원군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위상수학적 정의
- 2.2. 군론적 정의
3. 성질
4. 표현론적 성질
- 4.1. 복소수 표현
- 4.2. 실수 표현
5. 동형
6. 응용
참조

1. 개요

원군은 절댓값이 1인 복소수의 곱셈군, 실수체 위의 2차 특수직교군, 1차 유니터리 군 등과 동치이며, 1차원 리 군의 구조를 가진다. 위상수학적으로는 원과 위상동형이며, 기본군은 무한 순환군이다. 군론적으로는 아벨 군이자 나눗셈군이며, 다양한 군과 동형 관계를 갖는다. 원군의 표현론적 성질은 복소수 및 실수 표현으로 분류되며, 다양한 수학적 분야에서 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

아벨 군론 - 클라인 4원군
클라인 4원군은 4개의 원소로 이루어진 아벨 군으로, 항등원을 제외한 모든 원소의 차수가 2이며, 유한체 $\mathbb F_4$ 의 덧셈군과 동형이고, 자기 동형군은 3차 대칭군과 동형이며, 다양한 분야에 응용된다.
아벨 군론 - 꼬임 부분군
꼬임 부분군은 아벨 군에서 유한한 차수를 갖는 원소들로 이루어진 부분군이며, 유한 생성 아벨 군의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하고, 꼬임 부분군은 p-멱 꼬임 부분군들의 직합과 동형이다.
리 군 - 리 대수
리 대수는 가환환 위의 가군과 리 괄호 연산으로 구성되며 쌍선형성, 교대성, 야코비 항등식을 만족하고, 리 군 연구와 분류, 표현 이론에 중요한 역할을 한다.
리 군 - 보렐-베유-보트 정리
보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.

원군
정의
설명	절댓값이 1인 복소수들의 곱셈군
다른 이름	원군 1차원 원환면
표기
기호	T 또는 C 또는 U(1)
성질
위상수학적 성질	원환면과 위상 동형
리 군	리 군
차원	1
예시
예시	원환면의 곱

2. 정의

원군 $T$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

0이 아닌 복소수의 곱셈군 $\mathbb C^\times$ 가운데, 절댓값이 1인 것들의 부분군 $\{z\in\mathbb C^\times\colon |z|=1\}$
실수체 위의 2차 특수직교군 $\operatorname{SO}(2;\mathbb R)$
1차 유니터리 군 $\operatorname{U}(1)$
2차원 스핀 군 $\operatorname{Spin}(2)$
실수체의 덧셈군의 몫군 $\mathbb R/\mathbb Z$

이 위에는 1차원 매끄러운 다양체의 구조가 표준적으로 주어지며, 이에 따라

T

는 1차원 리 군을 이룬다.

원군을 이해하는 방법 중 하나는 0°에서 360° 사이(또는

\in[0, 2\pi)

또는

\in(-\pi,+\pi]

범위)의 각도만 허용되는 '각도'를 더하는 것이다. 예를 들어 150°와 270°를 더하면 420°가 되지만, 원군에서는 한 바퀴(360°)를 "잊고" 360°를 뺀 60°(모듈러 산술)로 계산한다.

다른 설명으로는, 0과 1 사이의 숫자만 허용되는 실수 덧셈을 생각할 수 있다. (1은 완전 회전, 즉 360° 또는 2π^영어에 해당한다.) 정수에 대한 실수 모듈로 T ≅ R/Z^영어를 생각하면, 소수점 앞의 숫자를 버리는 방식으로 계산할 수 있다. 예를 들어 0.4166... + 0.75 = 1.1666...에서 앞의 1을 버려 0.1666...을 얻는다.

1차 유니타리 행렬 집합은 원군과 일치하며, 원군은 1차 유니터리 군에 자연 동형이다.

순허수 지수 함수는 실수 덧셈군에서 원군으로의 군 준동형 exp: '''R''' → '''T'''^영어를 제공한다.

:

\theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

마지막 등호는 오일러 공식이다. 실수 θ^영어는 단위 원에서 양의 실수 축에서 반시계 방향으로 측정한 호도법 각도에 해당한다. 단위 복소수끼리의 곱셈은 각도의 합이 된다.

