케일리-해밀턴 정리

1. 개요

케일리-해밀턴 정리는 가환환 K 위의 n × n 정사각 행렬 M의 특성 다항식을 p(x) = det(x - M) = ∑k=0n pk xk ∈ K[x]로 정의할 때, p(M) = ∑k=0n pk Mk = 0이 성립한다는 정리이다. 이 정리는 행렬의 거듭제곱을 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현하고, 역행렬을 계산하는 데 활용되며, 대수적 정수의 최소 다항식을 구하는 데도 사용된다. 케일리-해밀턴 정리는 다양한 증명 방법을 통해 증명될 수 있으며, 임의의 가환환의 원소를 갖는 행렬에 대해 성립한다. 또한, 자기 사상 환 위의 행렬을 이용하여 일반화된 형태로 이해할 수 있으며, 나카야마 보조정리의 근원이 된다.

2. 정의

가환환 $K$ 위의 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬 $M\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$의 특성 다항식은 다음과 같다.

:$p(x)=\backslash det(x-M)=\backslash sum\_\{k=0\}^np\_kx^k\backslash in\; K[x]$

여기서 $\backslash det$는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

:$p(M)=\backslash sum\_\{k=0\}^np\_kM^k=0$

특히, $K$가 체일 경우 $M$의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.

3. 증명

케일리-해밀턴 정리는 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 여러 증명 방법이 존재하며, 이들은 사용하는 수학적 개념과 접근 방식에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

* 행렬식을 이용한 증명: 고전적 수반 행렬을 사용하여 증명한다.
* 삼각화를 이용한 증명: 행렬을 상삼각 행렬로 변환하여 증명한다.
* 단인자를 이용한 증명: 단자(單因子) 이론을 사용하여 증명한다.
* 여인자 행렬을 이용한 증명: 여인자 행렬을 사용하여 증명한다.
* 행렬 계수 다항식을 이용한 증명: 행렬을 계수로 갖는 다항식을 사용하여 증명한다.
* 두 증명 (행렬식, 행렬 계수 다항식)의 절충: 행렬식을 이용한 증명과 행렬 계수 다항식을 이용한 증명을 결합하여 증명한다.
* 자기 사상 환 위의 행렬을 이용한 증명: 자기 사상 환 위의 행렬을 사용하여 증명하며, 나카야마 보조정리와 관련이 있다.
* 추상대수학적 방법을 이용한 증명: 하세-슈미트 미분의 성질이나 외대수를 이용하는 추상대수학적 방법으로 증명한다.
* 조합론적 증명: 라이프니츠 공식을 이용하거나, 트레이스 모노이드 이론을 사용하여 증명한다.

각 증명 방법에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3.1. 행렬식을 통한 증명

가환환 $K[M]=\backslash \{q(M)\backslash colon\; q\backslash in\; K[x]\backslash \}\backslash subseteq\backslash operatorname\{Mat\}(n;K)$ 위의 $n\backslash times\; n$ 행렬 $N\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;K[M])$을 다음과 같이 정의한다.

:$N\_\{ij\}=\backslash delta\_\{ij\}M-M\_\{ij\}\backslash in\; K[M]$

여기서 $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타이다.

열벡터 공간 $K^n$의 표준 기저를 $\backslash \{e\_1,\backslash dots,e\_n\backslash \}$라고 하고, $N$의 고전적 수반 행렬을 $\backslash operatorname\{adj\}N$라고 하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash sum\_\{j=1\}^nN\_\{ij\}e\_j=0$
:$((\backslash operatorname\{adj\}N)N)\_\{kj\}=\backslash delta\_\{kj\}\backslash det\; N$
:$\backslash det\; N=p(M)$

따라서 임의의 $k\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}$에 대하여, 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}0$
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(\operatorname{adj}N)_{ki}N_{ij}e_j\\
&=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n(\operatorname{adj}N)_{ki}N_{ij}e_j\\
&=\sum_{j=1}^n((\operatorname{adj}N)N)_{kj}e_j\\
&=\sum_{j=1}^n\delta_{kj}(\det N)e_j\\
&=(\det N)e_k\\
&=p(M)e_k
\end{align}

즉, $p(M)=0$이다.

3.2. 삼각화를 통한 증명

K^영어가 정역일 경우, 행렬의 삼각화를 이용하여 증명할 수 있다. 먼저, 상삼각 행렬의 경우에 대해 증명하고, 일반적인 행렬은 삼각화 가능 행렬임을 이용하여 증명한다.

A의 고유 다항식을 $p\_A\; (t)\; =\; \backslash det(t\; I\_n\; -\; A)$, 고유값을 $\backslash lambda\_1,\; \backslash cdots,\; \backslash lambda\_n$이라고 하면, 다음과 같다.
:$p\_A\; (t)=(t-\; \backslash lambda\_1\; )\; \backslash cdots\; (t-\; \backslash lambda\_n\; )$

A를 상삼각화한 행렬을 B라고 하면, 이때 대각 성분에 고유값 $\backslash lambda\_1,\; \backslash cdots,\; \backslash lambda\_n$이 나열된다.
:$B:=\; P^\{-1\}AP\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
\lambda_1 & & &* & \\
& \lambda_2 & & & \\
& &\lambda_3 & & \\
& & &\ddots & \\
& & & &\lambda_n
\end{pmatrix}

:$\backslash begin\{align\}\; p\_A\; (A)$
&= (A- \lambda_1 I) \cdots (A- \lambda_n I) \\
&= (PBP^{-1}- \lambda_1 I) \cdots (PBP^{-1}- \lambda_n I) \\
&= P\{(B- \lambda_1 I) \cdots (B- \lambda_n I)\}P^{-1} \ \cdots \ (1) \\
\end{align}
여기서 $p\_B\; (B)=(B-\; \backslash lambda\_1\; I)\; \backslash cdots\; (B-\; \backslash lambda\_n\; I)$를 계산한다.

