쌍선형 형식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 쌍선형 형식과 반쌍선형 형식
- 2.2. 대칭 형식
3. 성질
4. 좌표 표현
5. 텐서곱과의 관계
6. 이차 형식과의 관계
7. 예시
- 7.1. 이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식
- 7.2. 짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식
8. 일반화
- 8.1. 서로 다른 벡터 공간 쌍
- 8.2. 일반 가군
참조

1. 개요

쌍선형 형식은 가환환 K 위의 가군 V에 대해 정의되는 가군 준동형이며, 왼쪽 및 오른쪽 선형성을 만족하는 함수 B: V × V → K이다. 반쌍선형 형식은 자기 동형을 갖는 가환환 K 위의 가군 V에 대해 정의되며, 왼쪽 반선형성과 오른쪽 선형성을 만족하는 함수이다. 쌍선형 형식에는 대칭, 반대칭, 교대 형식 등이 있으며, 반쌍선형 형식에는 에르미트 및 반에르미트 형식이 있다. 쌍선형 형식은 텐서곱과 밀접한 관련이 있으며, 이차 형식과도 연결된다. 쌍선형 형식은 비퇴화, 유계, 타원형 등의 성질을 가질 수 있으며, 좌표 표현을 통해 행렬로 나타낼 수 있다. 또한, 서로 다른 벡터 공간 쌍이나 일반적인 가군에 대해서도 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

선형대수학 - 벡터 공간
벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
선형대수학 - 선형 결합
선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.

쌍선형 형식
정의
유형	스칼라 값 이중 선형 함수
표기	B: V × V → K
조건	B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) B(λu, v) = λB(u, v) B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) B(u, λv) = λB(u, v)
추가 정보
변수	V: 벡터 공간 K: 스칼라 필드 (일반적으로 실수 또는 복소수)
관련 개념	공액 선형

2. 정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식, 반쌍선형 형식, 대칭 쌍선형 형식, 반대칭 쌍선형 형식, 교대 쌍선형 형식, 에르미트 반쌍선형 형식, 반에르미트 반쌍선형 형식의 정의는 하위 섹션을 참고.

2. 1. 쌍선형 형식과 반쌍선형 형식

가환환

K

위의 가군

V

위의 '''쌍선형 형식'''

B

는 다음과 같은 가군 준동형이다.^[9]^[10]

:

B\colon V\otimes V\to K

여기서

\otimes

는

K

-가군의 텐서곱이다. 즉, 구체적으로 다음 두 조건을 만족시키는 함수

B\colon V\times V\to K

이다.

(왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(au+bv,w)=aB(u,w)+bB(v,w)$
(오른쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)$

가환환

K

가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.

:

\bar{\quad}\colon K\to K

:

\bar{\quad}\circ\bar{\quad}=\operatorname{id}_K

\bar{}

에 대한 '''반쌍선형 형식'''(半雙線型形式, sesquilinear form^영어)

B

는 다음 조건을 만족시키는 함수

B\colon V\times V\to K

이다.

(왼쪽 반선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(au+bv,w)=\bar aB(u,w)+\bar bB(v,w)$
(오른쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$ , $u,v,w\in V$ 에 대하여, $B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)$

일부 문헌에서는 물리학에서는 왼쪽 반선형성 · 오른쪽 선형성을 요구하는 경우가 더 많이 쓰이고, 순수 수학에서는 왼쪽 선형성, 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우가 더 많이 쓰인다. 힐베르트 공간에서는 왼쪽 반선형성 · 오른쪽 선형성을 요구하는 경우가 더 많이 쓰인다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형

\bar{\quad}

가 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

2. 2. 대칭 형식

가환환

K

위의 가군

V

위의 쌍선형 형식

B

에 대하여 다음 조건들이 정의된다.^[9]^[10]

용어	정의
대칭 쌍선형 형식 (對稱雙線型形式, symmetric bilinear form^영어)	$B(u,v)=B(v,u)\qquad\forall u,v\in V$
반대칭 쌍선형 형식 (反對稱雙線型形式, antisymmetric bilinear form, skew-symmetric bilinear form^영어)	$B(u,v)=-B(v,u)\qquad\forall u,v\in V$
교대 쌍선형 형식 (交代雙線型形式, alternating bilinear form^영어)	$B(v,v)=0\qquad\forall v\in V$

$K$ 가 체인 경우, 위 조건들 사이의 관계는 다음과 같다.

