스콧 계략

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1. 개요
2. 정의
3. 스콧 계략의 활용
4. 일반적인 스콧 계략
5. 역사
참조

1. 개요

스콧 계략은 체르멜로-프렝켈 집합론에서 모임 X의 원소 중 폰 노이만 전체에서의 계수가 최소인 것들의 모임 $\hat X$ 를 정의하는 방법이다. 이 계략은 동치류, 기수, 정초 관계를 다루는 데 활용되며, 특히 선택 공리 없이 기수를 정의하거나, 정초 관계임을 증명하는 데 사용된다. 스콧 계략은 데이나 스콧에 의해 1955년에 소개되었다.

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스콧 계략

2. 정의

체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 모임 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 원소 중에서 폰 노이만 전체에서의 계수(rank)가 가장 작은 원소들만 모아 새로운 모임 $\hat X$ 를 정의할 수 있다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.^[4]

: $\hat X=\{A\in X|\forall B\in X\colon\operatorname{rank}A\le\operatorname{rank}B\}\subseteq X$

여기서 $\operatorname{rank}A$ 는 원소 $A$ 의 계수를 의미한다. 만약 $X$ 에 속한 원소들의 최소 계수가 $\alpha$ 라면, $\hat X$ 의 모든 원소는 계수가 $\alpha$ 이므로, $\hat X$ 는 폰 노이만 전체의 단계 $V_{\alpha+1}$ 의 부분집합이 된다. 따라서 $\hat X$ 는 항상 집합이다. 또한, $\hat X$ 가 공집합일 필요충분조건은 원래의 모임 $X$ 가 공집합인 것이다. 즉, $\hat X=\varnothing$ 인 것과 $X=\varnothing$ 인 것은 서로 동치이다.

이렇게 정의된 집합 $\hat X$ 를 '''스콧 계략'''(Scott's trick)이라고 한다.

3. 스콧 계략의 활용

스콧 계략은 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 형식적 집합론에서 유용하게 활용된다. 특히 동치 관계에 대한 동치류가 집합의 범위를 넘어 진 클래스가 되는 경우, 이 동치류를 대표할 수 있는 집합을 정의하는 데 사용된다. 진 클래스는 집합론에서 직접 다룰 수 없기 때문에 이러한 대표 집합 정의가 필요하다.

대표적인 예시는 기수 정의 문제이다. 집합 간 전단사 함수 존재 여부로 기수를 정의하면, 많은 경우 동치류가 진 클래스가 된다. 선택 공리를 가정하면 각 기수를 특정 서수(알레프 수)로 정의할 수 있지만, 선택 공리가 없다면 이 방법은 불가능하다.

스콧 계략은 선택 공리 없이도 기수를 대표하는 집합을 정의하는 방법을 제공한다. 이는 어떤 집합 $A$ 와 같은 기수를 가진 집합들이 처음 나타나는 가장 낮은 폰 노이만 계층 $V_\alpha$ 를 이용하는 방식이다.^[4] 즉, $A$ 의 기수 대표 집합은 '계층 $V_\alpha$ 에 속하면서 $A$ 와 같은 기수를 가지는 모든 집합들의 모임'으로 정의된다.

이러한 대표 집합의 존재는 정칙성 공리를 통해 보장된다. 정칙성 공리는 모든 집합이 어떤 폰 노이만 계층에 속함을 보장하므로, 어떤 동치류 $[a]$ 에 대해서도 $V_\alpha \cap [a]$ 가 공집합이 아닌 최소 서수 $\alpha$ 가 존재하게 된다. 따라서 정칙성 공리를 가정하면, 스콧 계략을 통해 모든 동치류에 대한 대표 집합을 구성할 수 있다.

3. 1. 동치류

모임 위에 동치 관계

\sim

가 주어졌을 때, 특정 원소

a

의 동치류

[a] = \{x \mid x \sim a\}

는 고유 모임일 수 있다. 예를 들어, 집합들 사이에 전단사 함수가 존재하는지 여부로 정의되는 동치 관계에서, 무한 집합의 동치류(즉, 기수)는 대부분 고유 모임이 된다.^[1] 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)과 같이 집합만을 다루는 이론에서는 고유 모임을 직접 원소로 다룰 수 없으므로, 이러한 동치류들의 모임을 정의하는 데 어려움이 따른다.

