클라인 병

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1. 개요

클라인 병은 1882년 독일 수학자 펠릭스 클라인이 발견한 닫힌 비가향 2차원 다양체이다. 3차원 공간에서는 자기 교차 없이 만들 수 없어 4차원 공간에서 구현되며, 뫼비우스의 띠와 유사한 성질을 가진다. 클라인 병은 몫 공간으로 설명될 수 있으며, 두 개의 사영 평면의 연결합과 위상동형이다. 클라인 병의 표면을 색칠하는 데는 6가지 색상이 충분하며, 4차원 매개변수화 및 핀치 토러스 매개변수화가 가능하다.

2. 역사

클라인 병은 1882년 독일의 수학자 펠릭스 클라인이 발견했다. 본래 클라인은 이 곡면을 ‘클라인 곡면(Kleinsche Fläche^de)’이라 이름붙였지만, 이것이 와전되어 지금의 이름인 ‘클라인 병(Kleinsche Flasche^de)’이 되었다.

3. 구성

클라인 병은 사각형에서 빨간색 화살표가 있는 변(왼쪽과 오른쪽 면)을 같은 방향으로 붙여 원통을 만든 후, 파란색 화살표가 있는 양쪽 끝을 붙여서 만들 수 있다. 이때 한쪽 끝을 원통 옆면을 통과시켜야 하므로 3차원 공간에서는 자기 교차가 발생한다.^[5] 이러한 성질 때문에 클라인 병은 3차원 공간에 침몰된 형태로 존재한다.

이러한 침몰은 클라인 병의 경계가 없고, 비가향성인 성질을 시각화하는 데 유용하다. 런던 과학 박물관에는 앨런 베넷이 1995년에 제작한 다양한 형태의 유리 클라인 병이 전시되어 있다.^[1]

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3. 1. 기본 다각형

사각형의 빨간색 변을 같은 방향으로 붙이고, 파란색 변을 반대 방향으로 붙여서 클라인 병을 만든다.^[5] 이 과정은 3차원 공간에서는 자기 교차를 발생시키므로, 4차원 공간에서 구현해야 한다.

클라인 병을 만들려면 먼저 사각형의 빨간색 화살표(왼쪽과 오른쪽 면)를 함께 붙여 원통을 만든다. 그 다음, 원의 화살표가 일치하도록 원통의 양쪽 끝을 함께 붙여야 하는데, 이때 한쪽 끝을 원통 옆면을 통과시켜야 한다. 이는 3차원 공간에서 자기 교차를 만들어 내기 때문에, 클라인 병은 3차원 공간에 침몰된 형태로 존재한다.

클라인 병은 자기 교차하지 않지만, 4차원 공간에서는 자기 교차 없이 존재할 수 있다. 3차원 공간에 네 번째 차원을 추가하여 교차점을 포함하는 튜브의 일부를 네 번째 차원을 따라 밀어내면 자기 교차를 제거할 수 있다. 이는 평면에서 자기 교차하는 곡선의 한 가닥을 평면에서 들어올려 자기 교차를 제거하는 것과 유사하다.

더 공식적으로 클라인 병은 몫 공간으로, 정사각형 [0,1] × [0,1]의 변들을 (''x'', 0) ~ (1 − ''x'', 1)^영어 (0 ≤ ''x'' ≤ 1^영어)와 같이 식별하여 만들어진다.

3. 2. 4차원 구성

클라인 병은 자체 교차하지 않지만, 4차원으로 시각화하면 그 구조를 더 잘 이해할 수 있다. 3차원 공간에 네 번째 차원을 추가하여 교차점을 포함하는 튜브의 일부를 밀어내면 자기 교차를 제거할 수 있다. 이는 평면에서 자기 교차하는 곡선을 평면에서 들어 올려 교차를 제거하는 것과 유사한 방식이다.^[5]

시간을 네 번째 차원으로 간주하면, ''xyzt''-공간에서 클라인 병의 도형이 어떻게 구성되는지 파악할 수 있다. ''t'' = 0에서 벽은 "교차" 지점 근처에서 싹이 트고, 시간이 지나면서 벽의 초기 부분은 사라지지만 계속 확장된다. 성장 전선이 싹이 튼 곳에 도달하면 성장이 완료되며, 이 4차원 도형은 3차원 공간에서는 존재할 수 없지만 4차원에서는 쉽게 이해할 수 있다.