$K$ 의 표수가 2가 아닌 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
$K$ 의 표수가 2인 경우: 교대 형식 $\subsetneq$ 반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형

\bar{\quad}

를 갖는 가환환

K

위의 가군

V

위의 반쌍선형 형식

B

에 대하여 다음 조건들이 정의된다.

용어	정의
에르미트 반쌍선형 형식 (Hermite半雙線型形式, Hermitian sesquilinear form^영어)	$B(u,v)=\overline{B(v,u)}\qquad\forall u,v\in V$
반에르미트 반쌍선형 형식 (反Hermite半雙線型形式, anti-Hermitian sesquilinear form^영어)	$B(u,v)=-\overline{B(v,u)}\qquad\forall u,v\in V$

이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다.

만약 $K$ 의 표수가 홀수라면, 에르미트 형식과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. '''교대 반쌍선형 형식'''(alternating sesquilinear form^영어)의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

3. 성질

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 의 '''왼쪽 근기'''(left radical^영어)와 '''오른쪽 근기'''(right radical^영어)는 각각 다음과 같다.

: $\operatorname{rad_L}B=\ker(v\mapsto B(v,-))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(v,u)=0\}$

: $\operatorname{rad_R}B=\ker(v\mapsto B(-,v))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}$

대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 $B$ 의 '''근기'''(radical^영어) $\operatorname{rad}B$ 라고 한다.

쌍선형 형식 $B$ 가 모든 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ 에 대해 $B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0$ 이면 $B(\mathbf{w}, \mathbf{v}) = 0$ 을 만족하면 '''반사적'''(reflexive)이라고 한다. 반사적 쌍선형 형식 $B$ 에 대해, $B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0$ 이면 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ 는 $B$ 에 대해 '''직교'''(orthogonal)한다고 한다. 쌍선형 형식 $B$ 가 반사적이려면, 대칭적이거나 교대적이어야 한다.^[4]

반사성이 없는 경우, 왼쪽 직교성과 오른쪽 직교성을 구별해야 한다. 반사적 공간에서 왼쪽 근기와 오른쪽 근기는 일치하며, 이를 쌍선형 형식의 '''핵'''(kernel) 또는 '''근기'''(radical)라고 한다. 근기는 모든 다른 벡터와 직교하는 모든 벡터의 부분 공간이다.

벡터 $\mathbf{v}$ 의 행렬 표현이 $x$ 이고 쌍선형 형식의 행렬 표현이 $A$ 일 때, $\mathbf{v}$ 가 쌍선형 형식의 근기에 속한다는 것은 $Ax = 0$ (또는 $x^{\text{T}}A = 0$ )인 것과 같다. 근기는 항상 $V$ 의 부분 공간이다. 행렬 $A$ 가 비특이일 때, 즉 쌍선형 형식이 비퇴화일 때만 근기가 자명하다.

$W$ 가 부분 공간일 때, $B$ 에 관한 '''직교 여공간'''^[5] $W^{\perp}$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $W^{\perp} = \{\mathbf{v} \mid B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0 \text{ for all } \mathbf{w} \in W\}$

유한 차원 공간에서 비퇴화 형식의 경우, 사상 $V/W \to W^{\perp}$ 는 전단사이며, $W^{\perp}$ 의 차원은 $\dim(V) - \dim(W)$ 이다.

노름 벡터 공간 (''V'', ‖⋅‖) 위의 쌍선형 형식은 모든 '''u''', '''v''' ∈ ''V''에 대해 다음 부등식을 만족하는 상수 ''C''가 존재하면 '''유계'''라고 한다.

:B('''u''', '''v''') ≤ C ‖'''u'''‖ ‖'''v'''‖

노름 벡터 공간 (''V'', ‖⋅‖) 위의 쌍선형 형식은 모든 '''u''' ∈ ''V''에 대해 다음 부등식을 만족하는 양의 상수 ''c''가 존재하면 '''타원형''' 또는 강제적이라고 한다.

