상호작용 묘사

1. 개요

상호작용 묘사는 양자역학적 시스템의 시간 변화를 나타내는 세 가지 주요 묘사 중 하나로, 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사의 중간 형태이다. 이 묘사에서는 상태 벡터와 연산자 모두 시간에 따라 변화하며, 해밀토니안을 단순한 부분과 상호작용 항으로 나눈다. 상호작용 묘사는 섭동 이론을 통해 상호작용 항의 영향을 분석하는 데 유용하며, 페르미의 황금률과 다이슨 급수 유도에 활용된다. 또한, 1947년 토모나가 신이치로와 줄리안 슈윙거는 공변 섭동 이론이 상호작용 묘사에서 효과적으로 공식화될 수 있음을 보였다.

2. 정의

상호작용 묘사는 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사의 중간 형태로, 시간 변화를 상태 벡터와 연산자 양쪽에 분산시킨다.

계의 해밀토니언 $H$를 두 항의 합으로 나타낼 수 있다.

:$H=H\_0+V$.

통상적으로 $H\_0$는 단순하고 간단한 꼴이고, $V$는 쉽게 풀기 힘든 복잡한 꼴(입자 사이의 상호작용 등)이다. 상호작용 묘사에서는 상태 벡터 $|\backslash psi(t)\backslash rangle$는 상호작용항 $V$를 따라 변화하고, 모든 관측가능량 $A$는 $H\_0$을 따라 변화한다.

상호작용 묘사에서의 연산자와 상태 벡터는 단위 변환을 통해 슈뢰딩거 묘사에서의 동일한 연산자와 상태 벡터와 관련된다.

상호작용 묘사로 전환하기 위해, 슈뢰딩거 묘사의 해밀토니안을 두 부분으로 나눈다.

:$H\_\backslash text\{S\}\; =\; H\_\{0,\backslash text\{S\}\}\; +\; H\_\{1,\backslash text\{S\}\}.$

부분의 어떤 선택도 유효한 상호작용 묘사를 생성할 것이다. 그러나 상호작용 묘사가 문제 분석을 단순화하는 데 유용하려면, 일반적으로 H_0,S는 잘 이해되고 정확하게 풀 수 있도록 선택되고, H_1,S는 이 시스템에 대한 분석하기 어려운 어떤 섭동을 포함하도록 선택된다.

해밀토니안이 명시적 시간 의존성을 가지는 경우 (예를 들어, 양자 시스템이 시간에 따라 변하는 인가된 외부 전기장과 상호 작용하는 경우), 명시적으로 시간 의존적인 항을 H_1,S에 포함시키고, H_0,S를 시간 독립적으로 유지하는 것이 보통 유리하다.

:$H\_\backslash text\{S\}(t)\; =\; H\_\{0,\backslash text\{S\}\}\; +\; H\_\{1,\backslash text\{S\}\}(t).$

만약 H_0,S가 시간 의존적인 것이 타당한 맥락이 있다면, 아래 정의에서 $\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash pm\; \backslash mathrm\{i\}\; H\_\{0,\backslash text\{S\}\}\; t/\backslash hbar\}$를 해당 시간-진화 연산자로 대체하여 진행할 수 있다.

상호작용 묘사에서의 연산자와 상태 벡터는 기저의 변경(유니타리 변환)에 의해 슈뢰딩거 묘사에서의 그것들과 관련된다.

상호작용 묘사로 넘어가기 위해, 슈뢰딩거 묘사의 해밀토니안을 와 같이 둘로 나눈다.

만약, 해밀토니안이 명시적으로 시간에 의존하는 경우(예를 들어, 양자계가 시간 변화하는 외부 전장과 상호작용하는 경우), 대개의 경우 에 명시적으로 시간에 의존하는 부분을 포함시키고, 를 시간 비의존적으로 선택하는 것이 편리하다.

2.1. 기본 개념

계의 해밀토니언 $H$를 두 항의 합으로 나타낼 수 있다.

:$H=H\_0+V$.

통상적으로 $H\_0$는 단순하고 간단한 꼴이고, $V$는 쉽게 풀기 힘든 복잡한 꼴(입자 사이의 상호작용 등)이다. 상호작용 묘사에서는 상태 벡터 $|\backslash psi(t)\backslash rangle$는 상호작용항 $V$를 따라 변화하고, 모든 관측가능량 $A$는 $H\_0$을 따라 변화한다.

