꼬임 부분군

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1. 개요

꼬임 부분군은 아벨 군 G에서 유한한 위수를 갖는 원소들의 집합으로 정의된다. G가 아벨 군일 때 꼬임 부분군은 부분군이 되지만, 비가환 군에서는 일반적으로 부분군이 아니다. 모든 유한 생성 아벨 군은 꼬임 부분군과 꼬임이 없는 부분군의 직합으로 나타낼 수 있으며, 유한 아벨 군의 경우 꼬임 부분군은 군 전체이다. 임의의 아벨 군 A와 소수 p에 대해, 위수가 p의 거듭제곱인 A의 원소들의 집합은 p-꼬임 부분군이며, 꼬임 부분군은 모든 소수 p에 대한 p-꼬임 부분군의 직합과 동형이다. 무한 이면체군과 같은 비가환 군의 꼬임 부분 집합은 일반적으로 부분군이 아니며, 모든 유한 아벨 군은 꼬임 군이지만, 모든 꼬임 군이 유한한 것은 아니다.

꼬임 부분군

정의

설명	아벨 군의 모든 유한 차수 원소로 구성된 부분군이다.
영어 명칭	Torsion subgroup (꼬임 부분군)

성질

부분군 여부	꼬임 부분군은 항상 부분군이다.
꼬임 없는 군	모든 원소가 항등원 이외에 유한 차수를 가지지 않는 군을 꼬임 없는 군(torsion-free group)이라고 한다.
완전 꼬임 군	군의 모든 원소가 유한 차수를 가지면 완전 꼬임 군(bounded torsion group)이라고 한다.

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. ''p''-꼬임 부분군
5. 예시 및 추가 정보

2. 정의

$G$ 가 아벨 군이라고 하자. $G$ 의 꼬임 부분군 $G_T$ 는 다음과 같다.

: $G_T=\{g\in G|\exists n\in\mathbb Z^+\colon ng=0\}$

이는 군의 연산에 대하여 닫혀 있다. 다만, $G$ 가 아벨 군이 아닌 일반적인 군일 경우 이는 부분군을 이루지 않는다.

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비가환군의 꼬임 부분 집합은 일반적으로 부분군이 아니다. 예를 들어, 무한 이면체군은 표현을 갖는다.

: $\langle x,y \mid x^2=y^2=1 \rangle$

여기서 원소 xy는 두 개의 꼬임 원소의 곱이지만 무한한 차수를 갖는다.

3. 성질

모든 유한 생성 아벨 군은 꼬임 부분군과 꼬임이 없는 부분군의 직합으로 나타낼 수 있다. 유한 아벨 군의 경우 꼬임 부분군은 군 전체이다. 반면 $\mathbb Z^n$ 과 같은 경우 꼬임 부분군은 자명군이다.

아벨 군 A가 꼬임이 없는 것은 Z-가군으로서 평탄할 필요충분조건이며, 이는 C가 어떤 아벨 군 B의 부분군일 때, 텐서곱 C ⊗ A에서 B ⊗ A로의 자연 사상이 단사임을 의미한다. 아벨 군 A를 Q(또는 임의의 가분군)와 텐서곱하면 꼬임이 제거된다. 즉, T가 꼬임군이면 T ⊗ Q = 0이다. 꼬임 부분군 T를 가진 일반적인 아벨 군 A에 대해 A ⊗ Q ≅ A/T ⊗ Q를 갖는다.

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4. ''p''-꼬임 부분군

임의의 아벨 군 $(A, +)$ 와 소수 p에 대해, 위수가 p의 거듭제곱인 A의 원소들의 집합 $A_{T_p}$ 는 p-꼬임 부분군이라고 불리는 부분군이다.

: $A_{T_p}=\{a\in A \;|\; \exists n\in \mathbb{N}\;, p^n a = 0\}.\;$

꼬임 부분군 $A_T$ 는 모든 소수 p에 대한 p-꼬임 부분군의 직합과 동형이다.

: $A_T \cong \bigoplus_{p\in P} A_{T_p}.\;$

A가 유한 아벨 군일 때, $A_{T_p}$ 는 A의 유일한 Sylow p-부분군과 일치한다.

A의 각 p-꼬임 부분군은 전체 특성 부분군이다. 더욱 강력하게는, 아벨 군 사이의 모든 준동형 사상은 각 p-꼬임 부분군을 해당 p-꼬임 부분군으로 보낸다.

각 소수 p에 대해, 이는 모든 군을 해당 p-꼬임 부분군으로 보내고, 모든 준동형 사상을 p-꼬임 부분군으로 제한하는 아벨 군 범주에서 p-꼬임 군 범주로의 함자를 제공한다. 이러한 함자들의 모든 소수의 집합에 대한 제한을 꼬임 군 범주로 곱한 것은, 꼬임 군 범주에서 모든 소수에 대한 p-꼬임 군 범주의 곱으로 가는 충실한 함자이다. 어떤 의미에서, 이는 p-꼬임 군을 개별적으로 연구하는 것이 일반적인 꼬임 군에 대한 모든 것을 알려준다는 것을 의미한다.

5. 예시 및 추가 정보

* 비가환군의 꼬임 부분 집합은 일반적으로 부분군이 아니다. 예를 들어, 무한 이면체군은 다음과 같은 표현을 갖는다.

: $\langle x,y \mid x^2=y^2=1 \rangle$

:여기서 원소 xy는 두 개의 꼬임 원소의 곱이지만 무한한 차수를 갖는다.
* 멱영군의 꼬임 원소는 정규 부분군을 형성한다.
* 모든 유한 아벨군은 꼬임군이다. 그러나 모든 꼬임군이 유한한 것은 아니다. 가산 개의 C₂ 순환군의 직접 합을 고려해 보라. 이것은 모든 원소가 2차수를 가지므로 꼬임군이다. 또한, 꼬임군이 유한 생성되지 않으면 원소의 차수에 대한 상한이 있을 필요는 없다. Q/Z의 몫군이 그 예시이다.
* 모든 자유 아벨군은 비꼬임군이지만, 유리수 Q의 덧셈군의 경우처럼 그 역은 성립하지 않는다.
* 꼬임 부분군을 취하는 것은 꼬임 아벨 군을 아벨 군의 공반사 부분 범주로 만들고, 꼬임 부분군으로 몫을 취하는 것은 비꼬임 아벨 군을 반사 부분 범주로 만든다.
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