스테라디안

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 라디안과의 유사성
5. 제곱도와의 관계
6. SI 배수
7. 응용
8. 유니코드
참조

1. 개요

스테라디안은 구의 표면에서 반지름의 제곱에 해당하는 면적의 입체각을 나타내는 SI 유도 단위이다. 2차원 평면각인 라디안을 3차원으로 확장한 개념으로, 구 전체는 4π 스테라디안이다. 스테라디안은 복사속 측정에 자주 사용되며, 와트 매 스테라디안(W/sr)과 같은 관련 단위가 존재한다. 유니코드에는 스테라디안 기호가 있지만 사용은 권장되지 않는다.

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스테라디안
기본 정보
종류	SI 유도 단위
물리량	입체각
기호	sr
SI 기본 단위	1 m²/m²
다른 단위로 표현	²\|²}} deg² ≈ deg²
어원	그리스어 στερεός (스테레오스; 실체, 입체) + 라틴어 radius (라디우스, 반지름)
반지름 을 갖는 구에서 면적 가 }}, 즉 인 입체각 의 예시.
스테라디안
정의
설명	구의 반지름의 제곱과 같은 면적을 갖는 구면의 중심에 대한 입체각

2. 정의

1 스테라디안은 반지름이 r인 구의 표면에서 r²인 면적(구면 위의 넓이)에 해당하는 입체각이다.^[3]

구의 면적이 r²이므로, 구는 4π 스테라디안이다. 같은 논리로, 최대 입체각은 4π''sr''이다. 스테라디안은 ''squared radian''으로 불리기도 한다.

스테라디안은 SI 보조 단위였으나, 1995년 SI 보조 단위가 폐지되면서, SI 유도 단위가 되었다. 스테라디안은 단위 구 중심에서 구 표면의 단위 면적 (어떤 모양이든)에 의해 가려지는 입체각으로 정의할 수 있다.^[7]

원뿔 형태의 입체각은 구에서 잘라낸 면적과 관련이 있다.

:

\Omega = \frac{A}{r^2}\ \text{sr} \, = \frac{2\pi h}{r}\ \text{sr},

여기서

Ω는 입체각
A는 구면 덮개의 표면적, $2\pi rh$
r는 구의 반지름
h는 덮개의 높이
sr은 단위, 스테라디안 (sr = rad²)

1 스테라디안은 구의 반지름 r의 제곱 (구의 반지름을 한 변의 길이로 하는 정사각형)과 같은 면적의 구면 위의 부분 a의 중심에 대한 입체각[sr]으로 정의된다.^[7] 2차원의 평면각인 라디안을 3차원으로 확장한 것이다.

:

\left[\mathrm{sr} \right]=\frac{a}{r^2}.

스테라디안의 명칭은 1875년경부터 사용되었으며, 그리스어로 입체라는 뜻의 ''stereos''(스테레오의 어원이기도 하다)에서 유래한다. 스테라디안은 1960년 제11회 국제도량형총회 (CGPM)에서 채택되었다.

3. 성질

1 스테라디안은 반지름이 r인 구의 표면에서 r²인 면적(구면 위의 넓이)에 해당하는 입체각이다.^[7] 2차원의 평면각인 라디안을 3차원으로 확장한 것이다.

구면 캡의 면적 ''A'' = 2''πrh''^영어에서 ''A'' = ''r''²^영어이면 $\tfrac{h}{r} = \tfrac{1}{2\pi}$ 이다. 이를 통해 입체각이 1 스테라디안과 같은 단순 원뿔의 단면 평면 개구각( $2\theta$ )을 계산할 수 있다.

: $\theta = \arccos \left( \frac{r-h}{r} \right) = \arccos \left( 1 - \frac{h}{r} \right) = \arccos \left( 1 - \frac{1}{2\pi} \right) ,$

그러면 $\theta$ ≈ 0.572 라디안 또는 32.77°가 되고 $2\theta$ ≈ 1.144 라디안 또는 65.54°가 된다.

단면이 각도 $2\theta$ 를 이루는 단순 원뿔의 입체각은 다음과 같다.

: $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta) \text{ sr} = 4\pi\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \text{ sr}.$

1 스테라디안은 또한 완전한 구의 $\tfrac{1}{4\pi}$ (스파트)와 같으며, $\left(\tfrac{360^\circ}{2\pi}\right)^2$ ≈ 3282.80635 제곱 도와 같고, 각도 과잉이 1 라디안인 다각형의 구면 면적과 같다.

