슈발레 기저

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1. 개요

슈발레 기저는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 근계에 대한 기저로, 모든 구조 상수가 정수가 되도록 정의된다. 슈발레 기저를 통해 정수 리 대수를 정의할 수 있으며, 이를 임의의 가환환에 대해 일반화할 수 있다. 슈발레 기저는 클로드 슈발레에 의해 유한 단순군 연구를 위해 도입되었다.

슈발레 기저

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 역사

2. 정의

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 근계를 이용하여 슈발레 기저를 정의한다. 카르탕-베유 기저의 구조 상수를 정수로 만들기 위해 단순근과 카르탕 행렬을 사용하여 새로운 기저를 구성한다.

카르탕-베유 기저의 구조 상수는 일반적으로 정수가 아니다. 하지만 단순근과 카르탕 행렬을 이용하여 새로운 기저를 정의하면, 이 기저에서의 구조 상수는 모두 정수가 된다. 이렇게 구성된 기저를 슈발레 기저라고 부른다.

이에 따라, 위 리 괄호로 정의되는 정수 리 대수를 정의할 수 있으며, 이를 임의의 가환환으로 확장할 수 있다. 만약 $K=\mathbb R$ 일 경우, 이는 반단순 리 대수의 분할 형태이다.

2.1. 카르탕-베유 기저

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 근계
: $\Phi\subseteq \mathfrak h = \mathbb R^{\operatorname{rank}(\mathfrak g)}$
를 고른다. 근계 기저의 지표를 $i\in\{1,\dots,\operatorname{rank}(\mathfrak g)\}$ 라고 하면, 카르탕-베유 기저는 다음과 같다.
: $[H_i,E_\alpha] = \alpha_i E_\alpha \qquad(\alpha\in \Phi)$
: $[H_i,H_j] = 0$
: $[E_\alpha,E_\beta] = \begin{cases}N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta} & \alpha+\beta \in \Phi \\0 & 0 \ne \alpha+\beta\not\in\Phi \\H_i & \alpha+\beta = 0\end{cases}$
: $N_{\alpha,\beta}\in\mathbb Z$

그러나 이 기저에서의 구조 상수 $\alpha_i\in\mathbb R$ 는 일반적으로 정수가 아니다.

2.2. 슈발레 기저 구성

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 근계 $\Phi\subseteq \mathfrak h = \mathbb R^{\operatorname{rank}(\mathfrak g)}$ 를 고른다. 근계 기저의 지표를 $i\in\{1,\dots,\operatorname{rank}(\mathfrak g)\}$ 라고 하면, 카르탕-베유 기저
: $[H_i,E_\alpha] = \alpha_i E_\alpha \qquad(\alpha\in \Phi)$
: $[H_i,H_j] = 0$
: $[E_\alpha,E_\beta] = \begin{cases}N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta} & \alpha+\beta \in \Phi \\0 & 0 \ne \alpha+\beta\not\in\Phi \\H_i & \alpha+\beta = 0\end{cases}$
: $N_{\alpha,\beta}\in\mathbb Z$
를 잡을 수 있다.

그러나 이 기저에서의 구조 상수 $\alpha_i\in\mathbb R$ 는 일반적으로 정수가 아니다.

이제, $\Phi$ 의 단순근 $\Sigma \subseteq \Phi$ , $|\Sigma| = \operatorname{rank}(\mathfrak g)$ 를 고르고, 그 카르탕 행렬이 $A_{ij} = (\alpha_i,\alpha^\vee_j) = \frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)} \in \mathbb Z$ 라고 하자. 이제, $V$ 의 다른 기저 $\tilde H_\sigma = (\sigma_i^\vee, H_i) \qquad(\sigma\in \Sigma)$ 를 정의한다. 그렇다면,
: $[\tilde H_\sigma,\tilde H_{\sigma'}] = 0$
: $[\tilde H_\sigma,E_\alpha] = A_{ij}E_\alpha$
: $[E_\alpha,E_\beta] = \begin{cases}N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta} & \alpha+\beta \in \Phi \\0 & 0 \ne \alpha+\beta\not\in\Phi \\\sum_{\sigma\in\Sigma}(\sigma,\beta)H_\sigma & \alpha+\beta = 0\end{cases}$
가 되어, 모든 구조 상수가 정수가 된다. 이를 $\mathfrak g$ 의 슈발레 기저라고 한다.

2.3. 정수 리 대수 및 일반화

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 근계
: $\Phi\subseteq \mathfrak h = \mathbb R^{\operatorname{rank}(\mathfrak g)}$
를 고른다. 근계의 기저의 지표를 $i\in\{1,\dots,\operatorname{rank}(\mathfrak g)\}$ 라고 하면, 카르탕-베유 기저
: $[H_i,E_\alpha] = \alpha_i E_\alpha \qquad(\alpha\in \Phi)$
: $[H_i,H_j] = 0$
: $[E_\alpha,E_\beta] = \begin{cases}N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta} & \alpha+\beta \in \Phi \\0 & 0 \ne \alpha+\beta\not\in\Phi \\H_i & \alpha+\beta = 0\end{cases}$
: $N_{\alpha,\beta}\in\mathbb Z$
를 잡을 수 있다.

그러나 이 기저에서의 구조 상수 $\alpha_i\in\mathbb R$ 는 일반적으로 정수가 아니다.

이제, $\Phi$ 의 단순근
: $\Sigma \subseteq \Phi$
: $|\Sigma| = \operatorname{rank}(\mathfrak g)$
을 고르고, 그 카르탕 행렬이
: $A_{ij} = (\alpha_i,\alpha^\vee_j) = \frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)} \in \mathbb Z$
라고 한다. 이제, $V$ 의 다른 기저
: $\tilde H_\sigma = (\sigma_i^\vee, H_i) \qquad(\sigma\in \Sigma)$
를 정의한다. 그렇다면,
: $[\tilde H_\sigma,\tilde H_{\sigma'}] = 0$
: $[\tilde H_\sigma,E_\alpha] = A_{ij}E_\alpha$
: $[E_\alpha,E_\beta] = \begin{cases}N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta} & \alpha+\beta \in \Phi \\0 & 0 \ne \alpha+\beta\not\in\Phi \\\sum_{\sigma\in\Sigma}(\sigma,\beta)H_\sigma & \alpha+\beta = 0\end{cases}$
가 되어, 모든 구조 상수가 정수가 된다. 이를 $\mathfrak g$ 의 슈발레 기저라고 한다.

이에 따라, 위 리 괄호로 정의되는 정수 리 대수 $\mathbb g(\mathbb Z)$ 를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 가환환 $K$ 에 대하여, $K$ -리 대수
: $\mathfrak g(K) = \mathfrak g(\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}K$
를 정의할 수 있다. 만약 $K=\mathbb R$ 일 경우, 이는 반단순 리 대수의 분할 형태(split form^영어)이다.

3. 예

$\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$ 의 슈발레 기저는 다음과 같다.

: $H = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}$

: $E_+ = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$

: $E_- = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$

: $[E_+,E_-] = H$

: $[H,E_\pm] = \pm 2E_+$

이 경우 정수 계수를 취하면 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb Z) = \left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb Z\right\}$ 를 얻는다.

4. 역사

클로드 슈발레가 유한 단순군을 연구하기 위하여 도입하였다.