:

e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}

이 지수 사상은 전사이지만 단사는 아니며, 준동형의 핵은 2π^영어의 정수 배 집합이므로, 제1 동형 정리에 의해 다음을 얻는다.

:

\mathbb{T} \cong \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}

각도에 스케일 변환을 적용하면 '''T''' ≅ '''R'''/'''Z'''^영어 역시 성립한다.

복소수는 실 이차 정사각 행렬로 표현할 수 있으며, 단위 복소수는 행렬식이 1인 직교 행렬에 해당한다.

:

e^{i\theta} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta\end{pmatrix}

따라서 원주군은 이차 회전군 ''SO''(2)^영어에 동형이다. 기하학적으로 해석하면, 단위 복소수에 의한 곱셈은 복소 평면상의 회전을 나타내며, 모든 회전은 이러한 형태로 표현 가능하다.^[1]

2. 1. 위상수학적 정의

원군(영어: circle group)은 복소 평면의 부분 공간으로서 자연스러운 위상을 갖는다. 곱셈과 역 연산은 연속 함수이므로, 원군은 위상군의 구조를 갖는다. 또한, 단위원은 복소 평면의 닫힌 집합이므로, 원군은 닫힌 부분군이다.

더 나아가, 원은 1차원 실수 다양체이며, 곱셈과 역 연산은 원 위의 해석 함수이다. 이것은 원군에 일변수군의 구조, 즉 리 군의 한 예시를 부여한다. 사실, 동형까지, 그것은 유일한 1차원 콤팩트, 연결된 리 군이다.

2. 2. 군론적 정의

원군

\mathbb{T}

는 곱셈 연산에 대해 아벨 군이자 나눗셈군이다. 원군은 다음과 같이 정의할 수 있다.

0이 아닌 복소수의 곱셈군 $\mathbb{C}^\times$ 가운데, 절댓값이 1인 것들의 부분군 $\{z\in\mathbb{C}^\times\colon |z|=1\}$
실수체 위의 2차 특수직교군 $\operatorname{SO}(2;\mathbb{R})$
1차 유니터리 군 $\operatorname{U}(1)$
2차원 스핀 군 $\operatorname{Spin}(2)$
실수체의 덧셈군의 몫군 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$

원군

\mathbb{T}

는 가분군이다. 그 비틀림 부분군은 임의의 양의 정수에 걸쳐 1의 멱근 전체로 이루어진 집합으로 주어지며,

\mathbb{Q/Z}

에 동형이다. 가분군의 구조 정리와 선택 공리를 이용하면,

\mathbb{T}

가

\mathbb{Q/Z}

와 적당한 수의

\mathbb{Q}

의 복사본의 직합에 동형임을 알 수 있다. 이때

\mathbb{Q}

의 복사본의 수는 연속체 농도

\mathfrak{c}

이어야 한다.

\mathbb{Q}

의 연속체 농도

\mathfrak{c}

개의 복사본의 직합은

\mathbb{R}

에 동형이므로, 대수적인 군의 동형은 다음과 같다.

:

\mathbb{T} \cong \mathbb{R} \oplus (\mathbb{Q/Z})

마찬가지로, 다음 동형도 증명할 수 있다.

:

\mathbb{C}^\times \cong \mathbb{R} \oplus (\mathbb{Q/Z})

(

\mathbb{C}^\times

도 또한 가분 아벨 군이며, 그 비틀림 부분군은

\mathbb{T}

의 비틀림 부분군과 동일하기 때문이다.)

3. 성질

원군은 단순한 추상적인 대수적 대상이 아니라 복소 평면의 부분 공간으로 간주하면 자연 위상을 갖는다. 곱셈과 역 연산은 연속 함수이므로 위상군의 구조를 가지며, 단위원은 복소 평면의 닫힌 집합이므로 원군은 닫힌 부분군이다.

원은 1차원 실수 다양체이며, 곱셈과 역 연산은 원 위의 해석 함수이므로, 원군은 리 군의 한 예시이다. 실제로, 이는 유일한 1차원 콤팩트 연결된 리 군이다. 또한, 모든 n차원 콤팩트, 연결, 아벨 군은 원군과 동형이다.

