소성 (물리학)

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1. 개요

소성(塑性, plasticity)은 물리학에서 외부 응력에 의해 재료가 영구적으로 변형되는 현상을 의미한다. 금속의 경우 전위의 이동과 쌍정에 의해 소성이 발생하며, 온도가 높을수록 소성이 커지는 경향을 보인다. 결정성 재료는 활주계를 따라 미끄러지면서 소성 변형을 겪고, 나노 스케일에서는 가역적 소성도 나타난다. 층밀림대나 미세소성과 같은 국부적인 소성 현상도 존재한다. 비정질 재료는 균열(crazing)을 통해 소성 변형을 보이며, 세포 재료와 토양, 암석 및 콘크리트 또한 소성 거동을 나타낸다. 소성은 변형 이론과 흐름 소성 이론으로 수학적으로 설명되며, 트레스카 기준과 폰 미세스 기준과 같은 항복 기준을 통해 재료의 소성 변형 여부를 판단한다.

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소성 (물리학)
개요
정의	고체 재료에 가해지는 힘에 대한 반응으로 발생하는 비가역적 변형
관련 분야	재료 과학, 공학, 물리학
관련 속성	항복 강도, 인장 강도, 연성, 경도
설명
특징	외부 힘 제거 후에도 영구적인 변형이 남음 원자 수준에서의 미끄러짐, 쌍정, 전위 이동과 관련됨 재료의 미세 구조에 따라 달라짐
발생 조건	가해지는 응력이 재료의 항복 강도를 초과할 때 발생
활용 분야	금속 성형 (단조, 압연, 인발 등) 고분자 가공 (사출 성형, 압출 성형 등) 지반 공학 (토양의 압밀, 전단 등)
소성 변형의 메커니즘
금속	전위의 이동 및 교차 미끄러짐 결정립계 미끄러짐 쌍정
세라믹	결정질 세라믹: 고온에서 입자 경계 미끄러짐 및 확산 비정질 세라믹: 점성 흐름
고분자	사슬 미끄러짐 사슬 분절 운동 크리프
소성 이론
주요 이론	폰 미제스 항복 조건 트레스카 항복 조건 드러커-프래거 항복 조건
구성 모델	탄소성 모델 점소성 모델 크리프 모델
영향 요인
온도	일반적으로 온도가 증가하면 소성이 증가함
변형 속도	변형 속도에 따라 소성 거동이 달라짐 (변형 속도 민감성)
결정립 크기	일반적으로 결정립 크기가 작을수록 소성이 증가함
불순물 및 첨가물	불순물 및 첨가물은 전위 이동을 방해하여 소성에 영향을 미침
응용
금속 가공	단조 압연 압출 인발 딥 드로잉
고분자 가공	사출 성형 압출 성형 블로우 성형
지반 공학	토양의 압밀 사면 안정 지반 개량
기타	구조물의 소성 붕괴 해석 충돌 해석 지진 해석
같이 보기
관련 항목	탄성 (물리학) 점탄성 크리프 피로 (재료) 파괴 역학

2. 물리적 기전

매우 작은 구체들의 평면 위에 놓인 큰 구체 하나와, 평면 아래로 여러 개의 매우 작은 구체들이 연속적으로 뻗어나가는 모습(모두 검은색 배경) — (111) 구리에서 구형 나노 압입기 하의 소성 변형. 이상적인 격자 위치의 모든 입자는 생략되었으며, 색상 코드는 von Mises 응력장을 나타냅니다.

소성은 주로 결정(結晶) 내 전위(dislocation)의 이동으로 인해 발생한다.

2. 1. 금속

금속의 소성은 주로 결정 내 전위의 이동과 쌍정(雙晶, twinning)에 의해 발생한다. 미끄럼(slip)은 원자들이 초기 위치에서 여러 원자간 거리만큼 이동하는 전단 변형이다. 쌍정은 주어진 금속에 가해지는 힘 때문에 두 평면을 따라 발생하는 소성 변형이다.