:B('''u''', '''u''') ≥ c ‖'''u'''‖²

3. 1. 비퇴화 형식

체

K

위의 벡터 공간

V

위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식

B

의 근기가

\{0\}

이면,

B

를 '''비퇴화 쌍선형 형식'''(非退化雙線型形式, nondegenerate bilinear form^영어)이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.

:

\forall v\colon\left(\forall w\colon B(v,w)=0\right)\implies v=0

이 경우,

B

를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형

:

i\colon V\to V^*

:

v\mapsto B(v,-)

이 주어진다. (

B

가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만,

B

가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 −1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면

V

는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

유한 차원 벡터 공간

V

의 경우

B_1

또는

B_2

중 하나가 동형 사상이면 둘 다 동형 사상이며 쌍선형 형식

B

는 퇴화 형식이 아니라고 한다. 보다 구체적으로 유한 차원 벡터 공간의 경우 비퇴화는 모든 영이 아닌 원소가 다른 원소와 비자명하게 쌍을 이룬다는 것을 의미한다.

:

B(x,y)=0

모든

y \in V

에 대해

x = 0

을 의미하고,

:

B(x,y)=0

모든

x \in V

에 대해

y = 0

을 의미한다.

가환환 위의 가군에 대한 해당 개념은

V \to V^*

가 동형 사상인 경우 쌍선형 형식이 ''유니모듈러''라는 것이다. 가환환 위의 유한 생성 가군이 주어지면 페어링은 주입적일 수 있지만(따라서 위의 의미에서 "비퇴화") 유니모듈러가 아닐 수 있다. 예를 들어 정수 위에서 페어링

B(x, y) = 2xy

는 비퇴화이지만 유니모듈러가 아닌데,

\mathbb{Z}

에서

\mathbb{Z}

로의 유도된 사상이 2를 곱하는 것이기 때문이다.

V

가 유한 차원인 경우

V

를 이중 쌍대

V^{**}

와 식별할 수 있다. 그런 다음

B_2

가 선형 사상

B_1

의 선형 사상의 전치임을 보일 수 있다.

V

가 유한 차원인 경우

B_1

의 계수는

B_2

의 계수와 같다. 이 숫자가

\dim(V)

와 같으면

B_1

과

B_2

는

V

에서

V^*

로의 선형 동형 사상이다. 이 경우

B

는 비퇴화이다. 계수-영차 정리에 의해 이는 왼쪽 및 등가적으로 오른쪽 근기가 자명하다는 조건과 같다. 유한 차원 공간의 경우 이는 종종 비퇴화성의 ''정의''로 사용된다.

선형 사상

A\colon V \to V^*

가 주어지면 다음과 같이

V

에 대한 쌍선형 형식

B

를 얻을 수 있다.

:

B(v, w) = A(v)(w)

이 형식은

A

가 동형 사상인 경우에만 비퇴화가 된다.

V

가 유한 차원인 경우

V

에 대한 일부 기저와 관련하여 쌍선형 형식은 관련 행렬의 행렬식이 0인 경우에만 퇴화된다. 마찬가지로 비퇴화 형식은 관련 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우이다(행렬은 비특이).

3. 2. 반사성 및 직교성

체

K

위의 벡터 공간

V

위의 쌍선형 형식

B

가 모든

\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V

에 대해

B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0

이면

B(\mathbf{w}, \mathbf{v}) = 0

을 만족하면 '''반사적'''(reflexive)이라고 한다.

반사적 쌍선형 형식

B

에 대해,

B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0

이면

\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V

는

B

에 대해 '''직교'''(orthogonal)한다고 한다. 쌍선형 형식

B

가 반사적이려면, 대칭적이거나 교대적이어야 한다.^[4]

반사성이 없는 경우, 왼쪽 직교성과 오른쪽 직교성을 구별해야 한다. 반사적 공간에서 왼쪽 근기와 오른쪽 근기는 일치하며, 이를 쌍선형 형식의 '''핵'''(kernel) 또는 '''근기'''(radical)라고 한다. 근기는 모든 다른 벡터와 직교하는 모든 벡터의 부분 공간이다.

벡터

\mathbf{v}

의 행렬 표현이

x

이고 쌍선형 형식의 행렬 표현이

A

일 때,

\mathbf{v}

가 쌍선형 형식의 근기에 속한다는 것은

Ax = 0

(또는

x^{\text{T}}A = 0

)인 것과 같다. 근기는 항상

V

의 부분 공간이다. 행렬

A

가 비특이일 때, 즉 쌍선형 형식이 비퇴화일 때만 근기가 자명하다.