차원이 0보다 큰 모든 콤팩트 리 군은 원군과 동형인 부분군을 갖는다. 이는 연속적으로 작용하는 콤팩트 대칭군은 1-매개변수 원 부분군의 작용을 포함할 수 있다는 것을 의미한다.

원군은 많은 부분군을 가지지만, 진정한 닫힌 부분군은 1의 멱근으로 이루어진 부분군으로 제한된다. 즉, 각 양의 정수 n에 대한 의 n 제곱근 전체로 이루어진 집합은 위수 n의 순환군이 되며, 그러한 부분군은 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

3. 1. 위상수학적 성질

원군은 원

S^1

과 위상동형이다. 따라서 연결 공간이며, 기본군은 무한 순환군

\pi_1(T)\cong\mathbb Z

이다. 원군은 많은 부분군을 가지고 있지만, 유일한 진정한 닫힌 집합 부분군은 단위근으로 구성된다. 각 정수 n > 0 에 대해, n번째 단위근은 동형사상까지 유일한 차수 n의 순환군을 형성한다.

3. 2. 군론적 성질

원군은 아벨 군이자 나눗셈군이다.^[2] 나눗셈군의 구조 정리에 따라, 원군은 다음과 같은 군 동형을 갖는다.

:

\mathbb T \cong \mathbb Q^{\oplus 2^{\aleph_0}}\oplus  (\mathbb Q / \mathbb Z)\cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)\cong\mathbb C^\times

이에 따라, 원군은 모든 소수

p

에 대한 프뤼퍼 군을 부분군으로 갖는다. 원군의 계수는 실수의 크기

2^{\aleph_0}

이며, 꼬임 부분군은

\mathbb Q/\mathbb Z

이다.

3. 3. 위상군론적 성질

원군은 위상군의 구조를 갖는다. 단위원은 복소 평면의 닫힌 집합이므로, 원군은 곱셈과 역 연산이 연속 함수이기에 위상군의 닫힌 부분군이다.

원은 1차원 실수 다양체이며, 곱셈과 역 연산은 원 위의 해석 함수이므로, 원군은 리 군의 한 예시이다. 원군은 유일한 1차원 콤팩트, 연결된 리 군이며, 모든

n

차원 콤팩트, 연결, 아벨 리 군은 원군과 동형이다.

1차원 이상의 모든 콤팩트 리 군은 원군을 닫힌 부분군으로 갖는다. 이는 '연속적으로' 작용하는 콤팩트 대칭군은 작용하는 1-매개변수 원 부분군을 가질 것이라는 예상을 가능하게 한다.^[1]

원군의 폰트랴긴 쌍대군은 무한 순환군

\mathbb Z

이다.^[2] 원군의 범피복군은 1차원 유클리드 공간

\mathbb R

이다.^[3]

4. 표현론적 성질

원환군의 표현은 설명하기 쉽다. 슈어 보조정리에 따르면 아벨 군의 기약 복소수 표현은 모두 1차원이다. 원환군은 콤팩트하므로 임의의 표현은 U(1)^영어 T^영어에 값을 가져야 한다. 따라서 원환군의 기약 표현은 원환군 자체로의 군 준동형사상이다.

각 정수 $n$ 에 대해 φ_n(z) = zⁿ^영어으로 원환군의 표현 $φ$ _n을 정의할 수 있다. 이 표현들은 모두 서로 동치가 아니다. 표현 $φ$ _-n은 φ_n^영어의 켤레이다.

이 표현들은 원환군의 지표이다. $\mathbb T$ 의 지표군은 φ₁^영어에 의해 생성되는 무한 순환군이다.

원환군의 기약 실수 표현은 자명 표현 (1차원)과 2차원 표현으로 나타낼 수 있다.

4. 1. 복소수 표현

원군

T

의 연속 복소수 기약 표현은 모두 1차원이며, 정수 ''n''에 의해 분류된다. 각 정수

n

에 대해

\phi_n(z) = z^n

으로 정의되는 표현

\phi_n

이 존재한다. 이 표현들은 서로 동치가 아니며,

\phi_{-n}

은

\phi_n

의 켤레이다. 원군의 지표군은

\phi_1

에 의해 생성되는 무한 순환군이며, Hom(T, T) ≅ ℤ이다.

4. 2. 실수 표현

원군

T

의 연속 실수 기약 표현은 다음과 같다.