2.2. 상태 벡터

상호작용 묘사에서의 상태 벡터 $|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I$는 슈뢰딩거 묘사에서의 상태 벡터 $|\backslash psi(t)\backslash rangle\_S$와 다음과 같이 관계한다.

:$|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I\; =\; e^\{iH\_\{0\}t/\backslash hbar\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_S$

여기서 아래첨자 I와 S는 각각 상호작용 묘사와 슈뢰딩거 묘사를 나타낸다. 슈뢰딩거 묘사에서 시간 의존적인 상태 벡터를 $|\backslash psi\_\backslash text\{S\}(t)\backslash rangle\; =\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}H\_\backslash text\{S\}t/\backslash hbar\}|\backslash psi(0)\backslash rangle$라고 할 때, 상호작용 묘사에서의 상태 벡터 $|\backslash psi\_\backslash text\{I\}(t)\backslash rangle$는 추가적인 시간 의존적 유니타리 변환으로 정의된다.

2.3. 연산자

상호작용 묘사의 연산자는 슈뢰딩거 묘사의 연산자와 다음과 같이 관계한다.
:$A\_I\; =\; e^\{iH\_\{0\}t/\backslash hbar\}A\_\{S\}e^\{-iH\_\{0\}t/\backslash hbar\}$
:$A\_\backslash text\{I\}(t)\; =\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{i\}\; H\_\{0,\backslash text\{S\}\}\; t\; /\; \backslash hbar\}\; A\_\backslash text\{S\}(t)\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}\; H\_\{0,\backslash text\{S\}\}\; t\; /\; \backslash hbar\}.$
:$\backslash hat\{A\}\_\backslash mathrm\{I\}(t)\; =\; e^\{i\; \backslash hat\{H\}\_\{0,\; \backslash mathrm\; S\}\; t\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash hat\{A\}\_\backslash mathrm\{S\}(t)\; e^\{-i\; \backslash hat\{H\}\_\{0,\; \backslash mathrm\; S\}\; t\; /\; \backslash hbar\}$

A_S(t)는 일반적으로 t에 의존하지 않으며 단순히 A_S로 다시 쓸 수 있다. 연산자가 "명시적인 시간 의존성"을 가질 경우에만 t에 의존한다. 예를 들어, 시간에 따라 변하는 외부 전기장에 의존하는 경우이다.

2.3.1. 해밀토니안 연산자

자유 해밀토니안 $H\_0$는 상호작용 묘사와 슈뢰딩거 묘사에서 동일하다. 이는 연산자가 자기 자신의 미분 가능한 함수와 교환한다는 사실을 통해 쉽게 알 수 있다. 섭동 해밀토니안 $H\_\{1,\backslash text\{I\}\}$는 일반적으로 시간에 의존하며, 다음과 같이 표현된다.

:$H\_\{1,\backslash text\{I\}\}(t)\; =\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{i\}\; H\_\{0,\backslash text\{S\}\}\; t\; /\; \backslash hbar\}\; H\_\{1,\backslash text\{S\}\}\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash mathrm\{i\}\; H\_\{0,\backslash text\{S\}\}\; t\; /\; \backslash hbar\},$

여기서 상호작용 묘사 섭동 해밀토니안은 [H_1,S, H_0,S] = 0이 아닌 한 시간에 의존하는 해밀토니안이 된다. 시간 의존 해밀토니안 H_0,S(t)에 대해서도 상호작용 묘사를 얻을 수 있지만, 지수 함수는 H_0,S(t)에 의해 생성된 진화에 대한 유니타리 전파 연산자로 대체되어야 한다.

2.3.2. 밀도 행렬

밀도 행렬은 다른 연산자와 마찬가지로 상호작용 묘사에서도 나타낼 수 있다. 특히, $\backslash rho\_I$와 $\backslash rho\_S$를 각각 상호작용 묘사, 슈뢰딩거 묘사에서의 밀도 행렬이라고 하면, 물리적 상태 $|\backslash psi\_n\backslash rang$이 실현될 확률을 $p\_n$라고 했을 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\backslash begin\{align\}$
\rho_\mathrm I(t) &= \sum_n p_n(t) |\psi_{n,\mathrm I}(t)\rang \lang \psi_{n,\mathrm I}(t)|
\\
&= \sum_n p_n(t) e^{i \hat{H}_{0,\mathrm S} t / \hbar} | \psi_{n,\mathrm S}(t) \rang \lang \psi_{n,\mathrm S}(t) | e^{-i \hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar} \\
&= e^{i \hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar} \rho_\mathrm S(t) e^{-i \hat{H}_{0, \mathrm S} t / \hbar}
\end{align}

