선형 보간법

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 공식
- 2.2. 일반화
3. 역사
4. 특징
5. 확장
6. 응용 분야
7. 오차
참조

1. 개요

선형 보간법은 두 점 사이를 잇는 직선을 사용하여 그 사이의 값을 추정하는 방법이다. 주어진 두 점 $(x_0, y_0)$ 과 $(x_1, y_1)$ 에 대해, 선형 보간법은 $x$ 값에 해당하는 $y$ 값을 계산하는 데 사용되며, 이는 가중 평균으로도 이해할 수 있다. 이 방법은 간단한 계산으로 값을 근사할 수 있지만, 함수의 2차 도함수가 클수록 오차가 커진다. 선형 보간법은 컴퓨터 그래픽스에서 lerp 연산으로 널리 사용되며, 텍스처 필터링, 알파 블렌딩 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한, 2차원에서는 쌍선형 보간법, 3차원에서는 삼선형 보간법으로 확장하여 사용될 수 있다. 선형 보간법은 고대부터 표의 빈칸을 채우는 데 사용되었으며, 컴퓨터 그래픽스 및 프로그래밍 분야에서 널리 사용되고 있다.

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선형 보간법

2. 정의

예를 들어, 오른쪽 그림과 같이, 두 끝점 $(x_0, y_0)$ 와 $(x_1, y_1)$ 가 주어져 있을 때, 그 사이에 위치한 $(x, y)$ 의 값을 추정하기 위해 두 점 사이에 직선을 긋고 다음과 같은 비례식을 구성할 수 있다.

: $\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

이 수식을 풀면, 어떤 주어진 값 $x$ 에 대한 $y$ 값을 다음과 같이 구할 수 있다.

: $y = y_0 + (y_1-y_0)\frac{x - x_0}{x_1-x_0}$

두 개의 알려진 점이 좌표 $(x_0,y_0)$ 및 $(x_1,y_1)$ 으로 주어지면, '''선형 보간법'''은 이 점들 사이의 직선이다. $(x_0, x_1)$ 구간의 값 $x$ 에 대해, 직선을 따른 값 $y$ 는 기울기의 방정식에서 주어집니다.

$\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0},$

이것은 오른쪽 그림에서 기하학적으로 유도될 수 있다. 이것은 $n = 1$ 인 다항식 보간법의 특별한 경우이다.

$x$ 에서 알려지지 않은 값인 $y$ 에 대한 이 방정식을 풀면,

$\begin{align}y &= y_0 + (x-x_0)\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\&= \frac{y_0(x_1-x_0)}{x_1-x_0} + \frac{y_1(x - x_0)-y_0(x - x_0)}{x_1 - x_0}\\&= \frac{y_1x - y_1x_0-y_0x + y_0x_0 + y_0x_1-y_0x_0}{x_1 - x_0} \\&= \frac{y_0(x_1 - x)+y_1(x - x_0)}{x_1 - x_0},\end{align}$

이것은 $(x_0,x_1)$ 구간에서 선형 보간법 공식이다. 이 구간 밖에서는 이 공식은 선형 외삽법과 동일하다.

이 공식은 가중 평균으로도 이해할 수 있다. 가중치는 알려지지 않은 점까지의 끝점으로부터의 거리에 반비례하며, 가까운 점이 더 먼 점보다 더 많은 영향을 미친다. 따라서 가중치는 $1 - (x-x_0)/(x_1-x_0)$ 및 $1 - (x_1-x)/(x_1-x_0)$ 이며, 이는 알려지지 않은 점과 각 끝점 사이의 정규화된 거리이다. 이들의 합이 1이므로,

$\begin{align}y &= y_0 \left(1 - \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\right) + y_1 \left(1 - \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}\right) \\&= y_0 \left(1 - \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\right) + y_1 \left(\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\right) \\&= y_0 \left(\frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}\right) + y_1 \left(\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\right)\end{align}$

위에서 주어진 선형 보간법의 공식을 얻는다.

