전자 이동도

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1. 개요

전자 이동도는 물질에 전기장이 가해졌을 때 전하 운반체의 평균 속도를 전기장 세기로 나눈 값으로 정의된다. 이는 전하 운반체의 전하, 유효 질량, 완화 시간에 의해 결정되며, 물질의 전기 전도도와 밀접한 관련이 있다. 전자 이동도는 산란 메커니즘, 온도, 전기장, 도핑 농도 등에 의해 영향을 받으며, 특히 불순물 산란과 격자(포논) 산란이 중요한 역할을 한다. 무질서 반도체에서는 다중 포획 및 방출, 가변 범위 호핑 등의 현상에 의해 전하 이동 특성이 나타난다. 전자 이동도는 홀 효과, 전계 효과, 광학적 측정, 시간 분해 마이크로파 전도도 등의 다양한 방법을 통해 측정될 수 있으며, 금속, 반도체, 저차원 시스템 등 다양한 물질에서 그 값이 다르게 나타난다.

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전자 이동도
개요
정의	고체 물질 내에서 전하 운반체(전자 또는 정공)가 전기장 내에서 얼마나 쉽게 이동하는지를 나타내는 척도
기호	μ
단위	m²/V·s (제곱미터 매 볼트 초) 또는 cm²/V·s (제곱센티미터 매 볼트 초)
종류	전자 이동도 정공 이동도
전하 운반체의 운동
원리	전기장에 의해 가속된 전하 운반체가 결정 격자 내의 불순물이나 진동(포논)에 의해 산란되어 이동 속도가 제한됨.
이동 속도	전하 운반체의 평균 이동 속도는 가해진 전기장에 비례하며, 비례 상수가 이동도임.
드리프트 속도	전하 운반체의 평균 이동 속도 (드리프트 속도)는 전기장 강도에 이동도를 곱한 값으로 표현함.
이동도에 영향을 미치는 요인
온도	온도가 증가하면 결정 격자의 진동이 커져 산란이 증가하므로 이동도가 감소함.
불순물	결정 격자 내의 불순물은 전하 운반체의 산란을 유발하여 이동도를 감소시킴.
결정 결함	결정 결함은 전하 운반체의 산란을 유발하여 이동도를 감소시킴.
재료의 종류	반도체 (실리콘, 게르마늄 등) 금속 절연체
반도체에서의 이동도
전자 이동도	반도체 내에서 전자가 이동하는 정도를 나타내는 척도
정공 이동도	반도체 내에서 정공이 이동하는 정도를 나타내는 척도
일반적인 값	반도체에서 전자 이동도는 정공 이동도보다 일반적으로 높음.
금속에서의 이동도
특징	금속에서는 전자가 자유롭게 이동하므로 이동도가 일반적으로 높음.
온도 의존성	금속의 이동도는 온도에 따라 크게 변함.
측정 방법
홀 효과 측정	자기장과 전기장을 함께 사용하여 이동도를 측정하는 방법
시간 분해 분광법	광학적 방법으로 전하 운반체의 이동을 추적하여 이동도를 측정하는 방법
활용 분야
반도체 소자	트랜지스터, 다이오드 등 반도체 소자의 성능을 결정하는 중요한 요소
태양 전지	태양 전지 효율에 영향을 미치는 중요한 요소
디스플레이	디스플레이 소자의 성능에 영향을 미치는 요소

2. 정의

외부 전기장이 없을 때, 고체 내부의 전자와 정공은 브라운 운동을 한다. 따라서 시간이 지남에 따라 특정 방향으로 전하 운반체가 이동하지 않는다.^[20]

그러나 전기장이 인가되면 각 전자 또는 정공은 전기장에 의해 가속된다. 만약 전자가 진공 상태에 있다면, 계속해서 속도가 증가하는 (탄도 수송) 상태가 될 것이다. 그러나 고체 내부에서는 전자가 결정 결함, 포논, 불순물 등과 반복적으로 산란되어 에너지를 잃고 방향을 바꾼다. 최종 결과적으로 전자는 표류 속도라고 하는 유한한 평균 속도로 움직인다. 이러한 전자의 순 운동은 일반적으로 발생하는 무작위 운동보다 훨씬 느리다.

전자 이동도는 다음 방정식으로 정의된다.

:''v_d'' = ''μ_eE''

여기서:

''E''는 재료에 가해지는 전기장의 크기이고,
''v_d''는 전기장에 의해 발생하는 전자의 표류 속도(다시 말해, 전자 표류 속도)의 크기이고,
''μ_e''는 전자 이동도이다.

정공 이동도는 유사한 방정식으로 정의된다.

