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각뿔

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목차

1. 개요

각뿔은 평면 다각형을 밑면으로 하고, 밑면 위에 있지 않은 한 점(꼭짓점)에서 밑면의 각 점을 연결하여 만들어지는 입체 도형이다. 밑면의 모양에 따라 삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔 등으로 나뉘며, 밑면이 정다각형이고 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 무게 중심과 일치하는 각뿔을 정각뿔이라고 한다. 각뿔의 부피는 밑면의 면적과 높이의 1/3을 곱하여 구할 수 있으며, 옆면은 모두 삼각형이다.

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각뿔
개요
사각뿔
사각뿔
유형원뿔형 솔리드
면n + 1
모서리2n
꼭짓점n + 1
꼭짓점 도형n-각형
대칭군Cnv, [1,n], (*nn)
회전군Cn, [n]+, (nn)
속성볼록
관련 다면체
쌍대자기 쌍대
일반적인 n각형 뿔
면1개의 n각형 면과 n개의 삼각형 면
모서리2n
꼭짓점n + 1

2. 정의

각뿔은 평면 다각형 ''B''와 그 평면 위에 있지 않은 점 ''A''가 주어졌을 때, 점 ''A''에서 다각형 ''B''의 주변(꼭짓점 및 변)과 그 내부의 각 점을 잇는 선분의 궤적으로 얻어지는 입체 도형이다. 각뿔의 표면 다면체는 각뿔면 또는 각뿔의 측면이라고 불리며, 점 ''A''에서 다각형 ''B''의 주변상의 점을 잇는 선분의 궤적이다. 점 ''A''는 각뿔의 꼭짓점 또는 정점이라고 부르며, 다각형 ''B''는 각뿔의 밑면이라고 부른다. 정점 ''A''와 밑면 ''B''와의 거리 ''h''는 각뿔의 높이라고 불린다.

각뿔은 다면체의 일종으로, 밑면의 각 변과 꼭짓점은 옆면이라고 하는 이등변삼각형을 형성한다. 다각형 밑면의 꼭짓점에서 꼭짓점까지 연결된 변을 옆모서리라고 한다. 역사적으로 각뿔의 정의는 고대 시대의 많은 수학자들에 의해 설명되었다. 유클리드는 그의 ''원론''에서 각뿔을 하나의 평면에서 한 점으로 구성된 입체 도형으로 정의했다. 그의 정의의 맥락은 헤론이 다각형 밑면과 점을 함께 놓음으로써 이 도형을 정의할 때까지 모호했다.

밑면 ''B''가 ''n''각형인 각뿔을 ''n''각뿔이라고 부른다. 특히, 꼭짓점에서 밑면으로 내린 수선의 발이 밑면의 무게중심과 일치하는 직각뿔에서, 밑면이 정''n''각형을 이루는 것은 정''n''각뿔이라고 불린다.

각뿔의 부분

3. 종류

밑면이 ''n''각형인 각뿔을 ''n''각뿔이라고 한다. 예를 들어 밑면이 삼각형이면 삼각뿔, 사각형이면 사각뿔, 오각형이면 오각뿔이라고 부른다.

이름그림설명
삼각뿔
밑면이 삼각형인 각뿔
사각뿔
밑면이 사각형인 각뿔
오각뿔
밑면이 오각형인 각뿔



꼭짓점에서 밑면으로 내린 수선의 발이 밑면의 무게 중심과 일치하는 직각뿔 중에서, 밑면이 정''n''각형인 경우를 정''n''각뿔이라고 한다. 직각뿔은 밑면이 원에 외접하고 피라미드의 높이가 원의 중심에서 밑면과 만나는 피라미드이며, 그렇지 않으면 사각뿔이다.

3. 1. 정다각형 밑면 각뿔

밑면이 정다각형인 각뿔을 정각뿔이라고 한다. -변의 정규 밑면을 가진 피라미드는 개의 꼭짓점, 개의 면, 그리고 개의 모서리를 가진다. 이러한 피라미드는 이등변삼각형을 면으로 가지며, 대칭성은 로, 차수 의 대칭이다.[1] 옆면이 모두 합동인 정삼각형이고 밑면이 정다각형일 경우, 사각뿔과 오각뿔은 모든 면이 정다각형인 각뿔이며, 존슨의 다면체가 된다. 정육각뿔은 평면 도형이다. 하지만 높은 차수의 각뿔은 비정다각형 이등변삼각형으로 만들어질 수 있다. 그리고 칠각뿔과 그 이상의 각뿔은 모든 면을 정다각형만으로는 만들 수 없다.

