공 (기하학)

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1. 개요

구는 유클리드 공간, 거리 공간 등에서 정의되는 개념으로, 주어진 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합을 의미한다. n차원 구는 n-차원 초구라고 불리며, 그 경계는 (n-1)차원 초구면이다. 유클리드 공간에서 구는 중심에서 반지름보다 작은 거리에 있는 점들의 집합으로 정의되며, 열린 구와 닫힌 구로 구분된다. 거리 공간에서는 열린 구는 중심에서 반지름보다 작은 거리에 있는 점들의 집합, 닫힌 구는 중심에서 반지름보다 작거나 같은 거리에 있는 점들의 집합으로 정의된다. 구는 부피, 다양한 공간에서의 정의, 위상 공간에서의 개념 등 다양한 성질과 활용을 가진다.

공 (기하학)

기하학적 정보

정의	3차원 공간에서 주어진 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합
차원	3차원
경계	구
부피	4⁄3πr³
겉넓이	4πr²
대칭군	O(3) (3차원 직교군)
성질	볼록

반지름	구의 중심에서 표면까지의 거리
중심	구의 대칭점
구	구의 겉면
대원	구의 중심을 지나는 평면으로 자른 단면

n차원 구	n차원 공간에서의 구의 일반화

참고	원반 구 (수학) 초구

2. 정의

구는 3차원 유클리드 공간뿐만 아니라, 더 낮은 차원 또는 더 높은 차원의 공간, 또는 더 일반적인 거리 공간에서도 정의할 수 있다. n-차원의 구는 n-차원 (초)구 (또는 줄여서 n-구)라고 불리며, 그 경계는 n-1-차원 (초)구면 (또는 줄여서 n-1-구면)이라고 불린다.

예를 들어 유클리드 평면에서의 구는 원판을 의미하며, 그것을 둘러싸는 경계는 원주이다. 3차원 유클리드 공간에서의 구(일반적인 구)는 2차원 구면 (일반적인 구면)에 의해 둘러싸인 부피를 차지한다.

유클리드 기하학 등의 문맥에서, 구(ball)의 의미로 종종 약식으로 구면(sphere)이라고 부르는 경우가 있다 (구면이 구면의 의미인 경우도 있다).

2.1. 유클리드 공간

유클리드 공간 $\R^n$ 에서, 중심이 $a$ 이고 반지름이 $r$ 인 열린 공(open ball^영어) $B_r(a)$ 는 다음과 같은 집합이다.

: $B_r(a)=\{x\in\R^n\colon\|x-a\|$

중심이 $a$ 이고 반지름이 $r$ 인 닫힌 공(closed ball^영어) $B_r[a]$ 는 다음과 같은 집합이다.

: $B_r[a]=\{x\in\R^n\colon\|x-a\|\le r\}$

유클리드 $n$ -공간에서 반지름 $r$ 과 중심 $x$ 를 갖는 (열린) $n$ -공은 $x$ 로부터 거리가 $r$ 미만인 모든 점들의 집합이다. 반지름 $r$ 을 갖는 닫힌 $n$ -공은 $x$ 로부터 거리가 $r$ 이하인 모든 점들의 집합이다.

유클리드 $n$ -공간에서, 모든 공은 초구로 경계지어진다. 공은 $n = 1$ 일 때 경계가 있는 구간이고, $n = 2$ 일 때 원으로 경계지어진 원판이며, $n = 3$ 일 때 구로 경계지어진다.

n

차원 유클리드 공간에서 중심

x

, 반지름

r

의 열린 공은

x

로부터의 거리가

r

미만인 점 전체의 집합을 말하며, 닫힌 공은

x

로부터의 거리가

r

이하인 점 전체의 집합이다.

n

차원 유클리드 공간에서 임의의 공은 초구의 내부이며, 특히

n=1

일 때는 유계인 구간,

n=2

일 때는 원이 둘러싼 내부인 원판,

n=3

일 때 통상적인 구가 둘러싼 내부이다.

2.2. 거리 공간

거리 공간 $(X,d)$ 에서 점 $a\in X$ 와 실수 $r\in\R$ 에 대해,

* 중심이 $a$ 이고 반지름이 $r$ 인 열린 공(open ball^영어) $B_r(a)$ 는 $B_r(a)=\{x\in X\colon d(x,a) 로 정의된다.$
* 중심이 $a$ 이고 반지름이 $r$ 인 닫힌 공(closed ball^영어) $B_r[a]$ 는 $B_r[a]=\{x\in X\colon d(x,a)\le r\}$ 로 정의된다.