스콧 계략은 각 동치류

[a]

에 대해, 그것이 고유 모임이라 할지라도, 그 동치류를 대표하는 집합을 할당하는 방법을 제공한다.^[1] 이 방법은 누적적 계층

V_\alpha

를 사용한다. 구체적으로, 어떤 집합

a

의 동치류

[a]

에 대해,

V_\alpha \cap [a]

가 공집합이 아니게 되는 가장 작은 서수

\alpha

를 찾는다. 이 최소

\alpha

에 대한 교집합

V_\alpha \cap [a]

는 항상 집합이며, 이 집합을 동치류

[a]

의 대표원으로 정의한다.^[2]

이 대표 집합을 구성하는 과정 자체에는 정칙성 공리가 필요하지 않다. 하지만 정칙성 공리는 모든 집합

a

가 어떤 계층

V_\alpha

에 속함(

a \in V

)을 보장하며, 이는

a \in V \cap [a]

임을 의미하므로

V \cap [a]

가 공집합이 아님을 보장한다.^[2] 따라서 정칙성 공리를 가정하면, 모든 동치류

[a]

에 대해 위와 같은 최소 서수

\alpha

와 대표 집합

V_\alpha \cap [a]

가 존재함이 보장된다.^[2]

선택 공리(AC)를 가정하는 경우(ZFC), 기수는 해당 기수를 갖는 가장 작은 서수, 즉 알레프 수로 정의할 수 있다. 그러나 선택 공리를 가정하지 않는 ZF에서는 이러한 최소 서수가 존재하지 않을 수 있다.^[1] 스콧 계략은 선택 공리에 의존하지 않고, (정칙성 공리를 가정하는) ZF 체계 내에서 모든 동치류(예: 기수, 동형류 등)에 대한 집합 대표원을 제공한다는 점에서 유용하다.^[1]^[2] 이를 통해 동치류들의 모임을 집합으로 간주하고 다룰 수 있게 된다.

3. 2. 기수

기수는 본래 집합의 크기를 나타내는 개념으로, 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재할 경우 같은 기수를 갖는다고 보아 동치류로 정의하려는 시도가 있었다. 그러나 이 방법에는 문제가 있는데, 대부분의 기수에 해당하는 동치류가 너무 커서 집합이 아닌 진 클래스가 된다는 점이다. 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)과 같이 집합만을 다루는 표준적인 집합론에서는 진 클래스를 직접적인 대상으로 다룰 수 없으므로, 각 기수를 대표하는 집합을 정의할 필요가 생긴다.

선택 공리(AC)를 가정하는 ZFC 집합론에서는, 각 기수에 대해 그 기수와 같은 크기를 가지는 가장 작은 서수를 찾아 그 서수를 해당 기수로 정의한다. 이렇게 정의된 특별한 서수들을 알레프 수(

\aleph

수)라고 부른다. 하지만 선택 공리를 가정하지 않는 ZF 집합론에서는 특정 기수에 해당하는 가장 작은 서수가 항상 존재한다고 보장할 수 없다. 따라서 선택 공리가 없다면 모든 기수를 서수로 대표할 수는 없다.

스콧 계략은 선택 공리 없이도 각 기수를 나타내는 집합을 정의하는 방법을 제공한다. 이 방법은 정칙성 공리를 필수적으로 사용한다. 스콧 계략의 핵심 아이디어는 다음과 같다: 임의의 집합

A

에 대해,

A

와 같은 기수를 가지는 집합들이 처음으로 나타나는 가장 낮은 폰 노이만 계층

V_\alpha

가 존재한다. 이때, 집합

A

의 기수는 '

A

와 같은 기수를 가지면서 계층

V_\alpha

에 속하는 모든 집합들의 집합'으로 정의된다.

이 정의는 선택 공리가 없더라도, 즉 모든 집합을 정렬할 수 있다는 가정(선택 공리와 동치) 없이도 모든 기수에 대해 그것을 대표하는 집합을 성공적으로 할당한다.

다만 주의할 점이 있다. 스콧 계략을 통해 정의된 기수는 특정 계층

V_\alpha

에 속하는 집합들의 모임인데, 어떤 두 집합이 같은 최소 계층

V_\alpha

에서 처음 나타난다고 해서 반드시 두 집합의 기수가 같다고는 할 수 없다. 또한, 선택 공리가 없는 ZF에서는 임의의 두 집합의 기수를 항상 비교할 수 있는 것은 아니다. 이는 모든 기수가 서수로 정의되어 항상 비교 가능한 ZFC와는 다른 점이다.

3. 3. 정초 관계

모임 위에 이항 관계가 주어졌을 때, 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 극소 원소를 갖는다는 사실은 공집합이 아닌 모든 부분 모임이 극소 원소를 갖는다는 사실을 함의한다. 이는 정초 관계의 중요한 성질이며, 이 증명 과정에서 스콧 계략이 사용된다.

