삼중성 리 대수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반적인 정의 (벡터 공간)
- 2.2. 합성 대수와의 관계
3. 성질
4. 예시
참조

1. 개요

삼중성 리 대수는 여러 벡터 공간 간의 비퇴화 다중선형 형식을 통해 정의되며, 합성 대수와 밀접한 관련이 있다. 구체적으로, 체 K 위의 합성 대수 A에 대한 삼중성 리 대수 tri(A)는 A의 이차 형식 Q에 대한 직교 리 대수 o(A, Q)의 부분 리 대수로 정의된다. 삼중성 리 대수는 3차 대칭군의 작용, 즉 삼중성을 가지며, 프로이덴탈 마방진 및 에르미트 행렬과의 관계를 통해 다른 수학적 구조와 연결된다. 삼중성 리 대수는 다양한 실수 합성 대수에 대해 구체적인 형태로 나타낼 수 있으며, 8차원 경우에는 Spin(8)의 삼중성 속성에 해당한다.

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삼중성 리 대수

2. 정의

삼중성은 일반적으로 여러 벡터 공간 사이의 비퇴화 다중선형 형식을 통해 정의된다.

== 일반적인 정의 (벡터 공간) ==

$K$ 가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. $K$ 위의 벡터 공간 사이의 삼중성은 비퇴화 삼선형 형식이다.

: $V_1\times V_2\times V_3\to F,$

즉, 세 벡터 공간 중 하나에서 영이 아닌 각 벡터는 다른 두 벡터 공간 사이에 이중성을 유도한다.

삼선형 형식이 1로 평가되는 각 $V_i$ 에서 벡터 $e_i$ 를 선택함으로써, 세 벡터 공간이 모두 서로 동형이며, 자신의 쌍대 공간과도 동형임을 알 수 있다. 이 공통 벡터 공간을 $V$ 로 나타내면, 삼중성은 다음과 같은 쌍선형 곱셈으로 다시 표현될 수 있다.

: $V \times V \to V$

여기서 각 $e_i$ 는 $V$ 에서 항등원에 해당한다. 이제 비퇴화 조건은 $V$ 가 합성 대수임을 의미한다. 따라서 $V$ 는 1, 2, 4 또는 8 차원을 갖는다. 추가적으로 $1=F =$ '''R'''이고 $V$ 를 자신의 쌍대 공간으로 식별하는 데 사용된 형식이 정부호 이차 형식이면, $V$ 는 유클리드 후르비츠 대수이며, 따라서 '''R''', '''C''', '''H''' 또는 '''O'''와 동형이다.

반대로, 합성 대수는 각 $V_i$ 를 대수와 같게 하고 대수의 내적을 사용하여 곱셈을 텐서 축약하여 삼선형 형식을 만듦으로써 즉시 삼중성을 생성한다.

삼중성의 또 다른 구성은 1, 2, 4, 8 차원에서 스피너를 사용한다. 8차원 경우는 Spin(8)의 삼중성 속성에 해당한다.

== 합성 대수와의 관계 ==

$K$ 가 2와 3이 가역원인 체라고 할 때, $K$ 위의 합성 대수 $A$ 의 삼중성 리 대수는 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]

: $\mathfrak{tri}(A)=\{(A,B,C) \in \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3} \colon A(x\star y) = x\star By + Cx \star y\qquad\forall x,y\in A\}$

여기서 $\mathfrak o(A,Q)$ 는 $A$ 의 이차 형식 $Q\colon A\to K$ (에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다. 이는 $\mathfrak o(A,Q)^{\oplus3}$ 의 부분 리 대수를 이룬다.

삼중성 리 대수 $\mathfrak{tri}(A)$ 는 다음과 같은 $K$ -벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

: $\mathfrak{tri}(A) \cong \mathfrak{der}(A) \oplus \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)$

두 벡터 공간 $F$ 위의 이중성은 비퇴화 쌍선형 형식이며, 세 벡터 공간 사이의 삼중성은 비퇴화 삼선형 형식이다.

삼선형 형식이 1로 평가되는 각 $V_i$ 에서 벡터 $e_i$ 를 선택하면, 세 벡터 공간은 모두 서로 동형이며, 자신의 쌍대 공간과도 동형이 된다. 이 공통 벡터 공간을 $V$ 로 나타내면, 삼중성은 다음과 같은 쌍선형 곱셈으로 다시 표현될 수 있다.

: $V \times V \to V$

여기서 각 $e_i$ 는 $V$ 에서 항등원에 해당한다. 비퇴화 조건은 $V$ 가 합성 대수임을 의미하며, 따라서 $V$ 는 1, 2, 4 또는 8차원을 갖는다.