4. 성질

클라인 병은 뫼비우스의 띠와 마찬가지로 가향이 불가능한 2차원 다양체이다. 뫼비우스의 띠와는 달리 경계가 없는 콤팩트 다양체이다. 뫼비우스의 띠는 3차원 유클리드 공간 '''R'''³에 포함될 수 있지만, 클라인 병은 그렇지 않다.

'''R'''⁴에는 포함될 수 없지만 '''R'''⁵에는 포함될 수 있는 3-다양체를 만드는 것이 가능하다. 이 경우, 클라인 병처럼 원통의 두 끝을 서로 연결하여 "구면 클라인 병"이라 부르는 도형을 만들 수 있으며, 이는 '''R'''⁴에 완전히 포함될 수 없다.^[2]

클라인 병은 섬유가 ''S''¹인 원 ''S''¹ 위의 섬유 다발로 볼 수 있다. 위에서 정사각을 (경계 식별 동치 관계를 기준으로) ''E''(전체 공간)로 사용하고, 밑공간 ''B''는 ''y''의 단위 구간으로 주어진다. (단, ''1~0''을 기준으로).

클라인 병은 두 개의 사영 평면의 연결합과 위상동형이며,^[4] 구에 두 개의 교차 캡을 더한 것과도 위상동형이다.

토러스에서 클라인 병으로의 2-1 덮개 사상이 존재하는데, 클라인 병의 기본 영역 두 개(하나는 다른 것의 거울 이미지 옆에 배치)가 토러스의 기본 영역을 생성하기 때문이다. 토러스와 클라인 병의 보편 덮개는 평면 '''R'''²이다.

4. 1. 비가향성

클라인 병은 뫼비우스의 띠와 마찬가지로 가향이 불가능한 2차원 다양체이다. 뫼비우스의 띠와 달리, 경계가 없는 콤팩트 다양체인 ''닫힌'' 다양체이다. 뫼비우스의 띠는 3차원 유클리드 공간 '''R'''³에 포함될 수 있지만, 클라인 병은 그렇지 않다. 하지만 '''R'''⁴에는 포함될 수 있다.

유클리드 공간에 포함될 때, 클라인 병은 한쪽 면이다. 그러나 다른 위상적 3-공간이 존재하며, 일부 비가향 예제에서 클라인 병은 두 면을 갖도록 포함될 수 있지만, 공간의 특성으로 인해 가향 불가능하게 유지된다.^[5]

4. 2. 경계 없음

클라인 병은 뫼비우스의 띠처럼 가향이 불가능한 2차원 다양체이지만, 뫼비우스의 띠와는 달리 경계가 없는 콤팩트 다양체인 ''닫힌'' 다양체이다. 뫼비우스의 띠는 3차원 유클리드 공간 '''R'''³에 포함될 수 있지만, 클라인 병은 '''R'''³에는 포함될 수 없고, '''R'''⁴에는 포함될 수 있다.^[2]

클라인 병의 표면에 있는 모든 맵을 색칠하는 데는 6가지 색상이면 충분하다. 이는 4색 정리의 일반화인 헤우드 추측의 유일한 예외이며, 헤우드 추측에서는 7가지 색상이 필요하다.

4. 3. 오일러 지표

클라인 병은 하나의 0-세포 ''P'', 두 개의 1-세포 ''C''₁, ''C''₂, 그리고 하나의 2-세포 ''D''를 사용하여 CW 복합체 구조를 가질 수 있다. 따라서, 그 오일러 지표는 1 − 2 + 1 = 0이다. 경계 준동형 사상은 ∂''D'' = 2''C''₁과 ∂''C''₁ = ∂''C''₂ = 0으로 주어지며, 클라인 병 ''K''의 호몰로지 군은 H₀(''K'', '''Z''') = '''Z''', H₁(''K'', '''Z''') = '''Z'''×('''Z'''/2'''Z''') 및 H_''n''(''K'', '''Z''') = 0 (''n'' > 1)이다.