대부분의 금속은 고온에서 저온보다 소성이 더 크다. 납은 상온에서도 소성을 나타내지만, 주철은 고온에서도 단조 작업에 충분한 소성을 가지지 않는다. 이러한 특성은 금속의 성형, 가공 및 압출 작업에 중요하다. 대부분의 금속은 가열을 통해 소성을 얻고 고온에서 성형된다.

2. 1. 1. 활주계 (Slip system)

결정성 재료는 장거리 질서를 가진 균일한 원자면으로 구성되어 있다. 이러한 면들은 서로 밀접하게 쌓인 방향을 따라 미끄러질 수 있다. 그 결과 결정 내부의 형태가 영구적으로 변하고 소성 변형이 발생한다. 전위의 존재는 이러한 면들이 미끄러질 가능성을 증가시킨다.^[1]

2. 1. 2. 가역적 소성 (Reversible plasticity)

나노 스케일에서 단순 면심입방 금속의 주된 소성 변형은 횡활주 형태의 물질 수송이 없는 한 가역적이다.^[7] 니티놀 와이어와 같은 형상기억합금도 가역적인 소성 형태를 나타내는데, 이는 더 정확하게는 의가탄성이라고 한다.

2. 1. 3. 층밀림대 (Shear banding)

결정 내 다른 결함은 전위가 얽히거나 미끄러지는 것을 방해하여 소성을 재료의 특정 영역에 국한시킬 수 있다. 결정의 경우 이러한 국부적인 소성 변형 영역을 층밀림대(전단대)라고 한다.

2. 1. 4. 미세 소성 (Microplasticity)

미세 소성은 금속에서 국부적으로 발생하는 현상이다. 이는 금속이 전체적으로는 탄성 영역에 있지만 일부 국부 영역은 소성 영역에 있는 응력 값에서 발생한다.^[8]

2. 2. 비정질 재료

비정질 재료는 규칙적인 원자 배열을 갖지 않지만, 소성 변형을 일으킬 수 있다. 고분자와 같은 비정질 재료는 많은 양의 자유 부피(free volume)를 포함하고 있어, 인장력을 가하면 재료가 흐릿하게 보이는 크레이징 현상이 발생한다.

2. 2. 1. 균열 (Crazing)

비정질 재료는 장거리 질서가 없기 때문에 전위(dislocation)에 대한 논의는 적용되지 않는다. 그러나 이러한 재료도 소성 변형을 일으킬 수 있다. 고분자와 같은 비정질 재료는 잘 정렬되어 있지 않아 많은 양의 자유 부피(free volume) 또는 낭비된 공간을 포함한다. 이러한 재료에 인장력을 가하면 이 영역들이 열리면서 재료가 흐릿하게 보이게 된다. 이러한 흐릿함은 크레이징(crazing) 현상 때문인데, 높은 수압 응력(hydrostatic stress)을 받는 영역에서 재료 내에 피브릴이 형성되기 때문이다. 재료는 정돈된 외관에서 변형과 신장 자국이 "미친 듯한(crazing)" 패턴으로 변할 수 있다.^[1]

2. 3. 세포 재료

개방형 셀 폼(open-cell foam)은 굽힘 모멘트가 특정 값을 초과하면 소성 변형을 일으킨다.^[1] 굽힘 모멘트가 셀 벽에 작용하는 개방형 셀 폼에 적용되며, 폼은 강성 고분자 및 금속을 포함하여 소성 항복점을 갖는 모든 재료로 만들 수 있다.^[1] 폼을 보로 모델링하는 이 방법은 폼의 밀도와 물질의 밀도의 비가 0.3 미만인 경우에만 유효한데, 그 이유는 보가 굽힘 대신 축 방향으로 항복하기 때문이다.^[1] 폐쇄형 셀 폼의 경우, 셀의 면을 가로지르는 막 때문에 재료가 인장력을 받으면 항복 강도가 증가한다.^[1]

2. 4. 토양 및 모래

토양, 특히 점토는 하중을 받으면 상당한 비탄성 거동을 보인다. 토양의 소성 거동은 주로 인접 입자들의 집합체가 재배열되면서 발생한다.