스테라디안의 정의에 따르면, 전구(면적 $4\pi r^2$ )는 $4\pi$ 스테라디안 (= 약 12.566 스테라디안), 반구는 $2\pi$ 스테라디안 (= 약 6.2832 스테라디안)이 된다. 반대로, 1 스테라디안은 전구를 1로 했을 때, $1/4\pi$ = 약 0.079577이 된다.

스테라디안은 SI 보조 단위였으나, 1995년 SI 보조 단위가 폐지되면서, SI 유도 단위가 되었다.

4. 라디안과의 유사성

2차원 평면에서 라디안으로 표현되는 각은 잘려지는 호의 길이와 관련이 있으며, 3차원에서 스테라디안으로 표현되는 입체각은 잘려지는 면적과 관련이 있다. 1 스테라디안은 구의 반지름 제곱 (구의 반지름을 한 변의 길이로 하는 정사각형)과 같은 면적의 구면 위 부분의 중심에 대한 입체각[sr]으로 정의된다.^[7] 2차원 평면각인 라디안을 3차원으로 확장한 것이다.

스테라디안과 라디안의 관계는 다음과 같다.

라디안:

::

\theta = \frac{l}{r} \,

::''l'' 은 호의 길이

::''r'' 은 원의 반지름

스테라디안:

::

\Omega = \frac{S}{r^2} \,

::''S'' 은 표면적

::''r'' 은 구의 반지름

5. 제곱도와의 관계

2차원의 각도에 대응하여, 입체각의 단위로 제곱도라는 단위가 있다. 국제단위계(SI)에서는 평면각에 대해 도(및 분·초)가 SI 병용 단위가 되어 있는 반면, 입체각의 SI 단위 및 계량법상의 법정 계량 단위는 스테라디안뿐이며, 제곱도는 인정되지 않는다.

스테라디안과 제곱도(deg²)의 관계는 다음과 같다.

1 sr = 약 3282.806350012 deg²
1 deg² = 약 0.00030461741979 sr = 약 0.30461741979 msr = 약 304.61741979 µsr

6. SI 배수

밀리스테라디안(msr)과 마이크로스테라디안(μsr)은 때때로 광선 및 입자선을 설명하는 데 사용된다.^[4]^[5] 다른 배수들은 거의 사용되지 않는다.

분량 단위는 다음과 같다.

단위	단위 기호	스테라디안 값
밀리스테라디안	msr	10^-3 sr
마이크로스테라디안	μsr	10^-6 sr

구면 전체 (또는 천구 전체)의 입체각은 약 12.566 스테라디안이므로, 스테라디안의 배량 단위는 사용되지 않는다.

7. 응용

스테라디안은 복사속의 계측에 자주 사용된다.

빛 등의 전자기파는 특정 조건에서 모든 방향으로 동일하게 방사된다. 이러한 조건에서 단위 면적당 복사속은 광원에서 멀어질수록 약해지지만, 단위 입체각당 복사속은 광원으로부터의 거리에 관계없이 일정하다. 또한, 완전히 "모든 방향으로 동일하게 방사"되지 않는 경우라도 근사적으로 비슷한 현상이 나타나는 경우가 많다(예: 전구, 적열된 쇳조각). 이것이 스테라디안이 복사속의 계측에 사용되는 이유이다. SI에서 복사 강도의 단위는 와트 매 스테라디안(W/sr)이다. 또한, 광도의 단위인 칸델라(cd) 정의에 와트 매 스테라디안이 등장한다.

8. 유니코드

유니코드에는 스테라디안을 나타내는 문자가 CJK 호환 문자로 수록되어 있다. 이는 기존 문자 코드와의 하위 호환성을 위해 포함되었으며, 사용은 권장되지 않는다.^[8]^[9]

기호	유니코드	JIS X 0213	문자 참조	명칭
㏛	33DB	-	스테라디안

참조

_[1] 서적 Antenna Theory and Design https://books.google[...] John Wiley & Sons 2012-05-22
_[2] 서적 Spherical Astronomy https://books.google[...] Elsevier 2012-12-02
_[3] 간행물 Steradian McGraw-Hill 1997
_[4] 서적 Accelerator-based Atomic Physics: Techniques and Applications Stephen M. Shafroth, James Christopher Austin 1997
_[5] 논문 The Stanford microwave spectroheliograph antenna, a microsteradian pencil beam interferometer 1961
_[6] 웹사이트 計量単位令　別表第一 https://laws.e-gov.g[...]
_[7] 웹사이트 計量単位令別表第一 https://laws.e-gov.g[...]
_[8] 웹사이트 CJK Compatibility https://www.unicode.[...] 2015-01-01
_[9] 웹사이트 The Unicode Standard, Version 8.0.0 http://www.unicode.o[...] The Unicode Consortium 2015-01-01

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