데이터 점 집합 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$ 에 대한 선형 보간법은 구간별 선형으로 정의되며, 각 데이터 점 쌍 사이의 선형 세그먼트 보간법의 연결로 나타난다. 이는 불연속적인 도함수를 갖는 (일반적으로) 연속 곡선을 생성하며, 미분 가능 클래스는 $C^0$ 이다.

선형 보간은 다른 점에서의 해당 함수의 두 개의 알려진 값을 사용하여 어떤 함수 $f$ 의 값을 근사하는 데 자주 사용된다. 이 근사의 ''오차''는 다음과 같이 정의된다.

$R_T = f(x) - p(x),$

여기서 $p$ 는 위에서 정의된 선형 보간 다항식을 나타낸다.

$p(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0).$

만약 $f$ 가 연속적인 2차 도함수를 가진다면, 오차는 다음과 같이 제한된다는 것이 롤의 정리를 사용하여 증명될 수 있다.

$|R_T| \leq \frac{(x_1 - x_0)^2}{8} \max_{x_0 \leq x \leq x_1} \left|f''(x)\right|.$

즉, 주어진 함수에서 두 점 사이의 근사는 근사되는 함수의 2차 도함수와 함께 나빠진다. 이것은 직관적으로도 옳다: 함수가 "더 굽을수록", 간단한 선형 보간으로 만들어진 근사가 더 나빠진다.

좌표 $(x_0, y_0)$ 와 $(x_1, y_1)$ 이 있다고 가정하자. 여기서,

$[x_0, x_1]$ 사이에 있는 $x$ 가 주어졌을 때, 이 선상에 있는 점을 얻고 싶다고 하자. 그림을 자세히 보면 다음을 알 수 있다.

: $\frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}. \,\!$

양변과 같은 값을 $\alpha$ 라고 하자. 이것은 '''보간 계수'''이다.

이것은, $x_0$ 에서 $x_1$ 까지의 거리와 $x$ 에 해당하는 점까지 이동한 거리의 비이다.

$x$ 에 들어갈 값을 알면, 다음 식에 의해 $\alpha$ 를 얻을 수 있다.

: $\alpha = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}. \,\!$

또한, 다음 식도 성립한다.

: $\alpha = \frac{y-y_0}{y_1-y_0} \,\!$

이 식을 대수적으로 조작하면 다음 두 식 중 하나를 얻을 수 있다.

: $y = (1 - \alpha) y_0 + \alpha y_1 \,\!$

: $y = y_0 + \alpha (y_1-y_0)\,\!$

이 식으로부터, $\alpha$ 의 값을 계산하면 직접 $y$ 의 값을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다. 이 식은 $x$ 가 $x_0$ 과 $x_1$ 사이에 없어도 성립한다. 그렇기 때문에, $\alpha$ 는 0에서 1 사이에 있지 않을 수 있지만, 그 경우, 일반적으로 ''비율''이라고는 부르지 않는다. 그 경우에는 '''선형 외삽법'''이라고 불린다.

$y$ 가 이미 알려져 있고 $x$ 를 알고 싶을 경우, $x$ 와 $y$ 를 교환하여 완전히 동일한 절차를 따르면 된다.

이것은 더 복잡한 보간 알고리즘에는 없는 특징이다.

2. 1. 공식

두 점

(x_0, y_0)

와

(x_1, y_1)

가 주어졌을 때, 선형 보간법은 이 두 점 사이를 잇는 직선을 구하는 것이다.

x

값이

(x_0, x_1)

구간에 있을 때, 직선상의

y

값은 다음의 기울기 방정식을 통해 구할 수 있다.

:

\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}

이것은 기하학적으로 유도될 수 있으며,

n = 1

인 다항식 보간법의 특수한 경우이다.

위 식을

y

에 대해 풀면,

:

y = y_0 + (x-x_0)\frac{y_1 - y_0}{x_1-x_0} = \frac{y_0(x_1 - x)+y_1(x - x_0)}{x_1 - x_0}

를 얻는다. 이 공식은

(x_0,x_1)

구간에서의 선형 보간법 공식이며, 이 구간 밖에서는 선형 외삽법과 동일하다.