:''v_d'' = ''μ_hE''

전자 이동도와 정공 이동도는 정의에 따라 모두 양수이다.

일반적으로 재료 내의 전자 표류 속도는 전기장에 정비례하며, 이는 전자 이동도가 상수(전기장과 무관)임을 의미한다. 이것이 사실이 아닌 경우(예: 매우 큰 전기장의 경우), 이동도는 전기장에 따라 달라진다.

속도의 SI 단위는 m/s이고, 전기장의 SI 단위는 V/m이다. 따라서 이동도의 SI 단위는 (m/s)/(V/m) = m²/(V⋅s)이다. 그러나 이동도는 cm²/(V⋅s) = 10⁻⁴ m²/(V⋅s)로 표현되는 경우가 훨씬 더 일반적이다.

뉴턴의 운동 제2법칙에서 시작하여,

:''a'' = ''F''/''m_e''^*

여기서:

''a''는 충돌 사이의 가속도이다.
''F''는 전기장에 의해 작용하는 전기력이다.
''m_e''^*는 전자의 유효 질량이다.

전자에 작용하는 힘이 −''eE''이므로, 이는 충돌 사이의 전자 가속도이다.

:''a'' = -(''eE'')/''m_e''^*

따라서 표류 속도는 다음과 같다.

:''v_d'' = ''aτ_c'' = -((''eτ_c'')/''m_e''^*)''E'', 여기서 ''τ_c''는 평균 자유 시간이다.

표류 속도가 전기장에 따라 어떻게 변하는지에만 관심이 있으므로, 다음을 얻는다.

:''v_d'' = -''μ_eE'', 여기서 ''μ_e'' = (''eτ_c'')/''m_e''^*

마찬가지로, 정공의 경우 다음과 같다.

:''v_d'' = ''μ_hE'', 여기서 ''μ_h'' = (''eτ_c'')/''m_h''^*

전자 이동도와 정공 이동도는 모두 양수임을 유의한다. 전자 표류 속도에 음의 부호를 추가하여 음전하를 고려한다.

단순 모델은 산란 시간(산란 사건 사이의 평균 시간)과 이동도 사이의 근사적인 관계를 보여준다. 각 산란 사건 후에, 운반자의 운동은 무작위화되어 평균 속도가 0이 된다고 가정한다. 그 후, 다시 산란될 때까지 전기장에서 균일하게 가속된다. 그 결과 평균 표동 이동도는 다음과 같다.^[20]

:''μ'' = (''q''/''m''^*)''τ''

여기서

''q''는 기본 전하량,
''m''^*는 운반자 유효 질량
''τ''는 평균 산란 시간이다.

유효 질량이 비등방성(방향에 따라 다름)인 경우, ''m''^*는 전기장 방향의 유효 질량이다.

물질에 전기장 '''E''' (kg·m/s²·C)을 걸었을 때, 물질 내부의 캐리어가 전기장에 의해 평균 속도 '''v''' (m/s)로 이동한다고 하자. 이때, 이 물질의 이동도 μ (C·s/kg)는 다음 식으로 정의된다.

:'''v''' = μ'''E'''

캐리어의 전하를 '''q''' (C), 전자의 유효 질량을 '''m*''' (kg), 전자의 완화 시간을 '''τ''' (s)라고 하면, 이동도는 다음 식으로 계산된다.

:μ ≡ ''qτ''/''m''^*

3. 전기 전도도와의 관계

전자 이동도와 정공 이동도는 재료 내에서 전하 운반자가 전기장에 의해 얼마나 쉽게 움직이는지를 나타내는 물리량이다. 이들은 각각 다음과 같은 방정식으로 정의된다.

: $v_d = \mu_e E$ (전자)

: $v_d = \mu_h E$ (정공)

여기서,

''E''는 재료에 가해지는 전기장의 크기
''v_d''는 전하 운반자의 표류 속도(drift velocity)의 크기
''μ''_e는 전자 이동도
''μ''_h는 정공 이동도

일반적으로 표류 속도는 전기장에 정비례하며, 이는 이동도가 상수임을 의미한다. 그러나 매우 큰 전기장 하에서는 이동도가 전기장에 따라 달라질 수 있다.

이동도의 SI 단위는 m²/(V⋅s)이지만, cm²/(V⋅s) 단위도 널리 사용된다. 이동도는 불순물 농도와 온도에 크게 영향을 받으며, 실험적으로 결정된다. 주어진 재료에서 전자와 정공의 이동도는 서로 다르다.

