반단순 리 대수

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1. 개요

반단순 리 대수는 리 대수 아이디얼이 자명하거나 자기 자신뿐인 단순 리 대수들의 직합으로 표현되는 리 대수이다. 체의 표수가 0이고 유한 차원 리 대수일 때, 가해 아이디얼이 자명하거나 킬링 형식이 비퇴화인 경우 반단순 리 대수라고 정의할 수 있다. 반단순 리 대수는 레비 분해를 통해 가해 리 대수와 반단순 대수의 반직접곱으로 표현되며, 가해 리 대수와는 다르게 딘킨 도표를 통해 분류할 수 있다. 반단순 리 대수의 표현론은 일반적인 리 대수보다 더 깔끔하며, 조르당 분해와 같은 성질을 보인다. 반단순 리 대수는 자신의 수반 표현이 완전 기약인 축약 리 대수의 특수한 경우이며, 엘리 카르탕과 펠릭스 루비노비치 간트마헤르에 의해 분류되었다.

반단순 리 대수

개요

유형	리 대수
분야	수학, 리 이론

정의

정의	아벨 리 대수인 비자명 아이디얼을 갖지 않는 리 대수

성질

구조 정리	단순 리 대수의 직접 합
킬링 형식	비퇴화
표현	완전 환원 가능
근계	환원적

관련 개념	리 대수 단순 리 대수 근계

2. 정의

체 K 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 가 다음 두 조건을 만족하면 단순 리 대수라고 한다.
* $\mathfrak g$ 의 리 대수 아이디얼은 $\{0\}$ 과 $\mathfrak g$ 전체 밖에 없다.
* $\mathfrak g$ 는 아벨 리 대수가 아니다. 즉, $[x,y]\ne0$ 인 $x,y\in\mathfrak g$ 가 존재한다.

K의 표수가 0이고, $\mathfrak g$ 가 K 위의 유한 차원 리 대수일 때, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족하는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.
* $\mathfrak g$ 의 가해(solvable^영어) 아이디얼은 $\{0\}$ 밖에 없다. 즉, $\mathfrak g$ 의 근기(radical^영어)가 $\sqrt{\mathfrak g}=\{0\}$ 이다.
* $\mathfrak g$ 의 아벨 아이디얼은 $\{0\}$ 밖에 없다.
* $\mathfrak g$ 는 단순 리 대수들의 직합이다.
* (카르탕 반단순성 조건 Cartan’s criterion for semisimplicity^영어) $\mathfrak g$ 의 킬링 형식 $K(x,y)=\operatorname{tr}_K\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)$ 는 비퇴화 쌍선형 형식이다.

반단순 리 군은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다. 마찬가지로, 단순 리 군은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

3. 중요성

반단순 리 대수의 중요성은 모든 유한 차원 리 대수가 가해 아이디얼과 반단순 리 대수의 반직접곱으로 나타낼 수 있다는 레비 분해에서 비롯된다. 특히 가해적이면서 반단순인 영이 아닌 리 대수는 존재하지 않는다.

반단순 리 대수는 가해 리 대수와는 대조적으로 매우 우아한 분류를 가지고 있다. 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수는 근계에 의해 완전히 분류되며, 이는 차례로 딘킨 도형에 의해 분류된다. 실수형식을 참고하면, 엘리 카르탕에 의해 분류된 실 반단순 리 대수의 경우를 알 수 있다.

나아가, 반단순 리 대수의 표현론은 일반적인 리 대수의 표현론보다 훨씬 더 깔끔하다. 예를 들어, 반단순 리 대수에서의 조르당-슈발레 분해는 그 표현에서의 조르당 분해와 일치한다.

만약 $\mathfrak g$ 가 반단순이면, $\mathfrak g = [\mathfrak g, \mathfrak g]$ 이다. 특히 모든 선형 반단순 리 대수는 특수 선형 리 대수 $\mathfrak{sl}$ 의 부분 대수이다. $\mathfrak{sl}$ 의 구조에 대한 연구는 반단순 리 대수의 표현론의 중요한 부분을 구성한다.

4. 성질

반단순 리 대수의 모든 아이디얼, 몫 및 곱은 다시 반단순이다. 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 중심은 자명하다 (중심은 아벨 아이디얼이기 때문이다). 즉, 수반 표현 $\operatorname{ad}$ 는 단사 함수이다. 더욱이, 그 이미지는 $\mathfrak{g}$ 에 대한 도함수 $\operatorname{Der}(\mathfrak g)$ 임이 밝혀진다. 따라서 $\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \overset{\sim}\to \operatorname{Der}(\mathfrak g)$ 는 동형사상이다. (이것은 화이트헤드의 보조정리의 특별한 경우이다.)