$r>0$ 이므로, 열린 공과 닫힌 공 모두 항상 중심점 $a$ 를 포함한다. 반지름이 1인 구를 단위 구라고 한다.

일반적인 거리 공간에서 구는 둥글지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수 좌표 공간에서 체비쇼프 거리를 사용하는 구는 초입방체 모양이고, 택시 거리를 사용하는 구는 교차 다면체 모양이다.

거리 공간의 열린 구는 기저 역할을 하여 위상을 유도할 수 있다. 이 위상에서 열린 집합은 열린 구들의 합집합으로 나타낼 수 있다.

$\overline{B_r(p)}$ 를 열린 구 $B_r(p)$ 의 폐포라고 할 때, $B_r(p) \subseteq \overline{B_r(p)} \subseteq B_r[p]$ 는 항상 성립하지만, $\overline{B_r(p)} = B_r[p]$ 가 항상 성립하는 것은 아니다. 예를 들어, 이산 거리를 갖는 거리 공간 $X$ 에서는 모든 $p \in X$ 에 대해 $\overline{B_1(p)} = \{p\}$ 이지만 $B_1[p] = X$ 이다.

3. 성질

닫힌 공은 항상 그에 대응하는 열린 공의 폐포는 아니다.

3.1. 부피

반지름 $r$인 $n$차원 유클리드 공간에서 구의 $n$차원 부피는 다음과 같다.

:{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}r^n}

여기서 $\Gamma$는 레온하르트 오일러의 감마 함수이다. (이는 계승 함수의 분수 인수로의 확장으로 볼 수 있다.) 감마 함수의 특정 값에 대한 정수 및 반 정수 공식을 사용하면 감마 함수를 평가할 필요 없이 다음과 같이 짝수 차원과 홀수 차원에 대한 부피 공식을 얻을 수 있다.

* 짝수 차원 ($n=2k$)일 때:

:

* 홀수 차원 ($n=2k+1$)일 때:

:

홀수 차원 부피 공식에서 이중 계승 $(2k+1)!!$는 홀수 정수 $2k+1$에 대해 $(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2k-1) \cdot (2k+1)$로 정의된다.

4. 다양한 공간에서의 구

거리 공간에서는 유클리드 거리 외에도 다양한 거리 함수를 사용하여 구를 정의할 수 있다. 예를 들어, 실수 좌표 공간에서 체비쇼프 거리를 사용하는 구는 초입방체 모양을 가지며, 택시 거리를 사용하는 경우에는 구가 교차 다면체 모양을 갖는다.

노름 벡터 공간은 노름 $\|\cdot\|$ 을 갖는 경우 거리 $d (x,y)= \|x - y\|$ 를 갖는 거리 공간이기도 하다. 이러한 공간에서 점 $y$ 주변의 거리 $r$ 미만의 임의의 공은 '단위 공'을 $r$ 만큼 스케일 조정하고 $y$ 만큼 평행 이동하여 얻을 수 있다.

위상 공간 X에서 공은 유클리드 공간의 구와 동형 사상을 이루는 X의 부분 집합으로 정의된다. 이러한 위상적 n차원 공은 조합 위상수학에서 세포 복합체를 구성하는 중요한 요소이다.

4.1. 일반적인 거리 공간

Distance space^영어에서는 유클리드 거리 외에도 다양한 거리 함수를 사용하여 구를 정의할 수 있다. 예를 들어, 실수 좌표 공간에서 체비쇼프 거리를 사용하는 구는 초입방체 모양을 가진다. 택시 거리를 사용하는 경우에는 구가 교차 다면체 모양을 갖는다.

일반적인 거리 공간에서, 집합 M에 거리 함수 d가 주어져 있고, r이 양의 실수일 때, 점 p를 중심으로 하는 반지름 r의 열린 구는 보통 B_r(p) 또는 B(p; r)로 표기하며, M에서 거리가 r 미만인 M의 점 집합으로 정의된다.

: $B_r(p) = \{ x \in M \mid d(x,p) < r \}.$

닫힌 구는 때때로 B_r[p] 또는 B[p; r]로 표기하며, M에서 거리가 r 이하인 점 집합으로 정의된다.

: $B_r[p] = \{ x \in M \mid d(x,p) \le r \}.$

정의에 따라 r > 0이므로, 구(열린 또는 닫힌)는 항상 p 자신을 포함한다. 반지름이 1인 구는 단위 구라고 부른다.

거리 공간의 부분 집합이 어떤 구 안에 포함되면 유계 집합이라고 한다. 어떤 양의 반지름이 주어졌을 때, 해당 반지름의 유한 개의 구로 덮이면 전체 유계라고 한다.

