세타 지표

3. 성질

표준 선다발의 차수는 $\backslash deg\; K=2g-2$이므로, 세타 지표의 차수는 $\backslash deg\backslash Theta=g-1$이다. 종수가 $g$인 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수 곡선의 경우, 총 $2^\{2g\}$개의 세타 지표가 존재한다.

세타 지표는 전역 단면 $H^0(C,\; \backslash Theta)$의 공간의 차원에 따라 ''짝수'' 또는 ''홀수''로 구분된다. ''C''상에는 $2^\{g\; -\; 1\}\; (2^g\; +\; 1)$개의 짝수 세타 지표와 $2^\{g-1\}(2^g\; -\; 1)$개의 홀수 세타 지표가 존재한다.

종수 0인 ''C''의 경우 그러한 약수 클래스는 하나 있으며, 이는 곡선상의 임의의 점 ''P''의 클래스 ''-P''이다. 더 높은 종수 ''g''의 경우, ''C''가 정의된 필드가 표수 2를 갖지 않는다고 가정하면, 세타 지표는 $2^\{2g\}$개이다. 이는 약수 클래스 수준의 방정식의 해가 2''D'' = 0 의 해의 단일 코셋을 형성하기 때문이다. ''K''를 표준 클래스, Θ를 2Θ = ''K''의 주어진 해라고 하면, 다른 모든 해는 Θ + ''D'' 형태를 갖는다. 이에 따라 세타 지표를 세는 것은 ''C''의 야코비 다양체 ''J''(''C'')의 2-계수를 찾는 문제로 귀결되며, 복소수의 경우에도, ''J''(''C'')가 2''g'' 차원의 복소수 토러스이므로 해당 결과가 도출된다. 일반적인 필드에서는 하세-비트 행렬에 설명된 이론을 참조하여 아벨 다양체의 p-계수를 계산한다. 필드의 표수가 2가 아닌 한, 답은 동일하다.

4. 역사

세타 지표의 중요성은 처음에는 세타 함수의 해석적 이론에서, 기하학적으로는 이중접선 이론에서 인식되었다. 해석적 이론에서, 야코비 타원 함수 이론에는 네 가지 기본적인 세타 함수가 있다. 이들의 표시는 실제로 타원 곡선의 세타 특성이다. 이 경우, 표준 클래스는 자명하고(인자 클래스군에서 0) 따라서 복소수 위의 타원 곡선 ''E''의 세타 특성은 2''P'' = 0인 ''E''상의 네 점 ''P''와 1대1 대응 관계에 있는 것으로 보인다. 이는 ''E''를 복소수 토러스로 취급할 때, 두 개의 원군의 곱인 군 구조로부터 해의 수를 세는 것이 명확하다.

4. 1. 종수 1 (타원 곡선)

4. 2. 더 높은 종수

5. 고전 이론

고전적으로 세타 지표는 특정 2차 형식 ''Q''의 mod 2 값을 기준으로 홀수와 짝수 두 종류로 나뉜다. 따라서 ''g'' = 3이고 평면 4차 곡선인 경우, 한 유형은 28개, 다른 유형은 나머지 36개가 있었다. 이는 28개의 4차 곡선의 이중접선에 해당하므로 이중 접선의 수를 세는 문제의 기본이 된다. 교차 형식으로서 ''Q''의 기하학적 구성은 현대적인 도구를 사용하여 대수적으로 가능하다. 실제로 바일 쌍대성이 그 아벨 다양체 형태로 적용된다.

세타 지표의 삼중항(θ₁, θ₂, θ₃)은 Arf(θ₁)+Arf(θ₂)+Arf(θ₃)+Arf(θ₁+θ₂+θ₃)이 0 또는 1인지 여부에 따라 ''시지제틱''과 ''아시지제틱''이라고 한다.

6. 스핀 구조와의 관계

는 콤팩트 복소다양체에서 세타 특성의 선택이 스핀 구조와 일대일 대응됨을 보였다.