수반 표현이 단사 함수이므로, 반단순 리 대수는 수반 표현 하에서 선형 리 대수이다. 만약 $\mathfrak g$ 가 반단순 리 대수이면, $\mathfrak g = [\mathfrak g, \mathfrak g]$ 이다 (왜냐하면 $\mathfrak g/[\mathfrak g, \mathfrak g]$ 는 반단순이고 아벨이기 때문이다). 표수가 0인 체 k 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 는 기저 확장 $\mathfrak{g} \otimes_k F$ 가 각 체 확장 $F \supset k$ 에 대해 반단순일 경우에만 반단순이다.

5. 조르당 분해

유표수 0인 체 위의 유한 차원 선형 변환 x는 반단순 연산자(대수적 폐포에서 대각화 가능)와 멱영 변환으로 고유하게 분해될 수 있다.
: $x=s+n$
여기서 s와 n은 서로 교환 가능하며, s와 n 각각은 x의 다항식이다. 이것이 x의 조르당-슈발레 분해이다.

위 내용은 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 수반 표현 $\operatorname{ad}$ 에 적용된다. $\mathfrak g$ 의 원소 x는 $\operatorname{ad}(x)$ 가 반단순 (각각, 멱영) 연산자인 경우 반단순 (각각, 멱영)이라고 한다. 만약 $x\in\mathfrak g$ 이면, 추상 조르당 분해는 x를 다음과 같이 고유하게 쓸 수 있다고 말한다.
: $x = s + n$
여기서 $s$ 는 반단순이고, $n$ 은 멱영이며 $[s, n] = 0$ 이다. 또한, 만약 $y \in \mathfrak g$ 가 x와 교환 가능하면, $s, n$ 둘 다와 교환 가능하다.

추상 조르당 분해는 어떤 표현 ρ에 대해, $\mathfrak g$ 의 모든 표현을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\rho(x) = \rho(s) + \rho(n)\,$
는 표현 공간의 선형 변환 대수에서 ρ(x)의 조르당 분해이다. (이는 바일 완전 가약 정리의 결과로 증명된다. 바일의 완전 가약 정리#응용: 조르당 분해 보존 참고.)

6. 구조

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 (유한 차원) 반단순 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 구조는 카르탕 부분 대수라고 하는 특이한 부분 대수의 수반 작용을 통해 설명될 수 있다. 카르탕 부분 대수 $\mathfrak{h}$ 는 각 $h \in \mathfrak{h}$ 에 대해 $\operatorname{ad}(h)$ 가 대각화 가능하도록 하는 최대 부분 대수이다. 결과적으로 $\mathfrak{h}$ 는 가환하며 따라서 $\operatorname{ad}(\mathfrak{h})$ 의 모든 연산자는 동시에 대각화 가능하다.

카르탕 부분 대수 $\mathfrak{h}$ 가 주어지면, $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{h}$ 이고 ( $\mathfrak h$ -가군으로서의) 다음과 같은 근 공간 분해가 존재한다.

: $\mathfrak g = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak{g}_{\alpha}$

여기서 $\Phi$ 는 $\mathfrak g_{\alpha} \ne \{0\}$ 인 $\mathfrak h$ 의 모든 0이 아닌 선형 범함수 $\alpha$ 의 집합이다.

$\Phi$ 의 선형 범함수는 $\mathfrak h$ 에 상대적인 $\mathfrak g$ 의 근이라고 한다. 근은 $\mathfrak h^*$ 를 생성한다.

바일 군은 $\mathfrak{h}^* \simeq \mathfrak{h}$ 의 선형 변환 군으로, 다음과 같이 정의되는 $s_\alpha$ 에 의해 생성된다.

: $s_{\alpha} : \mathfrak{h}^* \to \mathfrak{h}^*, \, \gamma \mapsto \gamma - \gamma(h_{\alpha}) \alpha$

바일 군은 문제의 중요한 대칭이다. 예를 들어, $\mathfrak{g}$ 의 임의의 유한 차원 표현의 가중치는 바일 군에 대해 불변이다.