$C\_k\; :=B-\; \backslash lambda\_k\; I\backslash \; (k=1,2,\; \backslash cdots\; ,n)$라고 두면, $C\_k$는 상삼각행렬이고, $(k,\; k)$ 성분은 0이다.

$C\_1\; C\_2$를 계산하면 다음과 같다.
:$\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c|c|cc\}$
0 &* &\cdots &* \\\hline
&* &\cdots &* \\\hline
& &\ddots &\vdots \\
& & &*
\end{array}\right) \left(\begin{array}{c|c|cc}
* &* &\cdots &* \\\hline
&0 &\cdots &* \\\hline
& &\ddots &\vdots \\
& & &*
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c|cc}
0 &0 &\cdots &* \\\hline
&0 &\cdots &* \\\hline
& &\ddots &\vdots \\
& & &*
\end{array}\right)
따라서, 제2열까지는 성분이 모두 0이 된다. 마찬가지로, 귀납적으로, $C\_k$를 곱하면, 제k열까지의 성분은 모두 0이 된다. 이를 n번째까지 반복하면 다음과 같다.
:$C\_1\; \backslash cdots\; C\_n\; =O$
따라서 (1)은
:$P(C\_1\; \backslash cdots\; C\_n)P^\{-1\}=O$이다. (증명 끝)

3.3. 단인자를 통한 증명

단자(單因子) 이론을 사용하면 쉽게 유도할 수 있다. 단, 단자 표준형의 존재 및 유일성을 증명하려면 상당한 과정이 필요하다.

문헌에 게재된 방법에 따른다.

의 단자 표준형은 $\backslash deg\; \backslash det(xI-A)=n$이므로, 다음과 같은 형태가 된다.

:$P(x)(xI-A)Q(x)=\backslash begin\{pmatrix\}$
e_1(x) & & \\
&\ddots & \\
& &e_n(x) \\
\end{pmatrix}

여기서 는 모닉 다항식이고, 이다. 즉, 는 로 나누어 떨어진다.

단자 이론에서 알려진 결과에 따르면, 마지막 단자 는 의 최소 다항식 와 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
p_A(x) &=\det(xI-A) \\
&=\det P(x)^{-1} \sdot (e_1(x) \cdots e_{n-1}(x) \phi_A(x)) \sdot \det Q(x)^{-1}
\end{align}

따라서 고유 다항식 는 최소 다항식 로 나누어 떨어진다는 것을 알 수 있다. 그러므로 이다. (증명 종료)

3.4. 여인자 행렬을 통한 증명

여인자 행렬(수반 행렬)을 이용하여 케일리-해밀턴 정리를 증명할 수 있다. 이를 위해 다항식을 원소로 갖는 행렬을 사용한다.

행렬 $tI\_n\; -\; A$는 특성 다항식이 $p(t)$이고, 다항식은 가환환을 형성하므로, 여인자 행렬 $B\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(tI\_n-A)$를 갖는다.

수반 행렬의 기본 관계에 따라 다음이 성립한다.

:$(t\; I\_n\; -\; A)B\; =\; \backslash det(t\; I\_n\; -\; A)\; I\_n\; =\; p(t)\; I\_n.$

$B$는 $t$에 대한 다항식을 원소로 갖는 행렬이므로, 각 $i$에 대해 $t^i$의 계수를 모아 행렬 $B\_i$를 구성할 수 있다.

:$B\; =\; \backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^\{n\; -\; 1\}\; t^i\; B\_i.$

($B$의 원소 정의에 따라 $t^\{n-1\}$보다 높은 거듭제곱은 나타나지 않는다.)

이제 양변을 전개하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
p(t) I_n &= (t I_n - A)B \\
&=(t I_n - A)\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i AB_i \\
&=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^i(B_{i - 1} - AB_i) - AB_0.
\end{align}

$p(t)I\_n=t^nI\_n+t^\{n-1\}c\_\{n-1\}I\_n+\backslash cdots+tc\_1I\_n+c\_0I\_n$ 와 같이 전개하여, $t$의 각 거듭제곱의 계수가 같아야 한다는 사실로부터 다음 연립방정식을 얻는다.

:$B\_\{n\; -\; 1\}\; =\; I\_n,\; \backslash qquad\; B\_\{i\; -\; 1\}\; -\; AB\_i\; =\; c\_i\; I\_n\backslash quad\; \backslash text\{for\; \}1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; n-1,\; \backslash qquad\; -A\; B\_0\; =\; c\_0\; I\_n.$

각 방정식에 $A^i$를 곱하고 모두 더하면 좌변은 소거합이 되어 0이 되고, 우변은 $p(A)$가 된다.

:$0\; =\; p(A).$

따라서 케일리-해밀턴 정리가 증명된다.

3.5. 행렬 계수 다항식을 이용한 증명

케일리-해밀턴 정리는 대수적으로 닫힌 체에 대한 행렬의 조르당 정규형 존재의 직접적인 결과이다. 이 섹션에서는 행렬 계수를 갖는 다항식을 이용하여 직접 증명하는 방법을 제시한다.

행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리의 명제를 얻으려면 다음과 같은 두 단계가 필요하다.

먼저 특성 다항식의 계수 는 행렬식의 에 관한 다항식 전개에 의해 결정된다.