전류 밀도 ''J''는 전하 운반자의 농도(''n'' 또는 ''p''), 전하량(''e''), 이동도(''μ''_e 또는 ''μ''_h), 그리고 전기장(''E'')을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

J_e = e n\mu_e E

(전자)

:

J_h =e p \mu_h E

(정공)

총 전류 밀도는 전자와 정공에 의한 전류 밀도의 합으로 주어진다.

:

J=J_e+J_h=(en\mu_e+ep\mu_h)E

옴의 법칙에 따르면, 전류 밀도는 전기 전도도(''σ'')와 전기장의 곱으로 표현된다.

:

J=\sigma E

따라서 전기 전도도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sigma=e(n\mu_e+p\mu_h)

이동도는 저항률(''ρ'')과 다음과 같은 관계를 가진다.

:

qn\mu\rho=1

결론적으로, 이동도는 물질의 전기적 특성을 결정하는 중요한 파라미터이다.

4. 전하 이동도에 영향을 미치는 요인

외부 전기장이 가해지면 고체 내의 전자와 정공은 전기장에 의해 가속된다. 전자가 진공 상태에 있다면 계속해서 속도가 증가하겠지만(탄도 수송), 고체 내에서는 결정 결함, 포논, 불순물 등과의 반복적인 산란으로 인해 에너지를 잃고 방향을 바꾸어 결국 표류 속도라는 유한한 평균 속도로 움직이게 된다.

뉴턴의 운동 제2법칙에 따라, 전자에 작용하는 힘과 전자의 유효 질량을 고려하면 전자의 표류 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $v_d = -\mu_e E$ , 여기서 $\mu_e = \frac{e\tau_c}{m_e^*}$

마찬가지로, 정공의 경우에도 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $v_d = \mu_h E$ , 여기서 $\mu_h = \frac{e\tau_c}{m_h^*}$

( $\tau_c$ 는 평균 자유 시간, $m_e^*$ 는 전자의 유효 질량, $m_h^*$ 는 정공의 유효 질량)

전자 이동도와 정공 이동도는 모두 양수이며, 전자 표류 속도에는 음의 부호를 추가하여 음전하를 고려한다.

전류 밀도는 표류 속도로부터 계산할 수 있다. 전자의 경우 전류 밀도는 다음과 같다.

: $J_e = e n\mu_e E$

정공의 경우 전류 밀도는 다음과 같다.

: $J_h =e p \mu_h E$

(n은 전자 농도, p는 정공 농도)

총 전류 밀도는 전자와 정공 성분의 합으로 주어진다.

: $J=J_e+J_h=(en\mu_e+ep\mu_h)E$

4. 1. 산란 메커니즘

전하 운반자는 결정 결함, 불순물, 포논 등과 산란되어 이동도가 감소한다. 주요 산란 메커니즘에는 이온화 불순물 산란, 격자(포논) 산란, 압전 산란, 표면 거칠기 산란, 합금 산란, 비탄성 산란, 전자-전자 산란 등이 있다.^[14]

산란 시간(산란 사건 사이의 평균 시간)과 이동도 사이의 관계는 다음과 같다.^[20]

:

\mu = \frac{q}{m^*}\overline{\tau}

여기서 ''q''는 기본 전하량, ''m''*는 운반자 유효 질량,

\overline{\tau}

는 평균 산란 시간이다.

일반적으로 여러 산란 원인이 존재하며, 이들의 영향을 결합할 때는 "매티슨의 법칙"을 사용한다.^[14]

:

\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_{\rm impurities}} + \frac{1}{\mu_{\rm lattice}} + \frac{1}{\mu_{\rm defects}} + \cdots.

:

\frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_{\rm impurities}} + \frac{1}{\tau_{\rm lattice}} + \frac{1}{\tau_{\rm defects}} + \cdots .

여기서 ''μ''는 실제 이동도,

\mu_{\rm impurities}

는 불순물 산란만 있는 경우의 이동도,

\mu_{\rm lattice}

는 격자 포논 산란만 있는 경우의 이동도이며, τ는 실제 평균 산란 시간, τ_impurities는 불순물 산란만 있는 경우의 평균 산란 시간이다.