7. 예시

$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ 와 대각 행렬의 카르탕 부분 대수 $\mathfrak{h}$ 에 대해, $\lambda_i \in \mathfrak{h}^*$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\lambda_i(d(a_1,\ldots, a_n)) = a_i$

여기서 $d(a_1,\ldots, a_n)$ 은 대각선에 $a_1,\ldots, a_n$ 을 갖는 대각 행렬을 나타낸다. 그러면 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak{g} = \mathfrak{h}\oplus \left( \bigoplus_{i \neq j} \mathfrak{g}_{\lambda_i - \lambda_j} \right)$

여기서 $\mathfrak{g}_{\lambda_i - \lambda_j} = \text{Span}_\mathbb{C}(e_{ij})$ 는 표준 (행렬) 기저를 갖는 $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ 의 벡터 $e_{ij}$ 에 대해, $e_{ij}$ 는 $i$ 번째 행과 $j$ 번째 열에 있는 기저 벡터를 나타낸다. $\mathfrak{g}$ 의 이러한 분해는 관련된 근계를 갖는다.

: $\Phi = \{ \lambda_i - \lambda_j : i \neq j \}$

예를 들어, $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ 에서 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak{sl}_2= \mathfrak{h}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_1 - \lambda_2}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_2 - \lambda_1}$

그리고 관련 근계는 다음과 같다.

: $\Phi = \{\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2 - \lambda_1 \}$

$\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$ 에서 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak{sl}_3 = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{g}_{\lambda_1 - \lambda_2}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_1 - \lambda_3}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_2 - \lambda_3}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_2 - \lambda_1}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_3 - \lambda_1}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_3 - \lambda_2}$

그리고 관련된 근계는 다음과 같다.

: $\Phi = \{\pm(\lambda_1 - \lambda_2),\pm(\lambda_1 - \lambda_3),\pm(\lambda_2 - \lambda_3) \}$

만약 $\mathfrak{g}=\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})$ 이면, $\mathfrak{h}$ 는 $\mathfrak{g}$ 의 대각 부분 대수, 즉 대각 성분의 합이 0인 대각 행렬로 취할 수 있다. $\mathfrak{h}$ 의 차원이 $n-1$ 이므로, $\mathrm{sl}(n;\mathbb{C})$ 의 계수가 $n-1$ 임을 알 수 있다.

이 경우 근 벡터 $X$ 는 $i\neq j$ 일 때 행렬 $E_{i,j}$ 로 취할 수 있으며, 여기서 $E_{i,j}$ 는 $(i,j)$ 위치에 1이 있고 다른 위치에는 0이 있는 행렬이다. 만약 $H$ 가 대각 성분이 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 인 대각 행렬이면, 다음과 같다.

: $[H,E_{i,j}]=(\lambda_i-\lambda_j)E_{i,j}$ .

따라서, $\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})$ 에 대한 근은 다음과 같이 주어진 선형 범함수 $\alpha_{i,j}$ 이다.

: $\alpha_{i,j}(H)=\lambda_i-\lambda_j$ .

$\mathfrak{h}$ 를 쌍대 공간과 식별한 후, 근은 합이 0이 되는 $n$ 개의 튜플 공간에서 벡터 $\alpha_{i,j}:=e_i-e_j$ 가 된다. 이것은 통상적인 표기법에서 $A_{n-1}$ 으로 알려진 근계이다.

근 $\alpha_{i,j}$ 와 관련된 반사는 $i$ 와 $j$ 대각 성분을 전치함으로써 $\mathfrak{h}$ 에 작용한다. 그러면 바일 군은 단순히 $n$ 개의 원소에 대한 순열군이며, $\mathfrak{h}$ 의 행렬의 대각 성분을 순열하여 작용한다.

다음은 딘킨 도형의 분류에서 유래한 표기법을 사용하여 나타낸 반단순 리 대수의 예이다.

* $A_n:$ $\mathfrak {sl}_{n+1}$ , 특수 선형 리 대수
* $B_n:$ $\mathfrak{so}_{2n+1}$ , 홀수 차원 특수 직교 리 대수
* $C_n:$ $\mathfrak {sp}_{2n}$ , 심플렉틱 리 대수
* $D_n:$ $\mathfrak{so}_{2n}$ , 짝수 차원 특수 직교 리 대수

이러한 리 대수는 n이 랭크가 되도록 번호가 매겨져 있다. 저차원에서의 예외를 제외하면, 이들의 대부분은 단순 리 대수이다. 이 4개의 족과 5개의 예외형(E₆, E₇, E₈, F₄, G₂)으로 복소수체 위의 단순 리 대수는 모두 표현된다.