1차원 자명한 표현
2차원 표현 $\rho_n\colon\exp(i\theta)\mapsto\begin{pmatrix} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{pmatrix}$ . 이는 복소수 기약 표현에서 복소수 구조를 잊은 것이다. 복소수 기약 표현과 달리, $\rho_n$ 과 $\rho_{-n}$ 은 실수 표현으로서 서로 동형이며, $n=0$ 인 경우는 기약 표현이 아니므로, 이 경우 $n\in\mathbb Z^+$ 이다.

원군의 기약 실수 표현은 자명 표현 (1차원)과 표현

:

\rho_n\bigl(e^{i\theta}\bigr) = \begin{bmatrix}\cos n\theta & -\sin n\theta \\\sin n\theta & \cos n\theta\end{bmatrix}, \quadn \in \Z^+ ,

으로

\mathrm{SO}(2)

에 값을 가진다. 여기서

\rho_{-n}

은

\rho_n

과 동치이므로 양의 정수

n

만 가진다.

5. 동형

원군은 유니타리 군 U(1)^영어, 실수 덧셈군을 정수 덧셈군으로 나눈 몫군인 R/Z^영어, 2차원 특수 직교군 SO(2)^영어과 동형이다.

U(1)^영어: 모든 1×1 유니타리 행렬의 집합은 원군과 일치한다. 유니타리 행렬의 원소는 절댓값이 1이라는 조건을 만족하므로, 원군은 첫 번째 유니타리 군 U(1)^영어과 동형이다.

R/Z^영어: 지수 함수는 덧셈 실수 R^영어에서 원군 T^영어로의 군 준동형사상 $\exp : \R \to \mathbb T$ 를 제공하며, 이는 $\theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin \theta$ 로 표현된다. 여기서 $\theta$ 는 실수이고, 오일러 공식에 의해 복소 평면에서 단위 원 위의 점으로 나타내어진다. 이 사상은 전사 함수이지만 단사 함수는 아니며, 커널은 2π^영어의 모든 정수 배수의 집합이다. 따라서 제1 동형 정리에 의해 $\mathbb T \cong \R/2\pi\Z$ 이고, 크기를 다시 조정하면 $\mathbb T \cong \R/\Z$ 가 된다.

SO(2)^영어: 복소수를 2×2 실수 행렬로 표현하면, 단위 복소수는 행렬식이 1인 2×2 직교 행렬에 대응된다. 이는 $e^{i\theta} \leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$ 와 같이 나타낼 수 있으며, 원군은 특수 직교군 SO(2)^영어와 동형임을 보여준다. 이 동형은 단위 복소수의 곱셈이 복소 평면에서 회전을 나타낸다는 기하학적 해석을 갖는다.

6. 응용

차원이 0보다 큰 모든 콤팩트 리 군 $\mathrm{G}$ 는 원군과 동형인 부분군을 갖는다. 이는 대칭의 관점에서 생각할 때, ''연속적으로'' 작용하는 콤팩트 대칭군은 작용하는 1-매개변수 원 부분군을 가질 것으로 예상할 수 있으며, 물리적 시스템에서의 결과는 예를 들어 회전 불변성과 자발적 대칭 깨짐에서 볼 수 있다.^[1]

원군은 많은 부분군을 가지고 있지만, 유일한 진정한 닫힌 집합 부분군은 단위근으로 구성된다. 각 정수 n|n > 0^영어에 대해, n|n^영어번째 단위근은 동형사상까지 유일한 차수 n|n^영어의 순환군을 형성한다.^[1]

실수가 모든 자연수 b|b > 1^영어에 대해 ''b''-진 유리수 $\Z\bigl[\tfrac1b\bigr]$ 의 완비화인 것과 마찬가지로, 원군은 직접 극한 \varinjlim \Z~\!/~\!b^n \Z|lim Z/b^n Z^영어에 의해 주어진, b|b^영어에 대한 Prüfer 군 $\Z\bigl[\tfrac{1}{b}\bigr]~\!/~\!\Z$ 의 완비화이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Mathematics Dictionary https://books.google[...] Chapman & Hall
_[2] 서적 Abelian groups Springer, Cham
_[3] 서적 新訂版　数学用語英和辞典: 和英索引付き https://books.google[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com