매티슨의 법칙은 근사치이며 모든 경우에 적용되는 것은 아니다. 이동도에 영향을 미치는 요인들이 서로 의존적이면 이 법칙은 유효하지 않다.^[19]

탄성 산란은 산란 과정에서 에너지가 거의 보존되는 것을 의미한다. 음향 포논 산란, 불순물 산란, 압전 산란 등이 탄성 산란에 해당한다. 음향 포논 산란에서 전자는 파수 벡터 '''q'''를 가진 포논을 방출하거나 흡수하면서 상태 '''k'''에서 '''k'''로 산란한다.^[15]

4. 1. 1. 이온화 불순물 산란

반도체는 일반적으로 이온화되어 전하를 띠는 도너(donor) 또는 억셉터(acceptor)로 도핑된다. 쿨롱 힘은 이온화된 불순물에 접근하는 전자 또는 정공을 굴절시키는데, 이를 이온화 불순물 산란이라고 한다. 굴절 정도는 캐리어의 속도와 이온과의 근접성에 따라 달라진다. 재료의 도핑 농도가 높을수록 주어진 시간 내에 캐리어가 이온과 충돌할 확률이 높아지고, 충돌 사이의 평균 자유 시간이 짧아지며, 이동도가 감소한다. 쿨롱 포텐셜의 장거리 특성으로 인한 이러한 상호작용의 세기를 결정할 때, 다른 불순물과 자유 캐리어는 벌거벗은 쿨롱 상호작용에 비해 캐리어와의 상호작용 범위를 상당히 감소시킨다.^[15]

4. 1. 2. 격자 (포논) 산란

절대 영도보다 높은 온도에서 진동하는 원자는 결정 내에 압력(음향)파를 생성하는데, 이를 포논(phonon)이라고 한다. 전자와 마찬가지로 포논은 입자로 간주될 수 있다. 포논은 전자(또는 정공)와 상호 작용(충돌)하여 산란시킬 수 있다. 고온일수록 포논이 많아지므로 전자 산란이 증가하여 이동도가 감소하는 경향이 있다.

4. 1. 3. 압전 산란

압전 효과는 극성을 띠는 화합물 반도체에서만 발생할 수 있다. 대부분의 반도체에서는 그 크기가 작지만, 전하 운반자를 편향시켜 산란을 일으키는 국부적인 전기장을 생성할 수 있다. 이 효과는 다른 산란 메커니즘이 약한 저온에서 주로 중요하다. 이러한 전기장은 격자의 특정 방향으로 변형이 가해질 때 기본 단위 셀의 왜곡으로 인해 발생한다.^[15]

4. 1. 4. 표면 거칠기 산란

계면 무질서에 의한 표면 거칠기 산란은 짧은 범위의 산란으로, 계면에서 준이차원 전자의 이동도를 제한한다. 고해상도 투과 전자 현미경 사진을 보면 계면이 원자 수준에서 급격하지 않고, 실제 계면의 위치가 표면을 따라 1~2개 원자층 정도 변한다는 것을 알 수 있다. 이러한 변화는 무작위적이며 계면에서 에너지 준위의 변동을 일으켜 산란을 유발한다.^[15]

4. 1. 5. 합금 산란

합금 산란은 화합물(합금) 반도체에서 치환 원자 종의 무작위 배열로 인해 결정 전위가 섭동되어 발생하는 산란이다. 이는 삼원 이상의 합금에서만 발생할 수 있는데, 결정 구조 하부격자 중 하나에서 일부 원자가 무작위로 치환되어 결정 구조가 형성되기 때문이다.^[15]^[16]^[17]^[18]^[19] 일반적으로 이 현상은 상당히 약하지만, 특정 재료나 상황에서는 전도도를 제한하는 지배적인 효과가 될 수 있다. 벌크 재료에서는 계면 산란이 일반적으로 무시된다.^[15]^[16]^[17]^[18]^[19] 많은 열전 재료들이 합금 산란을 보인다.

4. 1. 6. 비탄성 산란

비탄성 산란 과정에서는 상당한 에너지 교환이 발생한다. 탄성 포논 산란과 마찬가지로 비탄성 산란에서도 퍼텐셜은 원자 진동에 의해 발생하는 에너지 띠 변형으로부터 기인한다. 비탄성 산란을 일으키는 광학 포논은 일반적으로 30 meV~50 meV의 에너지를 가지는 반면, 음향 포논의 에너지는 일반적으로 1 meV 미만이지만 10 meV 정도의 에너지를 갖는 것도 있다. 산란 과정 중에 캐리어 에너지가 상당히 변화한다. 광학 포논 또는 고에너지 음향 포논은 계곡 간 또는 띠 간 산란을 일으킬 수도 있는데, 이는 산란이 단일 계곡 내에 국한되지 않음을 의미한다.^[15]

4. 1. 7. 전자-전자 산란

Electron–electron scattering^영어은 전자 밀도가 높거나 전기장이 강한 환경에서 중요해지는 산란 현상이다.