:$$A\; =\; \backslash left(a\_\{ij\}\backslash right)\_\{i,j=1\}^n$$

:$$\backslash begin\{align\}$$
p(t) & = \det(t I_n - A) =
\begin{vmatrix}t-a_{1,1}&-a_{1,2}&\cdots&-a_{1,n} \\
-a_{2,1}&t-a_{2,2}&\cdots&-a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n,1}&-a_{n,2}& \cdots& t-a_{n,n} \end{vmatrix} \\[5pt]
& = t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0,
\end{align}

그런 다음 이러한 계수는 의 거듭제곱의 선형 결합에 사용되며, 이는 영행렬과 같다.

:

좌변은 의 성분 의 집합에서 (엄청난) 다항식 표현인 엔트리를 갖는 행렬로 계산될 수 있으므로, 케일리-해밀턴 정리는 이러한 표현 각각이 과 같다고 말한다. 임의의 고정된 값에 대해, 이러한 항등식은 지루하지만 간단한 대수적 조작으로 얻을 수 있다. 그러나 이러한 계산은 케일리-해밀턴 정리가 모든 가능한 크기 의 행렬에 대해 유효해야 하는 이유를 보여줄 수 없으므로, 모든 에 대한 균일한 증명이 필요하다.

3.6. 두 증명 (행렬식, 행렬 계수 다항식)의 절충

Cayley–Hamilton theorem^영어는 행렬식을 통한 증명과 행렬 계수 다항식을 이용한 증명을 결합하여 증명할 수 있다. 유클리드 나눗셈을 이용하여 몫과 나머지를 구하고, 가환 다항식 환 내에서 평가 사상을 적용한다.

이 증명에서는 다항식을 원소로 갖는 행렬을 사용한다. 행렬 는 행렬식의 특성 다항식이 이고, 다항식은 가환환을 형성하므로, 수반 행렬 를 갖는다.

$$B=\backslash operatorname\{adj\}(tI\_n-A).$$

수반 행렬의 기본 관계에 따라 다음이 성립한다.

$$(t\; I\_n\; -\; A)B\; =\; \backslash det(t\; I\_n\; -\; A)\; I\_n\; =\; p(t)\; I\_n.$$

역시 에 대한 다항식을 원소로 갖는 행렬이므로, 각 에 대해, 각 원소에서 의 계수를 수집하여 숫자의 행렬 를 형성할 수 있으며, 다음을 얻는다.

$$B\; =\; \backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^\{n\; -\; 1\}\; t^i\; B\_i.$$

의 원소가 정의되는 방식에 따라 보다 높은 거듭제곱은 발생하지 않는다. 이는 계수가 행렬인 다항식처럼 보이지만, 다항식 원소를 갖는 행렬을 개의 상수 행렬의 선형 결합으로 작성하는 방법일 뿐이며, 계수 는 이러한 관점을 강조하기 위해 행렬의 왼쪽에 쓰여졌다.

양선형성을 통해 방정식의 행렬 곱을 전개하면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
p(t) I_n &= (t I_n - A)B \\
&=(t I_n - A)\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\
&=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i AB_i \\
&=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^i(B_{i - 1} - AB_i) - AB_0.
\end{align}

다음을 전개하면,

$$p(t)I\_n=t^nI\_n+t^\{n-1\}c\_\{n-1\}I\_n+\backslash cdots+tc\_1I\_n+c\_0I\_n,$$

다항식 원소를 갖는 두 행렬의 등식을 얻고, 상수 행렬의 선형 결합으로 작성한다. 의 거듭제곱을 계수로 사용한다.

두 표현 모두에서 계수가 인 상수 행렬이 같아야 한다. 에서 0까지 에 대해 방정식을 작성하면 다음과 같다.

$$B\_\{n\; -\; 1\}\; =\; I\_n,\; \backslash qquad\; B\_\{i\; -\; 1\}\; -\; AB\_i\; =\; c\_i\; I\_n\backslash quad\; \backslash text\{for\; \}1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; n-1,\; \backslash qquad\; -A\; B\_0\; =\; c\_0\; I\_n.$$

로 의 계수 방정식을 왼쪽에서 곱하고 합산한다.

$$A^n\; B\_\{n-1\}\; +\; \backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^\{n-1\}\backslash left(\; A^i\; B\_\{i-1\}\; -\; A^\{i+1\}B\_i\backslash right)\; -A\; B\_0\; =\; A^n+c\_\{n-1\}\; A^\{n-1\}\; +\; \backslash cdots\; +\; c\_1A\; +\; c\_0I\_n.$$

좌변은 소거합을 형성하고 완전히 상쇄된다. 우변은 $p(A)$로 합산된다.

$$0\; =\; p(A).$$

이것으로 증명이 완료된다.

3.7. 자기 사상 환 위의 행렬을 이용한 증명

자기 사상 환 위의 행렬을 이용한 케일리-해밀턴 정리의 증명은 다음과 같다. 이 증명은 나카야마 보조정리와 관련이 있다.

우선, 행렬의 성분과 자기 사상을 구분해야 한다. 행렬 $A\; =\; (a\_\{ij\})\_\{i,j=1\}^n$에 대해, $a\_\{ij\}$는 스칼라 값으로, $A$는 $a\_\{ij\}I\_n$으로 실현되는 행렬의 링의 원소로 생각할 수 있다. 하지만, 행렬을 원소로 갖는 행렬은 블록 행렬과 혼동될 수 있으며, 블록 행렬에 대한 행렬식 개념은 일반적으로 성립하지 않으므로 주의해야 한다.

따라서, $A$를 $n$-차원 벡터 공간 V (또는 이 체가 아닌 경우 자유 -가군)의 자기 사상 $\backslash varphi$와 구분하고, End(V) 위의 행렬을 사용한다. 여기서 End(V)는 V의 모든 자기 사상들의 집합이다.

