고유 사상

1. 개요

고유 사상은 스킴 이론에서 중요한 개념으로, 준콤팩트, 분리, 유한형 사상이며, 값매김 조건을 만족하는 사상으로 정의된다. 고유 사상은 모든 유한 사상, 닫힌 몰입, 사영 공간에서 나타나며, 두 고유 사상의 합성이나 밑 변화 역시 고유하다. 나가타 콤팩트화 정리, 차우의 보조 정리 등과 관련이 있으며, 대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체는 완비 대수다양체이지만, 역은 차원이 증가함에 따라 성립하지 않을 수 있다. 형식 스킴의 경우, 아디 사상이고 유도된 사상이 고유하면 고유 사상으로 정의되며, 가환성 정리가 성립한다.

2. 정의

스킴 사이의 사상 $f\backslash colon\; X\backslash to\; S$가 다음 조건을 모두 만족시키면 고유 사상이라고 한다.
* 보편 닫힌 사상이다. 즉, 임의의 스킴 사상 $S\text{'}\backslash to\; S$에 대하여, 밑 전환 (즉, 당김의 사영 사상) $X\backslash times\_SS\text{'}\backslash to\; S\text{'}$은 항상 위상 공간 사이의 함수로서 닫힌 함수이다.
* 유한형 사상이다.
* 분리 사상이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여, 한 점으로 가는 사상 $X\backslash to\backslash operatorname\{Spec\}K$가 고유 사상이면, $X$를 완비 대수다양체라고 한다. 이는 위상 공간의 콤팩트성에 대응하는 개념이다.

2.1. 값매김 조건

고유성의 값매김 조건(valuative criterion of properness^영어)에 따르면, 임의의 스킴 $X$와 국소 뇌터 스킴 $Y$ 사이의 준콤팩트 분리 유한형 사상 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $f$는 고유 사상이다.
* 임의의 이산 값매김환 $R$에 대하여, 자연스러운 포함 관계 $i\backslash colon\backslash operatorname\{Spec\}\backslash operatorname\{Frac\}R\backslash to\backslash operatorname\{Spec\}R$에 대한 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다. 즉, 임의의 값매김환 $R$, 임의의 사상 $x\backslash colon\backslash operatorname\{Spec\}R\backslash to\; X$ 및 임의의 사상 $\backslash bar\; y\backslash colon\backslash operatorname\{Spec\}R\backslash to\; X$에 대하여, 만약 $\backslash bar\; y\backslash circ\; i=f\backslash circ\; x$라면, $x=\backslash bar\; x\backslash circ\; i$인 사상 $\backslash bar\; x\backslash colon\backslash operatorname\{Spec\}R\backslash to\; X$가 항상 유일하게 존재한다.
::$\backslash begin\{matrix\}$
\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R&\xrightarrow x&X\\
{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow{\scriptstyle\exists!\bar x}&\downarrow\scriptstyle f\\
\operatorname{Spec}R&\xrightarrow[\bar y]{}&Y
\end{matrix}

이 조건에서, "유일하게 존재한다"를 "존재한다면 유일하다"로 바꾸면, 분리 사상의 값매김 조건을 얻는다. 즉, 공역이 국소 뇌터 스킴인 유한형 사상에 대하여, 다음과 같은 값매김 조건이 존재한다.

여기서 "올림"은 값매김환의 닫힌 점의 포함 사상 $\backslash operatorname\{Spec\}\backslash operatorname\{Frac\}R\backslash to\backslash operatorname\{Spec\}R$에 대한 것이다.

슈발레에게서 유래된 고유성에 대한 매우 직관적인 기준이 있는데, 이는 일반적으로 고유성의 평가 기준이라고 불린다. 뇌터 스킴 간의 유한 타입의 사상 f: X → Y가 있다고 가정하면, f는 모든 이산 값매김환 R과 분수체 K에 대해, R에서 정의된 점 f(x)로 맵핑되는 모든 K-값 점 x ∈ X(K)에 대해, $\backslash overline\{x\}\; \backslash in\; X(R)$로의 x의 고유한 리프트가 존재할 경우에만 고유하다.

마찬가지로, f는 모든 그러한 다이어그램에서 $\backslash overline\{x\}\; \backslash in\; X(R)$로의 리프트가 최대 하나만 존재할 경우에만 분리된다.

예를 들어, 평가 기준이 주어지면, 사영 공간 Pⁿ이 체 위(또는 심지어 Z 위에서도)에서 고유함을 확인하는 것이 쉬워진다. 단순히 분수체 K를 가진 이산 값매김환 R에 대해, 사영 공간의 모든 K-점 [x₀,...,x_n]은 좌표를 스케일링하여 모두 R에 있고 적어도 하나는 R에서 단위가 되도록 함으로써 R-점으로 유래한다는 것을 관찰한다.