일반적으로 전자 밀도가 10¹⁶~10¹⁷ cm⁻³를 넘지 않거나, 전기장 세기가 10³ V/cm를 넘지 않는 경우에는 파울리 배타 원리에 따라 전자들이 서로 상호작용하지 않는 것으로 간주할 수 있다. 그러나 이러한 한계를 크게 넘어서면 전자-전자 산란이 주된 현상이 된다.^[15]^[16]^[17]

전자 간 상호작용은 쿨롱 포텐셜의 장거리 및 비선형 특성 때문에 다루기 어렵다.^[15]^[16]^[17]

4. 2. 온도 의존성

일반적으로 온도가 증가하면 포논 농도가 증가하여 산란이 증가한다. 따라서 격자 산란은 캐리어 이동도를 더욱 낮춘다.^[22] 이론적 계산에 따르면 실리콘(Si)과 저마늄(Ge)과 같은 비극성 반도체의 이동도는 음향 포논 상호 작용에 의해 지배된다. Si, Ge 및 GaAs에서 이동도의 온도 의존성 값은 다음 표와 같다.^[22]

이동도의 전형적인 온도 의존성^[22]
	Si	Ge	GaAs
전자	∝T ^−2.4	∝T ^−1.7	∝T ^−1.0
정공	∝T ^−2.2	∝T ^−2.3	∝T ^−2.1

반도체에서 음향 포논 산란에 의한 이동도는 ${\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}$ , 대전된 결함으로부터의 산란에 의한 이동도는 ${\mu }_\text{def}\sim T^{3/2}$ 이다.^[16]^[18]

이온화 불순물 산란의 효과는 온도가 증가함에 따라 감소하는데, 이는 캐리어의 평균 열 속도가 증가하기 때문이다.^[14] 따라서 캐리어는 이온화된 불순물 근처에서 더 적은 시간을 보내게 되고, 이온의 산란 효과가 감소한다.

이 두 가지 효과는 마티센의 법칙을 통해 캐리어에 동시에 작용한다. 저온에서는 이온화 불순물 산란이 지배적이지만, 고온에서는 포논 산란이 지배적이며, 실제 이동도는 중간 온도에서 최대값에 도달한다.

4. 3. 전기장 의존성

낮은 전기장에서 표류 속도(''v''_''d'')는 전기장(''E'')에 비례하므로, 이동도(''μ'')는 일정하다. 이 ''μ'' 값을 ''저전압 이동도''라고 한다.

그러나 전기장이 증가함에 따라, 전하 운반자(캐리어) 속도는 아선형적으로 증가하고, ''포화 속도(''v''_sat)''라고 하는 최대 가능 값에 점근적으로 접근한다. 예를 들어, Si에서 전자와 정공 모두의 ''v''_sat 값은 10000000cm/s 정도이다. Ge의 경우에는 6000000cm/s 정도이다.^[13] 이 속도는 재료의 특성이며, 도핑 또는 불순물 레벨 및 온도의 강한 함수이다. 트랜지스터와 같은 소자의 최대 응답 속도 및 주파수 한계를 결정하는 주요 재료 및 반도체 소자 특성 중 하나이다.

이러한 속도 포화 현상은 ''광학 포논 산란''이라는 과정의 결과이다. 높은 전기장에서 캐리어는 충돌 사이에 충분한 운동 에너지를 얻을 만큼 가속되어 광학 포논을 방출하고, 다시 가속되기 전에 매우 빠르게 그렇게 한다. 포논을 방출하기 전에 전자가 도달하는 속도는 다음과 같다.^[13]

:

\frac{m^* v_\text{emit}^2}{2} \approx \hbar \omega_\text{phonon (opt.)}

여기서 ''ω''_phonon(opt.)는 광학 포논 각 주파수이고, m*는 전기장 방향의 캐리어 유효 질량이다. Si의 ''E''_{phonon (opt.)} 값은 0.063 eV이고, GaAs와 Ge의 경우 0.034 eV이다. 포화 속도는 ''v''_emit의 절반에 불과한데, 전자가 0의 속도로 시작하여 각 사이클에서 ''v''_emit까지 가속되기 때문이다.^[13]

속도 포화가 유일한 고전압 거동은 아니다. 또 다른 하나는 건 효과로, 충분히 높은 전기장이 계곡 간 전자 전달을 일으켜 표류 속도를 감소시킬 수 있다. 이것은 드문 경우이다. 전기장을 증가시키면 거의 항상 표류 속도가 ''증가''하거나 변경되지 않는다. 그 결과 음의 미분 저항이 발생한다.

속도 포화(또는 기타 고전압 효과) 영역에서 이동도는 전기장의 강한 함수이다. 즉, 표류 속도를 직접 논의하는 것과 비교하여 이동도는 다소 유용성이 떨어지는 개념이다.