$\backslash varphi\; I\_n-A$의 행렬식($\backslash det(\backslash varphi\; I\_n\; -\; A)$)은 $R[\backslash varphi]$에서 정의할 수 있다. 여기서 $R[\backslash varphi]$는 항등원과 $\backslash varphi$에 의해 생성된 부분환이다.

이제, $A$가 기저 $e\_1,\; \backslash ldots,\; e\_n$에서 $\backslash varphi$의 행렬이라는 사실로부터 다음 식을 얻는다.

:$$\backslash varphi(e\_i)\; =\; \backslash sum\_\{j\; =\; 1\}^n\; A\_\{j,i\}\; e\_j\; \backslash quad\backslash text\{for\; \}i=1,\backslash ldots,n.$$

이를 행렬-벡터 곱을 이용하여 다시 쓰면 다음과 같다.

:$$\backslash varphi\; I\_n\; \backslash cdot\; E\; =\; A^\backslash operatorname\{tr\}\backslash cdot\; E,$$

여기서 $E\backslash in\; V^n$는 성분 $e\_i$가 $i$인 요소이다. 이를 정리하면,

:$$(\backslash varphi\; I\_n-A^\backslash operatorname\{tr\})\backslash cdot\; E\; =\; 0\backslash in\; V^n$$

이 된다. 여기서 $\backslash varphi\; I\_n-A$의 전치 행렬과 그 행렬식($R[\backslash varphi]$의 요소)인 $p(\backslash varphi)$를 확인할 수 있다.

이제 $\backslash varphi\; I\_n-A^\backslash operatorname\{tr\}$의 수반 행렬을 왼쪽에 곱하면,

:$$$$
\begin{align}
0 &= \operatorname{adj}(\varphi I_n-A^\operatorname{tr}) \cdot \left((\varphi I_n-A^\operatorname{tr})\cdot E\right) \\[1ex]
&= \left(\operatorname{adj}(\varphi I_n-A^\operatorname{tr}) \cdot (\varphi I_n-A^\operatorname{tr})\right) \cdot E \\[1ex]
&= \left(\det(\varphi I_n - A^\operatorname{tr})I_n\right) \cdot E \\[1ex]
&= (p(\varphi)I_n)\cdot E
\end{align}


가 성립한다. 이 식의 성분 $i$는 $p(\backslash varphi)(e\_i)\; =\; 0\; \backslash in\; V$를 의미하며, $p(\backslash varphi)$는 모든 $e\_i$에서 0이 된다. 따라서, $p(\backslash varphi)\; =\; 0\; \backslash in\; End(V)$이며, 증명이 완료된다.

이 증명에서 중요한 점은, 특성 다항식이 취해지는 행렬 $A$가 해당 다항식에 대입된 값 $\backslash varphi$와 같을 필요가 없다는 것이다. 즉, $\backslash varphi$가

:$$\backslash varphi(e\_i)\; =\; \backslash sum\_j\; A\_\{j,i\}\; e\_j$$

를 만족하는 $V$의 자기 사상이면 충분하며, $V$를 생성하는 일부 요소 시퀀스 $e\_1,\; \backslash ldots,\; e\_n$에 대해 성립하면 된다.

3.8. 추상대수학적 방법을 이용한 증명

하세-슈미트 미분의 기본적인 성질을 이용한 증명 방법이 있다. 외대수를 이용하여 증명한다.

3.9. 조합론적 증명

라이프니츠 공식을 특성 다항식에 대해 전개하여 증명하는 방법(스트라우빙)과, 트레이스 모노이드 이론을 사용하여 일반화하는 방법(포아타와 카르티에)이 있다.

$n\; \backslash times\; n$ 행렬 $A\; =\; \backslash left(a\_\{ij\}\backslash right)\_\{i,j=1\}^n$에 대한 케일리-해밀턴 정리의 명제를 얻으려면, 두 단계가 필요하다. 먼저 특성 다항식의 계수 $c\_i$는 행렬식의 $t$에 관한 다항식 전개에 의해 결정된다.

$$\backslash begin\{align\}$$
p(t) & = \det(t I_n - A) =
\begin{vmatrix}t-a_{1,1}&-a_{1,2}&\cdots&-a_{1,n} \\
-a_{2,1}&t-a_{2,2}&\cdots&-a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n,1}&-a_{n,2}& \cdots& t-a_{n,n} \end{vmatrix} \\[5pt]
& = t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0,
\end{align}

그런 다음 이러한 계수는 $A$의 거듭제곱의 선형 결합에 사용되며, 이는 $n\; \backslash times\; n$ 영행렬과 같다.



좌변은 $A$의 성분 $a\_\{i,j\}$의 집합에서 (엄청난) 다항식 표현인 엔트리를 갖는 $n\; \backslash times\; n$ 행렬로 계산될 수 있으므로, 케일리-해밀턴 정리는 이러한 $n^2$ 표현 각각이 $0$과 같다고 말한다. 임의의 고정된 $n$ 값에 대해, 이러한 항등식은 지루하지만 간단한 대수적 조작으로 얻을 수 있다. 그러나 이러한 계산은 케일리-해밀턴 정리가 모든 가능한 크기 $n$의 행렬에 대해 유효해야 하는 이유를 보여줄 수 없으므로, 모든 $n$에 대한 균일한 증명이 필요하다.

4. 예

1×1 행렬 의 경우, 특성 다항식은 로 주어지며, 따라서 은 자명하다.

