파울리 배타 원리

3. 양자 상태 대칭성과의 관계 (영어판)

파울리 배타 원리는 여러 입자의 파동 함수가 입자 교환에 대해 반대칭이어야 한다는 요구와 동일하다. 단일 입자계를 기술하는 힐베르트 공간의 기저 벡터를 $|x\backslash rangle$, $|y\backslash rangle$로 나타낼 때, 두 입자계의 상태는 기저 벡터들의 중첩(합)으로 표현할 수 있다.

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|\psi\rangle = \sum_{x,y} A(x,y) |x,y\rangle,



여기서 $A(x,\; y)$는 각 기저 벡터에 대응하는 복소수 스칼라 계수이다. 입자 교환에 대한 반대칭성은 $A(x,\; y)\; =\; -A(y,\; x)$를 의미하며, 이는 $x\; =\; y$일 때 $A(x,\; y)\; =\; 0$임을 뜻한다. 즉, 두 페르미온은 같은 양자 상태를 가질 수 없다는 파울리 배타 원리가 성립한다. 이는 국소적인 기저 변환에도 반대칭 행렬은 반대칭으로 유지되므로 모든 기저에서 참이다.

반대로, 모든 기저에서 대각 요소 $A(x,\; x)$가 0이라면, 파동 함수 성분 $A(x,y)=\backslash langle\backslash psi|x,y\backslash rangle=\backslash langle\backslash psi|\backslash Big(|x\backslash rangle\backslash otimes|y\backslash rangle\backslash Big)$은 반드시 반대칭이다. 이는 두 입자가 중첩 상태 $|x\backslash rangle\; +\; |y\backslash rangle$에 모두 있을 확률이 0임을 이용하여 증명할 수 있다.

:$$

\langle \psi |x,x\rangle + \langle \psi |x,y\rangle + \langle \psi |y,x\rangle + \langle \psi | y,y \rangle = 0



위 식에서 첫 번째와 마지막 항은 대각 요소이므로 0이고, 전체 합도 0이므로, $A(x,y)\; =\; -A(y,x)$가 성립한다.

$n$개의 입자를 갖는 계의 경우, 다입자 기저 상태는 단일 입자 기저 상태의 $n$중 텐서 곱으로 표현되고, 파동 함수 $A(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n)$의 계수는 $n$개의 단일 입자 상태로 식별된다. 반대칭성 조건은 임의의 두 상태를 교환할 때마다 계수가 부호를 바꿔야 함을 의미한다. 즉, 임의의 $i\; \backslash ne\; j$에 대해 $A(\backslash ldots,\; x\_i,\; \backslash ldots,\; x\_j,\; \backslash ldots)\; =\; -A(\backslash ldots,\; x\_j,\; \backslash ldots,\; x\_i,\; \backslash ldots)$이다. 따라서 파울리 배타 원리에 의해, 임의의 $i\; \backslash ne\; j$에 대해 $x\_i\; =\; x\_j$라면 $A(\backslash ldots,\; x\_i,\; \backslash ldots,\; x\_j,\; \backslash ldots)\; =\; 0$이 된다. 이는 $n$개의 입자 중 어느 것도 같은 상태에 있을 수 없음을 의미한다.

3. 1. 페르미 입자와 보스 입자 (일본어판)

• $\backslash mathit\{C\}=-1$인 경우: 전자, 양성자, 중성자
• $\backslash mathit\{C\}=+1$인 경우: 광자

4. 응용

파울리 배타 원리는 다양한 물리 현상을 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 특히 원자의 전자 껍질 구조와 원자가 전자를 공유하는 방식을 설명하여, 다양한 화학 원소와 그 화학적 결합을 이해하는 데 기여한다. 또한, 고체의 여러 가지 특성과 물질의 안정성, 그리고 백색왜성이나 중성자별과 같은 천체 물리학적 현상도 파울리 배타 원리로 설명할 수 있다.^{[10][13][16][19]}

전자는 페르미온이므로 다른 전자와 같은 양자 상태를 차지할 수 없다. 따라서 전자들은 원자 내에서 "쌓여야" 하며, 서로 다른 스핀을 가지면서 같은 전자 궤도에 존재하게 된다. 도체와 반도체에서는 매우 많은 수의 분자 궤도함수가 존재하여 에너지 준위의 연속적인 전자 띠 구조를 형성한다. 강한 도체(금속)에서는 전자가 매우 축퇴되어 금속의 열용량에 거의 기여하지 못한다.^[13]

물질의 안정성 측면에서, 파울리 배타 원리는 덩어리 물질이 안정적으로 부피를 차지하는 이유를 설명한다.^[16] 같은 스핀의 전자는 척력적인 교환 상호 작용에 의해 분리되는데, 이는 단거리 효과로 장거리 정전기력 또는 쿨롱 힘과 동시에 작용한다.