고유 사상의 값매김 조건을 설명하는 예시 중 하나는 $\backslash text\{Spec\}(\backslash mathbb\{C\}t)$를 무한소 디스크로 해석하는 것이다.

$\backslash Delta^*$의 이미지에서 점 $0\; \backslash in\; \backslash Delta$를 채우는 것이 핵심이다.

3. 성질

모든 유한 사상은 고유 사상이다. 특히, 모든 닫힌 몰입은 고유 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:스킴 사상 ⊇ 국소 유한형 사상 ⊇ 유한형 사상 ⊇ 고유 사상 ⊇ 유한 사상 ⊇ 닫힌 몰입

두 고유 사상의 합성은 고유하다. 고유 사상의 밑 변환(base change)은 고유하다. 즉, Z → Y가 스킴의 임의의 사상이면, 결과적인 사상 X ×_Y Z → Z는 고유하다.

고유성은 밑(의 자리스키 위상)에 대한 국소적 성질이다. 즉, Y가 몇몇 열린 부분 스킴 Y_i로 덮여 있고, 모든 f⁻¹(Y_i)로의 f의 제한이 고유하다면, f도 고유하다. 더욱 강하게, 고유성은 fpqc 위상에서 밑에 대한 국소적 성질이다. 예를 들어, X가 체 k 위의 스킴이고 E가 k의 체 확대라면, X가 k 위에서 고유한 것과 밑 변화 X_E가 E 위에서 고유한 것은 동치이다.

국소 뇌터 스킴 간의 고유 사상은 층의 연결성(coherence)을 보존한다. 즉, 연결층의 고차 순상(higher direct image)은 연결층이다.

나가타 콤팩트화 정리에 따르면, 뇌터 스킴 사이의 분리 유한형 사상은 열린 몰입과 고유 사상의 합성으로 분해될 수 있다.

3.1. 완비 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체는 항상 완비 대수다양체이다. 낮은 차원에서는 그 역이 부분적으로 성립한다.

* 1차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) 대수 곡선은 사영 대수다양체이다.
* 2차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) 비특이 대수 곡면은 사영 대수다양체이다. 반면 특이점을 갖는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 완비 대수다양체가 존재한다.
* 3차원 이상: 히로나카 헤이스케가 제시한 히로나카의 예(Hironaka’s example^영어)로 불리는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 비특이 완비 대수다양체가 존재한다.

4. 예시

임의의 자연수 $n$에 대해, 사영 공간 Pⁿ은 임의의 가환환 $R$ 위에서 고유하다. 양의 차원을 갖는 체 $k$ 위의 아핀 다양체는 $k$ 위에서 고유하지 않다. 예를 들어, 체 $k$ 위의 아핀 직선 A¹은 사상 A¹ → Spec(k)가 보편적으로 닫혀 있지 않으므로, $k$ 위에서 고유하지 않다.

5. 추가 설명 (형식 스킴)

formal scheme^영어의 경우에도 고유 사상을 정의할 수 있다. 국소 뇌터 형식 스킴 사이의 사상 $f\backslash colon\; \backslash mathfrak\{X\}\; \backslash to\; \backslash mathfrak\{S\}$가 고유하다는 것은, $f$가 아디 사상(adic morphism)이고, 유도된 사상 $f\_0\backslash colon\; X\_0\; \backslash to\; S\_0$가 고유하다는 것을 의미한다. 여기서 $X\_0\; =\; (\backslash mathfrak\{X\},\; \backslash mathcal\{O\}\_\backslash mathfrak\{X\}/I)$, $S\_0\; =\; (\backslash mathfrak\{S\},\; \backslash mathcal\{O\}\_\backslash mathfrak\{S\}/K)$, $I\; =\; f^*(K)\; \backslash mathcal\{O\}\_\backslash mathfrak\{X\}$이며, K는 $\backslash mathfrak\{S\}$의 정의 아이디얼이다. 이 정의는 K를 어떻게 잡는지에 의존하지 않는다.

예를 들어, g: Y → Z를 국소 뇌터 스킴의 고유 사상, Z₀을 Z의 닫힌 부분 집합, Y₀을 Y의 g(Y₀) ⊂ Z₀가 되는 닫힌 부분 집합이라고 하면, 형식적 완비화 위의 사상 $\backslash widehat\{g\}\backslash colon\; Y\_\{/Y\_0\}\; \backslash to\; Z\_\{/Z\_0\}$는 형식 스킴의 고유 사상이다.

그로텐디크는 이 상황에서의 가환성 정리(coherence theorem)를 증명했다. 즉, $f\backslash colon\; \backslash mathfrak\{X\}\; \backslash to\; \backslash mathfrak\{S\}$를 국소 뇌터 형식 스킴의 고유 사상이라고 하고, F를 $\backslash mathfrak\{X\}$ 위의 가환층이라고 하면, 고차 순상 $R^i\; f\_*\; F$는 가환층이다。