구체적인 예시로,

라고 하자. 이것의 특성 다항식은 다음과 같다.
$$$$
\begin{align}
p(\lambda) &= \det(\lambda I_2-A) = \det\!\begin{pmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{pmatrix} \\
&=(\lambda-1)(\lambda-4)-(-2)(-3)=\lambda^2-5\lambda-2.
\end{align}


케일리-해밀턴 정리는

가 성립한다고 주장한다. 이는 실제로 계산을 통해 확인할 수 있다.

일반적인 2×2 행렬

의 경우, 특성 다항식은 로 주어지므로, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같다.

이는 의 성분을 계산하면 명백해진다.

4.1. 행렬의 거듭제곱

케일리-해밀턴 정리를 이용하면 행렬의 거듭제곱을 더 낮은 차수의 행렬 다항식으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 행렬 를 생각해보자. 이 행렬의 특성 다항식은 $p(\backslash lambda)\; =\; \backslash lambda^2\; -\; 5\backslash lambda\; -\; 2$이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, $A^2\; -\; 5A\; -\; 2I\_2\; =\; 0$이 성립한다. 여기서 $I\_2$는 2차 단위행렬이다.

이 식을 변형하면 $A^2\; =\; 5A\; +\; 2I\_2$를 얻는다. 이를 이용하여 $A^3$을 계산하면 다음과 같다.

:$A^3\; =\; (5A\; +\; 2I\_2)A\; =\; 5A^2\; +\; 2A\; =\; 5(5A\; +\; 2I\_2)\; +\; 2A\; =\; 27A\; +\; 10I\_2$

마찬가지로, $A^4$는 다음과 같이 계산된다.

:$A^4\; =\; A^3A\; =\; (27A\; +\; 10I\_2)A\; =\; 27A^2\; +\; 10A\; =\; 27(5A\; +\; 2I\_2)\; +\; 10A\; =\; 145A\; +\; 54I\_2$

이처럼 케일리-해밀턴 정리를 이용하면, 높은 차수의 행렬 거듭제곱을 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현하여 계산할 수 있다. 일반적으로, 크기가 $n$인 정사각 행렬의 $k$차 거듭제곱은 최대 $n-1$차 행렬 다항식으로 표현 가능하다.

4.2. 역행렬

Cayley–Hamilton theorem^영어를 이용하면 역행렬을 계산할 수 있다. 특히, 2 × 2 및 3 × 3 행렬의 역행렬을 구하는 공식을 유도할 수 있다.

예를 들어 행렬 A가 다음과 같다고 하자.

:

이 행렬의 특성 다항식은 다음과 같다.

:$p(\backslash lambda)\; =\; \backslash lambda^2-5\backslash lambda-2.$

케일리-해밀턴 정리에 의해 다음이 성립한다.

:

이 식을 변형하면 A의 역행렬을 얻을 수 있다.

:$A^\{-1\}=\backslash frac\{A-5I\_2\}\{2\}~.$

다른 예로, 행렬 A가 다음과 같다고 하자.

:$A\; =$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 3 \\
\end{bmatrix}

이 경우, 케일리-해밀턴 정리를 적용하여 정리하면 A의 역행렬을 얻을 수 있다.

:$A^\{-1\}=\backslash frac\{A^2-5A-6I\_3\}\{4\}~.$

4.3. 행렬 함수

Cayley–Hamilton theorem^영어를 이용하면 행렬 함수를 다항식으로 귀착시킬 수 있다.

해석 함수
:$f(x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; x^k$
와 행렬 의 차수 의 특성 다항식 가 주어지면, 이 함수는 다음과 같이 나눗셈을 사용하여 표현할 수 있다.
:$f(x)\; =\; q(x)\; p(x)\; +\; r(x),$
여기서 는 어떤 몫 다항식이고 는 인 나머지 다항식이다.

케일리-해밀턴 정리에 의해, 를 행렬 로 대체하면 이 되므로 다음을 얻는다.
:$f(A)\; =\; r(A).$

따라서 행렬 의 해석 함수는 차수가 보다 작은 행렬 다항식으로 표현할 수 있다.

나머지 다항식을 다음과 같이 나타낸다.
:$r(x)\; =\; c\_0\; +\; c\_1\; x\; +\; \backslash cdots\; +\; c\_\{n-1\}\; x^\{n-1\}.$
이므로, 의 개의 고유값을 함수 에 대입하면 다음을 얻는다.
:$f(\backslash lambda\_i)\; =\; r(\backslash lambda\_i)\; =\; c\_0\; +\; c\_1\; \backslash lambda\_i\; +\; \backslash cdots\; +\; c\_\{n-1\}\; \backslash lambda\_i^\{n-1\},\; \backslash qquad\; \backslash text\{for\; \}\; i=1,2,...,n.$
이것은 개의 선형 방정식 시스템으로, 계수 를 결정하기 위해 풀 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.
:$f(A)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\; c\_k\; A^k.$

고유값이 반복되는 경우, 즉 for some , 두 개 이상의 방정식이 동일하므로 선형 방정식을 고유하게 풀 수 없다. 이러한 경우, 중복도 인 고유값에 대해, 의 처음 개의 도함수가 해당 고유값에서 0이 된다. 이로 인해 추가 개의 선형 독립적인 해가 생성된다.
:$\backslash left.\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^k\; f(x)\}\{\backslash mathrm\{d\}x^k\}\backslash right|\_\{x=\backslash lambda\}\; =\; \backslash left.\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^k\; r(x)\}\{\backslash mathrm\{d\}x^k\}\backslash right|\_\{x=\backslash lambda\}\backslash qquad\; \backslash text\{for\; \}\; k\; =\; 1,\; 2,\; \backslash ldots,\; m-1,$
이는 다른 해와 결합되어 를 풀기 위한 필요한 개의 방정식을 생성한다.