삼각뿔과 관련된 고른 다면체는 정사면체이다. 사각뿔과 관련된 고른 다면체는 정팔면체(서로 밑면끼리 맞붙임)이다. 오각뿔과 관련된 고른 다면체는 정이십면체(서로 밑면끼리 맞붙이고 중간에 엇정오각기둥(3.3.3.5)을 끼워 놓음)이다. 육각뿔 (평면)과 관련된 고른 타일링은 정삼각형 타일링이다. 칠각뿔 이상은 정삼각형 7개가 모이면 420°로 이는 평면이 겹치기 때문에 이 이상은 불가능하다.

3. 1. 1. 예시

정사면체


밑면이 정다각형인 각뿔을 정각뿔Regular pyramid영어이라고 한다. 정다각형 밑면을 가진 각뿔은 개의 꼭짓점, 개의 면, 개의 모서리를 가진다. 이러한 각뿔은 이등변삼각형을 면으로 가지며, 대칭성은 로, 차수 의 대칭이다. 사각뿔과 오각뿔은 각각 정사각형과 오각형 밑면을 가지며, 정규 면과 길이가 같은 모서리를 가질 경우 존슨의 다면체 중 첫 번째와 두 번째로 분류된다. 이들의 대칭성은 각각 차수 8의 와 차수 10의 이다. 정사면체 또는 삼각뿔은 네 개의 정삼각형을 가지며 모든 모서리의 길이가 같고, 그 중 하나가 밑면으로 간주되는 예시이다. 정사면체는 면이 정규이므로 플라톤의 다면체와 델타 다면체에 해당하며, 사면체 대칭을 가진다.

직사각형 밑면 각뿔


마름모 밑면 각뿔


직각 각뿔은 직사각형, 마름모와 같이 불규칙한 다각형을 밑면으로 가질 수도 있다. 이러한 각뿔들은 차수 4의 대칭을 가진다. 각뿔의 밑면은 다각형의 유형에 따라 정규성이 분류될 수 있는데, 밑면이 정다각형 별인 별 각뿔이 그 예시이다. 잘린 각뿔은 평면에 의해 잘린 피라미드이며, 잘린 평면이 각뿔의 밑면에 평행하면 각뿔대라고 한다.

  • 삼각뿔은 정사면체라고도 불린다.
  • 사각뿔은 이집트의 피라미드 형태로 알려져 있다.

3. 2. 불규칙한 밑면

직각 피라미드는 불규칙한 다각형을 밑면으로 가질 수도 있다. 예를 들어 직사각형과 마름모를 밑면으로 하는 피라미드가 있다. 이 두 피라미드는 차수 4의 ''C''2v 대칭을 갖는다.

3. 3. 기타


  • 밑면이 정다각형 별인 경우 별 각뿔이라고 한다.
  • 잘린 각뿔은 평면에 의해 잘린 각뿔이다. 잘린 평면이 각뿔의 밑면에 평행하면 각뿔대라고 한다.
  • 밑면이 원인 원뿔은 각뿔이 아니다.[1]

4. 성질

밑면 이외의 면(옆면)은 모두 삼각형이다. 밑면의 면적을 ''S'', 높이를 ''h''로 할 때, 부피 ''V''는 ''V'' = ''Sh'' / 3으로 구할 수 있다.[5]

4. 1. 관련 다면체

삼각뿔과 관련된 고른 다면체는 정사면체이다.

사각뿔과 관련된 고른 다면체는 정팔면체로, 서로 밑면끼리 맞붙인 형태이다.

오각뿔과 관련된 고른 다면체는 정이십면체로, 서로 밑면끼리 맞붙이고 중간에 엇정오각기둥(3.3.3.5)을 끼워 넣은 형태이다.

육각뿔 (평면)과 관련된 고른 타일링은 정삼각형 타일링이다.