2. 4. 1. 소성 원인

토양, 특히 점토는 하중을 받을 때 탄성을 잃고 변형되는 비탄성 거동을 보인다. 토양의 소성 원인은 매우 복잡하며, 미세구조, 화학적 조성 및 함수량에 크게 의존한다. 토양의 소성 거동은 주로 인접 입자들의 집합체가 재배열되면서 발생한다.

2. 5. 암석 및 콘크리트

암석과 콘크리트의 비탄성 변형은 주로 미세 균열 형성과 이러한 균열에서의 상대적인 미끄럼 운동 때문에 발생한다. 고온 및 고압에서는 개별 입자 미세구조 내 전위의 이동도 소성 거동에 영향을 줄 수 있다.^[1]

3. 결정질 재료의 시간 독립적인 항복 및 소성 흐름

결정질 재료에서 시간에 무관한 항복 및 소성 흐름은 단결정과 다결정 모두에서 임계 분해 전단 응력(CRSS)에 의해 정의된다.^[18]^[19]^[20] 이는 단일 슬립 시스템의 평행한 슬립 평면을 따라 전위 이동을 시작하여 결정질 재료에서 탄성에서 소성 변형 거동으로의 전환을 정의한다.^[9]

단결정의 경우, 임계 분해 전단 응력은 온도에 따라 다른 특성을 보이며, 소성 흐름은 여러 단계로 나타난다. 다결정의 경우, 결정립계가 전위 이동을 방해하여 소성 변형을 막는 중요한 역할을 한다. (자세한 내용은 하위 섹션 참조)

3. 1. 단결정

단결정의 임계 분해 전단 응력(CRSS)은 슈미트 법칙에 따라 ${\displaystyle \tau _{CRSS}=\sigma _{y}/m}$으로 정의된다.^[1] 여기서 ${\displaystyle \sigma _{y}}$는 단결정의 항복 강도이고, ${\displaystyle m}$은 슈미트 인자이다.^[1] 슈미트 인자는 미끄럼면 방향과 인장력 사이의 각도(${\displaystyle \lambda }$)와 미끄럼면 수직선과 인장력 사이의 각도(${\displaystyle \phi }$)로 구성된다.^[1] ${\displaystyle m>1}$이므로 ${\displaystyle \sigma _{y}>\tau _{CRSS}}$이다.^[1]

항복 후, 단결정은 전단 응력과 전단 변형률의 관계에 따라 여러 단계의 소성 흐름을 보인다.

3. 1. 1. CRSS의 의존성

임계 분해 전단 응력(CRSS)은 온도에 따라 세 가지 영역으로 구분된다. 저온 영역 1(''T'' ≤ 0.25''T''_m)에서는 전위 미끄럼과 소성 변형을 시작하기 위해 높은 변형률이 필요하며, CRSS는 비열 전단 응력(''τ''_''a'')과 열 전단 응력(''τ''*)으로 구성된다. 이는 다른 전위와 점결함 장애물에 의한 전위 이동 저항 때문이다. 중간 온도 영역 2(0.25''T''_m < ''T'' < 0.7''T''_m)에서는 ''T'' = ''T''* 일 때 열 전단 응력 성분 ''τ''*가 0이 되어 점결함에 의한 전위 이동 방해가 사라진다. 따라서 CRSS는 온도에 무관하게 τ_a 값을 유지하다가 영역 3에서 변화한다. 영역 2에서는 용질-끌림과 같은 시간 의존적 소성 변형(크리프) 메커니즘을 고려해야 한다. 고온 영역 3(''T'' ≥ 0.7''T''_m)에서는 낮은 변형률 속도(έ)가 낮은 τ_CRSS에 기여하지만, 격자 및 단결정 표면을 통한 나바로-헤링(NH) 및 코블 확산 유동, 전위 상승-미끄럼 크리프와 같은 열 활성화 고온 시간 의존 소성 변형 메커니즘으로 인해 소성 변형이 발생한다.