4. 4. 호몰로지 군

Homology groups^영어은 다음과 같이 계산된다.^[2]

:H₀(''K'', '''Z''') = '''Z'''

:H₁(''K'', '''Z''') = '''Z'''×('''Z'''/2'''Z''')

:H_''n''(''K'', '''Z''') = 0 (''n'' > 1일 때)

이는 클라인 병 ''K''를 정사각의 반대쪽 가장자리를 식별하여 구성하면, 하나의 0-세포 ''P'', 두 개의 1-세포 ''C''₁, ''C''₂ 및 하나의 2-세포 ''D''를 사용하여 CW 복합체 구조를 가질 수 있음을 보임으로써 유도할 수 있다. 경계 준동형 사상은 ∂''D'' = 2''C''₁과 ∂''C''₁ = ∂''C''₂ = 0으로 주어진다.^[2]

4. 5. 기본군

클라인 병의 기본군은 보편 덮개의 데크 변환 그룹으로 결정될 수 있으며,

\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}

와 동형이다. 이는 정수의 가산 군

\mathbb{Z}

와 자기 자신 간의 유일한 비자명한 반직접 곱이다.

4. 6. 색칠 문제

클라인 병의 표면에 있는 모든 맵을 색칠하는 데는 여섯 가지 색상이면 충분하다. 이는 4색 정리의 일반화인 헤우드 추측의 유일한 예외이며, 헤우드 추측에서는 일곱 가지 색상이 필요하다.^[4]

5. 절단

클라인 병을 대칭면을 따라 반으로 절단하면 두 개의 거울상 뫼비우스의 띠가 생성된다. 즉, 왼쪽으로 반 바퀴 꼬인 것과 오른쪽으로 반 바퀴 꼬인 것 중 하나가 오른쪽에 그림으로 나타나 있다. 그림에 나타난 교차점은 실제로는 존재하지 않는다.^[6]

6. 매개변수화

클라인 병은 다양한 방법으로 매개변수화할 수 있다. 몇 가지 방법은 다음과 같다:

8자 침수: 뫼비우스의 띠를 변형하여 만들 수 있으며, 8자 모양 토러스로 표현할 수 있다.
4차원 매개변수화: 평평한 토러스를 모델로 하여 자기 교차 없이 표현할 수 있다.
핀치 토러스: 3차원에서는 핀치 포인트를 가지지만, 4차원에서는 자기 교차 없이 표현 가능하다.

6. 1. 8자 침수

클라인 병의 "8자" 또는 "베이글" 매입을 만들기 위해, 뫼비우스의 띠에서 시작하여 가장자리를 중간선으로 구부릴 수 있다. 가장자리가 하나뿐이므로 중간선을 통과하면서 그곳에서 스스로 만나게 된다. 이 매입은 반 꼬임이 있는 "8자" 토러스로 특히 간단하게 매개변수화된다.

:

\begin{align}x & = \left(r + \cos\frac{\theta}{2}\sin v - \sin\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \cos \theta\\y & = \left(r + \cos\frac{\theta}{2}\sin v - \sin\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \sin \theta\\z & = \sin\frac{\theta}{2}\sin v + \cos\frac{\theta}{2}\sin 2v\end{align}

0 ≤ ''θ'' < 2π, 0 ≤ ''v'' < 2π 및 ''r'' > 2에 대해.

이 매입에서 자기 교차 원(sin(''v'')가 0인 곳)은 ''xy'' 평면에서 기하학적 원이다. 양의 상수 ''r''은 이 원의 반지름이다. 매개변수 ''θ''는 ''xy'' 평면에서의 각도와 8자 모양의 회전을 제공하며, ''v''는 8자 모양의 단면 주변의 위치를 지정한다. 위의 매개변수화를 사용하면 단면은 2:1 리사주 곡선이다.

6. 2. 4차원 매개변수화

비-교차 4차원 매개변수는 평평한 토러스를 모델로 할 수 있다.