4. 4. 도핑 농도 의존성

반도체 내의 전하 운반자는 전자와 정공이다. 이들의 개수는 불순물 원소의 농도, 즉 도핑 농도에 의해 제어된다. 따라서 도핑 농도는 전하 이동도에 큰 영향을 미친다.

도핑 농도가 증가하면 이온화 불순물 산란이 증가하여 이동도가 감소한다. 보상되지 않은 재료(역 도핑 없음)의 경우 고농도 도핑 기판(10¹⁸ cm^-3 이상)에서 실리콘의 이동도는 종종 다음과 같은 경험적 관계식으로 특징지어진다.^[37]

상온에서 실리콘의 다수 캐리어에 대한 식은 다음과 같다.^[38]

캐리어 종류	공식
전자 (n형)	$\mu_n(N_D) = 65 + \frac{1265}{1+ \left(\frac{N_D}{8.5\times10^{16}}\right)^{0.72}}$
정공 (p형)	$\mu_p(N_A) = 48 + \frac{447}{1+ \left(\frac{N_A}{6.3\times10^{16}}\right)^{0.76}}$

상온에서 실리콘의 소수 캐리어에 대한 식은 다음과 같다.^[39]

캐리어 종류	공식
전자 (p형)	$\mu_n(N_A) = 232 + \frac{1180}{1+ \left(\frac{N_A}{8\times10^{16}}\right)^{0.9}}$
정공 (n형)	$\mu_p(N_D) = 130 + \frac{370}{1+ \left(\frac{N_D}{8\times10^{17}}\right)^{1.25}}$

이러한 방정식은 실리콘에만 적용되며, 저전계에서만 적용된다.

5. 무질서 반도체에서의 전하 이동

결정성 물질에서 전자는 고체 전체에 퍼져있는 파동 함수로 기술될 수 있지만, 앤더슨은 다결정 또는 비정질 반도체와 같이 구조적 무질서가 심한 시스템에서는 전자 상태가 특정 영역에 ''국소화''될 수 있다고 제안했다.^[24] 국소화된 상태는 제한된 공간에 갇혀 수송에 기여하지 못하고, 확장된 상태는 물질 전체에 퍼져있어 수송에 기여한다. 결정성 반도체와 달리, 무질서 반도체에서는 이동도가 일반적으로 온도가 증가함에 따라 증가한다.

5. 1. 다중 포획 및 방출 (Multiple Trapping and Release)

모트는 이동성 가장자리(mobility edge) 개념을 발전시켰다.^[25] 이는 전자가 국소화된 상태에서 비국소화된 상태로 전이되는 에너지

E_{C}

이다. "다중 포획 및 방출" 설명에서 전자는 확장된 상태에 있을 때만 이동할 수 있으며, 끊임없이 낮은 에너지의 국소화된 상태에 포획되고 다시 방출된다. 전자가 트랩에서 방출될 확률은 열에너지에 따라 달라지기 때문에, 이러한 시스템에서 이동도는 아레니우스 관계식으로 설명할 수 있다.

다중 포획 및 방출 하에서의 전자 수송을 나타내는 에너지 밴드 다이어그램.

:

\mu=\mu_{0}\exp\left(-\frac{E_\text{A}}{k_\text{B}T}\right)

여기서

\mu_{0}

는 이동도 전구인자(mobility prefactor),

E_\text{A}

는 활성화 에너지,

k_\text{B}

는 볼츠만 상수,

T

는 온도이다. 활성화 에너지는 일반적으로 온도의 함수로 이동도를 측정하여 평가한다. 우르바흐 에너지는 일부 시스템에서 활성화 에너지의 대용으로 사용할 수 있다.^[26]

5. 2. 가변 범위 호핑 (Variable Range Hopping)

저온 또는 구조적 무질서가 심한 계(예: 완전 비정질계)에서는 전자가 비편재화된 상태에 접근할 수 없다. 이러한 계에서 전자는 터널링을 통해 한 부위에서 다른 부위로 이동할 수 있으며, 이 과정을 가변 범위 호핑(variable range hopping)이라고 한다.^[27] Mott과 Davis가 개발한 가변 범위 호핑의 원래 이론에서 전자가 한 부위

i

에서 다른 부위

j

로 호핑할 확률

P_{ij}

은 공간에서의 거리

r_{ij}

와 에너지 차이

\Delta E_{ij}

에 따라 달라진다.