점 를 지나는 다항식을 구하는 것은 본질적으로 보간법 문제이며, 라그랑주 또는 뉴턴 보간법 기법을 사용하여 풀 수 있으며, 실베스터 공식으로 이어진다.

;예시 1
:예를 들어, 다음과 같은 다항식 표현을 찾아야 한다고 가정해 보자.
:

:특성 다항식은 이고, 고유값은 이다. 라고 하자. 고유값에서 를 평가하면 두 개의 선형 방정식, 및 을 얻는다.

:이 방정식을 풀면 및 이 된다. 따라서 다음이 성립한다.
:

:만약, 그 대신, 함수가 였다면, 계수는 및 가 되었을 것이므로
:
:로 구해진다.

;예시 2
:마찬가지로,
:$f(A)\; =\; e^\{At\}\; \backslash qquad(A\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
0 &1 \\
-1 &0
\end{pmatrix})
:을 생각한다. 의 고유 다항식은 , 고유값은 이다. 앞과 마찬가지로, 고유값에 관한 연립 방정식
::,
::
:을 풀어서,
::
:을 얻는다. 이 경우의
:$e^\{At\}\; =\; (\backslash cos\; t)I\_2\; +\; (\backslash sin\; t)A\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
\cos t &\sin t \\
-\sin t &\cos t
\end{pmatrix}
:는 회전 행렬이다.

이러한 이용법의 표준적인 예는 에 부속하는 리 대수로부터의 지수 사상이다. 이것은 행렬 지수 함수 $\backslash exp\backslash colon\; \backslash mathfrak\; g\; \backslash to\; G;$
:$tX\; \backslash mapsto\; e^\{tX\}\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash dfrac\{t^nX^n\}\{n!\}\; =\; I\; +\; tX\; +\; \backslash dfrac\{t^2X^2\}\{2\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash qquad(t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; X\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{g\})$
로 주어진다. 그 다항식 표현은 에 대해서는 오래전부터 알려져 있으며, 파울리 행렬 를 사용하여
:$e^\{i(\backslash theta/2)(\backslash hat\; n\; \backslash cdot\; \backslash sigma)\}\; =\; I\_2\; \backslash cos\; \backslash theta/2\; +\; i(\backslash hat\; n\; \backslash cdot\; \backslash sigma)\; \backslash sin\; \backslash theta/2$
로 쓸 수 있다. 도 마찬가지로
:$e^\{i\backslash theta(\backslash hat\; n\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; J)\}\; =\; I\_3\; +\; i(\backslash hat\; n\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; J)\; \backslash sin\; \backslash theta\; +\; (\backslash hat\; n\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; J)^2\; (\backslash cos\; \backslash theta\; -\; 1)$
로 쓸 수 있다(이것은 로드리게스 회전 공식이다). 표기법에 대해서는 을 참조하라.

나중에는 다른 군에 대한 표현도 알려져 있으며, 예를 들어 로렌츠 군 , , , 등. 여기서 는 시공간의 이며 는 그 단일 연결 피복(더 정확하게는, 의 연결 성분 의 단일 연결 피복)이다. 얻어진 다항식 표현은 이러한 군의 표준 표현(standard representation)에 적용된다. 행렬의 거듭제곱을 계산하기 위해 고유값에 대한 어느 정도의 지식이 필요하다. 의(그리고 의) 닫힌 공식은 최근 모든 기약 표현(예: 임의의 )에 대해 얻어졌다.

5. 응용

케일리-해밀턴 정리는 다양한 분야에 응용된다.

* 행렬식 및 역행렬 계산: 행렬식과 역행렬 계산에 활용된다. 벨 다항식을 이용해 특성 다항식의 계수를 구하고, 이를 통해 행렬식과 역행렬 계산 공식을 유도할 수 있다.
* 고차 거듭제곱 계산: 행렬의 고차 거듭제곱을 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현할 수 있다. 예를 들어 행렬 A = {{lang에 대해, 케일리-해밀턴 정리를 적용하면 A² = 5A + 2I₂ 로 나타낼 수 있다. 이를 반복하면 임의의 고차 거듭제곱을 최대 n-1차(n은 행렬의 크기) 행렬 다항식으로 표현할 수 있다.
* 대수적 수론: 대수적 정수의 최소 다항식 계산에 사용된다.

5.1. 행렬식 및 역행렬 계산

케일리-해밀턴 정리를 이용하면 행렬식과 역행렬을 계산할 수 있다. 벨 다항식을 이용하여 특성 다항식의 계수를 계산하고, 이를 통해 행렬식과 역행렬을 계산하는 공식을 유도할 수 있다.

n차 정방 행렬의 특성 다항식은 다음과 같다.
:$p(t)=t^n+c\_\{n-1\}t^\{n-1\}+\backslash dots+c\_1t+c\_0$

여기서 n-i차 계수 c_n-i는 A의 고유값들이 이루는 i차 기본 대칭식과 같다. 특히 상수항 (0차 계수) c₀는 고유값의 총곱이므로, 이는 A의 행렬식 det A와 같다.

뉴턴 항등식을 사용하면 기본 대칭식은 멱합 대칭식으로 나타낼 수 있으므로, c_n-i는 고유값의 멱합 대칭식 $s\_k\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \{\backslash lambda\_i\}^k$로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.
:$s\_k\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \{\backslash lambda\_i\}^k\; =\; \backslash operatorname\{tr\}\; A^k$
따라서, c_n-i는 A^k의 트레이스로 나타낼 수 있다. 특히 $c\_\{n-1\}\; =\; \backslash operatorname\{tr\}A$이다.