구체적으로, 모임

X

위의 이항 관계

R\subseteq X\times X

가 있을 때, 임의의 부분 모임

Y\subseteq X

에 대하여, 이항 관계

R

의 왼쪽 성분들의 모임인

:

\{A\in X|\exists B\in Y\colon(A,B)\in R\}

에 스콧 계략을 적용하여 증명을 진행할 수 있다.

4. 일반적인 스콧 계략

체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 어떤 모임 $X$ 에 대하여, 그 원소들 가운데 폰 노이만 전체에서의 계수(rank)가 가장 작은 것들의 모임을 $\hat X$ 라고 정의할 수 있다.^[4]

: $\hat X=\{A\in X|\forall B\in X\colon\operatorname{rank}A\le\operatorname{rank}B\}\subseteq X$

이러한 최소의 계수가 $\alpha$ 라고 할 때, $\hat X$ 는 집합 $V_{\alpha+1}$ 의 부분 모임이므로 항상 집합이다. $\hat X$ 가 공집합일 필요충분조건은 $X$ 가 공집합인 것이다. 이를 스콧 계략(Scott's trick)이라고 한다.

스콧 계략은 주로 동치 관계 $\sim$ 에 대한 동치류 $[a]$ 가 너무 커서 일반적인 집합으로 다룰 수 없는 진 클래스(proper class)일 때 유용하게 사용된다. 대표적인 예시는 기수(cardinal number) 정의에서 찾아볼 수 있다. 기수는 본래 두 집합 사이에 전단사가 존재할 때 같은 것으로 취급하는 동치 관계에 대한 동치류로 정의될 수 있다. 그러나 이 방식의 어려움은 대부분의 기수에 해당하는 동치류가 진 클래스가 되어, 집합만을 다루는 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 이론에서는 직접 다룰 수 없다는 점이다. 따라서 집합론의 맥락에서는 각 동치류를 대표하는 하나의 '집합'을 지정하여 다루는 것이 편리하다.

선택 공리를 가정하는 ZFC에서는 각 기수를 그 기수와 같은 크기를 갖는 가장 작은 서수와 연결하여 대표자를 할당하는 방법이 있다. 이 특별한 서수가 바로 알레프 수이다. 하지만 선택 공리를 가정하지 않는 ZF에서는 일부 기수에 대해 이러한 최소 서수를 찾을 수 없으므로, 해당 기수를 대표하는 서수를 가질 수 없다.

스콧 계략은 선택 공리 없이도 동치류의 대표 집합을 정의하는 다른 방법을 제공한다. 어떤 집합 $a$ 의 동치류 $[a]$ 에 대해, $[a]$ 에 속하는 집합들 중 폰 노이만 누적 계층 $V_\alpha$ 에 나타나는 가장 작은 계층 $V_\alpha$ 가 존재한다는 사실을 이용한다. 즉, $V_\alpha \cap [a]$ 가 공집합이 아닌 최소의 서수 $\alpha$ 를 찾는다. 이 교집합 $V_\alpha \cap [a]$ 는 항상 집합이므로, 이를 원래의 동치류 $[a]$ 를 대표하는 집합으로 삼을 수 있다. 이 정의는 모든 집합이 정렬 가능하다는 가정(선택 공리와 동치)이 없어도 모든 동치류에 대표 집합을 할당할 수 있게 해준다.

이 구성을 위해서는 정칙성 공리가 필수적으로 사용된다. 정칙성 공리는 모든 집합 $a$ 가 폰 노이만 전체 $V$ 에 속한다는 것, 즉 어떤 계층 $V_\alpha$ 안에 나타난다는 것( $a \in V$ )과 동치이다. 따라서 정칙성 공리를 가정하면, 모든 집합 $a$ 와 동치 관계 $\sim$ 에 대해 $a$ 자신이 $V \cap [a]$ 에 속하게 되므로( $a \in V_\alpha \cap [a]$ 인 $\alpha$ 가 존재하므로), $V \cap [a]$ 는 결코 공집합이 아니다. 결과적으로 정칙성 공리가 주어지면, 어떤 동치 관계에 대해서든 모든 동치류에 대해 스콧 계략을 이용하여 대표 집합을 찾을 수 있다.

5. 역사

데이나 스콧이 1955년 7월 18일 브리티시컬럼비아 대학교 밴쿠버 캠퍼스에서 열린 제515회 미국 수학회 회의에서 소개하였다.^[5]

참조

_[1] 서적 Jech 2003:65
_[2] 서적 Forster 2003:182
_[3] 서적 Kanamori 1994:47
_[4] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer 2003
_[5] 간행물 The June meeting in Vancouver 1955

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