W

가 부분 공간일 때,

B

에 관한 '''직교 여공간'''^[5]

W^{\perp}

는 다음과 같이 정의된다.

:

W^{\perp} = \{\mathbf{v} \mid B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0 \text{ for all } \mathbf{w} \in W\}

유한 차원 공간에서 비퇴화 형식의 경우, 사상

V/W \to W^{\perp}

는 전단사이며,

W^{\perp}

의 차원은

\dim(V) - \dim(W)

이다.

3. 3. 유계성과 타원형 형식

노름 벡터 공간 (''V'', ‖⋅‖) 위의 쌍선형 형식은 모든 '''u''', '''v''' ∈ ''V''에 대해 다음 부등식을 만족하는 상수 ''C''가 존재하면 '''유계'''라고 한다.

:B('''u''', '''v''') ≤ C ‖'''u'''‖ ‖'''v'''‖

노름 벡터 공간 (''V'', ‖⋅‖) 위의 쌍선형 형식은 모든 '''u''' ∈ ''V''에 대해 다음 부등식을 만족하는 양의 상수 ''c''가 존재하면 '''타원형''' 또는 강제적이라고 한다.

:B('''u''', '''u''') ≥ c ‖'''u'''‖²

4. 좌표 표현

를 -차원 벡터 공간이라 하고, 를 의 기저라고 하자.

로 정의된 행렬 ''A''는 기저 에 대한 ''쌍선형 형식의 행렬''이라고 한다.

만약 행렬 가 이 기저에 대한 벡터 를 나타내고, 유사하게 행렬 가 다른 벡터 를 나타낸다면, 다음이 성립한다.

: $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^\textsf{T} A\mathbf{y} = \sum_{i,j=1}^n x_i A_{ij} y_j.$

쌍선형 형식은 다른 기저에 대해 서로 다른 행렬을 갖는다. 하지만, 서로 다른 기저에 대한 쌍선형 형식의 행렬은 모두 합동이다. 더 정확히 말하면, 만약 }이 의 다른 기저라면,

: $\mathbf{f}_j=\sum_{i=1}^n S_{i,j}\mathbf{e}_i,$

여기서 $S_{i,j}$ 는 가역 행렬 를 형성한다. 그러면 새로운 기저에 대한 쌍선형 형식의 행렬은 이다.

를 n차원 벡터 공간이라 하고, {'''e'''₁, ..., '''e'''_n}를 이 공간의 기저라고 하자. 행렬 ''A''는 로 정의되며, 벡터 '''v''', '''w'''를 이 기저에 관해 표현하는 행렬을 각각 ''x'', ''y''라고 하면, 다음이 성립한다.

: $B(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = x^\mathrm T Ay = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j$

다른 기저 {'''f'''₁, ..., '''f'''_n}를 선택할 때, 가역 선형 변환 S ∈ GL(''n''; ''F'')가 존재하여,

: $['''f'''$ ₁, …, '''f'''_''n''] = ['''e'''₁, …, '''e'''_''n'']''S''

로 나타낼 수 있으므로, 동일한 쌍선형 형식의 이 기저에 관한 행렬 표현은 에 의해 주어진다.

5. 텐서곱과의 관계

텐서곱의 보편 성질에 의해, 위의 쌍선형 형식과 선형 사상 사이에는 자연스러운 대응 관계가 있다. 가 위의 쌍선형 형식일 때, 이에 해당하는 선형 사상은 다음과 같다.

:

반대로, 가 선형 사상일 때, 이에 해당하는 쌍선형 형식은 를 로 보내는 쌍선형 사상 와 F를 합성하여 얻어진다.

모든 선형 사상 의 집합은 의 쌍대 공간이므로, 쌍선형 형식은 의 원소로 생각할 수 있으며, ( 가 유한 차원일 때) 이는 와 자연스럽게 동형이다.

마찬가지로, 대칭 쌍선형 형식은 ( 의 두 번째 대칭 멱)의 쌍대 공간의 원소로, 교대 쌍선형 형식은 ( 의 두 번째 외멱)의 원소로 생각할 수 있다. 일 경우, 이다.