3. 1. 2. 소성 흐름 단계

항복 후, 전단 응력과 전단 변형률의 관계에 따라 여러 단계로 나뉜다.

단일 활주 단계 1에서 전단 변형률에 대한 전단 응력 변화(''dτ''/''dγ'')로 정의되는 가공 경화율은 낮으며, 많은 양의 전단 변형률을 유도하는 데 필요한 적은 양의 적용 전단 응력을 나타낸다. 용이한 전위 활주 및 이에 상응하는 흐름은 평행 미끄럼면(즉, 하나의 미끄럼계)을 따라서만 전위 이동에 기인한다. 평행 미끄럼면을 따라 전위 이동에 대한 중간 저항은 이러한 전위 사이의 약한 응력장 상호 작용에 따라 나타나며, 이는 면간 간격이 작을수록 높아진다. 전반적으로 단일 미끄럼계 내에서 이동하는 이러한 전위는 흐름에 대한 약한 장애물로 작용하며, 항복 응력과 비교하여 응력의 완만한 상승이 관찰된다.

흐름의 선형 경화 단계 2 동안, 가공 경화율은 흐름에 대한 강한 장애물로 작용하는 평행하지 않은 미끄럼면(즉, 다중 미끄럼계)에서 이동하는 전위의 응력장 상호 작용을 극복하는 데 상당한 응력이 필요하기 때문에 높아진다. 작은 변형률에 대해 지속적인 전위 이동을 유도하려면 많은 응력이 필요하다. 전단 흐름 응력은 전위 배열의 진화에 관계없이 전위 밀도의 제곱근에 정비례한다(τ_flow ~''ρ''^½). 이는 경화가 존재하는 전위의 수에 의존함을 보여준다. 전위 배열의 이러한 진화와 관련하여, 작은 변형률에서는 전위 배열이 교차하는 선의 무작위 3D 배열이다. 중간 변형률은 세포 경계에서 높은 전위 밀도와 세포 내부에서 낮은 전위 밀도를 갖는 이종 전위 분포의 세포 전위 구조에 해당한다. 더 큰 변형률에서는 세포 전위 구조의 크기가 최소 크기에 도달할 때까지 감소한다.

마지막으로, 작은 전단 응력이 큰 전단 변형률을 생성하기 때문에 소성 흐름의 경화 단계 3의 고갈/포화에서 가공 경화율이 다시 낮아진다. 특히, 여러 미끄럼계가 적용된 응력에 대해 유리하게 배향된 경우, 이러한 계에 대한 τ_CRSS는 유사할 수 있으며, 평행하지 않은 미끄럼면을 갖는 다중 미끄럼계를 따라 전위 이동에 따라 항복이 발생하여 일반적으로 단계 2의 특징인 단계 1 가공 경화율을 나타낼 수 있다.

체심 입방 전이 금속과 면심 입방 금속의 시간에 무관한 소성 변형의 차이점은 다음과 같다.

체심 입방 전이 금속과 면심 입방 금속의 시간에 무관한 소성 변형 비교
체심 입방 전이 금속	면심 입방 금속
임계 분해 전단 응력 = 높음(상대적으로) 및 온도 의존성이 강함	임계 분해 전단 응력 = 낮음(상대적으로) 및 온도 의존성이 약함
가공 경화율 = 온도에 무관함	가공 경화율 = 온도 의존성이 있음
네킹 변형률은 온도가 증가함에 따라 증가함	네킹 변형률은 온도가 감소함에 따라 감소함

3. 2. 다결정

다결정에서 소성은 결정립계 평면 결함 때문에 단결정에서 소성과는 상당히 다르다. 결정립계는 활성화된 활동면을 따라 전위 이동을 방해하여 소성 변형을 막는 강한 장애물 역할을 한다. 따라서 전위는 결정립계를 넘어 한 결정립에서 다른 결정립으로 이동할 수 없다.