반대로, 합성 대수는 각 $V_i$ 를 대수와 같게 하고 대수의 내적을 사용하여 곱셈을 텐서 축약하여 삼선형 형식을 만듦으로써 삼중성을 생성한다.

2. 1. 일반적인 정의 (벡터 공간)

K

가 2와 3이 가역원인 체라고 하자.

K

위의 합성 대수

A

에 대하여, 다음을 정의한다.^[1]^§4.1^[2]^18–24

:

\mathfrak{tri}(A)=\{(A,B,C) \in \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3} \colon A(x\star y) = x\star By + Cx \star y\qquad\forall x,y\in A\}

여기서

\mathfrak o(A,Q)

는

A

의 이차 형식

Q\colon A\to K

(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다. 이는

\mathfrak o(A,Q)^{\oplus3}

의 부분 리 대수를 이룬다. 이를

A

의 '''삼중성 리 대수'''라고 하며,

\mathfrak{tri}(A)

로 표기한다.

이는 다음과 같은

K

-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

:

\mathfrak{tri}(A) \cong \mathfrak{der}(A) \oplus \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)

두 벡터 공간 위의 이중성은 비퇴화 쌍선형 형식이다.

:

V_1\times V_2\to F,

즉, 두 벡터 공간 중 하나에서 영이 아닌 각 벡터 에 대해 와의 쌍은 다른 벡터 공간에서 영이 아닌 선형 범함수이다.

마찬가지로, 위의 세 벡터 공간 사이의 삼중성은 비퇴화 삼선형 형식이다.

:

V_1\times V_2\times V_3\to F,

즉, 세 벡터 공간 중 하나에서 영이 아닌 각 벡터는 다른 두 벡터 공간 사이에 이중성을 유도한다.

삼선형 형식이 1로 평가되는 각 에서 벡터 를 선택함으로써, 세 벡터 공간이 모두 서로 동형이며, 자신의 쌍대 공간과도 동형임을 알 수 있다. 이 공통 벡터 공간을 로 나타내면, 삼중성은 다음과 같은 쌍선형 곱셈으로 다시 표현될 수 있다.

:

V \times V \to V

여기서 각 는 에서 항등원에 해당한다. 이제 비퇴화 조건은 가 합성 대수임을 의미한다. 따라서 는 1, 2, 4 또는 8 차원을 갖는다. 추가적으로 이고 를 자신의 쌍대 공간으로 식별하는 데 사용된 형식이 정부호 이차 형식이면, 는 유클리드 후르비츠 대수이며, 따라서 '''R''', '''C''', '''H''' 또는 '''O'''와 동형이다.

반대로, 합성 대수는 각 를 대수와 같게 하고 대수의 내적을 사용하여 곱셈을 텐서 축약하여 삼선형 형식을 만듦으로써 즉시 삼중성을 생성한다.

삼중성의 또 다른 구성은 1, 2, 4, 8 차원에서 스피너를 사용한다. 8차원 경우는 Spin(8)의 삼중성 속성에 해당한다.

2. 2. 합성 대수와의 관계

K

가 2와 3이 가역원인 체라고 할 때,

K

위의 합성 대수

A

의 삼중성 리 대수는 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]

:

\mathfrak{tri}(A)=\{(A,B,C) \in \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3} \colon A(x\star y) = x\star By + Cx \star y\qquad\forall x,y\in A\}

여기서

\mathfrak o(A,Q)

는

A

의 이차 형식

Q\colon A\to K

(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다. 이는

\mathfrak o(A,Q)^{\oplus3}

의 부분 리 대수를 이룬다.

삼중성 리 대수

\mathfrak{tri}(A)

는 다음과 같은

K

-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

:

\mathfrak{tri}(A) \cong \mathfrak{der}(A) \oplus \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)

두 벡터 공간 위의 이중성은 비퇴화 쌍선형 형식이며, 세 벡터 공간 사이의 삼중성은 비퇴화 삼선형 형식이다.

삼선형 형식이 1로 평가되는 각

V_i

에서 벡터

e_i

를 선택하면, 세 벡터 공간은 모두 서로 동형이며, 자신의 쌍대 공간과도 동형이 된다. 이 공통 벡터 공간을

V

로 나타내면, 삼중성은 다음과 같은 쌍선형 곱셈으로 다시 표현될 수 있다.

:

V \times V \to V

여기서 각

e_i

는

V

에서 항등원에 해당한다. 비퇴화 조건은

V

가 합성 대수임을 의미하며, 따라서

V

는 1, 2, 4 또는 8차원을 갖는다.

반대로, 합성 대수는 각

V_i

를 대수와 같게 하고 대수의 내적을 사용하여 곱셈을 텐서 축약하여 삼선형 형식을 만듦으로써 삼중성을 생성한다.