6. 이차 형식과의 관계

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$ 에 '''대응하는 이차 형식'''(associated quadratic form^영어) $Q_B$ 는 다음과 같은 이차 형식이다.

: $Q_B\colon V\to K$

: $Q_B\colon v\mapsto B(v,v)$

쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 $K$ 의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

$K$ 의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, $B$ 를 대칭 성분과 반대칭 성분

: $B^+(u,v)=\frac12\left(B(u,v)+B(v,u)\right)$

: $B^-(u,v)=\frac12\left(B(u,v)-B(v,u)\right)$

으로 분해할 수 있으며, $B$ 에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 $B^+$ 에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 $Q$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

: $B(u,v)=\frac12\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)$

그렇다면 $Q$ 는 $B$ 에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

$K$ 의 표수가 2인 경우, $1/2$ 를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 $V$ 가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, $V$ 가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

어떤 쌍선형 형식 $B : V \times V \to K$ 에 대해, $Q : V \to K : v \mapsto B(v, v)$ 로 정의되는 관련된 이차 형식 $Q : V \to K$ 가 존재한다.

$\operatorname{char}(K) \ne 2$ 일 때, 이차 형식 $Q$ 는 쌍선형 형식 $B$ 의 대칭 부분에 의해 결정되며 반대칭 부분과는 무관하다. 이 경우, 쌍선형 형식의 대칭 부분과 이차 형식 사이에는 일대일 대응이 존재하며, 이차 형식과 관련된 대칭 쌍선형 형식을 이야기하는 것이 의미가 있다.

$1=\operatorname{char}(K) = 2$ 이고 $\dim V > 1$ 일 때, 이차 형식과 대칭 쌍선형 형식 사이의 이러한 대응은 깨진다.

쌍선형 형식 $B: V \times V \to F$ 에 대해, '''딸림 이차 형식''' $Q_B: V \to F$ 는 $Q_B(v) := B(v, v)$ 로 주어진다.

char(F) ≠ 2일 때, 이차 형식은 이에 딸린 대칭 쌍선형 형식의 용어를 사용하여 정의할 수 있다.

7. 예시

(주어진 원본 소스가 없어 '예시' 섹션은 빈칸으로 남겨둡니다.)

7. 1. 이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식

표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식과 대칭 쌍선형 형식은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어지면 다른 하나는 유일하게 결정된다.

이차 형식

Q

가 주어졌을 때, 다음과 같이 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

:

B(u,v)=\frac12\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)

그러면

Q

는

B

에 대응하는 이차 형식이다.

예를 들어, 2차원 벡터 공간 위의 이차 형식

:

Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2

에 대응하는 쌍선형 형식은 표수가 2가 아닐 때 다음과 같다.

:

B(x,y;x',y')=axx'+\frac12b(x'y+xy')+cyy'=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}

만약 표수가 2라면,

b/2

를 정의할 수 없다. 따라서

b\ne0

이면, 대응하는 쌍선형 형식이 존재하지 않는다.

7. 2. 짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식

K^영어의 표수가 2인 경우, 1/2^영어를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 V^영어가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, V^영어가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응은 더 이상 성립하지 않는다.

표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각할 수 있다.

:B(x,y;x',y')=xx'^영어

이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,

:B(1,0;1,0)=1^영어

이므로 교대 형식이 아니다.

8. 일반화

쌍선형 형식은 벡터 공간뿐만 아니라, 더 일반적인 가군으로 확장될 수 있다. 환 위의 오른쪽 가군 M과 그 쌍대 가군 M^*에 대해, '''쌍선형 형식''' B : M^* × M → R는 다음 성질을 만족하는 매핑이다.

B(u + v, x) = B(u, x) + B(v, x)
B(u, x + y) = B(u, x) + B(u, y)
B(αu, xβ) = αB(u, x)β (여기서 u, v ∈ M^*, x, y ∈ M, α, β ∈ R)

M^* × M에서 ''자연 쌍대(natural pairing)'' (또는 ''표준 쌍선형 형식'')는 ⟨u, x⟩ : M^* × M → R : (u, x) ↦ u(x)로 정의된다.

