시프트 행렬

1. 개요

시프트 행렬은 체 K 위의 n×n 상시프트 행렬 U_n과 하시프트 행렬 L_n으로 정의되며, 행렬의 왼쪽 및 오른쪽 곱셈과 관련된 특정 성질을 가진다. 이 행렬들은 멱영 지수가 n인 멱영 행렬이며, 멱영 행렬은 시프트 행렬을 블록으로 하는 블록 대각 행렬과 유사하다. 시프트 행렬은 행렬식, 대각합, 계수, 특성 다항식 등 다양한 수학적 특성을 가지며, 멱영 행렬과 밀접한 관련이 있다.

2. 정의

체 $K$ 위의 $n\backslash times\; n$ 상시프트 행렬(upper shift matrix^영어) $U\_n\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$ 및 하시프트 행렬 $L\_n\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$은 다음과 같이 정의된다.

:$(U\_n)\_\{ij\}=\backslash delta\_\{i+1,j\}=$
\begin{cases}
1&j=i+1\\
0&j\ne i+1
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}

:$(L\_n)\_\{ij\}=\backslash delta\_\{i,j+1\}=$
\begin{cases}
1&i=j+1\\
0&i\ne j+1
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}

여기서 $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타이다. 예를 들어, $5\backslash times\; 5$ 상시프트 행렬 $U\_5$ 및 하시프트 행렬 $L\_5$는 다음과 같다.

:$U\_5=$
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix},\;L_5=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}

3. 성질

체 $K$ 위의 $m\backslash times\; m$ 상·하시프트 행렬 $U\_m,\; L\_m\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(m;K)$의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.

:$U\_m\; \backslash cdot\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)$
:$U\_m\; \backslash cdot\; \backslash colon\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\_1\; \backslash \backslash \; x\_2\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; x\_\{n-1\}\; \backslash \backslash \; x\_n\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash mapsto\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\_2\; \backslash \backslash \; x\_3\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; x\_n\; \backslash \backslash \; 0\_\{1\; \backslash times\; n\}\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash qquad\; \backslash forall\; x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(1,n;K)$
:$L\_m\; \backslash cdot\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)$
:$L\_m\; \backslash cdot\; \backslash colon\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\_1\; \backslash \backslash \; x\_2\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; x\_\{n-1\}\; \backslash \backslash \; x\_n\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash mapsto\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\_\{1\; \backslash times\; n\}\; \backslash \backslash \; x\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; x\_\{n-2\}\; \backslash \backslash \; x\_\{n-1\}\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash qquad\; \backslash forall\; x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(1,n;K)$

체 $K$ 위의 $n\; \backslash times\; n$ 상·하시프트 행렬 $U\_n,\; L\_n\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.

:$\backslash cdot\; U\_n\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)$
:
:$\backslash cdot\; L\_n\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)$
:

체 $K$ 위의 $n\; \backslash times\; n$ 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 $U\_n,\; L\_n\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$은 $n$을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다.

:$U\_n^n\; =\; 0\_\{n\; \backslash times\; n\}$
:$L\_n^n\; =\; 0\_\{n\; \backslash times\; n\}$
:$U\_n^\{n-1\}\; =\; E\_\{1n\}\; =\; (\backslash delta\_\{i,1\}\backslash delta\_\{j,n\})\_\{i,j=1\}^n$
:$L\_n^\{n-1\}\; =\; E\_\{n1\}\; =\; (\backslash delta\_\{i,n\}\backslash delta\_\{j,1\})\_\{i,j=1\}^n$

3.1. 추가적인 성질

$U$와 $L$을 각각 $n\; \backslash times\; n$ 하부 및 상부 시프트 행렬이라고 할 때, 다음 성질이 성립한다.

* 행렬식$(U)\; =\; 0$
* tr$(U)\; =\; 0$
* 계수$(U)\; =\; n\; -\; 1$
* $U$의 특성 다항식은 $p\_U(\backslash lambda)\; =\; (-1)^n\backslash lambda^n$이다.
* $U$ⁿ = 0. 이는 케일리-해밀턴 정리에 의해 유도된다.
* $U$의 퍼머넌트는 0이다.