케일리-해밀턴 정리에 의해, 일반적인 n차 정칙행렬 A (즉, A의 행렬식은 0이 아니다)에 대해, 그 역행렬 A^-1은 A의 n-1차 이하의 행렬 다항식으로 나타낼 수 있다. 실제로, 다음 식에서

:$p(A)=A^n+c\_\{n-1\}A^\{n-1\}+\backslash cdots+c\_1A+(-1)^n\backslash det(A)I\_n\; =O$

상수항을 이항하면
:$-(-1)^n\; \backslash det(A)\; I\_n\; =\; A(A^\{n-1\}+c\_\{n-1\}A^\{n-2\}+\backslash cdots+c\_1I\_n)$
양변에 A^-1를 곱하면
:$A^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{\backslash det\; A\}\; (A^\{n-1\}+c\_\{n-1\}A^\{n-2\}+\backslash cdots+c\_1I\_n)$
을 얻는다.

일반적으로, 계수 c_i를 주는 공식은 완전 지수형 벨 다항식에 의해 다음과 같이 주어진다.
:$c\_\{n-k\}\; =\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{k!\}\; B\_k(s\_1,\; -1!\; s\_2,\; 2!\; s\_3,\; \backslash cdots,\; (-1)^\{k-1\}(k-1)!\; s\_k)$

특히 A의 행렬식은 c₀이므로, 트레이스를 포함하는 표현(트레이스 항등식)으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$\backslash det(A)\; =\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\; B\_n(s\_1,\; -1!\; s\_2,\; 2!\; s\_3,\; \backslash cdots,\; (-1)^\{n-1\}(n-1)!\; s\_n)$

마찬가지로, 다음과 같은 표현도 가능하다.
:$A^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash det\; A\}\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\{n-1\}\; (-1)^\{n+k-1\}\; \backslash dfrac\{A^\{n-k-1\}\}\{k!\}\; B\_k(s\_1,\; -1!\; s\_2,\; 2!\; s\_3,\; \backslash cdots,\; (-1)^\{k-1\}(k-1)!\; s\_k)$

벨 다항식의 처음 부분은 B₀ = 1, B₁(x₁) = x₁, B₂(x₁, x₂) = x₁² + x₂, ... 이므로, 이것들을 이용하여 2차의 경우 고유 다항식의 계수 c_i를 구체적으로 계산하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
&c_2 = B_0 = 1,\quad c_1 = \frac{-1}{1!} B_1(s_1) = - s_1 = - \operatorname{tr}(A) \\
&c_0 = \frac{1}{2!} B_2(s_1, -1! s_2) = \frac{1}{2}(s_1^2 - s_2) = \frac{1}{2}((\operatorname{tr}(A))^2 - \operatorname{tr}(A^2))
\end{align}

c₀은 행렬식이므로, 이 경우 역행렬은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:$A^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{-1\}\{\backslash det\; A\}(A\; +\; c\_1\; I\_2)\; =\; \backslash frac\{-2(A\; -\; \backslash operatorname\{tr\}(A)\; I\_2)\}\{(\backslash operatorname\{tr\}(A))^2\; -\; \backslash operatorname\{tr\}(A^2)\}$

3차 정방 행렬 A에 대한 케일리-해밀턴 정리의 주장은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$A^3-\; (\backslash operatorname\{tr\}A)A^2+\backslash frac\{1\}\{2\}((\backslash operatorname\{tr\}A)^2-\backslash operatorname\{tr\}(A^2))A-\backslash det(A)I\_3=O$

마찬가지로 n = 3인 경우 행렬식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\det(A) &= \frac{1}{3!} B_3(s_1, -1! s_2, 2! s_3) = \frac{1}{6}(s_1^3 + 3 s_1 (-s_2) + 2 s_3) \\
&= \tfrac{1}{6}((\operatorname{tr}A)^3-3\operatorname{tr}(A^2)(\operatorname{tr}A)+2\operatorname{tr}(A^3))
\end{align}

4차 정방 행렬 A에 대한 정리의 주장은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$A^4-(\backslash operatorname\{tr\}A)A^3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash bigl((\backslash operatorname\{tr\}A)^2-\backslash operatorname\{tr\}(A^2)\backslash bigr)A^2\; -\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\backslash bigl(\; (\backslash operatorname\{tr\}A)^3-3\backslash operatorname\{tr\}(A^2)(\backslash operatorname\{tr\}A)+2\backslash operatorname\{tr\}(A^3)\backslash bigr)A\; +\; \backslash det(A)I\_4\; =\; O$

이 경우 행렬식은 다음과 같다.
:$\backslash tfrac\{1\}\{24\}((\backslash operatorname\{tr\}A)^4-6\; \backslash operatorname\{tr\}(A^2)(\backslash operatorname\{tr\}A)^2+3(\backslash operatorname\{tr\}(A^2))^2+8\backslash operatorname\{tr\}(A^3)\backslash operatorname\{tr\}(A)\; -6\backslash operatorname\{tr\}(A^4))$

계수 c_k에 대한 더 복잡한 표현은, 뉴턴 항등식이나 파데예프-르베리에 알고리즘 등에서 유도할 수 있다.

5.2. 고차 거듭제곱 계산

Cayley–Hamilton theorem^영어에 따르면, 행렬의 고차 거듭제곱은 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현할 수 있다.

예를 들어, 행렬 A가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:

이 행렬의 특성 다항식은 다음과 같다.

:

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

:$A^2-5A-2I\_2=0$ (여기서 $I\_2$는 단위행렬이다.)

이를 정리하면 다음과 같다.

:$A^2=5A+2I\_2$

이 식을 이용하여 A⁴을 계산할 수 있다.