이 공식은 가중 평균으로도 이해할 수 있다. 가중치는 알려지지 않은 점까지의 끝점으로부터의 거리에 반비례하여, 가까운 점이 더 먼 점보다 더 많은 영향을 미친다. 가중치는

1 - (x-x_0)/(x_1-x_0)

및

1 - (x_1-x)/(x_1-x_0)

이며, 이들의 합은 1이다. 따라서,

:

y = y_0 \left(1 - \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\right) + y_1 \left(1 - \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}\right) = y_0 \left(\frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}\right) + y_1 \left(\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\right)

와 같이 표현할 수 있다.

\frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}

에서 양변의 값을 보간 계수

\alpha

라고 하면,

\alpha = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}

이다. 이를 통해 다음 식을 유도할 수 있다.

:

y = (1 - \alpha) y_0 + \alpha y_1

또는

y = y_0 + \alpha (y_1-y_0)

\alpha

값이 0과 1 사이에 있지 않은 경우, 이 방법은 외삽법이라 불린다.

2. 2. 일반화

일반적으로 두 지점

p_1, p_2

에서의 데이터 값이 각각

f(p_1), f(p_2)

일 때,

p_1, p_2

사이의 임의의 지점

p

에서의 데이터 값

f(p)

는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

f(p) = \frac{d_2}{d_1+d_2}f(p_1) + \frac{d_1}{d_1+d_2}f(p_2)

단,

d_1

은

p

에서

p_1

까지의 거리,

d_2

는

p

에서

p_2

까지의 거리를 말한다.

만일 거리의 비를 합이 1이 되도록 정규화하면 (

d1+d2=1

) 위 식은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

:

f(p) = {d_2} f(p_1) + {d_1} f(p_2)

선형 보간법은 1차원 공간의 데이터 점에 적용된다. 2차원 공간의 경우 쌍선형 보간법, 3차원에서는 삼선형 보간법이라고 한다. 그러나 이러한 보간법은 더 이상 공간 좌표의 선형 함수가 아니라 선형 함수의 곱이라는 점에 유의해야 한다. 이는 쌍선형 보간법의 비선형 예시로 설명된다.

선형 보간법의 다른 확장은 베지어 곡면을 포함하여 삼각형 및 사면체 메시와 같은 다른 종류의 메시에 적용될 수 있다. 이는 실제로 더 높은 차원의 구간별 선형 함수로 정의될 수 있다.

요구되는 상황에 따라 선형 보간은 종종 충분히 정확하지 않을 수 있다. 이 경우 (2차 이상, 통상 3차) 다항식 보간 또는 스플라인 보간으로 대체할 수 있다.

선형 보간은 또한 2변수 함수를 위한 쌍선형 보간으로 확장할 수 있다. 쌍선형 보간은 종종 조잡한 안티앨리어싱 필터로도 사용된다. 유사한 것으로 트라이선형 보간/Trilinear interpolation^영어이 있으며, 이는 3변수 함수를 보간하기 위해 사용된다. 선형 보간의 다른 확장으로는 삼각형이나 정사면체 메쉬와 같은 다른 망상 구조에 적용된다.

3. 역사

선형 보간법은 표의 빈칸을 채우기 위해 고대부터 사용되어 왔다. 예를 들어 특정 국가의 인구수를 1970년, 1980년, 1990년, 2000년으로 나열한 표가 있고 1994년의 인구수를 추정할 때, 선형 보간법은 이를 수행하는 쉬운 방법이다. 이는 셀레우코스 제국 (기원전 3세기)과 그리스의 천문학자이자 수학자인 히파르코스 (기원전 2세기)에 의해 사용된 것으로 여겨진다. 선형 보간법에 대한 설명은 기원전 200년에서 서기 100년 사이에 작성된 고대 중국 수학 텍스트인 ''구장산술''(九章算術)^[1]과 프톨레마이오스의 ''알마게스트''(서기 2세기)에서 찾을 수 있다.

두 값 사이의 선형 보간법의 기본적인 연산은 컴퓨터 그래픽스에서 흔히 사용된다. 이 분야의 전문 용어로는 때때로 '''lerp''' ('''l'''inear int'''erp'''olation에서 유래)라고 불린다. 이 용어는 해당 연산에 대한 동사 또는 명사로 사용될 수 있다. 예를 들어 "브레젠험의 알고리즘은 선의 두 끝점 사이를 점진적으로 lerp 한다."