다결정의 임계 분해 전단 응력은 슈미트 법칙(τ_CRSS=σ_y/ṁ)으로 정의된다. 여기서 σ_y는 다결정의 항복 강도, ṁ은 가중 슈미트 인자이다. 가중 슈미트 인자는 입계를 구성하는 결정립 중 가장 유리한 방향과 가장 불리한 방향의 활동계를 반영한다.^[10]

3. 2. 1. 결정립계 제약

다결정에서 인접한 결정립 사이의 변형은 특정 조건을 만족해야 한다. 이는 동일한 조성, 구조, 활성화 전위계를 가지지만 서로 다른 방향으로 배열된 두 단결정 A와 B를 xz 평면에 있는 입계를 통해 고려하여 설명할 수 있다.

개별적으로 변형되는 결정립 사이에 빈틈이 생기지 않도록 하기 위해, 이중결정에 대한 입계 제약 조건은 다음과 같다.

ε_xx^A = ε_xx^B (입계에서 x축 방향 변형률은 A와 B에 대해 동일해야 함)
ε_zz^A = ε_zz^B (입계에서 z축 방향 변형률은 A와 B에 대해 동일해야 함)
ε_xz^A = ε_xz^B (xz-입계 평면을 따라 xz 전단 변형률은 A와 B에 대해 동일해야 함)

이러한 입계 제약은 입계를 구성하는 각 결정립당 5개의 독립적인 전위계가 활성화되어야 함을 요구한다. 독립적인 전위계는 다른 전위계 평면을 따라 일어나는 전위 이동의 조합으로 재현될 수 없는 전위 이동이 일어나는 미끄럼면으로 정의된다. 주어진 결정계에 대한 기하학적 전위계의 수는 일반적으로 독립적인 전위계의 수보다 많다.

7가지 결정계 각각에 대해 최대 5개의 독립적인 전위계가 존재하지만, 모든 결정계가 이 상한선에 도달하는 것은 아니다. 주어진 결정계 내에서도 조성과 브라베 격자에 따라 독립적인 전위계의 수가 달라진다.

주어진 조성(주요 물질 종류)과 구조(브라베 격자)에 대한 독립적인 전위계의 수.^[10]^[11]
브라베 격자	주요 물질 종류: 독립적인 전위계 수
면심입방	금속: 5, 세라믹(공유결합): 5, 세라믹(이온 결합): 2
체심입방	금속: 5
단순입방	세라믹(이온 결합): 3
육방조밀	금속: 2, 세라믹(혼합): 2

다결정의 결정립이 5개의 독립적인 전위계를 얻지 못하면 입계 조건을 충족할 수 없다. 따라서 개별 결정립의 시간에 무관한 변형은 다결정의 입계에서 균열과 공극을 발생시키고, 곧 파괴로 이어진다. 그러므로 주어진 조성과 구조에 대해 5개 미만의 독립적인 전위계를 가진 단결정은 다결정 형태보다 강하다(더 큰 소성 변형을 나타냄).