천체 물리학에서 파울리 배타 원리는 중성자별과 같이 강한 자기장에서도 안정성을 유지하는 이유를 설명한다.^[19] 백색왜성과 중성자별에서 별들은 축퇴압(페르미 압력)에 의해 정역학적 평형 상태를 유지한다.

4. 1. 원자 (영어판)

4. 2. 고체 상태 성질 (영어판)

4. 3. 물질의 안정성 (영어판)

4. 4. 천체 물리학 (영어판)

5. 다전자 원자계 (일본어판)

다전자 원자계는 여러 개의 전자를 포함하고 있다. 이 전자들은 서로 영향을 주고받기 때문에, 다전자 원자계를 정확하게 기술하는 것은 매우 어려운 문제이다. 이러한 다전자 원자계의 문제를 해결하기 위해 하트리 근사, 하트리-포크 근사와 같은 근사적인 방법이 사용된다.

5. 1. 하트리 근사 (일본어판)

5. 2. 2전자 원자 (일본어판)

• '''좌표 $\backslash xi\_1,\backslash xi\_2$를 교환하면 행이 교환되어 행렬식의 부호가 바뀐다 $\backslash Rightarrow$ 반대칭성을 만족한다'''
• '''양자수 $a,b$가 일치하면 두 열이 일치하므로 행렬식이 0이 된다 $\backslash Rightarrow$ 파동 함수가 존재하지 않는다'''

5. 3. N전자 원자 (일본어판)

6. 슬레이터 행렬식을 통한 증명 (일본어판)

슬레이터 행렬식은 행렬식의 성질을 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

• 두 행을 바꾸면 (전자 $\backslash mathit\{i\},\backslash mathit\{j\}$의 좌표 $\backslash xi\_\backslash mathit\{i\},\backslash xi\_\backslash mathit\{j\}$를 바꾸면) 행렬식은 -1배가 된다. ($\backslash Rightarrow$ 반대칭성을 만족한다)
• 양자수가 일치하고 두 열이 같으면 행렬식은 0이 된다. ($\backslash Rightarrow$ 파동 함수가 존재하지 않는다)

참조

_[1] 웹사이트 Wolfgang Pauli during a lecture in Copenhagen http://cds.cern.ch/r[...] 2023-09-11
_[2] 서적 Introductory Nuclear Physics Wiley 1987-11-05
_[3] 웹사이트 Linus Pauling and The Nature of the Chemical Bond: A Documentary History http://scarc.library[...] Special Collections & Archives Research Center - Oregon State University
_[4] 논문 The Arrangement of Electrons in Atoms and Molecules http://www.physics.k[...] 2008-09-01
_[5] 서적 The Life of Stars: The Controversial Inception and Emergence of the Theory of Stellar Structure Springer 2010
_[6] 논문 The Role of the Exclusion Principle for Atoms to Stars: A Historical Account 2004
_[7] 논문 Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren
_[8] 웹사이트 Wolfgang Pauli, Nobel lecture (December 13, 1946) https://www.nobelpri[...]
_[9] 논문 Pauli principle for one-dimensional bosons and the algebraic Bethe ansatz http://insti.physics[...] 1982-07
_[10] 서적 Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) Prentice Hall
_[11] 논문 Predicted energy shifts for "paronic" Helium https://scholar.uwin[...]
_[12] 논문 Search for small violations of the symmetrization postulate in an excited state of Helium
_[13] 서적 Introduction to Solid State Physics John Wiley & Sons, Inc.
_[14] arXiv The Stability of Matter and Quantum Electrodynamics
_[15] 혼합 Quantum Mechanics and Its Emergent Macrophysics Princeton University Press
_[16] 논문
_[17] 논문
_[18] 논문 Ground-State Energy of a Finite System of Charged Particles
_[19] 논문 Stability of Matter in Magnetic Fields
_[20] 서적 The Universe: A View from Classical and Quantum Gravity John Wiley & Sons 2012-11-05
_[21] 웹사이트 パウリの原理とは https://kotobank.jp/[...] 2020-10-15
_[22] 논문 Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren
_[23] 저널 Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons
_[24] 저널 Spinning Electrons and the Structure of Spectra
_[25] 간행물 천문학용어집 한국천문학회
_[26] 저널 Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt