마름모삼십면체의 각 면은 마름모 모양이다. 마름모의 둔각은 약 116.57°, 예각은 약 63.43°이다. 마름모의 긴 대각선, 짧은 대각선, 변의 길이 비는 황금비를 이룬다.

* 긴 대각선의 길이 : 짧은 대각선의 길이 : 변의 길이 = φ^영어 : 1 : $\backslash frac\{\backslash sqrt\{1+\backslash varphi^2\}\}\{2\}$
*: $\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}(=1.618\backslash cdots)$ : 1 : $\backslash sqrt\{\backslash frac\{5+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\}(=0.951\backslash cdots)$ (대각선의 비가 황금비가 됨)

2.3. 직교 좌표

황금비를 φ라고 하자. (0, ±1, ±φ)로 주어지는 12개의 점과 이 좌표들의 순환 순열은 정이십면체의 꼭짓점이다. 이십면체의 모서리와 직각으로 교차하는 이중 정십이면체는 (±1, ±1, ±1)의 8개의 점과 (0, ±φ, ±1/φ) 및 이 좌표들의 순환 순열로 주어지는 12개의 점을 꼭짓점으로 갖는다. 이 32개의 점은 원점에 중심을 둔 마름모삼십면체의 꼭짓점이다. 모서리의 길이는 √(3 – φ) ≈ 1.17557050458이다. 면은 길이가 2와 2/φ인 대각선을 갖는다.

2.4. 분할

마름모삼십면체는 20개의 황금 마름모로 분해될 수 있는데, 10개는 예각이고 10개는 둔각이다.

2.5. 직교 투영

마름모삼십면체는 네 가지 대칭 위치를 가지는데, 두 개는 꼭짓점에, 하나는 면의 중앙에, 다른 하나는 모서리의 중앙에 위치한다. "10" 투영에 내장된 것은 "두꺼운" 마름모와 "얇은" 마름모로, 이 둘을 함께 사용하여 페로즈 타일링이라고 불리는 비주기적 테셀레이션을 생성할 수 있다.

3. 다른 도형들과의 관계

십이이십면체는 마름모삼십면체의 쌍대다면체이다. 마름모삼십면체는 3차원 쌍곡 공간을 채울 수 있다.

3.1. 정다면체와의 관계

마름모의 둔각 3개가 모인 꼭짓점 20개를 이으면 정십이면체가 되고, 마름모의 예각 5개가 모인 꼭짓점 12개를 이으면 정이십면체가 된다. 이 방법으로 만든 정십이면체와 정이십면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체가 된다.

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3.2. 별모양화

마름모삼십면체는 227개의 완전 지지 별모양화를 가진다. 이 중 하나는 다섯 개의 정육면체 화합물이다. 마름모삼십면체의 별모양화는 총 358,833,097개가 있다.

3.3. 기타 관련 다면체

이 다면체는 콕서터 군 대칭을 갖는 능면체 다면체 및 타일링 수열의 일부이다. 정육면체는 능면체가 직사각형인 능육면체로 볼 수 있다.

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4. 3차원 쌍곡 공간 채우기

마름모삼십면체는 3차원 쌍곡 공간을 채울 수 있는 다면체 중 하나이다.

5. 응용

덴마크 디자이너 홀거 스트롬(Holger Strøm)은 조립식 램프 IQ-light (IQ는 "interlocking quadrilaterals"의 약자) 디자인에 마름모삼십면체를 활용했다.

목공예가 제인 코스틱(Jane Kostick)은 마름모삼십면체 모양의 상자를 제작한다. 이 구조는 마름모삼십면체와 정육면체 사이의 관계를 기반으로 한다.

로저 폰 외흐(Roger von Oech)의 "Ball of Whacks"는 마름모삼십면체 모양으로 제작된다.

마름모삼십면체는 일부 롤플레잉 게임에서 30면체 주사위 "d30"으로 사용되기도 한다.