Lerp 연산은 모든 현대 컴퓨터 그래픽스 프로세서의 하드웨어에 내장되어 있다. 이는 종종 더 복잡한 연산을 위한 구성 요소로 사용된다. 예를 들어, 쌍선형 보간은 세 번의 lerp로 수행할 수 있다. 이 연산은 비용이 저렴하기 때문에 너무 많은 표 항목 없이 빠른 조회를 통해 정확한 룩업 테이블을 구현하는 좋은 방법이며, 매끄러운 함수에 유용하다.

4. 특징

선형 보간은 다른 점에서의 해당 함수의 두 개의 알려진 값을 사용하여 어떤 함수의 값을 근사하는 데 자주 사용된다. 이 근사의 ''오차''는 다음과 같이 정의된다.

: $R_T = f(x) - p(x),$

여기서 ''p''는 위에서 정의된 선형 보간 다항식을 나타낸다.

: $p(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0).$

만약 ''f''가 연속적인 2차 도함수를 가진다면, 오차는 다음과 같이 제한된다는 것이 롤의 정리를 사용하여 증명될 수 있다.

: $|R_T| \leq \frac{(x_1 - x_0)^2}{8} \max_{x_0 \leq x \leq x_1} \left|f''(x)\right|.$

즉, 주어진 함수에서 두 점 사이의 근사는 근사되는 함수의 2차 도함수와 함께 나빠진다. 이것은 직관적으로도 옳다: 함수가 "더 굽을수록", 간단한 선형 보간으로 만들어진 근사가 더 나빠진다.

계산 복잡도가 매우 적다. 일반적으로 스플라인 보간은 연립 방정식을 풀지만, 1차에서는 예외적으로 그럴 필요가 없어 계산량은 $O(n)$ 에 불과하다.

연속이지만, 구간적으로만 매끄럽고, 도함수 및 고차 도함수는 일반적으로 불연속이다(일반적으로, ''n'' 차 보간은 ''n'' - 1차 도함수까지 연속이다). 연속성에 의해, 원본 데이터에 없는 값이 나타난다(다만 이것은, 최근접 이웃 보간이나 특수한 알고리즘 외에 공통적인 특징이다). 또한 도함수가 불연속이므로, 원본 데이터의 기울기가 크게 변화하는 부근에서, 고조파가 발생해 버린다.

단조성이 유지된다. 즉, 원본 데이터가 단조 증가하면 보간 결과도 단조 증가한다(단조 감소도 마찬가지). 이 때문에, 오버슈트 (원본 데이터의 기울기가 크게 증가하기 직전에 보간 결과가 조금 감소하는 것, 또는 그 반대)가 없다.

5. 확장

선형 보간법은 1차원 직선상에서 이루어지는 보간법이다. 이를 2차원으로 확장하여 평면에 적용한 것이 이중 선형 보간법이고, 3차원으로 확장하여 입방체에 적용한 것이 삼중 선형 보간법이다. 그러나 이러한 보간법은 더 이상 공간 좌표의 선형 함수가 아니라 선형 함수의 곱이라는 점에 유의해야 한다. 이는 에서 쌍선형 보간법의 비선형 예시로 설명된다.

선형 보간법의 다른 확장은 베지어 곡면을 포함하여 삼각형 및 사면체 메시와 같은 다른 종류의 메시에 적용될 수 있다. 이는 실제로 더 높은 차원의 구간별 선형 함수로 정의될 수 있다( 참조).

요구되는 상황에 따라 선형 보간은 종종 충분히 정확하지 않을 수 있다. 이 경우 (2차 이상, 통상 3차) 다항식 보간 또는 스플라인 보간으로 대체할 수 있다.

선형 보간은 또한 2변수 함수를 위한 쌍선형 보간으로 확장할 수 있다. 쌍선형 보간은 종종 조잡한 안티앨리어싱 필터로도 사용된다. 유사한 것으로 트라이선형 보간/Trilinear interpolation^영어이 있으며, 이는 3변수 함수를 보간하기 위해 사용된다. 선형 보간의 다른 확장으로는 삼각형이나 정사면체 메쉬와 같은 다른 망상 구조에 적용된다.