칠각뿔 이상은 정삼각형 7개가 모이면 420°로 평면이 겹치기 때문에 불가능하다. 이는 팔각뿔과 그 이상도 마찬가지이다. 참고로, 모든 면이 정다각형인 볼록한 각뿔은 면이 모두 정삼각형인 정다면체가 관련된 고른 다면체이다.

5. 공식

밑면의 넓이가 A_b, 밑면의 둘레가 p, 높이가 h, 옆면을 이루는 삼각형이 모두 높이가 s인 이등변삼각형일 때, 각뿔의 부피와 겉넓이는 다음과 같다.

:V=\frac{1}{3}A_bh

:A=A_b+\frac{ps}{2}

표면적은 각 다면체의 모든 면의 총 면적이다. 각뿔의 경우, 표면적은 삼각형들의 면적의 합과 다각형 밑면의 면적의 합이다.

각뿔의 부피는 밑면의 면적과 높이의 3분의 1 곱이다. 각뿔의 높이는 꼭지점과 밑면에 대한 직교 투영 사이의 선분의 길이로 정의된다. B 가 밑면의 면적이고 h 가 각뿔의 높이일 때, 각뿔의 부피는 다음과 같다.

: V = \frac{1}{3}Bh.

각뿔의 부피는 고대 이집트에서 기록되었으며, 그들은 정사각뿔대의 부피를 계산하여 정사각뿔의 부피를 알고 있었음을 시사한다. 일반적인 각뿔의 부피 공식은 인도 수학자 아리아바타에 의해 발견되었으며, 그는 그의 저서 ''아리아바티야''에서 각뿔의 부피가 밑면 면적과 높이의 절반의 곱이라고 잘못 인용했다.

밑면 이외의 면(옆면)은 모두 삼각형이다. 밑면의 면적을 ''S''로, 높이를 ''h''로 할 때, 부피 ''V''는 ''V'' = ''Sh'' / 3으로 구할 수 있다.[5]

6. 어원

"피라미드"라는 단어는 고대 그리스어 단어 "πυραμίς"(피라미스)에서 유래되었으며, 이는 피라미드 모양의 구조와 일종의 밀가루 케이크를 지칭했다.[1] 이 용어는 그리스어 "πυρ"(피르, '불')와 "άμις"(아미스, '용기')에서 유래되었으며, 모양의 뾰족하고 불꽃과 같은 외형을 강조한다.[1]

비잔틴 그리스어에서 이 용어는 "πυραμίδα"(피라미다)로 발전하여 피라미드 구조를 계속 지칭했다.[2] 그리스어 "πυραμίς"는 라틴어로 "pyramis"로 차용되었다. "πυραμίδα"라는 용어는 영어 및 다른 언어에서 "pyramid"로 단어가 발전하는 데 영향을 미쳤다.[3][4]

7. 일반화

초각뿔은 n차원 공간에서 각뿔을 일반화한 것이다. 각뿔은 평면 위의 다각형인 밑면의 모든 꼭짓점을 평면 밖에 있는 점인 꼭짓점에 연결하여 만든다. 각뿔의 높이는 평면에서 꼭짓점까지의 거리이다. 이 구조는 n차원으로 일반화된다. 밑면은 (n − 1)차원 초평면에서 (n − 1)다포체가 된다. 꼭짓점이라고 하는 점은 초평면 밖에 위치하며, 다포체의 모든 꼭짓점에 연결되고 초평면에서 꼭짓점까지의 거리를 높이라고 한다.

n차원 초각뿔의 n차원 부피는 다음과 같이 계산할 수 있다.

: V_n = \frac{A \cdot h}{n}.

여기서 V|n영어은 초각뿔의 n차원 부피를 나타낸다. A영어는 밑면의 (n − 1)차원 부피를 나타내고, h영어는 높이, 즉 꼭짓점과 밑면 A영어를 포함하는 (n − 1)차원 초평면 사이의 거리를 나타낸다.

참조

[1] 서적 A Greek–English Lexicon Clarendon Press
[2] 웹사이트 πυραμίδα https://en.wiktionar[...] 2022-07-12
[3] 서적 A Latin Dictionary Clarendon Press
[4] 서적 Harper's Dictionary of Classical Antiquities Harper & Brothers
[5] 서적 "4次元以上の空間が見える" ベレ出版


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