선형 사상 S : M^* → M^*는 쌍선형 형식 B : M^* × M → R : (u, x) ↦ ⟨S(u), x⟩를 유도하고, 선형 사상 T : M → M는 쌍선형 형식 B : M^* × M → R : (u, x) ↦ ⟨u, T(x)⟩를 유도한다.

반대로, 쌍선형 형식 B : M^* × M → R는 M의 이중 쌍대 M를 이용하여 R-선형 사상 S : M^* → M^* : u ↦ (x ↦ B(u, x))와 T' : M → M : x ↦ (u ↦ B(u, x))를 유도한다.

8. 1. 서로 다른 벡터 공간 쌍

벡터 공간 V와 W가 있을 때, 이 두 벡터 공간에서 체 F로 가는 쌍선형 사상 B는 다음과 같이 정의된다.

: B : V × W → F

이때, V에서 W^*로, W에서 V^*로 가는 선형 사상이 유도된다. 이 사상들이 동형사상이면(유한 차원에서는 하나가 동형사상이면 다른 하나도 동형사상), B는 '''완전 쌍대'''(perfect pairing)라고 한다.

유한 차원에서는 쌍대가 비퇴화인 것과 동치이다. 즉, 공간은 필연적으로 동일한 차원을 갖는다. 그러나 벡터 공간 대신 가군을 사용하는 경우, 비퇴화 쌍은 완전 쌍보다 약한 개념이다. 예를 들어, Z × Z → Z 에서 (x, y) ↦ 2xy 로 정의된 쌍은 비퇴화이지만, Z → Z^* 사상에서 2를 곱하는 것을 유도하므로 완전 쌍은 아니다.

쌍선형 형식의 적용 범위에 따라 용어가 달라지는데, F. 리스 하비는 "여덟 가지 유형의 내적"을 언급하며, 이 중 일부는 심플렉틱 형식 또는 에르미트 형식이다.^[6] 실수, 복소수, 사원수를 사용하는 경우를 명시하고, 쌍선형 형식

:

\sum_{k=1}^p x_k y_k - \sum_{k=p+1}^n  x_k y_k

를 '''실수 대칭 케이스'''라고 하며, R(p, q) (p + q = n)로 표시한다.^[7]

R(n, 0)은 유클리드 공간이다.
R(n−1, 1)은 로렌츠 공간이다.
R(4, 1)은 민코프스키 공간 또는 민코프스키 시공간이다.
R(p, p)는 '''분할 케이스'''이다.

8. 2. 일반 가군

환 위의 오른쪽 -가군 M과 그 쌍대 가군 M^*에 대해, '''쌍선형 형식''' B : M^* × M → R는 다음을 만족하는 매핑이다.

B(u + v, x) = B(u, x) + B(v, x)
B(u, x + y) = B(u, x) + B(u, y)
B(αu, xβ) = αB(u, x)β (모든 u, v ∈ M^*, 모든 x, y ∈ M, 모든 α, β ∈ R)

M^* × M에서 ''자연 쌍대(natural pairing)''(또는 ''표준 쌍선형 형식'')는 ⟨u, x⟩ : M^* × M → R : (u, x) ↦ u(x)로 정의된다.

선형 사상 S : M^* → M^* : u ↦ S(u)는 쌍선형 형식 B : M^* × M → R : (u, x) ↦ ⟨S(u), x⟩를 유도하고, 선형 사상 T : M → M : x ↦ T(x)는 쌍선형 형식 B : M^* × M → R : (u, x) ↦ ⟨u, T(x)⟩를 유도한다.

반대로, 쌍선형 형식 B : M^* × M → R는 M의 이중 쌍대 M를 이용하여, R-선형 사상 S : M^* → M^* : u ↦ (x ↦ B(u, x))와 T' : M → M : x ↦ (u ↦ B(u, x))를 유도한다.

참조

_[1] 웹사이트 Chapter 3. Bilinear forms — Lecture notes for MA1212 https://www.maths.tc[...] 2021-01-16
_[2] 서적
_[3] 서적 Principal Structures and Methods of Representation Theory American Mathematical Society
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 웹인용 쌍1차형식 http://www.nktech.ne[...] 북한과학기술네트워크 2015-09-25
_[9] 서적 An introduction to the theory of groups Springer 1994
_[10] 서적 The finite simple groups Springer 2009

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com