6. 응용 분야

선형 보간법은 표의 빈칸을 채우기 위해 고대부터 사용되어 왔다. 예를 들어 어떤 국가의 1970년, 1980년, 1990년, 2000년의 인구수를 나열한 표가 있고, 1994년의 인구수를 추정하고자 할 때, 선형 보간법은 이를 수행하는 쉬운 방법이다.^[1] 이는 셀레우코스 제국 (기원전 3세기)과 그리스의 천문학자이자 수학자인 히파르코스 (기원전 2세기)에 의해 사용된 것으로 여겨진다. 선형 보간법에 대한 설명은 기원전 200년에서 서기 100년 사이에 작성된 고대 중국 수학 텍스트인 ''구장산술''과 프톨레마이오스의 ''알마게스트''(서기 2세기)에서 찾을 수 있다.^[1]

두 값 사이의 선형 보간법의 기본적인 연산은 컴퓨터 그래픽스에서 흔히 사용된다. 이 분야의 전문 용어로는 때때로 '''lerp''' ('''l'''inear int'''erp'''olation에서 유래)라고 불린다. 이 용어는 해당 연산에 대한 동사 또는 명사로 사용될 수 있다. 예를 들어 "브레젠험의 알고리즘은 선의 두 끝점 사이를 점진적으로 lerp 한다."와 같이 사용된다.

Lerp 연산은 모든 현대 컴퓨터 그래픽스 프로세서의 하드웨어에 내장되어 있다. 이는 종종 더 복잡한 연산을 위한 구성 요소로 사용된다. 예를 들어, 쌍선형 보간은 세 번의 lerp로 수행할 수 있다. 이 연산은 비용이 저렴하기 때문에 너무 많은 표 항목 없이 빠른 조회를 통해 정확한 룩업 테이블을 구현하는 좋은 방법이며, 매끄러운 함수에 유용하다.

6. 1. 컴퓨터 그래픽스

선형 보간법의 기본적인 연산은 컴퓨터 그래픽스에서 흔히 사용되며, '''lerp'''(linear interpolation의 약자)라고도 불린다. 이 용어는 동사 또는 명사로 사용될 수 있다.^[1] 예를 들어, "브레젠험의 알고리즘은 선의 두 끝점 사이를 점진적으로 lerp 한다."와 같이 사용된다.

Lerp 연산은 모든 현대 컴퓨터 그래픽스 프로세서의 하드웨어에 내장되어 있으며, 더 복잡한 연산을 위한 구성 요소로 사용된다. 예를 들어, 쌍선형 보간은 세 번의 lerp로 수행할 수 있다. 이 연산은 비용이 저렴하기 때문에, 매끄러운 함수에 대한 정확한 룩업 테이블을 구현하는 데 유용하다. 텍스처 필터링에 사용되는 보간 모드로 쌍선형 보간법이 자주 선택된다.

6. 2. 프로그래밍

cpp

// p1,p2를 d1:d2로 분할하는 p를 리턴한다. (단, d1+d2=1)

float lerp(float p1, float p2, float d1) {

return (1-d1)*p1 + d1*p2;

}

```

p1, p2사이의 임의의 지점 p에서의 데이터값 f(p)는 다음과 같다.

:

f(p)=d_2f(p_1)+d_1f(p_2)= f ( d_2*p_1 ) + f( d_1*p_2 ) = f ( (1-d_1)*p_1+d_1*p_2 )

따라서,

f(p)=f( lerp(p1,p2,d1) )

이다.

다수의 라이브러리와 셰이딩 언어들은 두 입력 (v0, v1) 사이를 닫힌 단위 구간 [0, 1] 내의 매개변수 t에 따라 보간하는 "lerp" 헬퍼 함수를 가지고 있다. GLSL에서는 이를 '''mix'''로 알고 있다. lerp 함수의 시그니처는 (v0, v1, t) 와 (t, v0, v1) 형태로 다양하게 구현된다.