P_{ij} = P_{0}\exp\left(-2\alpha r_{ij} - \frac{\Delta E_{ij}}{k_{B} T}\right)

여기서

P_{0}

는 물질의 포논 진동수와 관련된 전인자^[28]이며,

\alpha

는 파동함수 중첩 매개변수이다. 가변 범위 호핑에 의해 지배되는 계의 이동도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[27]

\mu=\mu_{0} \exp \left(-\left [ \frac{T_{0}}{T} \right ]^{-1/(d+1)}\right)

여기서

\mu_{0}

는 이동도 전인자,

T_{0}

는 국재화된 상태의 폭을 정량화하는 매개변수(온도 차원을 가짐),

d

는 계의 차원이다.

6. 전하 이동도 측정 방법

전하 이동도는 홀 효과 측정, 전계 효과 트랜지스터(FET)를 이용한 전계 효과 측정, 비접촉식 레이저 광반사법 측정, 시간 분해능 테라헤르츠 탐침 측정, 시간 분해 마이크로파 전도도(TRMC) 측정 등 다양한 방법으로 측정할 수 있다.

6. 1. 홀 효과 측정

전하 이동도는 홀 효과를 이용하여 측정할 수 있다. 이 방법으로 측정된 이동도를 "홀 이동도"라고 부른다.

직사각형 반도체 시료에 전류가 ''x'' 방향으로 흐르고, 자기장이 ''z'' 방향으로 가해지면, 로렌츠 힘에 의해 전자(n형) 또는 정공(p형)이 (-''y'') 방향으로 힘을 받아 ''ξ_y''라는 전기장이 생긴다. 이때 시료 양단에 발생하는 전압 ''V_H''를 홀 전압이라 한다. ''V_H''는 n형에서는 음수, p형에서는 양수이다.

전하 q에 작용하는 로렌츠 힘은 다음과 같다.

전자의 경우:

\mathbf F_{Hn} = -q(\mathbf v_n \times \mathbf B_z)

정공의 경우:

\mathbf F_{Hp} = +q(\mathbf v_p \times \mathbf B_z)

정상 상태에서는 이 힘과 홀 전압에 의한 힘이 균형을 이루어 ''y'' 방향의 알짜힘은 0이 된다. 전자의 경우,

\mathbf F_y = (-q)\xi_y + (-q)[\mathbf v_n \times\mathbf B_z] = 0

\Rightarrow -q\xi_y + qv_xB_z = 0

\xi_y = v_xB_z

전자는 −''y'' 방향, 정공은 +''y'' 방향으로 전기장이 형성된다.

전자 전류 ''I''는

I = -qnv_xtW

로 주어지고, ''ξ''_''y'' 식에 ''v''_''x''를 대입하면,

\xi_y = -\frac{IB}{nqtW} = +\frac{R_{Hn}IB}{tW}

여기서 ''R_Hn''은 전자에 대한 홀 계수이며,

R_{Hn} = -\frac{1}{nq}

로 정의된다.

\xi_y = \frac{V_H}{W}

이므로,

R_{Hn} = -\frac{1}{nq} = \frac{V_{Hn}t}{IB}

정공의 경우도 마찬가지로,

R_{Hp} = \frac{1}{pq} = \frac{V_{Hp}t}{IB}

홀 계수를 통해 전하 이동도를 계산할 수 있다.

\begin{align}\mu_n &= \left(-nq\right) \mu_n \left(-\frac{1}{nq}\right) \\&= -\sigma_n R_{Hn} \\&= -\frac{\sigma_n V_{Hn} t}{IB}\end{align}

마찬가지로,

\mu_p = \frac{\sigma_p V_{Hp}t}{IB}

''V_Hp''(홀 전압), ''t''(시료 두께), ''I''(전류), ''B''(자기장)는 직접 측정하고, 전도도 ''σ''_n 또는 ''σ''_p는 알려져 있거나 저항률 측정으로 구할 수 있다.

6. 2. 전계 효과 측정

이동도는 전계 효과 트랜지스터(FET)를 사용하여 측정할 수 있으며, 그 측정 결과를 "전계 효과 이동도"라고 한다. 측정은 포화 모드 측정 또는 선형 영역 측정의 두 가지 방식으로 수행될 수 있다.^[29] (다양한 동작 모드 또는 영역에 대한 설명은 MOSFET 참조)

6. 2. 1. 포화 모드 측정

이 기법에서는^[29] 각 고정 게이트 전압 V_GS^영어에 대해 드레인-소스 전압 V_DS^영어를 증가시켜 전류 I_D^영어가 포화될 때까지 증가시킨다. 다음으로, 이 포화 전류의 제곱근을 게이트 전압에 대해 도시하고, 기울기 ''m''_sat을 측정한다. 그러면 이동도는 다음과 같다.