$U$와 $L$의 관계는 다음과 같다.

* $L$^T = $U$; $U$^T = $L$
* $U$와 $L$의 영공간은 각각 다음과 같다.
:$N(U)\; =\; \backslash operatorname\{span\}\backslash left\backslash \{\; (1,\; 0,\; \backslash ldots,\; 0)^\backslash mathsf\{T\}\; \backslash right\backslash \}$
:$N(L)\; =\; \backslash operatorname\{span\}\backslash left\backslash \{\; (0,\; \backslash ldots,\; 0,\; 1)^\backslash mathsf\{T\}\; \backslash right\backslash \}$
* $U$와 $L$의 스펙트럼은 $\backslash \{0\backslash \}$이다. 0의 대수적 중복도는 n이고, 기하학적 중복도는 1이다. $U$에 대한 유일한 고유벡터는 $(1,\; 0,\; \backslash ldots,\; 0)^\backslash mathsf\{T\}$이고, $L$에 대한 유일한 고유벡터는 $(0,\; \backslash ldots,\; 0,\; 1)^\backslash mathsf\{T\}$이다. (스케일링 제외)
* $LU$와 $UL$에 대해 다음 관계가 성립한다.
:$UL\; =\; I\; -\; \backslash operatorname\{diag\}(0,\; \backslash ldots,\; 0,\; 1)$
:$LU\; =\; I\; -\; \backslash operatorname\{diag\}(1,\; 0,\; \backslash ldots,\; 0)$
이 행렬들은 모두 멱등 행렬, 대칭 행렬이며, $U$와 $L$과 같은 계수를 가진다.
* 0에서 $n$까지의 모든 정수 $a$에 대해, $L$^n−a$U$^n−a + $L$^a$U$^a = $U$^n−a$L$^n−a + $U$^a$L$^a = $I$ (항등 행렬) 가 성립한다.

임의의 멱영 행렬 $N$은 다음 형태의 블록 대각 행렬과 유사하다.
:$\backslash begin\{pmatrix\}$
S_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & S_2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & S_r
\end{pmatrix}

여기서 각 블록 $S$₁, $S$₂, ..., $S$_r는 시프트 행렬이다(크기가 다를 수 있음).

4. 예

다음은 주어진 행렬 M에 대한 예시이다.

:$M=$
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}


이 행렬에 대해, 상단 시프트 행렬 $U\_5$와 하단 시프트 행렬 $L\_5$를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$U\_5M=\backslash begin\{pmatrix\}$
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}


:$L\_5M=$
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1
\end{pmatrix}


반대로, 행렬 M에 상단 시프트 행렬 $U\_5$와 하단 시프트 행렬$L\_5$를 곱하면 다음과 같다.

:$MU\_5=$
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\
0&1&2&2&2\\
0&1&2&3&2\\
0&1&2&2&2\\
0&1&1&1&1
\end{pmatrix}


:$ML\_5=$
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&0\\
2&2&2&1&0\\
2&3&2&1&0\\
2&2&2&1&0\\
1&1&1&1&0
\end{pmatrix}


$S\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}; \quad A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}일 때,

:$SA\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}; \quad AS = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}이다.

순열은 여러가지가 가능하다. 예를 들어 $S^\backslash mathsf\{T\}\; A\; S$는 행렬 A를 주 대각선을 따라 위, 왼쪽으로 이동 시킨것과 같다.

:$$
S^\mathsf{T}AS=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.

5. 멱영 행렬과의 관계

임의의 멱영 행렬 N은 다음과 같은 형태의 블록 대각 행렬과 유사하다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
S_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & S_2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & S_r
\end{pmatrix}

여기서 각 블록 S₁, S₂, ..., S_r는 시프트 행렬이다(크기가 다를 수 있음).