:$A^3=(5A+2I\_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I\_2)+2A=27A+10I\_2$

:$A^4=A^3A=(27A+10I\_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I\_2)+10A=145A+54I\_2$

이처럼 케일리-해밀턴 정리를 이용하면, 행렬의 고차 거듭제곱을 낮은 차수의 다항식으로 나타낼 수 있다. 일반적으로, 크기가 $n$인 정사각 행렬의 경우, 임의의 차수 $k$의 행렬 거듭제곱은 최대 $n-1$차 행렬 다항식으로 표현 가능하다.

5.3. 대수적 수론

대수적 정수의 최소 다항식을 계산하는 데 케일리-해밀턴 정리가 사용될 수 있다. 예를 들어, 체 $\backslash mathbb\{Q\}$의 유한 차수 확대 $\backslash mathbb\{Q\}[\backslash alpha\_1,\backslash ldots,\backslash alpha\_k]$와 그 원소인 대수적 정수 $\backslash alpha$ (이는 첨가된 원소의 멱곱 $\backslash alpha\_1^\{n\_1\}\backslash cdots\backslash alpha\_k^\{n\_k\}$의 $\backslash mathbb\{Q\}$-선형 결합으로 쓸 수 있다)가 주어졌을 때, $\backslash alpha$를 곱하는 $\backslash mathbb\{Q\}$-선형 변환
:$\backslash cdot\; \backslash alpha\; \backslash colon\; \backslash mathbb\{Q\}[\backslash alpha\_1,\backslash cdots,\backslash alpha\_k]\; \backslash to\; \backslash mathbb\{Q\}[\backslash alpha\_1,\backslash cdots,\backslash alpha\_k]$
의 표현 행렬을 $A$로 쓰면, $A$에 케일리-해밀턴 정리를 적용하여 $\backslash alpha$의 최소 다항식을 구할 수 있다.

6. 일반화

케일리-해밀턴 정리는 임의의 가환환의 원소를 갖는 행렬에 대해 성립하며, $e_1, ..., e_n$의 원소에 의해 생성된 $R$-가군 $\varphi$가 다음을 만족할 때마다 $p(\varphi) = 0$이 성립함을 보여준다.

$$\backslash varphi(e\_j)=\backslash sum\; a\_\{ij\}e\_i,\; \backslash qquad\; j\; =1,\; \backslash ldots,\; n.$$

이 정리의 더 일반적인 버전은 가환대수학 및 대수기하학의 유명한 나카야마 보조정리의 근원이다.

케일리-해밀턴 정리는 비가환환인 사원수에 대한 행렬에서도 성립한다.

7. "단락적인 증명"의 오류에 관한 주의

케일리-해밀턴 정리를 증명할 때, 고유 다항식
: $p(\backslash lambda)\; =\; \backslash det(\backslash lambda\; I\_n\; -\; A)$
의 $\backslash lambda$를 $A$로 치환하여
: $p(A)=\backslash det(A\; I\_n\; -\; A)\; =\; \backslash det(A-A)=0$
을 얻는 것은 잘못된 논법이다.

이 논법이 잘못된 이유는 다음과 같다.

* 위 식의 좌변은 $n$차 정사각행렬이고, 우변은 스칼라 $0$이므로 ($n=1$이 아닌 한) 모순이다.
* 위 식의 우변의 $\backslash lambda$는 스칼라여야 행렬식으로서 의미를 가지는데, 행렬식 전개 전에 $\backslash lambda$를 $A$로 치환하면 의미가 없어진다.

2차 정사각 행렬의 경우를 예로 들면,
: $p(\backslash lambda)\; =\; \backslash begin\{vmatrix\}$
\lambda-a &-b \\
-c &\lambda-d
\end{vmatrix}
의 $\backslash lambda$ 를 $A=\backslash begin\{pmatrix\}$
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} 로 치환하면 행렬식으로서의 의미가 없어진다는 것을 알 수 있다.

하지만, 스칼라인 부분을 스칼라 행렬(단위 행렬의 스칼라 배)로 치환한 블록 행렬
: $\backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash begin\{pmatrix\}$
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} - aI_2 &-bI_2 \\
-cI_2 &\begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} - dI_2
\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cc|cc}
0 &b &-b &0 \\
c &d-a &0 &-b \\\hline
-c &0 &a-d &b \\
0 &-c &c &0
\end{array}\right)
를 고려하면 유효한 식이 되며, 이 행렬식은 실제로 $0$이 된다. 그러나 이 행렬은 위에서 $\backslash det$의 인수로 삼은 $AI\_n\; -\; A$가 아니다.

이 논법이 다른 다중 선형 형식에는 적용될 수 없음을 퍼머넌트를 이용해 보일 수 있다. perm($\backslash lambda\; I\_n\; -\; A$)라고 하면, 같은 논법으로 perm($A\; I\_n\; -\; A$) = 0 이 증명되어야 하지만, 이는 오류이다. 2차 정사각 행렬의 경우, $\backslash operatorname\{perm\}\; \backslash begin\{pmatrix\}$
a &b \\
c &d
\end{pmatrix} = ad + bc이므로, $q(\backslash lambda)\; =\; \backslash operatorname\{perm\}\; (\backslash lambda\; I\_2\; -\; A)\; =\; \backslash lambda^2\; -\; (a+d)\backslash lambda\; +\; (ad+bc)$이며, 여기에 $A$를 대입하면
: $q(A)=A^2-(a+d)A+(ad+bc)I\_2=\backslash begin\{pmatrix\}$
2bc &0 \\
0 &2bc
\end{pmatrix}는 일반적으로 영행렬이 아니다.