\mu = m_\text{sat}^2 \frac{2L}{W} \frac{1}{C_i}

여기서 ''L''과 ''W''는 채널의 길이와 너비이고, ''C''_''i''는 단위 면적당 게이트 절연체 정전용량이다. 이 방정식은 포화 모드의 MOSFET에 대한 근사 방정식에서 유도된다.

I_D = \frac{\mu C_i}{2}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{th})^2.

여기서 ''V''_th는 문턱 전압이다. 이 근사는 얼리 효과(채널 길이 변조) 등을 무시한다. 실제로, 이 기법은 실제 이동도를 과소평가할 수 있다.^[30]

6. 2. 2. 선형 영역 측정

이 기법^[29]에서는 트랜지스터가 선형 영역(또는 "옴 영역")에서 동작하는데, 여기서 V_DS는 작고, 기울기 ''m''_lin을 갖는

I_D \propto V_{GS}

의 관계가 성립한다. 그러면 이동도는 다음과 같다.

:

\mu = m_\text{lin} \frac{L}{W} \frac{1}{V_{DS}} \frac{1}{C_i}.

이 식은 선형 영역에서 MOSFET에 대한 근사 방정식에서 유도된다.

:

I_D= \mu C_i \frac{W}{L} \left( (V_{GS}-V_{th})V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2} \right)

실제로 이 기법은 실제 이동도를 과대평가할 수 있다. V_DS가 충분히 작지 않고 V_G가 충분히 크지 않으면 MOSFET이 선형 영역에 머물지 못할 수 있기 때문이다.^[30]

6. 3. 광학적 측정

전자 이동도는 비접촉식 레이저 광반사법 측정으로 결정될 수 있다. 시료가 초점을 맞추면서 단계적으로 이동함에 따라 일련의 광반사 측정이 이루어진다. 전자 확산 길이와 재결합 시간은 데이터에 대한 회귀 분석으로 결정된다. 그런 다음 아인슈타인 관계식을 사용하여 이동도를 계산한다.^[31]^[32]

전자 이동도는 시간 분해능 테라헤르츠 탐침 측정으로 계산할 수 있다.^[33]^[34] 펨토초 레이저 펄스가 반도체를 여기시키고, 그 결과로 생기는 광전도도는 테라헤르츠 전기장의 변화를 감지하는 테라헤르츠 탐침을 사용하여 측정한다.^[35]

6. 4. 시간 분해 마이크로파 전도도 (TRMC)

시간 분해 마이크로파 전도도(TRMC)는 펄스 광 레이저를 사용하여 반도체 내에 전자와 정공을 생성하고, 광전도도의 증가를 통해 전하 운반체 이동도의 대용 지표를 평가하는 데 사용된다.^[36] 시료 흡광도, 치수 및 입사 레이저 플루언스를 알면

\phi\Sigma\mu=\phi(\mu_{e}+\mu_{h})

매개변수를 평가할 수 있다. 여기서

\phi

는 반송자 생성 수율(0과 1 사이),

\mu_{e}

는 전자 이동도,

\mu_{h}

는 정공 이동도이다.

\phi\Sigma\mu

는 이동도와 같은 차원을 가지지만, 반송자 종류(전자 또는 정공)는 불분명하다.

7. 다양한 물질의 전하 이동도 (예시)

금속(Al, Au, Cu, Ag)의 전자 이동도는 상온(300K)에서 10–50 cm²/(V⋅s)이다.^[1] 결정질 실리콘의 전자 이동도는 1,400, 정공 이동도는 450 cm²/(V⋅s)이다.^[1] 독립형 그래핀(그래핀)의 전자 이동도는 최대 200,000 cm²/(V⋅s)이며,^[4] 탄소 나노튜브(탄소나노튜브)의 전자 이동도는 최대 100,000 cm²/(V⋅s)이다.^[3]

다양한 물질의 전하 이동도 (예시)
재료	전자 이동도 [cm²/(V⋅s)]	정공 이동도 [cm²/(V⋅s)]
AlGaAs/GaAs 이종구조	35,000,000^[2]	5,800,000^[6]
독립형 그래핀	200,000^[4]
탄소 나노튜브	79,000^[7]^[8]
입방정계 붕소 비소 (c-BAs)	1,600^[9]
결정질 실리콘	1,400^[1]	450^[1]
다결정 실리콘	100
금속 (Al, Au, Cu, Ag)	10–50
2차원 물질 (MoS₂)	10–50
유기물	8.6^[10]	43^[11]
비정질 실리콘	~1^[12]

참조

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