3. 성질

3. 1. 삼중성 리 대수

K

가 2와 3이 가역원인 체라고 할 때,

K

위의 합성 대수

A

에 대하여, 삼중성 리 대수

\mathfrak{tri}(A)

는 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]

:

\mathfrak{tri}(A)=\{(A,B,C) \in \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3} \colon A(x\star y) = x\star By + Cx \star y\qquad\forall x,y\in A\}

여기서

\mathfrak o(A,Q)

는

A

의 이차 형식

Q\colon A\to K

(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는

\mathfrak o(A,Q)^{\oplus3}

의 부분 리 대수를 이룬다.

이는 다음과 같은

K

-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

:

\mathfrak{tri}(A) \cong \mathfrak{der}(A) \oplus \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)

3. 2. 3차 대칭군의 작용

\mathfrak{tri}(A)

위에는 3차 대칭군

\operatorname{Sym}(3)

의 작용, 즉 삼중성이 존재하며, 이는 자기 동형

\theta, \zeta\colon\mathfrak{tri}(A) \to \mathfrak{tri}(A)

으로 표현된다.

:

\theta\colon (A,B,C) \mapsto (B^*,C,A^*)

:

\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (A^*,C^*, B^*)

여기서

A^*(x) = (A(x^*))^*

를 뜻한다.

:

\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C^*,A^*,B)

:

\theta^3 = \zeta^2 = \operatorname{id}

:

\zeta\circ\theta = \theta^2\circ\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (B,A,C^*)

:

\theta\circ\zeta =\zeta\circ\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C,B^*,A)

즉, 이는 군 준동형

\operatorname{Sym}(3) \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{tri}(A))

를 정의한다. 이를 '''삼중성'''(triality^영어)이라고 한다.

또한,

\mathfrak{der}(A)

와

\mathfrak{tri}(A)

사이에,

\operatorname{Im}(A)^{\oplus2}

의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서

\mathfrak{der}(A)\oplus\operatorname{Im}(A)

인 리 대수

\mathfrak{tri}'(A)

가 존재한다. 이 위에는

\operatorname{Sym}(3)

삼중성이

\operatorname{Sym}(2)

이중성으로 깨지게 된다.

3. 3. 프로이덴탈 마방진과의 관계

두 실수 합성 대수

A

,

B

에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.^[1]

:

\mathfrak {freud}(3; A, B) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus \mathfrak{tri}(B) \oplus (A\otimes_{\mathbb R}B)^{\oplus3}

여기서

\mathfrak{freud}(3;A,B)

는

A

와

B

로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서

\mathfrak{tri}(A)\oplus\mathfrak{tri}(B)

는

\mathfrak{freud}(3;A,B)

의 부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수

A

에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수

\operatorname H(3;A)

의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.^[1]

:

\mathfrak{der}(\operatorname H(3;A)) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus A^{\oplus3}

특히, 우변에서

\mathfrak{tri}(A)

는

\mathfrak{der}(\operatorname H(3;A))

의 부분 리 대수이다.

4. 예시

실수 합성 대수에 대한 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

실수 합성 대수 $A$	$\mathfrak{der}(A)$	$\mathfrak{tri}'(A)$	$\mathfrak{tri}(A)$
$\mathbb R$	0	0	0
$\mathbb C$	0	$\mathfrak o(2)$	$\mathfrak o(2)^{\oplus2}$
$\tilde{\mathbb C}$	0	$\mathfrak o(1,1)$	$\mathfrak o(1,1)^{\oplus2}$
$\mathbb H$	$\mathfrak o(3)$	$\mathfrak o(4)$	$\mathfrak o(3)^{\oplus3}$
$\tilde{\mathbb H}$	$\mathfrak o(1,2)$	$\mathfrak o(2,2)$	$\mathfrak o(1,2)^{\oplus3}$
$\mathbb O$	$\mathfrak g_2$	$\mathfrak o(7)$	$\mathfrak o(8)$
$\tilde{\mathbb O}$	$\mathfrak g_{2(2)}$	$\mathfrak o(3,4)$	$\mathfrak o(4,4)$

여기서 $\tilde{\mathbb C}=\mathbb R\oplus\mathbb R$ , $\tilde{\mathbb H}=\operatorname{Mat}(2,\mathbb R)$ , $\tilde{\mathbb O}=\operatorname{Zorn}(\mathbb R)$ 는 각각 분할복소수, 분할 사원수, 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다. 8차원 경우는 Spin(8)의 삼중성 속성에 해당한다.

참조

_[1] 저널 Magic squares and matrix models of Lie algebras
_[2] 서적 Introduction to exceptional Lie groups and algebras http://inspirehep.ne[...] 캘리포니아 공과대학교 1976

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