8. 분류

복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라 $A_n$ , $B_n$ , $C_n$ , $D_n$ , E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다.

앞선 내용에서 언급했듯이, 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수는 카르탕 부분 대수와 관련된 근계에 의해 분류되며, 근계는 차례로 딘킨 다이어그램에 의해 분류된다.

고전적 리 대수는 딘킨 다이어그램에서 유래한 표기법을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

* $A_n:$ $\mathfrak {sl}_{n+1}$ , 특수 선형 리 대수.
* $B_n:$ $\mathfrak{so}_{2n+1}$ , 홀수 차원 특수 직교 리 대수.
* $C_n:$ $\mathfrak {sp}_{2n}$ , 심플렉틱 리 대수.
* $D_n:$ $\mathfrak{so}_{2n}$ , 짝수 차원 특수 직교 리 대수 ( $n>1$ ).

$D_n$ 에서 $n>1$ 인 이유는 $\mathfrak{so}_{2}$ 가 1차원이고 가환적이어서 반단순이 아니기 때문이다.

이러한 리 대수는 n이 계수가 되도록 번호가 매겨져 있다. 이러한 반단순 리 대수의 거의 대부분은 실제로 단순하며, 이러한 족의 구성원들은 작은 계수에서 몇몇 충돌을 제외하고는 거의 모두 다르다. 예를 들어 $\mathfrak{so}_{4} \cong \mathfrak{so}_{3} \oplus \mathfrak{so}_{3}$ 이고 $\mathfrak{sp}_{2} \cong \mathfrak{so}_{5}$ 이다. 이 네 족과 다섯 개의 예외 (E₆, E₇, E₈, F₄, G₂)는 복소수 상에서 유일한 단순 리 대수이다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수는 (정의에 의해) 단순 리 대수의 직합이며, 유한 차원 단순 리 대수는 A_n, B_n, C_n 및 D_n의 네 가지 계열과 5개의 예외(E₆, E₇, E₈, F₄ 및 G₂)로 분류된다.

이 분류는 카르탕 부분 대수(최대 가환 리 대수)와 이에 대한 수반 표현을 조사하여 진행된다. 그 작용의 루트 계는 원래의 리 대수를 결정하고, 또한 강한 제약을 만족하기 때문에 딘킨 도형에 의해 분류된다.

단순 리 대수의 분류는 수학에서 가장 우아한 결과 중 하나로 널리 여겨지며, 간결한 몇 가지 공리가 비교적 짧은 증명으로 완전하고 비자명하며 놀라운 구조를 갖춘 분류를 만들어낸다.

대수적으로 닫히지 않은 체에서는 분류가 더 복잡하다. 대수적 폐포 위의 단순 리 대수를 분류한 다음, 각 대수에 대해 이 형태(폐포에서)를 갖는 원래 체 위의 단순 리 대수를 분류한다.

8.1. 복소수 단순 리 대수

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.

* $\mathfrak a_k=\mathfrak{sl}(k+1,\mathbb C)=\mathfrak{su}(k+1)\otimes\mathbb C$ , $k=1,2,\dots$ (복소 무대각합(無對角合, traceless^영어) 행렬 대수)
* $\mathfrak b_k=\mathfrak{so}(2k+1,\mathbb C)$ , $k=2,3,\dots$ (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
* $\mathfrak c_k=\mathfrak{sp}(2k,\mathbb C)$ , $k=2,3,\dots$ (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix^영어) 대수)
* $\mathfrak d_k=\mathfrak{so}(2k,\mathbb C)$ , $k=4,5,\dots$ (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
* 𝖊₆, 𝖊₇, 𝖊₈
* 𝖋₄
* 𝖌₂

이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(classical^영어), 나머지를 예외적(exceptional^영어)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

8.2. 실수 단순 리 대수

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 경우, 우선 그 대수적 폐포 $\bar K$ 위의 대수 $\mathfrak g\otimes_K\bar K$ 를 분류한 뒤, 이를 $\bar K$ 에서 $K$ 로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체 $K=\mathbb R$ 의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화(complexification^영어) $\mathfrak g\mapsto\mathfrak g\otimes\mathbb C$ 라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 실수 형식(real form^영어)이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한 개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