3. 2. 2. 결정립계 제약의 의미

위 섹션에서 논의된 두 결정립 A와 B는 동일한 활성화 전위계를 가지고 있지만 서로 다른 방향으로 배열되어 있으며, 따라서 인가된 힘에 대해서도 서로 다른 방향으로 배열되어 있다. 따라서 결정립 내부의 미시적 항복은 단결정 시간 독립적 항복을 지배하는 규칙에 따라 발생할 수 있다. 결국, 결정립 내부의 활성화된 활성화 전위면은 전위가 입계(GB)로 이동하여 기하학적으로 필요한 전위로 쌓이도록 허용할 것이다. 이러한 쌓임은 입계 근처의 전위 밀도가 결정립 내부보다 크기 때문에 개별 결정립에 걸친 변형 구배에 해당하며, 접촉하는 인접 결정립에 응력을 가한다. AB 이결정 전체를 고려할 때, A에서 가장 유리하게 배열된 활성화 전위계는 B의 활성화 전위계와 다르며, 따라서 τ^A_CRSS ≠ τ^B_CRSS이다. 가장 중요한 것은 입계 제약에 따라 결정립 A와 B 사이의 τ_CRSS의 더 높은 값에 도달할 때까지 이결정의 거시적 항복이 지연된다는 사실이다. 따라서 주어진 조성과 구조에 대해 5개의 독립적인 활성화 전위계를 가진 다결정은 단결정 형태보다 강도가 높다(소성 변형 정도가 더 크다). 마찬가지로 다결정은 변형을 생성하는 데 더 많은 응력이 필요하기 때문에 단결정보다 일경화율이 더 높다. 중요한 것은 단결정 흐름 응력과 마찬가지로, τ_flow ~ρ^½이지만 평균 결정립 직경의 제곱근에 반비례하기도 한다(τ_flow ~d^-½). 따라서 다결정의 흐름 응력, 즉 다결정의 강도는 작은 결정립 크기로 증가한다. 그 이유는 더 작은 결정립은 활성화될 활성화 전위면의 수가 상대적으로 적고, 따라서 입계로 이동하는 전위의 수가 적으며, 따라서 전위 쌓임으로 인해 인접 결정립에 유도되는 응력이 적기 때문이다. 또한 주어진 다결정의 부피에 대해 더 작은 결정립은 더 강한 장벽인 입계를 더 많이 나타낸다. 이 두 가지 요소는 미세 입자 다결정에서 거시적 흐름의 시작이 조립 다결정보다 더 큰 인가 응력에서 발생하는 이유를 이해하는 데 도움이 된다.

4. 수학적 설명

소성을 수학적으로 설명하는 방법에는 변형 이론과 흐름 소성 이론 등이 있다.

연성 재료는 파괴 없이 큰 소성 변형을 견딜 수 있다. 그러나 연성 금속도 변형률이 충분히 커지면 파괴되는데, 이는 재료의 가공 경화로 인해 취성이 증가하기 때문이다. 열처리 방법 중 하나인 풀림은 가공된 재료의 연성을 회복시켜 성형을 계속할 수 있도록 한다.

4. 1. 변형 이론 (Deformation theory)

소성을 수학적으로 설명하는 방법에는 여러 가지가 있다.^[12] 그중 하나는 변형 이론(예: 후크의 법칙 참조)으로, 코시 응력 텐서(d차원에서 d-1차)는 변형률 텐서의 함수이다. 이 설명은 물질의 작은 부분이 증가하는 하중(예: 변형률 하중)을 받을 때 정확하지만, 이 이론은 비가역성을 설명할 수 없다.

연성 재료는 파괴 없이 큰 소성 변형을 견딜 수 있다. 그러나 연성 금속조차도 변형률이 충분히 커지면 파괴되는데, 이는 재료의 가공 경화로 인해 취성이 증가하기 때문이다. 열처리 방법 중 하나인 풀림은 가공된 재료의 연성을 회복시켜 성형을 계속할 수 있도록 한다.

4. 2. 흐름 소성 이론 (Flow plasticity theory)

에곤 오로완, 마이클 폴라니, 제프리 인그램 테일러는 1934년에 거의 동시에 연성 재료의 소성 변형을 전위 이론으로 설명할 수 있다는 것을 발견했다. 소성의 수학적 이론인 흐름 소성 이론은 비선형 비적분 방정식을 사용하여 이전 상태와 작은 변형 증가에 대한 변형률과 응력의 변화를 설명한다.^[1]

5. 항복 기준 (Yield criteria)

응력이 임계값을 초과하면 재료는 소성 또는 비가역 변형을 겪게 된다. 이 임계 응력은 인장 또는 압축일 수 있다. 재료가 항복했는지 여부를 결정하는 데에는 트레스카 기준과 폰 미세스 기준이 일반적으로 사용된다. 그러나 이러한 기준은 광범위한 재료에는 부적절하다는 것이 증명되었으며, 다른 여러 항복 기준도 널리 사용되고 있다.^[13]

5. 1. 트레스카 기준 (Tresca criterion)

트레스카 기준은 재료가 파괴될 때 전단으로 파괴된다는 개념에 기반하며, 이는 금속을 고려할 때 비교적 좋은 가정이다. 모어 원을 사용하여 재료가 경험하는 최대 전단 응력을 구하고, 다음과 같은 조건에서 재료가 파괴될 것이라고 결론 내릴 수 있다.