```cpp

// 부동 소수점 연산 오류로 인해 t = 1일 때 v = v1을 보장하지 않는 부정확한 방법입니다.

// 이 방법은 단조롭습니다. 이 형태는 하드웨어에 네이티브 융합 곱셈-덧셈 명령어가 있을 때 사용할 수 있습니다.

float lerp(float v0, float v1, float t) {

return v0 + t * (v1 - v0);

}

// t = 1일 때 v = v1을 보장하는 정확한 방법입니다. 이 방법은 v0 * v1 < 0일 때만 단조롭습니다.

// 동일한 값 사이의 보간은 동일한 값을 생성하지 않을 수 있습니다.

float lerp(float v0, float v1, float t) {

return (1 - t) * v0 + t * v1;

}

```

이 lerp 함수는 일반적으로 알파 블렌딩에 사용되며 (매개변수 "t"는 "알파 값"임), 이 공식은 공간 ''x'', ''y'', ''z'' 축 또는 ''r'', ''g'', ''b'' 색상 구성 요소와 같은 벡터의 여러 구성 요소를 병렬로 혼합하도록 확장될 수 있다.

6. 3. 기타

선형 보간법은 표의 빈칸을 채우기 위해 고대부터 사용되어 왔다. 예를 들어 특정 국가의 1970년, 1980년, 1990년, 2000년 인구수를 나열한 표가 있고, 1994년의 인구수를 추정하고자 할 때, 선형 보간법은 이를 수행하는 쉬운 방법이다.^[1] 이는 셀레우코스 제국 (기원전 3세기)과 그리스의 천문학자이자 수학자인 히파르코스 (기원전 2세기)에 의해 사용된 것으로 여겨진다. 선형 보간법에 대한 설명은 기원전 200년에서 서기 100년 사이에 작성된 고대 중국 수학 텍스트인 ''구장산술''과 프톨레마이오스의 ''알마게스트''(서기 2세기)에서 찾을 수 있다.^[1]

두 값 사이의 선형 보간법의 기본적인 연산은 컴퓨터 그래픽스에서 흔히 사용되며, 이 분야의 전문 용어로는 '''lerp'''라고 불린다. 이 용어는 해당 연산에 대한 동사 또는 명사로 사용될 수 있다. 예를 들어 "브레젠험의 알고리즘은 선의 두 끝점 사이를 점진적으로 lerp 한다."와 같이 사용된다.

Lerp 연산은 모든 현대 컴퓨터 그래픽스 프로세서의 하드웨어에 내장되어 있다. 이는 종종 더 복잡한 연산을 위한 구성 요소로 사용된다. 예를 들어, 쌍선형 보간은 세 번의 lerp로 수행할 수 있다. 이 연산은 비용이 저렴하기 때문에 너무 많은 표 항목 없이 빠른 조회를 통해 정확한 룩업 테이블을 구현하는 좋은 방법이며, 매끄러운 함수에 유용하다.

7. 오차

선형 보간은 다른 점에서의 해당 함수의 두 개의 알려진 값을 사용하여 어떤 함수의 값을 근사하는 데 자주 사용된다. 이 근사의 ''오차''는 다음과 같이 정의된다.

:''R''_T = ''f''(''x'') - ''p''(''x'')

여기서 ''p''는 선형 보간 다항식을 나타내며, 다음과 같이 정의된다.

:''p''(''x'') = ''f''(''x''₀) +(''f''(''x''₁)-''f''(''x''₀))/(''x''₁-''x''₀)(''x''-''x''₀)

만약 함수 ''f''가 2차 연속 도함수를 가진다면, 롤의 정리를 사용하여 오차 범위를 증명할 수 있다. 오차는 다음 식의 범위 안에 있다.

: $|R_T| \leq \frac{(x_1-x_0)^2}{8} \max_{x_0 \leq x \leq x_1} |f''(x)|. \,\!$

주어진 함수에서 두 점 사이의 근사는 근사되는 함수의 2차 도함수와 함께 나빠진다. 이것은 직관적으로도 옳은데, 함수가 "더 굽을수록", 간단한 선형 보간으로 만들어진 근사가 더 나빠지기 때문이다.

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