9. 표현론

$\mathfrak g$ 를 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 (유한 차원) 반단순 리 대수라고 하면, $\mathfrak g = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak g_{\alpha}$ 이고, 여기서 $\Phi$ 는 근계이다. 보렐 부분 대수는 다음과 같다. $\mathfrak b = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{\alpha > 0} \mathfrak g_{\alpha}$

최고 무게 벡터와 최고 무게

V를 (가능한 무한 차원) 단순 $\mathfrak g$ -가군이라고 하자. V가 $\mathfrak b$ -무게 벡터 $v_0$ 를 갖는다면, 이는 스케일링까지 유일하며 V의 최고 무게 벡터라고 한다. 또한 $\mathfrak h$ -무게 벡터이며, $\mathfrak h$ 의 선형 함수인 $v_0$ 의 $\mathfrak h$ -무게는 V의 최고 무게라고 한다. $\mu \in \mathfrak h^*$ 를 최고 무게로 갖는 단순 $\mathfrak g$ -가군 $V^{\mu}$ 가 존재하고, 같은 최고 무게를 갖는 두 개의 단순 가군은 동치이다.

최고 무게 정리

$\mathfrak g$ 가 리 군의 리 대수(또는 그러한 대수의 복소화)인 경우, 리 대응을 통해 리 대수 표현을 리 군 표현으로 적분할 수 있기 때문에, 유한 차원 단순 $\mathfrak g$ -가군(유한 차원 기약 표현)에 관심이 있는 경우가 많다. 양 바일 공간 $C \subset \mathfrak{h}^*$ 는 $C = \{ \mu \in \mathfrak{h}^* | \mu(h_{\alpha}) \ge 0, \alpha \in \Phi > 0 \}$ 를 의미하며, 여기서 $h_{\alpha} \in [\mathfrak g_{\alpha}, \mathfrak g_{-\alpha}]$ 는 $\alpha(h_{\alpha}) = 2$ 인 고유 벡터이다.
* $\dim V^{\mu} < \infty$ 는 각 양근 $\alpha > 0$ 에 대해 (1) $\mu(h_{\alpha})$ 가 정수이고 (2) $\mu$ 가 $C$ 에 속하는 경우에만 해당한다.

위의 조건을 만족하는 선형 함수 $\mu$ 를 우세한 정수 무게라고 한다. 우세한 정수 무게와 유한 차원 단순 $\mathfrak g$ -가군의 동치류 사이에는 전단사 함수가 존재하며, 이를 최고 무게 정리라고 한다. 유한 차원 단순 가군의 문자는 바일 문자 공식으로 계산된다.

바일 완전 가약성 정리

바일 완전 가약성 정리에 따르면, 표수가 0인 체 위에서 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 모든 유한 차원 가군은 완전 가약이다. 즉, 단순 $\mathfrak g$ -가군의 직합이다.

10. 일반화

반단순 리 대수는 특정한 일반화를 허용한다. 우선, 반단순 리 대수에 대해 참인 많은 명제는 더 일반적으로 축약 리 대수에 대해서도 참이다. 추상적으로 축약 리 대수는 자신의 수반 표현이 완전 기약인 리 대수이며, 구체적으로 환원 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. 예를 들어, $\mathfrak{sl}_n$ 은 반단순이며, $\mathfrak{gl}_n$ 는 환원이다. 반단순 리 대수의 많은 성질은 기약성에만 의존한다.

복소 반단순/환원 리 대수의 많은 성질은 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순/환원 리 대수뿐만 아니라, 더 일반적으로 다른 체 위의 분할 반단순/환원 리 대수에 대해서도 참이다. 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순/환원 리 대수는 항상 분할되지만, 다른 체에서는 항상 그런 것은 아니다. 분할 리 대수는 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수와 본질적으로 동일한 표현론을 가지며, 예를 들어, 분할 카르탕 부분 대수는 카르탕 부분 대수가 대수적으로 닫힌 체 위에서 하는 것과 동일한 역할을 한다.

11. 역사

엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 복소수 반단순 리 대수를 분류하였다. 펠릭스 루비노비치 간트마헤르는 1939년에 실수 반단순 리 대수를 분류하였다.

복소수 위의 반단순 리 대수는 원래 빌헬름 킬링이 1888년에서 1890년 사이에 분류했지만, 킬링의 증명은 엄밀성이 부족했다. 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 이 증명을 엄밀하게 만들었고, 실수 반단순 리 대수 또한 분류하였다. 이후 1947년에 유진 딘킨이 딘킨 다이어그램을 이용한 분류를 제시하면서 더욱 발전하였다.