:

\begin{align}x & = R\left(\cos\frac{\theta}{2}\cos v - \sin\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \\y & = R\left(\sin\frac{\theta}{2}\cos v + \cos\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \\z & = P\cos\theta\left(1 + \varepsilon\sin v\right) \\w & = P\sin\theta\left(1 + {\varepsilon}\sin v\right)\end{align}

여기서 ''R''과 ''P''는 종횡비를 결정하는 상수이고, ''θ''와 ''v''는 위에 정의된 것과 유사하다. ''v''는 8자 모양의 위치와 x-y 평면에서의 위치를 결정한다. ''θ''는 8자 모양의 회전 각도와 z-w 평면에서의 위치를 결정한다. ''ε''는 임의의 작은 상수이고, ''ε'' sin''v''는 자기 교차를 피하기 위해 z-w 공간에서 작은 ''v'' 의존적인 범프이다. ''v'' 범프는 자기 교차하는 2차원/평면 8자 모양이 x-y-w 및 x-y-z 공간에서 가장자리가 보이도록 3차원 스타일의 "감자칩" 또는 안장 모양으로 퍼지게 한다. ''ε=0''일 때 자기 교차는 z-w 평면 <0, 0, cos''θ'', sin''θ''>에서 원이다.

6. 3. 핀치 토러스

핀치 토러스는 3차원 및 4차원 모두에서 클라인 병의 가장 간단한 매개변수화일 수 있다. 이것은 3차원에서 한쪽 면에서 평평해지고 자신을 통과하는 토러스이다. 3차원에서는 이 매개변수화가 두 개의 핀치 포인트를 가지고 있어 일부 응용 분야에 바람직하지 않다. 4차원에서는 ''z'' 진폭이 ''w'' 진폭으로 회전하며 자기 교차 또는 핀치 포인트가 없다.^[1]

:

\begin{align}x(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \cos{\varphi} \\y(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \sin{\varphi} \\z(\theta, \varphi) &= r \sin \theta \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \\w(\theta, \varphi) &= r \sin \theta \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\end{align}

이것은 토러스에서처럼 감싸는 튜브 또는 실린더로 볼 수 있지만, 4차원에서는 원형 단면이 뒤집혀 다시 연결될 때 "뒷면"을 보여준다. 이는 뫼비우스의 띠의 단면이 다시 연결되기 전에 회전하는 것과 같다. 이것의 3D 직교 투영은 위에 표시된 핀치 토러스이다. 뫼비우스의 띠가 속이 꽉 찬 토러스의 부분 집합인 것처럼 뫼비우스 튜브는 토러스 닫힌 스피린더 (속이 꽉 찬 스피리토러스)의 부분 집합이다.

7. 일반화

클라인 병을 더 높은 종수로 일반화하는 것은 기본 다각형 문서에서 확인할 수 있다.^[8]

다른 관점에서 3차원 다양체를 구성할 때, 속이 꽉 찬 클라인 병은 뫼비우스 띠와 닫힌 구간의 데카르트 곱과 위상 동형이라는 것이 알려져 있다. ''속이 꽉 찬 클라인 병''은 $D^2 \times S^1$ 과 동일한, '''속이 꽉 찬 토러스'''의 비가향 버전이다.

8. 클라인 곡면

클라인 곡면은 리만 곡면과 마찬가지로, 전이 함수가 복소 켤레를 사용하여 합성될 수 있도록 하는 아틀라스를 가진 곡면이다. 이를 통해 공간의 소위 쌍대해석적 구조를 얻을 수 있으며, 이는 단면만을 가진다.^[9]

참조

_[1] 웹사이트 Strange Surfaces: New Ideas http://www.sciencemu[...] Science Museum London
_[2] 문서 Marc ten Bosch https://marctenbosch[...]
_[3] 서적 The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes https://books.google[...] John Wiley & Sons 2004-08-11
_[4] 서적 Topology: Point-Set and Geometric Wiley-Interscience
_[5] 서적 The Shape of Space, 3rd Edn. https://www.crcpress[...] CRC Press
_[6] Youtube Cutting a Klein Bottle in Half – Numberphile on YouTube https://www.youtube.[...]
_[7] 간행물 On the number of Klein bottle types 2013-06-01
_[8] 뉴스 Quantum gravity on a Klein bottle https://cqgplus.com/[...] 2014-02-17
_[9] 서적 Hyperspatial Dynamics https://books.google[...] Dr. Marco A. V. Bitetto 2020-02-14

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