수술 (수학)

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1. 개요

수술 (수학)은 주어진 매장(embedding)을 사용하여 다양체의 일부를 제거하고 다른 다양체로 대체하는 위상수학적 연산이다. p-수술은 p+q차원 다양체 M에서 p차원 초구와 q차원 공의 곱을 매장한 부분을 제거하고, 그 자리에 다른 다양체를 붙여 새로운 다양체를 만드는 과정을 의미한다. 매끄러운 다양체와 조각적 선형 다양체 모두에서 수술을 수행할 수 있으며, 원과 구에 대한 수술의 예시가 존재한다. 모스 이론과 관련하여, 모스 함수의 임계점을 통해 다양체에 대한 수술을 정의할 수 있다.

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
- 3.1. 원 위의 수술
- 3.2. 구 위의 수술
4. 모스 이론과의 관계
- 4.1. 모스 함수와 수술

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 차원 다양체
* 연속인 매장

여기서 는 차원 초구이며 는 차원 닫힌 공이다. 이 때 의 상에 해당하는 의 부분다양체 의 경계는 의 경계와 같다.

:

그러므로 을 도려내고 그 자리에 를 채워넣어 새로운 차원 다양체 을 만들 수 있다.

:

이와 같은 과정을 -수술이라고 한다.

만약 이 매끄러운 다양체일 경우, 수술한 자리 주변을 매끄럽게 하는 작업(smoothing^영어)을 가해서 이 매끄러운 구조를 가지도록 만들 수 있다. 조각적 선형 다양체일 경우에도 비슷한 작업이 가능하다.

3. 예시

수술 이론은 구체적인 예시를 통해 더 잘 이해할 수 있다.

* 원 위에서 0-수술을 시행하면, 원의 일부를 도려내고 다른 방향으로 이어붙여 수술 방향에 따라 한 개 또는 두 개의 원을 얻을 수 있다.
* 구 ( $\mathbb S^2$ ) 위에 1-수술을 시행하면 두 개의 구를 얻는다.
* 구 ( $\mathbb S^2$ ) 위에 0-수술을 시행하면, 원기둥을 얻고, 여기에 다른 조각을 이어붙여 방향에 따라 원환면이나 클라인 병을 얻을 수 있다.

3.1. 원 위의 수술

원 위에서 0-수술을 다음과 같이 시행한다.

즉, 원 속에서

\mathbb S^0 \times\mathbb D^1

을 도려내고, 그 속에 다른 방향으로

\mathbb D^1\times\mathbb S^0

를 이어붙인다. 이 경우, 수술의 방향에 따라 두 가지 결과가 존재하는데, 하나는 한 개의 원, 다른 하나는 두 개의 원을 얻는다.

3.2. 구 위의 수술

구 $\mathbb S^2$ 위에 1-수술을 가하면, 두 개의 구를 얻는다.

구

\mathbb S^2

위에 0-수술을 가하는 경우,

\mathbb S^0\times\mathbb D^2 \cong \mathbb D^2 \sqcup \mathbb D^2

를 도려내면 원기둥

\mathbb S^1 \times \mathbb D^1

을 얻는다. 여기에

\mathbb D^1\times\mathbb S^1

을 이어붙이면 방향에 따라 원환면

\mathbb T^2 = \mathbb S^1\times\mathbb S^1

또는 클라인 병을 얻는다.

4. 모스 이론과의 관계

모스 이론에서는 매끄러운 다양체 위의 모스 함수를 이용하여 수술 이론과의 관계를 설명한다. 예를 들어 모스 함수의 임곗값이 특정 조건을 만족하면, 이 값 근처에서 다양체에 수술을 가하여 새로운 다양체를 얻을 수 있다.

4.1. 모스 함수와 수술

모스 이론에 따르면, $n+1$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 모스 함수 $f$ 의 임곗값 $c\in\mathbb R$ 이 정확히 하나의 임계점 $x\in M$ 에 대응하고, $x$ 의 모스 지표가 $p+1$ 일 때, 충분히 작은 $\epsilon\in\mathbb R^+$ 에 대하여 다양체 $f^{-1}(c-\epsilon)$ 를 $f^{-1}(c+\epsilon)$ 에 $p$ -수술을 가하여 얻을 수 있다.