:

\sigma_1 - \sigma_3 \ge \sigma_0

여기서 ''σ''₁은 최대 수직 응력, ''σ''₃는 최소 수직 응력, ''σ''₀는 재료가 단축 하중에서 파괴되는 응력이다. 이 개념을 시각적으로 나타내는 항복면을 구성할 수 있다. 항복면 내부에서는 변형이 탄성적이다. 표면에서는 변형이 소성적이다. 재료는 항복면 외부의 응력 상태를 가질 수 없다.

5. 2. 폰 미제스 기준 (von Mises criterion)

주응력 좌표계에서 본 미제스 항복면은 정수압축을 중심으로 하는 원통을 그린다. 또한 트레ска의 육각형 항복면도 나타나 있다.

후버-미제스 기준^[13]은 트레ска 기준에 기반하지만 정수압 응력은 재료 파괴에 기여하지 않는다는 가정을 고려한다. M. T. 후버는 전단 에너지 기준을 처음 제안한 사람이다.^[14]^[15] 미제스는 일축 하중 하에서 정수압 응력을 빼고 유효 응력을 구하고, 일축 하중에서 재료 파괴를 일으키는 유효 응력보다 큰 모든 유효 응력은 소성 변형을 초래한다고 명시했다.

:

\sigma_v^2 = \tfrac{1}{2}[(\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + (\sigma_{11} - \sigma_{33})^2 + 6(\sigma_{23}^2 + \sigma_{31}^2 + \sigma_{12}^2)]

다시 말해, 위 식을 사용하여 항복면을 시각적으로 표현할 수 있으며, 이는 타원형을 취한다. 면 내부에서는 재료가 탄성 변형을 일으킨다. 면에 도달하면 재료는 소성 변형을 일으킨다.

참조

_[1] 서적 Plasticity theory Dover
_[2] 서적 Nonlinear Solid Mechanics: Bifurcation Theory and Material Instability Cambridge University Press
_[3] 서적 Inelastic analysis of structures John Wiley and Sons
_[4] 서적 Limit Analysis and Soil Plasticity J. Ross Publishing
_[5] 서적 Generalized Plasticity Springer
_[6] 서적 Plasticity in Reinforced Concrete J. Ross Publishing
_[7] 간행물 Reversible Plasticity in fcc metals https://dx.doi.org/1[...] 2009
_[8] 학술지 Micro-plasticity and recent insights from intermittent and small-scale plasticity 2018-01-00
_[9] 서적 Mechanical Behavior of Materials Waveland Press, Inc 2005-00-00
_[10] 서적 Deformation and Fatigue of Hexagonal Close Packed Metals 1969-00-00
_[11] 학술지 Independent Slip Systems in Crystals 1963-00-00
_[12] 서적 The Mathematical Theory of Plasticity Oxford University Press
_[13] 학술지 Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand http://www.digizeits[...]
_[14] 학술지 Właściwa praca odkształcenia jako miara wytezenia materiału
_[14] 학술지 Specific Work of Strain as a Measure of Material Effort http://am.ippt.pan.p[...]
_[15] 서적 History of Strength of Materials https://books.google[...] McGraw-Hill
_[16] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[17] 웹사이트 대한화학회 화학술어집 https://new.kcsnet.o[...]
_[18] 서적 Mechanical Behavior of Materials Waveland Press, Inc 2005-00-00
_[19] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[20] 웹사이트 대한화학회 화학술어집 https://new.kcsnet.o[...]

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