거리 공간의 열린 구는 기저 역할을 하여 이 공간에 위상을 부여할 수 있으며, 그 열린 집합은 열린 구의 모든 가능한 합집합으로 나타낼 수 있다. 거리 공간의 이 위상은 d에 의해 유도된 위상이라고 한다.

4.2. 노름 벡터 공간

노름 벡터 공간은 노름 $\|\cdot\|$ 을 갖는 경우 거리 $d (x,y)= \|x - y\|$ 를 갖는 거리 공간이기도 하다. 이러한 공간에서 점 $y$ 주변의 거리 $r$ 미만의 임의의 공 $B_r(y)$ 은 '단위 공' $B_1(0)$ 을 $r$ 만큼 스케일 조정하고 $y$ 만큼 평행 이동하여 얻을 수 있다. $y=0$ 인 이러한 "중심" 공은 $B(r)$ 로 표시된다.

데카르트 공간 $\R^n$ 에서 $p$ -노름 $L_p$ ( $p \geq 1$ )는 다음과 같이 정의된다.
$\left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dots + |x_n|^p \right) ^{1/p},$
이때 원점을 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 열린 공은 다음과 같다.
$B(r) = \left\{ x \in \R^n \,:\left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dots + |x_n|^p \right) ^{1/p} < r \right\}.$

2차원 평면( $n=2$ )에서 $L_1$ -노름(흔히 택시 또는 맨해튼 거리)에 따른 "공"은 좌표축과 평행한 대각선을 가진 정사각형으로 경계가 정해진다. $L_\infty$ -노름(체비쇼프 메트릭)에 따르면 경계가 좌표축과 평행한 변을 가진 정사각형이 된다. $L_2$ -노름은 유클리드 메트릭으로 알려져 있으며, 원 안에 있는 잘 알려진 원판을 생성하고, 다른 $p$ 값의 경우 해당 공은 라메 곡선으로 경계가 정해진 영역이다.

3차원 공간( $n=3$ )에서 $L_1$ -공은 축 정렬된 대각선을 가진 팔면체 내에 있고, $L_\infty$ -공은 축 정렬된 변을 가진 정육면체 내에 있으며, $L_p$ ( $p>2$ )에 대한 공의 경계는 초타원체이다. $L_2$ 는 일반적인 구의 내부를 생성한다.

4.3. 위상 공간

위상 공간 X에서 공은 유클리드 공간의 구와 동형 사상을 이루는 X의 부분 집합으로 정의된다. 이러한 위상적 n차원 공은 조합 위상수학에서 세포 복합체를 구성하는 중요한 요소이다.

열린 n차원 위상적 공은 데카르트 공간 및 열린 단위 n차원 초입방체와 동형이다. 닫힌 n차원 위상적 공은 닫힌 n차원 초입방체와 동형이다.

n차원 공과 m차원 공이 동형이 되기 위한 필요충분조건은 m=n 이다. 열린 n차원 공 B와 사이의 동형 사상은 B의 두 가지 가능한 위상적 방향으로 분류할 수 있다.

위상적 n차원 공은 매끄러울 필요는 없으며, 매끄럽더라도 유클리드 n차원 공과 미분 동형일 필요는 없다.

5. 구의 활용

구의 개념은 3차원 유클리드 공간뿐만 아니라, 더 낮은 차원 또는 더 높은 차원의 공간, 더 일반적인 거리 공간에서도 정의할 수 있다. n-차원의 구는 n^영어-차원 (초)구 (또는 줄여서 n^영어-구)라고 불리며, 그 경계는 {{lang (또는 줄여서 n-1^영어-구면)이라고 불린다.

예를 들어 유클리드 평면에서의 구는 원판을 의미하며, 그것을 둘러싸는 경계는 원주이다. 3차원 유클리드 공간에서의 구(일반적인 구)는 2차원 구면 (일반적인 구면)에 의해 둘러싸인 부피를 차지한다.

유클리드 기하학 등의 문맥에서, 구(ball)의 의미로 종종 약식으로 구면(sphere)이라고 부르는 경우가 있다. (구면이 구면의 의미인 경우도 있다.)

6. 영역

구에는 여러 가지 특수한 영역을 정의할 수 있다.

* 구면 캡: 하나의 평면으로 경계가 정해진다.
* 구면 섹터: 구의 중심을 꼭지점으로 하는 원뿔 경계로 경계가 정해진다.
* 구면 분할체: 평행한 두 평면으로 경계가 정해진다.
* 구면 쉘: 서로 다른 반지름을 가진 두 개의 동심 구로 경계가 정해진다.
* 구면 웨지: 구의 중심과 구의 표면을 통과하는 두 평면으로 경계가 정해진다.