3. 시간 진행

상태 벡터의 시간에 따른 변화는 다음과 같다.
:$i\backslash hbar\backslash frac\; d\{dt\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I=e^\{iH\_\{0\}t/\backslash hbar\}Ve^\{-iH\_\{0\}t/\backslash hbar\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I$

상호작용 묘사의 V_I = exp(iH₀t/ℏ)Vexp(-iH₀t/ℏ)이므로, 이 변화를 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$i\backslash hbar\backslash frac\; d\{dt\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I=V\_\{I\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I$
이 방정식은 슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안 H를 V_I로 바꾼 꼴과 유사하다.

슈뢰딩거 방정식을 상호작용 그림으로 변환하면 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash mathrm\{i\}\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; |\backslash psi\_\backslash text\{I\}(t)\backslash rang\; =\; H\_\{1,\backslash text\{I\}\}(t)\; |\backslash psi\_\backslash text\{I\}(t)\backslash rang,$

이것은 상호작용 그림에서 양자 상태가 상호작용 그림으로 표현된 해밀토니안의 상호작용 부분에 의해 진화한다는 것을 나타낸다.

슈뢰딩거 묘사에서 상호작용 묘사로의 변환을 통해 다음을 얻는다.

:$i\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; |\; \backslash psi\_\backslash mathrm\{I\}\; (t)\; \backslash rang\; =\; \backslash hat\{H\}\_\{1,\; \backslash mathrm\; I\}(t)\; |\; \backslash psi\_\backslash mathrm\{I\}\; (t)\; \backslash rang$

이 방정식은 토모나가-슈윙거 방정식으로 알려져 있다.

연산자의 시간에 따른 변화는 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\; i\backslash hbar\backslash frac\; d\{dt\}A\_\{I\}=[A\_\{I\},\; H\_0]+\backslash mathrm\; i\backslash hbar\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}A\_\{I\}$.

3.1. 상태 벡터의 시간 변화

상태 벡터의 시간에 따른 변화는 다음과 같다.
:$i\backslash hbar\backslash frac\; d\{dt\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I=e^\{iH\_\{0\}t/\backslash hbar\}Ve^\{-iH\_\{0\}t/\backslash hbar\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I$

상호작용 묘사의 V_I = exp(iH₀t/ℏ)Vexp(-iH₀t/ℏ)이므로, 이 변화를 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$i\backslash hbar\backslash frac\; d\{dt\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I=V\_\{I\}|\backslash psi(t)\backslash rangle\_I$
이 방정식은 슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안 H를 V_I로 바꾼 꼴과 유사하다.

슈뢰딩거 방정식을 상호작용 그림으로 변환하면 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash mathrm\{i\}\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; |\backslash psi\_\backslash text\{I\}(t)\backslash rang\; =\; H\_\{1,\backslash text\{I\}\}(t)\; |\backslash psi\_\backslash text\{I\}(t)\backslash rang,$

이것은 상호작용 그림에서 양자 상태가 상호작용 그림으로 표현된 해밀토니안의 상호작용 부분에 의해 진화한다는 것을 나타낸다.

슈뢰딩거 묘사에서 상호작용 묘사로의 변환을 통해 다음을 얻는다.

:$i\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; |\; \backslash psi\_\backslash mathrm\{I\}\; (t)\; \backslash rang\; =\; \backslash hat\{H\}\_\{1,\; \backslash mathrm\; I\}(t)\; |\; \backslash psi\_\backslash mathrm\{I\}\; (t)\; \backslash rang$

이 방정식은 토모나가-슈윙거 방정식으로 알려져 있다.

연산자의 시간에 따른 변화는 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\; i\backslash hbar\backslash frac\; d\{dt\}A\_\{I\}=[A\_\{I\},\; H\_0]+\backslash mathrm\; i\backslash hbar\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}A\_\{I\}$.

3.2. 연산자의 시간 변화

상호작용 묘사에서 연산자의 시간에 따른 변화는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\; i\backslash hbar\backslash frac\; d\{dt\}A\_\{I\}=[A\_\{I\},\; H\_0]+\backslash mathrm\; i\backslash hbar\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}A\_\{I\}$

만약 연산자 A_S가 시간에 무관하다면(즉, "명시적인 시간 의존성"을 갖지 않는다면), 이에 해당하는 A_I(t)의 시간 전개는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathrm\{i\}\backslash hbar\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}A\_\backslash text\{I\}(t)\; =\; [A\_\backslash text\{I\}(t),H\_\{0,\backslash text\{S\}\}].$

상호작용 그림에서 연산자는 하이젠베르크 그림의 연산자와 같이 시간적으로 변화하며, 해밀토니안은 H'=H₀이다.

3.3. 밀도 행렬의 시간 변화

상호작용 묘사에서 밀도 행렬의 시간 변화는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{i\}\backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash rho\_\backslash text\{I\}(t)\; =\; [H\_\{1,\backslash text\{I\}\}(t),\; \backslash rho\_\backslash text\{I\}(t)],$

이는 상호작용 그림에서의 슈뢰딩거 방정식과 일치한다. 폰 노이만 방정식을 상호작용 묘사로 나타내면 위와 같은 식을 얻을 수 있다.

4. 슈빙거-토모나가 방정식

상호작용 묘사라는 용어는 슈윙거(Schwinger)에 의해 만들어졌다. 이 새로운 혼합 표기법에서 상태 벡터는 일반적으로 더 이상 일정하지 않지만, 필드 간의 결합이 없는 경우에는 일정하게 유지된다. 이러한 표기법의 변화는 직접적으로 토모나가-슈윙거 방정식으로 이어진다.

:$ihc\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash Psi[\backslash sigma]\}\{\backslash partial\; \backslash sigma(x)\}\; =\; \backslash hat\{H\}(x)\backslash Psi(\backslash sigma)$

:$\backslash hat\{H\}(x)\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; j\_\{\backslash mu\}(x)\; A^\{\backslash mu\}(x)$

여기서 이 경우의 해밀토니안은 QED 상호작용 해밀토니안이지만, 일반적인 상호작용이 될 수도 있으며, $\backslash sigma$는 점 $x$를 통과하는 공간 유사 표면이다. 미분은 형식적으로 $x$가 고정된 상태에서 해당 표면에 대한 변화를 나타낸다. 이 방정식에 대한 정확한 수학적 형식적 해석을 제공하기는 어렵다.

이 접근 방식은 슈윙거(Schwinger)에 의해 '미분' 및 '장' 접근법이라고 불리며, 이는 파인만 도표의 '적분' 및 '입자' 접근법과 대조된다.

핵심 아이디어는 상호작용이 작은 결합 상수(예: 전자기학의 경우 미세 구조 상수의 정도)를 가지면 연속적인 섭동 항이 결합 상수의 거듭제곱이 되어 작아진다는 것이다.

5. 활용

상호작용 묘사는 해결된 시스템의 해밀토니안 H_0,S에 작은 상호작용 항 H_1,S가 추가되는 영향을 고려할 때 편리하다. 상호작용 묘사를 이용하면 시간 의존 섭동 이론을 사용하여 H_1,I의 영향을 찾을 수 있다. 예를 들어, 페르미의 황금률 또는 양자장론의 다이슨 급수를 유도하는 데 사용할 수 있다. 1947년, 토모나가 신이치로와 줄리안 슈윙거는 공변 섭동 이론이 상호작용 묘사에서 우아하게 공식화될 수 있음을 보였다.

장의 양자론에서도 상호작용 묘사가 사용된다. 상호작용 묘사에서는 연산자의 시간 의존성은 자유 해밀토니안 H₀에 의해서만 발생하며, 상호작용에 의해 변하는 부분은 상태 벡터 안에 있다. 따라서 H₁이 0이라면 상태 벡터는 시간에 의존하지 않으며, 상호작용 묘사는 하이젠베르크 묘사와 같다. 상호작용 묘사의 편리한 점은, 상호작용이 있는 경우에도 장의 연산자가 자유장의 방정식을 만족시키는 것이며, 장의 전개가 그대로 사용될 수 있다는 점이다.

6. 묘사 간 비교

시간에 무관한 해밀토니안 H_S에 대해, 여기서 H_0,S는 자유 해밀토니안이다.